Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В ходе изучения алгебры мы сталкивались с понятиями многочлен (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и тд) и алгебраическая дробь(например $\frac{x+5}{x}$ , $\frac{2x^2}{2x^2-2x}$,$\ \frac{x-y}{y-x}$ и тд). Сходство этих понятий в том, что и в многочленах, и в алгебраических дробях присутствуют переменные и числовые значения, выполняются арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Отличие этих понятий состоит в том, что в многочленах не производится деление на переменную, а в алгебраических дробях деление на переменную можно производить.

И многочлены , и алгебраические дроби в математике называются рациональными алгебраическими выражениями. Но многочлены являются целыми рациональными выражениями, а алгебраические дроби- дробно- рациональными выражениями.

Можно получить из дробно --рационального выражения целое алгебраическое выражение используя тождественное преобразование, которое в данном случае будет являться основным свойством дроби - сокращением дробей. Проверим это на практике:

Пример 1

Выполнить преобразование:$\ \frac{x^2-4x+4}{x-2}$

Решение: Преобразовать данное дробно-рациональное уравнение можно путем использования основного свойства дроби- сокращения, т.е. деления числителя и знаменателя на одно и то же число или выражение, отличное от $0$.

Сразу данную дробь сократить нельзя,необходимо преобразовать числитель.

Преобразуем выражние стоящее в числителе дроби,для этого воспользуемся формулой квадрата разности :$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$

Дробь имеет вид

\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}\]

Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель --это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби

\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}=x-2\]

После сокращения мы получили, что исходное дробно-рациональное выражение $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ стало многочленом $x-2$, т.е. целым рациональным.

Теперь обратим внимание на то, что тождественными можно считать выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2\ $ не при всех значениях переменной, т.к. для того, чтобы дробно-рациональное выражение существовало и было возможно сокращение на многочлен $x-2$ знаменатель дроби не должен быть равен $0$ (так же как и множитель, на который мы производим сокращение. В данном примере знаменатель и множитель совпадают, но так бывает не всегда).

Значения переменной, при которых алгебраическая дробь будет существовать называются допустимыми значениями переменной.

Поставим условие на знаменатель дроби: $x-2≠0$,тогда $x≠2$.

Значит выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2$ тождественны при всех значениях переменной, кроме $2$.

Определение 1

Тождественно равными выражениями называются те, которые равны при всех допустимых значениях переменной.

Тождественным преобразованием является любая замена исходного выражения на тождественно равное ему.К таким преобразованиям относятся выполнение действий: сложения, вычитания, умножение, вынесение общего множителя за скобку, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сокращение алгебраических дробей, приведение подобных слагаемых и т.д. Необходимо учитывать,что ряд преобразований, такие как, сокращение, приведение подобных слагаемых могут изменить допустимые значения переменной.

Приемы, использующиеся для доказательств тождеств

Привести левую часть тождества к правой или наоборот с использованием тождественных преобразований

Привести обе части к одному и тому же выражению с помощью тождественных преобразований

Перенести выражения, стоящие в одной части выражения в другую и доказать, что полученная разность равна $0$

Какое из приведенных приемов использовать для доказательства данного тождества зависит от исходного тождества.

Пример 2

Доказать тождество ${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Решение: Для доказательства данного тождества мы используем первый из приведенных выше приемов, а именно будем преобразовывать левую часть тождества до ее равенства с правой.

Рассмотрим левую часть тождества:$\ {(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)$- она представляет собой разность двух многочленов. При этом первый многочлен является квадратом суммы трех слагаемых.Для возведения в квадрат суммы нескольких слагаемых используем формулу:

\[{(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Для этого нам необходимо выполнить умножение числа на многочлен.Вспомним, что для этого надо умножить общий множитель,стоящий за скобками на каждое слагаемое многочлена,стоящего в скобках.Тогда получим:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Теперь вернемся к исходному многочлену,он примет вид:

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Обратим внимание, что перед скобкой стоит знак «-» значит при раскрытии скобок все знаки, которые были в скобках меняются на противоположные.

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Приведем подобные слагаемые,тогда получим, что одночлены $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно уничтожатся, т.е. их сумма равна $0$.

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Значит путем тождественных преобразований мы получили тождественное выражение в левой части исходного тождества

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Заметим, что полученное выражение показывает, что исходное тождество --верно.

Обратим внимание, что в исходном тождестве допустимы все значения переменной, значит мы доказали тождество используя тождественные преобразования, и оно верно при всех допустимых значениях переменной.

Пусть даны два алгебраических выражения:

Составим таблицу значений каждого из этих выражений при различных числовых значениях буквы х.

Мы видим, что при всех тех значениях, которые давались букве х, значения обоих выражений оказывались равными. То же будет и при всяком другом значении х.

Чтобы убедиться в этом, преобразуем первое выражение. На основании распределительного закона запишем:

Произведя над числами указанные действия, получим:

Итак, первое выражение после его упрощения оказалось совершенно таким же, как и второе выражение.

Теперь ясно, что при любом значении х значения обоих выражений равны.

Выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них букв, называются тождественно равными или тождественными.

Значит, - тождественные выражения.

Сделаем одно важное замечание. Возьмём выражения:

Составив таблицу, подобную предыдущей, убедимся, что оба выражения при любом значении х, кроме имеют равные числовые значения. Только при второе выражение равно 6, а первое теряет смысл, так как в знаменателе получается нуль. (Вспомним, что на нуль делить нельзя.) Можно ли сказать, что эти выражения тождественны?

Мы раньше условились, что каждое выражение будем рассматривать только при допустимых значениях букв, то есть при тех значениях, при которых выражение не теряет смысла. Значит, и здесь, сравнивая два выражения, принимаем во внимание только те значения букв, которые допустимы для обоих выражений. Поэтому значение мы должны исключить. А так как при всех остальных значениях х оба выражения имеют одно и то же числовое значение, то мы вправе считать их тождественными.

На основании сказанного дадим такое определение тождественных выражений:

1. Выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.

Если два тождественных выражения соединим знаком равенства, то получим тождество. Значит:

2. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв.

Мы уже раньше встречались с тождествами. Так, например, тождествами являются все равенства, которыми мы выражали основные законы сложения и умножения.

Например, равенства, выражающие переместительный закон сложения

и сочетательный закон умножения

справедливы для любых значений букв. Значит, эти равенства являются тождествами.

Тождествами считаются также все верные арифметические равенства, например:

В алгебре часто приходится какое-либо выражение заменять другим, ему тождественным. Пусть, например, требуется найти значение выражения

Мы значительно облегчим вычисления, если данное выражение заменим выражением, ему тождественным. На основании распределительного закона можем записать:

Но числа в скобках дают в сумме 100. Значит, имеем тождество:

Подставив в правую часть его 6,53 вместо а, сразу (в уме) найдём числовую величину (653) данного выражения.

Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием этого выражения.

Напомним, что всякое алгебраическое выражение при любых допустимых значениях букв является некоторым

числом. Отсюда следует, что к алгебраическим выражениям применимы все законы и свойства арифметических действий, которые были приведены в предыдущей главе. Итак, применение законов и свойств арифметических действий преобразует данное алгебраическое выражение в тождественное ему выражение.

7 класс

«Тождества. Тождественное преобразование выражений».

Абдулкеримова Хадижат Махмудовна,

учитель математики

Цели урока

ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;

рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;

проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование : доска, учебник, рабочая тетрадь.

П лан урока

Организационный момент

Проверка домашнего задания

Актуализация знаний

Изучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление понятий «тождество», «тождественные преобразования»).

Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество», «тождественные преобразования»).

Рефлексия урока (Обобщить теоретические сведения, полученные на уроке).

Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего задания)

Ход урока

I. Организационный момент.

II . Проверка домашнего задания.(фронтально)

III . Актуализация знаний.

Приведите пример числового выражения и выражения с переменными

Сравните значения выражений х+3 и 3х при х=-4; 1,5; 5

На какое число нельзя делить? (0)

Результат умножения? (Произведение)

Наибольшее двузначное число? (99)

Чему равно произведение от -200 до 200? (0)

Результат вычитания. (Разность)

Сколько граммов в килограмме? (1000)

Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)

Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)

Сочетательное свойство сложения. (Чтобы к сумме двух чисел прибавить какое-нибудь число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего)

Сочетательное свойство умножения. (чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего)

Распределительное свойство. (Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты)

IV. Обьяснение новой темы:

Найдем значение выражений при х=5 и у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:

2х+у=2*1+2=4

2ху=2*1*2=4

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то

2х+у=2*3+4=10

2ху=2*3*4=24

Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Можно привести и другие примеры тождеств (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).

а + 0 = а

а * 1 = а

а + (-а) = 0

а * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Определение: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Учитель:

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила этих преобразований:

Учащиеся:

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки;

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Учитель:

Пример 1. Приведем подобные слагаемые

5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х

Каким правилом мы воспользовались?

Ученик:

Мы воспользовались правилом приведения подобных слагаемых. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Учитель:

Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b -3 c ) = 2 a + b – 3 c

Применили правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс».

Ученик:

Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Учитель:

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4 b – с) = a – 4 b + c

Воспользовались правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус».

На каком свойстве основано данное преобразование?

Ученик:

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения.

V . Выполнение упражнений.

№85 Устно

№86 Устно

№88 Устно

№93

№94

№90ав

№96

№97

VI . Рефликсия урока .

Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают на них по желанию.

Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.

Какое равенство называется тождеством? Привести примером.

Какие тождественные преобразования вам известны?

VII . Домашнее задание . п.5, № 95, 98,100 (а,в)

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.

Тождественное преобразование выражения. Что это такое?

Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.

Определение 1

Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Часто это определение используется в сокращенном виде, в котором опускается слово «тождественное». Предполагается, что мы в любом случае проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, тождественное исходному, и это не требуется отдельно подчеркивать.

Проиллюстрируем данное определение примерами.

Пример 1

Если мы заменим выражение x + 3 − 2 на тождественно равное ему выражение x + 1 , то мы проведем при этом тождественное преобразование выражения x + 3 − 2 .

Пример 2

Замена выражения 2 · a 6 на выражение a 3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x 2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x 2 не являются тождественно равными.

Обращаем ваше внимание на форму записи выражений при проведении тождественных преобразований. Обычно мы записываем исходное и полученное в ходе преобразования выражения в виде равенства. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 означает, что выражение x + 1 + 2 было приведено к виду x + 3 .

Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенств, которая представляет собой несколько расположенных подряд тождественных преобразований. Так, запись x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x мы понимаем как последовательное проведение двух преобразований: сначала выражение x + 1 + 2 привели к виду x + 3 , а его – к виду 3 + x .

Тождественные преобразования и ОДЗ

Ряд выражений, которые мы начинаем изучать в 8 классе, имеют смысл не при любых значениях переменных. Проведение тождественных преобразований в этих случаях требует от нас внимания к области допустимых значений переменных (ОДЗ). Выполнение тождественных преобразований может оставлять ОДЗ неизменной или же сужать ее.

Пример 3

При выполнении перехода от выражения a + (− b) к выражению a − b область допустимых значений переменных a и b остается прежней.

Пример 4

Переход от выражения x к выражению x 2 x приводит к сужению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого был исключен ноль.

Пример 5

Тождественное преобразование выражения x 2 x выражением х приводит к расширению области допустимых значений переменной x от множества всех действительных чисел за исключением нуля до множества всех действительных чисел.

Сужение или расширение области допустимых значений переменных при проведении тождественных преобразований имеет значение при решении задач, так как может повлиять на точность проведения вычислений и привести к появлению ошибок.

Основные тождественные преобразования

Давайте теперь посмотрим, какими бывают тождественные преобразования и как они выполняются. Выделим те виды тождественных преобразований, с которыми нам приходится иметь дело чаще всего, в группу основных.

Помимо основных тождественных преобразований существует ряд преобразований, которые относятся к выражениям конкретного вида. Для дробей это приемы сокращения и приведения к новому знаменателю. Для выражений с корнями и степенями все действия, которые выполняются на базе свойств корней и степеней. Для логарифмических выражений действия, которые проводятся на основе свойств логарифмов. Для тригонометрических выражений все действия с использованием тригонометрических формул. Все эти частные преобразования подробно разбираются в отдельных темах, которые можно найти на нашем ресурсе. В связи с этим в этой стстье мы на них останавливаться не будем.

Перейдем к рассмотрению основных тождественных преобразований.

Перестановка местами слагаемых, множителей

Начнем с перестановки слагаемых местами. С этим тождественным преобразованием мы имеем дело чаще всего. И основным правилом здесь можно считать следующее утверждение: в любой сумме перестановка слагаемых местами не отражается на результате.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах сложения. Эти свойства позволяют нам переставлять слагаемые местами и получать при этом выражения, которые тождественно равны исходным. Именно поэтому перестановка слагаемых местами в сумме является тождественным преобразованием.

Пример 6

У нас есть сумма трех слагаемых 3 + 5 + 7 . Если мы поменяем местами слагаемые 3 и 5 , то выражение примет вид 5 + 3 + 7 . Вариантов перестановки местами слагаемых в данном случае несколько. Все они приводят к получению выражений, тождественно равных исходному.

В качестве слагаемых в сумме могут выступать не только числа, но и выражения. Их точно так же, как и числа, можно переставлять местами, не влияя на конечный результат вычислений.

Пример 7

В сумме трех слагаемых 1 a + b , a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 и - 12 · a вида 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 + (- 12) · a слагаемые можно переставить, например, так (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби 1 a + b , при этом дробь примет вид 1 b + a . А выражение под знаком корня a 2 + 2 · a + 5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.

Точно так же, как и слагаемые, в исходных выражениях можно менять местами множители и получать тождественно верные уравнения. Проведение этого действия регулируется следующим правилом:

Определение 2

В произведении перестановка множителей местами не влияет на результат вычислений.

Основано это правило на переместительном и сочетательном свойствах умножения, которые подтверждают верность тождественного преобразования.

Пример 8

Произведение 3 · 5 · 7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5 · 3 · 7 , 5 · 7 · 3 , 7 · 3 · 5 , 7 · 5 · 3 или 3 · 7 · 5 .

Пример 9

Перестановка множителей в произведении x + 1 · x 2 - x + 1 x даст x 2 - x + 1 x · x + 1

Раскрытие скобок

Скобки могут содержать записи числовых выражений и выражений с переменными. Эти выражения могут быть преобразованы в тождественно равные выражения, в которых скобок не будет вообще или их будет меньше, чем в исходных выражениях. Этот способ преобразования выражений называют раскрытием скобок.

Пример 10

Проведем действия со скобками в выражении вида 3 + x − 1 x для того, чтобы получить тождественно верное выражение 3 + x − 1 x .

Выражение 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Правила преобразования выражений со скобками мы подробно разобрали в теме «Раскрытие скобок», которая размещена на нашем ресурсе.

Группировка слагаемых, множителей

В случаях, когда мы имеем дело с тремя и большим количеством слагаемых, мы можем прибегнуть к такому виду тождественных преобразований как группировка слагаемых. Под этим способом преобразований подразумевают объединение нескольких слагаемых в группу путем их перестановки и заключения в скобки.

При проведении группировки слагаемые меняются местами таким образом, чтобы группируемые слагаемые оказались в записи выражения рядом. После этого их можно заключить в скобки.

Пример 11

Возьмем выражение 5 + 7 + 1 . Если мы сгруппируем первое слагаемое с третьим, то получим (5 + 1) + 7 .

Группировка множителей проводится аналогично группировке слагаемых.

Пример 12

В произведении 2 · 3 · 4 · 5 можно сгруппировать первый множитель с третьим, а второй – с четвертым, при этом придем к выражению (2 · 4) · (3 · 5) . А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый множители, то получили бы выражение (2 · 3 · 5) · 4 .

Слагаемые и множители, которые группируются, могут быть представлены как простыми числами, так и выражениями. Правила группировки были подробно разобраны в теме «Группировка слагаемых и множителей».

Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно

Замена разностей суммами стала возможна благодаря нашему знакомству с противоположными числами. Теперь вычитание из числа a числа b можно рассматривать как прибавление к числу a числа − b . Равенство a − b = a + (− b) можно считать справедливым и на его основе проводить замену разностей суммами.

Пример 13

Возьмем выражение 4 + 3 − 2 , в котором разность чисел 3 − 2 мы можем записать как сумму 3 + (− 2) . Получим 4 + 3 + (− 2) .

Пример 14

Все разности в выражении 5 + 2 · x − x 2 − 3 · x 3 − 0 , 2 можно заменить суммами как 5 + 2 · x + (− x 2) + (− 3 · x 3) + (− 0 , 2) .

Мы можем переходить к суммам от любых разностей. Аналогично мы можем произвести обратную замену.

Замена деления на умножение на число, обратное делителю, становится возможным благодаря понятию взаимно обратных чисел. Это преобразование можно записать равенством a: b = a · (b − 1) .

Это правило было положено в основу правила деления обыкновенных дробей.

Пример 15

Частное 1 2: 3 5 можно заменить произведением вида 1 2 · 5 3 .

Точно также по аналогии деление может быть заменено умножением.

Пример 16

В случае с выражением 1 + 5: x: (x + 3) заменить деление на x можно на умножение на 1 x . Деление на x + 3 мы можем заменить умножением на 1 x + 3 . Преобразование позволяет нам получить выражение, тождественное исходному: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3 .

Замена умножения делением поводится по схеме a · b = a: (b − 1) .

Пример 17

В выражении 5 · x x 2 + 1 - 3 умножение можно заменить делением как 5: x 2 + 1 x - 3 .

Выполнение действий с числами

Выполнение действий с числами подчиняется правилу порядка выполнения действий. Сначала проводятся действия со степенями чисел и корнями из чисел. После этого мы заменяем логарифмы, тригонометрические и прочие функции на их значения. Затем выполняются действия в скобках. И затем уже можно проводить все остальные действия слева направо. Важно помнить, что умножение и деление проводят до сложения и вычитания.

Действия с числами позволяют преобразовать исходное выражение в тождественное равное ему.

Пример 18

Преобразуем выражение 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x ,выполнив все возможные действия с числами.

Решение

Первым делом обратим внимание на степень 2 3 и корень 4 и вычислим их значения: 2 3 = 8 и 4 = 2 2 = 2 .

Подставим полученные значения в исходное выражение и получим: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Теперь проведем действия в скобках: 8 − 1 = 7 . И перейдем к выражению 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Нам осталось выполнить умножение чисел 3 и 7 . Получаем: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Ответ: 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x = 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x)

Действиям с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, таких, например, как группировка чисел или раскрытие скобок.

Пример 19

Возьмем выражение 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .

Решение

Первым делом проведем замену частного в скобках 6: 3 на его значение 2 . Получим: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 .

Раскроем скобки: 3 + 2 · 2 · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 3 + 2 · 2 · x · y 3 · 4 − 2 + 11 .

Сгруппируем числовые множители в произведении, а также слагаемые, являющиеся числами: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 .

Выполним действия в скобках: (3 − 2 + 11) + (2 · 2 · 4) · x · y 3 = 12 + 16 · x · y 3

Ответ: 3 + 2 · (6: 3) · x · (y 3 · 4) − 2 + 11 = 12 + 16 · x · y 3

Если мы работаем с числовыми выражениями, то целью нашей работы будет нахождение значения выражения. Если же мы преобразуем выражения с переменными, то целью наших действий будет упрощение выражения.

Вынесение за скобки общего множителя

В тех случаях, когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то мы можем вынести этот общий множитель за скобки. Для этого нам сначала необходимо представить исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое состоит из исходных слагаемых без общего множителя.

Пример 20

В числовом выражении 2 · 7 + 2 · 3 мы можем вынести общий множитель 2 за скобки и получить тождественно верное выражение вида 2 · (7 + 3) .

Освежить в памяти правил вынесения общего множителя за скобки вы можете в соответствующем разделе нашего ресурса. В материале подробно рассмотрены правила вынесения общего множителя за скобки и приведены многочисленные примеры.

Приведение подобных слагаемых

Теперь перейдем к суммам, которые содержат подобные слагаемые. Тут возможно два варианта: суммы, содержащие одинаковые слагаемые, и суммы, слагаемые которых отличаются числовым коэффициентом. Действия с суммами, содержащими подобные слагаемые, носит название приведения подобных слагаемых. Проводится оно следующим образом: мы выносим общую буквенную часть за скобки и проводим вычисление суммы числовых коэффициентов в скобках.

Пример 21

Рассмотрим выражение 1 + 4 · x − 2 · x . Мы можем вынести буквенную часть x за скобки и получить выражение 1 + x · (4 − 2) . Проведем вычисление значения выражения в скобках и получим сумму вида 1 + x · 2 .

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Пример 22 Пример 23

Рассмотрим выражение 1 + a 5 , в котором степень a 5 мы можем заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a · a 4 . Это нам даст выражение 1 + a · a 4 .

Выполненное преобразование искусственное. Оно имеет смысл лишь при подготовке к проведению других преобразований.

Пример 24

Рассмотрим преобразование суммы 4 · x 3 + 2 · x 2 . Здесь слагаемое 4 · x 3 мы можем представить как произведение 2 · x 2 · 2 · x . В результате исходное выражение принимает вид 2 · x 2 · 2 · x + 2 · x 2 . Теперь мы можем выделить общий множитель 2 · x 2 и вынести его за скобки: 2 · x 2 · (2 · x + 1) .

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения являетс искусственным приемом преобразования выражений.

Пример 25

Рассмотрим выражение x 2 + 2 · x . Мы можем прибавить или отнять от него единицу, что позволит нам в последующем провести еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена: x 2 + 2 · x = x 2 + 2 · x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter