Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так вот они:

Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса "Алгебра" за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. формула куба суммы: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула куба разности: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула разности квадратов: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. формула суммы кубов: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. формула разности кубов: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы - соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Здесь C n k - биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

C n k = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы - это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Еще одна формула, которая может пригодится - формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы - соответственно для четных и нечетных степеней.

Для четных показателей 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Для нечетных показателей 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на - b .

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a - b 2 = a - b a - b .

Раскроем скобки:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения - быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Замечаем, что выражение в числителе - разность кубов, а в знаменателе - разность квадратов.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Сокращаем и получаем:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное - уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент - выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x - 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

Первая скобка - сумма двух чисел.

Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

A 2 - ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце - куб второго числа. А вот что посередине - запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго - увеличивается - несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее - ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой - нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый - такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму - значит, плюс, разность - значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука - треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

Применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители, быстрого умножения многочленов. Большинство формул сокращенного умножения можно получить из бинома Ньютона - в этом Вы скоро убедитесь.

Формулы для квадратов применяют в вычислениях чаще. Их начинают изучать в школьной программе начиная с 7 класса и до конца обучения формулы для квадратов и кубов школьники должны знать на зубок.

Формулы для кубов не сильно сложные и их нужно знать при сведении многочленов к стандартному виду, для упрощения подъема суммы или разности переменной и числа к кубу.

Формулы обозначены красным получают из предыдущих группировкой подобных слагаемых.

Формулы для четвертого и пятого степени в школьном курсе мало кому пригодятся, однако есть задачи при изучении высшей математики где нужно вычислять коэффициенты при степенях.

Формулы для степени n расписаны через биномиальные коэффициенты с использованием факториалов следующие

Примеры применения формул сокращенного умножения

Пример 1. Вычислить 51^2.

Решение. Если есть калькулятор то без проблем находите

Это я пошутил - с калькулятором мудрые все, без него... (не будем о грустном).

Не имея калькулятора и зная приведенные выше правила квадрат числа находим по правилу

Пример 2. Найти 99^2.

Решение. Применим вторую формулу

Пример 3. Возвести в квадрат выражение
(x+y-3).

Решение. Сумму первых двух слагаемых мысленно считаем одним слагаемым и по второй формуле сокращенного умножения имеем

Пример 4. Найти разность квадратов
11^2-9^2.

Решение. Поскольку числа небольшие то можно просто подставить значения квадратов

Но цель у нас совсем другая - научиться использовать формулы сокращенного умножения для упрощения вычислений. Для этого примера применим третью формулу

Пример 5. Найти разность квадратов
17^2-3^2 .

Решение. На этом примере Вы уже захотите изучить правила чтобы вычисления свести к одной строке

Как видите - ничего удивительного мы не делали.

Пример 6. Упростить выражение
(x-y)^2-(x+y)^2.

Решение. Можно раскладывать квадраты, а позже сгруппировать подобные слагаемые. Однако можно прямо применить разность квадратов

Просто и без длинных решений.

Пример 7. Возвести в куб многочлен
x^3-4.

Решение . Применим 5 формулу сокращенного умножения

Пример 8. Записать в виде разности квадратов или их сумме
а) x^2-8x+7
б) x^2+4x+29

Решение. а) Перегруппируем слагаемые

б) Упрощаем на основе предыдущих рассуждений

Пример 9. Разложить рациональную дробь

Решение. Применим формулу разности квадратов

Составим систему уравнений для определения констант

К утроенному первому уравнению добавим второе. Найденное значение подставляем в первое уравнение

Окончательно разложение примет вид

Разложить рациональную дробь часто необходимо перед интегрированием, чтобы снизить степень знаменателя.

Пример 10. Используя бином Ньютона расписать
выражение (x-a)^7.

Решение. Что такое бином Ньютона Вы вероятно уже знаете. Если нет то ниже приведены биномиальные коэффициенты

Они образуются следующим образом: по краю идут единицы, коэффициенты между ними в нижней строке образуют суммированием соседних верхних. Если ищем разницу в каком-то степени, то знаки в расписании чередуются от плюса к минусу. Таким образом для седьмого порядка получим такой расклад

Внимательно также посмотрите как меняются показатели - для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем слагаемом, соответственно для второй - на единицу растут. В сумме показатели всегда должны быть равны степени разложения (=7 ).

Думаю на основе приведенного выше материала Вы сможете решить задачи на бином Ньютона. Изучайте формулы сокращенного умножения и применяйте везде, где это может упростить вычисления и сэкономит время выполнения задания.

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.