Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур. Если поверхность жидкости не плоская, то стремление её к сокращению приведёт к возникновению давления, дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно, в случае вогнутой поверхности – отрицательно. В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость. Работа преподаватель курса кадровое делопроизводство москва .

Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения α и кривизны поверхности. Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечём сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 5).

Сечение сферической капли жидкости.

Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной:

Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S=πR2 и следовательно, обуславливает дополнительное давление:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы R. Очевидно, что чем меньше R, тем больше кривизна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной, которая может оказаться различной для разных точек поверхности.

Средняя кривизна определяется через кривизну нормальных сечений. Нормальным сечением поверхности в некоторой точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R (R-радиус сферы). Величина H=1/R даёт кривизну сферы. В общем случае различные сечения, проведённые через одну и ту же точку, имеют различную кривизну. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны

H=0,5(1/R1+1/R2) (5)

для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и тоже значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.

Радиусы R1 и R2 в формуле (5) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находиться под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен, если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен.

Для сферы R1=R2=R, так что в соответствии с (5) H=1/R. Заменив в (4) 1/R через H, получим, что

Лаплас доказал, что формула (6) справедлива для поверхности любой формы, если под H понимать среднюю кривизну поверхности в это точке, под которой определяется дополнительное давление. Подставив в (6) выражение (5) для средней кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной поверхностью:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

Она называется формулой Лапласа.

Добавочное давление (7) обуславливает изменение уровня жидкости в капилляре, вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.

Существование краевого угла приводит к тому, что вблизи стенок сосуда наблюдается искривление поверхности жидкости. В капилляре или в узком зазоре между двумя стенками искривленной оказывается вся поверхность. Если жидкость смачивает стенки, поверхность имеет вогнутую форму, если не смачивает – выпуклую (рис. 4). Такого рода изогнутые поверхности жидкости называются менисками.

Если капилляр погрузить одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то под искривлённой поверхностью в капилляре давление будет отличаться от давления по плоской поверхностью в широком сосуде на величину ∆p, определённую формулой (7). В результате при смачивании капилляра уровень жидкости в нём будет выше, чем в сосуде, при несмачивании – ниже.

В этой главе мы изучим явления, происходящие вблизи поверхности раздела между двумя сплошными средами (в действительности, конечно, соприкасающиеся тела разделены узким переходным слоем, который вследствие его весьма малой толщины можно рассматривать как поверхность).

Если поверхность раздела двух сред искривлена, то вблизи нее давления в обеих средах различны. Для определения этой разности давлений (называемой поверхностным давлением) напишем условие термодинамического равновесия обоих тел друг с другом с учетом свойств поверхности их раздела.

Пусть поверхность раздела подвергается бесконечно малому смещению. В каждой точке несмещенной поверхности проведем нормаль к ней. Отрезок нормали, заключенный между ее пересечениями с несмещенной и смещенной поверхностями, обозначим посредством Тогда объем каждого элемента пространства, заключенного между поверхностями, есть где элемент поверхности. Пусть - давления в первой и второй средах и будем считать положительным, если смещение поверхности раздела производится, скажем, в сторону второй среды. Тогда работа, которую надо произвести для описанного изменения объема, равна

Полная работа смещения поверхности получится путем прибавления сюда еще работы, связанной с изменением площади самой этой поверхности. Эта часть работы пропорциональна, как известно, изменению площади поверхности и равна , где а - поверхностное натяжение. Таким образом, полная работа равна

Условие термодинамического равновесия определяется, как известно, обращением в нуль.

Тогда элементы длины на поверхности, проведенные в плоскостях ее главных сечений, получают при бесконечно малом смещении поверхности приращения, равные соответственно надо рассматривать как элементы дуги окружностей с радиусами . Поэтому элемент поверхности будет равен после смещения

т. е. изменится на величину

Отсюда видно, что полное изменение площади поверхности раздела есть

Подставляя полученные выражения в (61,1) и приравнивая нулю, получим условие равновесия в виде

Это условие должно выполняться при произвольном бесконечно малом смещении поверхности, т. е. при произвольном Поэтому необходимо, чтобы стоящее под интегралом в скобках выражение тождественно обращалось в нуль, т. е.

Это и есть формула (формула Лапласа), определяющая поверхностное давление. Мы видим, что если положительны, то . Это значит, что из двух тел давление больше в том, поверхность которого выпукла. Если т. е. поверхность раздела плоская, то давления в обоих телах, как и должно было быть, одинаковы.

Применим формулу (61,3) для исследования механического равновесия соприкасающихся тел. Предположим, что ни на поверхность раздела, ни на сами тела не действуют никакие внешние силы. Тогда вдоль каждого из тел давление постоянно. Имея в виду формулу (61,3), мы можем поэтому написать условие равновесия в виде

(61,4)

Таким образом, сумма обратных радиусов кривизны должна быть постоянной вдоль всей свободной поверхности раздела. Если вся поверхность свободна, то условие (60,4) означает, что поверхность должна иметь шарообразную форму (например, поверхность маленькой капли, влиянием силы тяжести на которую можно пренебречь). Если же поверхность закреплена вдоль какой-нибудь линии (например, у жидкой пленки на твердой рамке), то ее форма является более сложной.

В применении к равновесию тонких пленок жидкости, закрепленных на твердой рамке, в условии (61,4) справа должен стоять нуль. Действительно, сумма должна быть одинаковой вдоль всей свободной поверхности пленки и в то же время на двух своих сторонах она должна иметь противоположный знак, поскольку если одна сторона выпукла, то другая вогнута с теми же радиусами кривизны, которые, однако, должны считаться теперь отрицательными. Отсюда следует, что условие равновесия тонкой пленки есть

Рассмотрим теперь условие равновесия на поверхности тела, находящегося в поле тяжести. Предположим для простоты, что второй средой является просто атмосфера, давление которой на протяжении размеров тела можно считать постоянным. В качестве самого тела рассмотрим несжимаемую жидкость. Тогда имеем , а давление в жидкости равно согласно (координата z отсчитывается вертикально вверх). Таким образом, условие равновесия приобретает вид

(61,6)

Надо, впрочем, отметить, что для определения равновесной формы поверхности жидкости в конкретных случаях обычно бывает удобным пользоваться условием равновесия не в виде (61,6), а непосредственно решая вариационную задачу о минимуме нолной свободной энергии. Внутренняя свободная энергия жидкости зависит только от объема, но не от формы поверхности. От формы зависит, во-первых, поверхностная свободная энергия

и, во-вторых, энергия во внешнем поле (поле тяжести), равная

Таким образом, условие равновесия можно написать в виде

Определение минимума должно производиться при дополнительном условии

(61,8)

выражающем неизменность полного объема жидкости.

Постоянные входят в условия равновесия (61,6-7) только в виде отношения . Это отношение имеет размерность квадрата длины. Длину

называют капиллярной постоянной. Форма поверхности жидкости определяется только этой величиной. Если капиллярная постоянная велика (по сравнению с размерами тела), то при определении формы поверхности можно пренебречь полем тяжести.

Для того чтобы определить из условия (61,4) или (61,6) форму поверхности, надо иметь формулы, определяющие радиусы кривизны по форме поверхности. Эти формулы известны из дифференциальной геометрии, но имеют в общем случае довольно сложный вид. Они значительно упрощаются в том случае, когда форма поверхности лишь слабо отклоняется от плоской. Мы выведем здесь соответствующую приближенную формулу непосредственно, не пользуясь общей формулой дифференциальной геометрии.

Пусть - уравнение поверхности; мы предполагаем, что везде мало, т. е. что поверхность слабо отклоняется от плоскости Как известно, площадь f поверхности определяется интегралом

или приближенно при малых

Определим вариацию

Интегрируя по частям, находим:

Сравнив это выражение с (61,2), получаем:

Это и есть искомая формула, определяющая сумму обратных радиусов кривизны слабо изогнутой поверхности.

При равновесии трех соприкасающихся друг с другом фаз их поверхности раздела устанавливаются таким образом, чтобы была равна нулю равнодействующая трех сил поверхностного натяжения, действующих на общую линию соприкосновения трех сред. Это условие приводит к тому, что поверхности раздела должны пересекаться друг с другом под углами (так называемые краевые углы), определяющимися значениями поверхностного натяжения.

Наконец, остановимся на вопросе о граничных условиях, которые должны соблюдаться на границе двух движущихся жидкостей при учете сил поверхностного натяжения. Если поверхностное натяжение не учитывается, то на границе двух жидкостей имеем:

что выражает равенство сил трения, действующих на поверхности обеих жидкостей. При учете поверхностного натяжения надо написать в правой части этого условия дополнительную силу, определяемую по величине формулой Лапласа и направленную по нормали к поверхности:

Иначе можно написать это уравнение в виде

Условие (61,13), однако, еще не является наиболее общим. Дело в том, что коэффициент поверхностного натяжения а может оказаться не постоянным вдоль поверхности (например, в результате непостоянства температуры). Тогда наряду с нормальной силой (исчезающей в случае плоской поверхности) появляется некоторая дополнительная сила, направленная тангенциально к поверхности. Аналогично тому как при неравномерном давлении появляется объемная сила, равная (на единицу объема) - здесь имеем для тангенциальной силы действующей на единицу площади поверхности раздела, .

Мы пишем здесь градиент со знаком плюс перед ним, а не со знаком минус, как в силе - в связи с тем, что силы поверхностного натяжения стремятся уменьшить площадь поверхности, между тем как силы давления стремятся увеличить объем тела. Прибавляя эту силу к правой стороне равенства (61,13), получим граничное условие

(единичный вектор нормали направлен внутрь первой жидкости). Отметим, что это условие может быть выполнено только у вязкой жидкости. Действительно, у идеальной жидкости тогда левая сторона равенства (61,14) будет представлять собой вектор, направленный по нормали, а правая - вектор, направленный по касательной к поверхности. Но такое равенство невозможно (за исключением, разумеется, тривиального случая, когда эти величины равны нулю каждая в отдельности).

Известно, что поверхность жидкости около стенок сосуда искривляется. Свободная поверхность жидкости, искривлённая около стенок сосуда, называется мениском (рис. 145).

Рассмотрим тонкую жидкую плёнку, толщиной которой можно пренебречь. Стремясь минимизировать свою свободную энергию, плёнка создаёт разность давления с разных сторон. Из-за действия сил поверхностного натяжения в каплях жидкости и внутри мыльных пузырей возникает добавочное давление (плёнка сжимается до тех пор, пока давление внутри пузыря не будет превышать атмосферное на величину добавочного давления плёнки ).

Рис. 146.

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис.146, а ). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление ее к сокращению и приведет к возникновению давления , дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно (рис. 146, б ), в случае вогнутой поверхности – отрицательно (рис. 146, в ). В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость.

Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения и кривизны поверхности .

Рис. 147.

Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 147). Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной:

.

Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности и, следовательно, обусловливает дополнительное давление:

Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы . Очевидно, что чем меньше , тем больше кривизна сферической поверхности.

Избыточное давление внутри мыльного пузыря в два раза больше, так как пленка имеет две поверхности:

Добавочное давление обусловливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капиллярах), вследствие чего называется иногда капиллярным давлением .

Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной , которая может оказаться различной для разных точек поверхности.

Величина дает кривизну сферы. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение:

. (1)

Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке. В этой формуле радиусы – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен (рис.148).

Рис. 148.

Таким образом, неплоская поверхность может иметь среднюю кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы радиусы кривизны были одинаковы по величине и противоположны по знаку.

Например, для сферы центры кривизны в любой точке поверхности совпадают с центром сферы, поэтому и . Для случая поверхности кругового цилиндра радиуса имеем: , и .

Можно доказать, что для поверхности любой формы справедливо соотношение:

Подставив в формулу (2) выражение (1), получим формулу добавочного давления под произвольной поверхностью, называемую формулой Лапласа (рис. 148):

. (3)

Радиусы и в формуле (3) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен.

Пример. Если в жидкости имеется пузырек газа, то поверхность пузырька, стремясь сократиться, будет оказывать на газ дополнительное давление . Найдем радиус пузырька в воде, при котором добавочное давление равно1 aтм . .Коэффициент поверхностного натяжения воды при равен . Следовательно, для получается следующее значение: .

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

С.М. РАЗИНОВА, В.Г. СИДОРОВ

Молекулярная физика определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах

Методические указания к лабораторной работе № 23

Утверждено в качестве методического пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

Куратор РИС Козлов А.С.

Работа рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.

Сидоров В.Г., доц. к.т.н.

Рецензент: доц. Родэ С.В., к.ф.-м.н.

Р-23 Разинова С.М. Молекулярная физика. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах .: методические указания к лабораторной работе № 23/ Разинова С.М., Сидоров В.Г. - М.: ИИЦ МГУДТ, 2004 – 11 стр.

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 23 по теме «Молекулярная физика.Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах» содержит теоретический раздел, посвященный проявлениям сил поверхностного натяжения, механизму возникновения добавочного давления и расчет его величины, явлениям на границе жидкости и твердого тела, а также описание установки и принципа измерений, порядка выполнения работы, контрольные вопросы для допуска и защиты лабораторной работы.

Предназначен для студентов специальностей: 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.

© Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2004

Лабораторня работа № 23.

“ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ПОДНЯТИЯ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ”.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомление с теоретическими основами явления поверхностного натяжения и определение коэффициента поверхностного натяжения.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: измерительный микроскоп, сосуд с водой, два капилляра, штатив с держателем.

Введение

1. Давление под изогнутой поверхностью воды. Формула Лапласа.

Одним из проявлений сил поверхностного натяжения является возникновение добавочного давления под искривленной поверхностью жидкости.

Рассмотрим механизм возникновения этого давления и рассчитаем его величину.

Представим себе изогнутую сферическую поверхность с радиусом кривизны R и центром кривизны в т. О. Выделим на этой поверхности участок, ограниченный круговым контуром c радиусом r (рис. 1). На каждый отрезок контурабудет действовать сила поверхностного натяженияF  i , направленная по касательной к поверхности перпендикулярно отрезку контура .

Добавочное давление создается за счёт составляющей силы F  i , перпендикулярной поверхности сечения радиуса r площадью S= r 2 .

.

Силу F поверхностного натяжения можно выразить из определения коэффициента поверхностного натяжения, как F= = 2 r , тогда

.

Так как cos=r/R , то

Если в формуле (1) подставить вместо радиуса R значение кривизны поверхности H=1/R , то получим:

Лаплас доказал, что формула (2) для поверхности любой формы, если под Н понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой определяется дополнительное давление. В геометрии доказывается, что величина, равная

, (3)

остается постоянной для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений, проведенных через точку произвольной поверхности. Эту величину назвали средней кривизной поверхности в данной точке. Радиусы R 1 и R 2 могут иметь разные знаки в зависимости от того, где лежит центр кривизны: если центр кривизны лежит под поверхностью (рис.2, а), то радиус положителен, составляющие силы поверхностного натяжения направлены вниз и, следовательно, возникающая добавочная сила давления направлена также вниз; если центр кривизны лежит над поверхностью (рис.2, б), то радиус отрицателен, составляющиесилы поверхностного натяжения будут направлены вверх, они и создают силу давления, направленную вверх. В случае плоской поверхности (рис.2,в) добавочное давление отсутствует (у касательной к поверхности силы натяжения нет перпендикулярной к ней составляющей).

Если в формулу (2) подставить (3), то получим:

(4)

Эта формула носит название ФОРМУЛЫ ЛАПЛАСА , она дает возможность рассчитать добавочное давление, возникающее под произвольно изогнутой поверхностью жидкости.

2.Явления на границе жидкости и твердого тела . При соприкосновении жидкости и твердого тела с твердым телом необходимо учитывать как силы взаимодействия между молекулами жидкости, так и силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела. Если силы сцепления жидкости и твердого тела больше сил сцепления частиц жидкости, жидкость называется СМАЧИВАЮЩЕЙ данное твердое тело, если наоборот, то жидкость будет НЕСМАЧИВАЮЩЕЙ это тело. Одно и то же тело может смачиваться одной жидкостью и не смачиваться другой. Например, стекло смачивается водой и не смачивается ртутью.

Посмотрим, как ведет себя смачивающая жидкость около стенок сосуда (рис. 3, а). Рассмотрим сферу молекулярного действия ближайшей к стенке молекулы поверхности жидкости. На эту молекулу будут действовать силы F 1 - со стороны молекул твердого тела и F 2 - со стороны молекул жидкости. Так как для смачивающей жидкости F 1 F 2 , то равнодействующая F будет направлена вглубь жидкости, перпендикулярно ее поверхности, поэтому поверхность жидкости вблизи стенки не горизонтальна, а изгибается вверх. В случае несмачивающей жидкости, по аналогии, поверхность жидкости вблизи стенок изгибается вверх (рис.3, б). Итак, поверхность свободной жидкости вблизи стенок искривляется.

Степень смачиваемости жидкостей характеризуется КРАЕВЫМ УГЛОМ, равным углу между касательными к поверхности жидкости и поверхности твердого тела. В случае смачивания этот угол (рис.3, а) , если, то говорят о полном смачивании жидкостью твердого тела. В случае не смачивания краевой уголтупой:(рис.3, б), если, то говорят о полном несмачивании.

Рисунок 4,а показывает вид капли смачивающей жидкости на горизонтальной поверхности, рисунок 4,б - вид капли жидкости, не смачивающей поверхности.

3. Капиллярность. Если в жидкость погрузить широкую трубу, то в соответствии с рис. 3 поверхность жидкости у стенок искривится. Такого рода изогнутые поверхности носят название менисков.

Если же трубка будет достаточно узкой, то поверхность мениска примет сферическую форму, или ближайшую к ней, при этом радиус кривизны поверхности жидкости будет того же порядка, что и радиус трубки. Образующееся искривление поверхности жидкости вызовет появление добавочного давления, величина которого определяется в самом общем случае формулой (4) Лапласа. Возникшее дополнительное давление в случае смачивания приведет к подъему жидкости в узкой трубке на некоторую высоту (Рис.5, а), а в случае не смачивания - к ее опусканию (Рис.5, б).

Рассмотрим это явление подробно.

Если, например, жидкость в трубке смачивающая, то добавочное давление жидкости под поверхностью мениска будет направлено вверх (рис.2, б), а величина его в соответствии с (1) будет равна

где  - коэффициент поверхностного натяжения, R - радиус кривизны поверхности жидкости (как указывалось выше, поверхность жидкости в узкой трубке можно считать частью сферы радиуса R).

Так как в сосуде, в который опущена трубка, под плоской поверхностью добавочное давление равно нулю, то в трубке жидкость поднимается на такую высоту, при которой гидростатическое давление столба жидкости уравновесит лапласовское добавочное давление р. Гидростатическое давление, создаваемое столбом жидкости высотой h, равно gh, где  - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, тогда условие равновесия примет вид:

Из рисунка (5) видно, что , где - краевой угол смачивания, тогда из формулы (5) можно найти связь между высотой h подъема жидкости по узкой трубки и радиусом трубки r.

Из (6) видно, что высота поднятия в узкой трубке тем больше, чем меньше ее радиус, поэтому поднятие жидкостей особенно заметно в узких трубках. Такие трубки носят название КАПИЛЛЯРОВ , а само явление поднятия или опускания в них жидкостей - КАПИЛЛЯРНОСТЬЮ.

Основываясь на изложенной теории можно экспериментально определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Решим следующую задачу (задача Банаха). Некто носит в кармане две коробки спичек (по 60 спичек каждая) и всякий раз, когда нужна спичка, наугад берет коробку и вынимает спичку. Какова вероятность того, что когда первая коробка будет пуста, во второй все еще останется 20 спичек? Выбор коробки можно рассматривать как независимое испытание, в котором с вероятностью выбирается первая коробка. Всего опытов производитсяn = 60+40=100, и в этих ста опытах первая коробка должна быть выбрана 60 раз. Вероятность этого равна:

.

Из записи видно, что при больших n пользоваться формулой Бернулли затруднительно из-за громоздких вычислений. Существуют специальные приближенные формулы, которые позволяют находить вероятности
, еслиn велико. Одну из таких формул дает следующая теорема.

Теорема 2.1. (Лапласа локальная). Если в схеме Бернулли
, то вероятность того, что событиеA наступит ровноk раз, удовлетворяет при большихn соотношению

где
.

Для удобства вводится в рассмотрение функция
– локальная функция Лапласа, с помощью которой теорему Лапласа можно записать так:

Существуют специальные таблицы функции
, по которым для любого значения:
можно найти соответствующее значение функции. Получены эти таблицы путем разложения функции
в ряд.

Геометрически этот результат означает, что для больших n многоугольник распределения хорошо вписывается в график функции, стоящей в формуле справа (рис. 2.3) и вместо истинного значения вероятности
можно для каждогоk брать значение функции в точкеk .

Рис. 2.3. Локальная функция Лапласа

Вернемся теперь к задаче. Используя формулу (2.1) находим:

,

где значение
определено по таблице .

2.2.2. Интегральная теорема Лапласа

Теорема 2.2 (Лапласа интегральная). Вероятность того, что в схемеn независимых испытаний событие наступит отk 1 доk 2 раз, приближенно равна

P n (k 1
k 2 )
,

– интегральная функция Лапласа, для которой составлены таблицы. ФункцияФ(х) нечетная:Ф(-х)=-Ф(х) иФ (х4)=0,5.

Рассмотрим пока без доказательства еще одно утверждение.

Отклонение относительной частоты от вероятностиp вn независимых испытаниях равно

(

.

Замечание. Обоснование этих фактов будет рассмотрено далее в разделе 7 (подразд. 7.2, 7.3). Теоремы Лапласа иногда называют теоремами Муавра–Лапласа.

Пример 2.3.

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0.5. 1) найти вероятность того, что событие произойдет от 400 до 500 раз, 2) найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение

1) Р 900 (400<k <500)=
=

2)

=

2.3. Формула Пуассона

Если зафиксировать число опытов n , а вероятность появления события в одном опытер изменять, то многоугольник распределения будет иметь различный вид в зависимости от величиныр (рис.2.4). При значенияхp , близких к 1/2, многоугольник почти симметричен и хорошо вписывается в симметричный график функции Лапласа. Поэтому приближенная формула Лапласа дает хорошую точность.

Для малых р (на практике меньших) приближение плохое из-за несимметричности многоугольника распределения. Поэтому возникает задача найти приближенную формулу для вычисления вероятностей
в случае большихn и малых р . Ответ на этот вопрос дает формула Пуассона.

Итак, рассмотрим схему независимых испытаний, в которой n велико (чем больше, тем лучше), ар мало (чем меньше, тем лучше). Обозначимn р =λ . Тогда по формуле Бернулли имеем

.

Последнее равенство верно в силу того, что
(второй замечательный предел). При получении формулы наивероятнейшего числа появления событияk 0 было рассмотрено отношение вероятностей. Из него следует, что

Таким образом, при k много меньшихn имеем рекуррентное соотношение

.

Для k =0 учтем полученный ранее результат:
, тогда

………………

Итак, если в схеме независимых испытаний nвелико, ар мало, то имеет местоформула Пуассона

Р n (к)
, где λ= n р.

Закон Пуассона еще называют законом редких явлений.

Пример 2.4.

Вероятность выпуска бракованной детали равна 0,02. Детали упаковываются в коробки по 100 штук. Какова вероятность того, что а) в коробке нет бракованных деталей, б) в коробке больше двух бракованных деталей?

Решение

a ) Так какn велико, ар мало, имеем ; Р 100 (0)
;

б )Р 100 (k >2)= 1-Р 1-

Таким образом, в схеме независимых испытаний для вычисления вероятности Р n (k ) следует пользоваться формулой Бернулли, еслиn невелико, а еслиn велико, то в зависимости от величиныр используется одна из приближенных формул Лапласа или формула Пуассона.