§ 1.7. Механические волны

Распространяющиеся в пространстве колебания вещества или поля называются волной. Колебания вещества порождают упругие волны (частный случай – звук).

Механическая волна – это распространение колебаний частиц среды с течением времени.

Волны в сплошной среде распространяются вследствие взаимодействия между частицами. Если какая-либо частица приходит в колебательное движение, то, вследствие упругой связи, это движение передается соседним частицам, и волна распространяется. При этом сами колеблющиеся частицы не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия .

Продольные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц x совпадает с направлением распространения волны . Продольные волны распространяются в газах, жидкостях и твердых телах.

П
оперечные волны – это такие волны, в которых направление колебаний частиц перпендикулярно направлению распространения волны . Поперечные волны распространяются только в твердых средах.

Волны обладают двоякой периодичностью – во времени и в пространстве . Периодичность во времени означает, что каждая частица среды колеблется около своего положения равновесия, и это движение повторяется с периодом колебаний T. Периодичность в пространстве означает, что колебательное движение частиц среды повторяется через определенные расстояния между ними.

Периодичность волнового процесса в пространстве характеризует величина, называемая длиной волны и обозначаемая .

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна в среде за время одного периода колебаний частицы .

Отсюда
, где- период колебаний частиц,- частота колебаний,- скорость распространения волны, зависящая от свойств среды.

Как записать уравнение волны? Пусть кусочек шнура расположенный в точке О (источник волны) совершает колебания, происходящие по закону косинуса

Пусть точка некоторая В находится на расстоянии х от источника (точки О). для того чтобы волна, распространяющаяся со скоростью v, дошла до нее требуется время
. Это означает, что в точке В колебания начнутся позже на
. То есть. После подстановки в это уравнение выражения для
и ряда математических преобразований, получим

,
. Введем обозначение:
. Тогда. В силу произвольности выбора точки В это уравнение и будет искомым уравнением плоской волны
.

Выражение, стоящее под знаком косинуса называется фазой волны
.

Если две точки находятся на различных расстояниях от источника волны, то фазы их будут различны. Например, фазы точек В и С, находящихся на расстоянияхиот источника волны, будут соответственно равны

Разность фаз колебаний, происходящих в точке В и в точке С обозначим
и она будет равна

В таких случаях говорят, что между колебаниями, происходящими в точках В и С имеется сдвиг по фазе Δφ. Говорят, что колебания в точках В и С происходят в фазе, если
. Если
, то колебания в точках В и С происходят в противофазе. Во всех остальных случаях – просто имеется сдвиг по фазе.

Понятие «длина волны» можно определить и иначе:

Поэтому k называют волновым числом.

Мы ввели обозначение
и показали, что
. Тогда

.

Длина волны – это путь, проходимый волной за один период колебания.

Определим два важных в волновой теории понятия.

Волновая поверхность – это геометрическое место точек среды, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновую поверхность можно провести через любую точку среды, следовательно, их бесконечно много.

Волновые поверхности могут быть любой формы, а в простейшем случае они представляют собой совокупность плоскостей (если источник волн – бесконечная плоскость), параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер (если источник волн точечный).

Фронт волны (волновой фронт) – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени . Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от области, где колебания еще не возникли. Следовательно, волновой фронт – это одна из волновых поверхностей. Он разделяет две области: 1 – до которой дошла волна к моменту времениt, 2 – не дошла.

Волновой фронт в каждый момент времени только один, и он все время перемещается, тогда как волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе).

Плоская волна – это такая волна, у которой волновые поверхности (и фронт волны) являются параллельными плоскостями.

Сферическая волна – это такая волна, у которой волновые поверхности являются концентрическими сферами. Уравнение сферической волны:
.

Каждая точка среды, до которой дошли две или более волн, будет принимать участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. А каким будет результирующее колебание? Это зависит от ряда факторов, в частности от свойств среды. Если свойства среды не изменяются из-за процесса распространения волн, то среда называется линейной. Опыт показывает, что в линейной среде волны распространяются независимо друг от друга. Мы будем рассматривать волны только в линейных средах. А каким будет колебание точки, до которой дошли две волны одновременно? Для ответа на этот вопрос необходимо понять как найти амплитуду и фазу колебания, вызванного этим двойным воздействием. Для определения амплитуды и фазы результирующего колебания необходимо найти смещения, вызванные каждой волной, а затем их сложить. Как? Геометрически!

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Важным понятием волновой теории является понятие когерентность – согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов . Если разность фаз волн, приходящих в точку наблюдения не зависит от времени, то такие волны называются когерентными . Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

Рассмотрим, каким будет результат сложения двух когерентных волн, приходящих в некоторую точку пространства (точку наблюдения) В. Для того, чтобы упростить математические расчеты будем считать, что волны, которые излучаются источникамиS 1 и S 2 имеют одинаковую амплитуду и начальные фазы равные нулю. В точке наблюдения (в точке В) волны, приходящие от источников S 1 и S 2 будут вызывать колебания частиц среды:
и
. Результирующее колебание в точке В найдем как сумму.

Обычно амплитуду и фазу результирующего колебания, возникающего в точке наблюдения, находят с помощью метода векторных диаграмм, представляя каждое колебание в виде вектора, вращающегося с угловой скоростью ω. Длина вектора равна амплитуде колебания. Первоначально этот вектор образует с выбранным направлением угол равный начальной фазе колебаний. Тогда амплитуда результирующего колебания определяется по формуле.

Для нашего случая сложения двух колебаний с амплитудами
,
и фазами
,

.

Следовательно, амплитуда колебаний, возникающих в точке В, зависит от того, какова разность путей
, проходимых каждой волной в отдельности от источника до точки наблюдения (
– разность хода волн, приходящих в точку наблюдения). Интерференционные минимумы или максимумы могут наблюдаться в тех точках, для которых
. А это уравнение гиперболы с фокусами в точкахS 1 и S 2 .

В тех точках пространства, для которых
, амплитуда возникающих колебаний будет максимальна и равна
. Так как
, то амплитуда колебаний будет максимальна в тех точках, для которых.

в тех точках пространства, для которых
, амплитуда возникающих колебаний будет минимальна и равна
.амплитуда колебаний будет минимальна в тех точках, для которых .

Явление перераспределения энергии, возникающее в результате сложения конечного числа когерентных волн, называется интерференцией.

Явление огибания волнами препятствий называется дифракцией.

Иногда дифракцией называют любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики (если размеры препятствий соизмеримы с длиной волны).

Б
лагодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах и т.д. Как объяснить попадание волн в область геометрической тени? Объяснить явление дифракции можно с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, является источником вторичных волн (в однородной среде сферических), а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Вставка из интерференции света посмотреть что может пригодиться

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве.

Волновая поверхность - это геометрическое место точек, в которых колебания совершаются в одинаковой фазе.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых волна доходит к определенному моменту времени t . Фронт волны отделяет часть пространства, вовлеченную в волновой процесс, от той области, где колебания еще не возникли.

Для точечного источника фронт волны представляет собой сферическую поверхность с центром в точке расположения источника S. 1, 2, 3 - волновые поверхности; 1 - фронт волны. Уравнение сферической волны, распространяющейся вдоль луча, исходящего от источника: . Здесь - скорость распространения волны,- длина волны;А - амплитуда колебаний; - круговая (циклическая) частота колебаний;- смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянииr от точечного источника, в момент времени t.

Плоская волна - это волна с плоским волновым фронтом. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси y :
, где x - смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии y от источника, в момент времени t.

В курсе физики 7 класса вы изучали механические колебания. Часто бывает так, что, возникнув в одном месте, колебания распространяются в соседние области пространства. Вспомните, например, распространение колебаний от брошенного в воду камешка или колебания земной коры, распространяющиеся от эпицентра землетрясения. В таких случаях говорят о волновом движении — волнах (рис. 17.1). Из этого параграфа вы узнаете об особенностях волнового движения.

Создаем механические волны

Возьмем довольно длинную веревку, один конец которой прикрепим к вертикальной поверхности, а второй будем двигать вниз-вверх (колебать). Колебания от руки распространятся по веревке, постепенно вовлекая в колебательное движение все более удаленные точки, — по веревке побежит механическая волна (рис. 17.2).

Механической волной называют распространение колебаний в упругой среде*.

Теперь закрепим горизонтально длинную мягкую пружину и нанесем по ее свободному концу серию последовательных ударов — в пружине побежит волна, состоящая из сгущений и разрежений витков пружины (рис. 17.3).

Описанные выше волны можно увидеть, однако большинство механических волн невидимы, например звуковые волны (рис. 17.4).

На первый взгляд, все механические волны абсолютно разные, но причины их возникновения и распространения одинаковы.

Выясняем, как и почему в среде распространяется механическая волна

Любая механическая волна создается колеблющимся телом — источником волны. Осуществляя колебательное движение, источник волны деформирует ближайшие к нему слои среды (сжимает и растягивает их либо смещает). В результате возникают силы упругости, которые действуют на соседние слои среды и заставляют их осуществлять вынужденные колебания. Эти слои, в свою очередь, деформируют следующие слои и заставляют их колебаться. Постепенно, один за другим, все слои среды вовлекаются в колебательное движение — в среде распространяется механическая волна.

Рис. 17.6. В продольной волне слои среды колеблются вдоль направления распространения волны

Различаем поперечные и продольные механические волны

Сравним распространение волны вдоль веревки (см. рис. 17.2) и в пружине (см. рис. 17.3).

Отдельные части веревки движутся (колеблются) перпендикулярно направлению распространения волны (на рис. 17.2 волна распространяется справа налево, а части веревки движутся вниз-вверх). Такие волны называют поперечными (рис. 17.5). При распространении поперечных волн происходит смещение одних слоев среды относительно других. Деформация смещения сопровождается возникновением сил упругости только в твердых телах, поэтому поперечные волны не могут распространяться в жидкостях и газах. Итак, поперечные волны распространяются только в твердых телах.

При распространении волны в пружине витки пружины движутся (колеблются) вдоль направления распространения волны. Такие волны называют продольными (рис. 17.6). Когда распространяется продольная волна, в среде происходят деформации сжатия и растяжения (вдоль направления распространения волны плотность среды то увеличивается, то уменьшается). Такие деформации в любой среде сопровождаются возникновением сил упругости. Поэтому продольные волны распространяются и в твердых телах, и в жидкостях, и в газах.

Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Они имеют сложный продольно-поперечный характер, при этом частицы жидкости движутся по эллипсам. В этом легко убедиться, если бросить в море легкую щепку и понаблюдать за ее движением на поверхности воды.

Выясняем основные свойства волн

1. Колебательное движение от одной точки среды к другой передается не мгновенно, а с некоторым опозданием, поэтому волны распространяются в среде с конечной скоростью.

2. Источник механических волн — колеблющееся тело. При распространении волны колебания частей среды — вынужденные, поэтому частота колебаний каждой части среды равна частоте колебаний источника волны.

3. Механические волны не могут распространяться в вакууме.

4. Волновое движение не сопровождается переносом вещества — части среды всего лишь колеблются относительно положений равновесия.

5. С приходом волны части среды приходят в движение (приобретают кинетическую энергию). Это означает, что при распространении волны происходит перенос энергии.

Перенос энергии без переноса вещества — важнейшее свойство любой волны.

Вспомните распространение волн по поверхности воды (рис. 17.7). Какие наблюдения подтверждают основные свойства волнового движения?

Вспоминаем физические величины, характеризующие колебания

Волна — это распространение колебаний, поэтому физические величины, характеризующие колебания (частота, период, амплитуда), также характеризуют и волну. Итак, вспомним материал 7 класса:

	Физические величины, характеризующие колебания
	Частота колебаний ν	Период колебаний T	Амплитуда колебаний A
Определе	количество колебаний за единицу времени	время одного колебания	максимальное расстояние, на которое отклоняется точка от положения равновесия
Формула для определения
	N — количество колебаний за интервал времени t
Единица в СИ		секунда (с)

Обратите внимание! При распространении механической волны все части среды, в которой распространяется волна, колеблются с одинаковой частотой (ν), которая равна частоте колебаний источника волны, поэтому период

колебаний (T) для всех точек среды тоже одинаков, ведь

А вот амплитуда колебаний постепенно уменьшается с отдалением от источника волны.

Выясняем длину и скорость распространения волны

Вспомните распространение волны вдоль веревки. Пусть конец веревки осуществил одно полное колебание, то есть время распространения волны равно одному периоду (t = T). За это время волна распространилась на некоторое расстояние λ (рис. 17.8, а). Это расстояние называют длиной волны.

Длина волны λ — расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду T:

где v — скорость распространения волны. Единица длины волны в СИ — метр:

Нетрудно заметить, что точки веревки, расположенные друг от друга на расстоянии одной длины волны, колеблются синхронно — имеют одинаковую фазу колебаний (рис. 17.8, б, в). Например, точки A и B веревки одновременно движутся вверх, одновременно достигают гребня волны, затем одновременно начинают двигаться вниз и т. д.

Рис. 17.8. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время одного колебания (это также расстояние между двумя ближайшими гребнями или двумя ближайшими впадинами)

Воспользовавшись формулой λ = vT, можно определить скорость распространения

получим формулу взаимосвязи длины, частоты и скорости распространения волны — формулу волны:

Если волна переходит из одной среды в другую, скорость ее распространения изменяется, а частота остается неизменной, поскольку частота определяется источником волны. Таким образом, согласно формуле v = λν при переходе волны из одной среды в другую длина волны изменяется.

Формула волны

Учимся решать задачи

Задача. Поперечная волна распространяется вдоль шнура со скоростью 3 м/с. На рис. 1 показано положение шнура в некоторый момент времени и направление распространения волны. Считая, что сторона клетки равна 15 см, определите:

1) амплитуду, период, частоту и длину волны;

Анализ физической проблемы, решение

Волна поперечная, поэтому точки шнура колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (смещаются вниз-вверх относительно некоторых положений равновесия).

1) Из рис. 1 видим, что максимальное отклонение от положения равновесия (амплитуда A волны) равно 2 клеткам. Значит, A = 2 15 см = 30см.

Расстояние между гребнем и впадиной — 60 см (4 клетки), соответственно расстояние между двумя ближайшими гребнями (длина волны) вдвое больше. Значит, λ = 2 · 60 см = 120 см = 1,2м.

Частоту ν и период T волны найдем, воспользовавшись формулой волны:

2) Чтобы выяснить направление движения точек шнура, выполним дополнительное построение. Пусть за небольшой интервал времени Δt волна сместилась на некоторое небольшое расстояние. Поскольку волна смещается вправо, а ее форма со временем не изменяется, точки шнура займут положение, показанное на рис. 2 пунктиром.

Волна поперечная, то есть точки шнура движутся перпендикулярно направлению распространения волны. Из рис. 2 видим, что точка K через интервал времени Δt окажется ниже своего начального положения, следовательно, скорость ее движения направлена вниз; точка В переместится выше, следовательно, скорость ее движения направлена вверх; точка С переместится ниже, следовательно, скорость ее движения направлена вниз.

Ответ: A = 30 см; T = 0,4 с; ν = 2,5 Гц; λ = 1,2 м; K и С — вниз, В — вверх.

Подводим итоги

Распространение колебаний в упругой среде называют механической волной. Механическую волну, в которой части среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называют поперечной; волну, в которой части среды колеблются вдоль направления распространения волны, называют продольной.

Волна распространяется в пространстве не мгновенно, а с некоторой скоростью. При распространении волны происходит перенос энергии без переноса вещества. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду, называют длиной волны — это расстояние между двумя ближайшими точками, которые колеблются синхронно (имеют одинаковую фазу колебаний). Длина λ, частота ν и скорость v распространения волны связаны формулой волны: v = λν.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение механической волны. 2. Опишите механизм образования и распространения механической волны. 3. Назовите основные свойства волнового движения. 4. Какие волны называют продольными? поперечными? В каких средах они распространяются? 5. Что такое длина волны? Как ее определяют? 6. Как связаны длина, частота и скорость распространения волны?

Упражнение № 17

1. Определите длину каждой волны на рис. 1.

2. В океане длина волны достигает 270 м, а ее период равен 13,5 с. Определите скорость распространения такой волны.

3. Совпадают ли скорость распространения волны и скорость движения точек среды, в которой распространяется волна?

4. Почему механическая волна не распространяется в вакууме?

5. В результате взрыва, произведенного геологами, в земной коре распространилась волна со скоростью 4,5 км/с. Отраженная от глубоких слоев Земли, волна была зафиксирована на поверхности Земли через 20 с после взрыва. На какой глубине залегает порода, плотность которой резко отличается от плотности земной коры?

6. На рис. 2 изображены две веревки, вдоль которых распространяется поперечная волна. На каждой веревке показано направление колебаний одной из ее точек. Определите направления распространения волн.

7. На рис. 3 изображено положение двух шнуров, вдоль которых распространяется волна, показано направление распространения каждой волны. Для каждого случая а и б определите: 1) амплитуду, период, длину волны; 2) направление, в котором в данный момент времени движутся точки А, В и С шнура; 3) количество колебаний, которые совершает любая точка шнура за 30 с. Считайте, что сторона клетки равна 20 см.

8. Человек, стоящий на берегу моря, определил, что расстояние между соседними гребнями волн равно 15 м. Кроме того, он подсчитал, что за 75 с до берега доходит 16 волновых гребней. Определите скорость распространения волн.

Это материал учебника

Темы кодификатора ЕГЭ: механические волны, длина волны, звук.

Механические волны - это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой среды (твёрдой, жидкой или газообразной).

Наличие у среды упругих свойств является необходимым условием распространения волн: деформация, возникающая в каком-либо месте, благодаря взаимодействию соседних частиц последовательно передаётся от одной точки среды к другой. Различным типам деформаций будут соответствовать разные типы волн.

Продольные и поперечные волны.

Волна называется продольной , если частицы среды колеблются параллельно направлению распространения волны. Продольная волна состоит из чередующихся деформаций растяжения и сжатия. На рис. 1 показана продольная волна, представляющая собой колебания плоских слоёв среды; направление, вдоль которого колеблются слои, совпадает с направлением распространения волны (т. е. перпендикулярно слоям).

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. Поперечная волна вызывается деформациями сдвига одного слоя среды относительно другого. На рис. 2 каждый слой колеблется вдоль самого себя, а волна идёт перпендикулярно слоям.

Продольные волны могут распространяться в твёрдых телах, жидкостях и газах: во всех этих средах возникает упругая реакция на сжатие, в результате которой появятся бегущие друг за другом сжатия и разрежения среды.

Однако жидкости и газы, в отличие от твёрдых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоёв. Поэтому поперечные волны могут распространяться в твёрдых телах, но не внутри жидкостей и газов*.

Важно отметить, что частицы среды при прохождении волны совершают колебания вблизи неизменных положений равновесия, т. е. в среднем остаются на своих местах. Волна, таким образом, осуществляет
перенос энергии, не сопровождающийся переносом вещества .

Наиболее просты для изучения гармонические волны . Они вызываются внешним воздействием на среду, меняющимся по гармоническому закону. При распространении гармонической волны частицы среды совершают гармонические колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия. Гармоническими волнами мы в дальнейшем и ограничимся.

Рассмотрим процесс распространения волны более подробно. Допустим, что некоторая частица среды (частица ) начала совершать колебания с периодом . Действуя на соседнюю частицу она потянет её за собой. Частица в свою очередь, потянет за собой частицу и т. д. Так возникнет волна, в которой все частицы будут совершать колебания с периодом .

Однако частицы имеют массу, т. е. обладают инертностью. На изменение их скорости требуется некоторое время. Следовательно, частица в своём движении будет несколько отставать от частицы , частица будет отставать от частицы и т. д. Когда частица пустя время завершит первое колебание и начнёт второе, своё первое колебание начнёт частица , находящаяся от частицы на некотором расстоянии .

Итак, за время, равное периоду колебаний частиц, возмущение среды распространяется на расстояние . Это расстояние называется длиной волны. Колебания частицы будут идентичны колебаниям частицы колебания следующей частицы будут идентичны колебаниям частицы и т. д. Колебания как бы воспроизводят себя на расстоянии можно назвать пространственным периодом колебаний ; наряду с временным периодом она является важнейшей характеристикой волнового процесса. В продольной волне длина волны равна расстоянию между соседними сжатиями или разрежениями (рис. 1 ). В поперечной - расстоянию между соседними горбами или впадинами (рис. 2 ). Вообще, длина волны равна расстоянию (вдоль направления распространения волны) между двумя ближайшими частицами среды, колеблющимися одинаково (т. е. с разностью фаз, равной ).

Скоростью распространения волны называется отношение длины волны к периоду колебаний частиц среды:

Частотой волны называется частота колебаний частиц:

Отсюда получаем связь скорости волны, длины волны и частоты:

. (1)

Звук.

Звуковыми волнами в широком смысле называются всякие волны, распространяющиеся в упругой среде. В узком смысле звуком называют звуковые волны в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц, воспринимаемые человеческим ухом. Ниже этого диапазона лежит область инфразвука , выше - область ультразвука.

К основным характеристикам звука относятся громкость и высота .
Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления в звуковой волне и измеряется в специальных единицах -децибелах (дБ). Так, громкость 0 дБ является порогом слышимости, 10 дБ - тиканье часов, 50 дБ - обычный разговор, 80 дБ - крик, 130 дБ - верхняя граница слышимости (так называемый болевой порог ).

Тон - это звук, который издаёт тело, совершающее гармонические колебания (например, камертон или струна). Высота тона определяется частотой этих колебаний: чем выше частота, тем выше нам кажется звук. Так, натягивая струну, мы увеличиваем частоту её колебаний и, соответственно, высоту звука.

Скорость звука в разных средах различна: чем более упругой является среда, тем быстрее в ней распространяется звук. В жидкостях скорость звука больше, чем в газах, а в твёрдых телах - больше, чем в жидкостях.
Например, скорость звука в воздухе при равна примерно 340 м/с (её удобно запомнить как "треть километра в секунду")*. В воде звук распространяется со скоростью около 1500 м/с, а в стали - около 5000 м/с.
Заметим, что частота звука от данного источника во всех средах одна и та же: частицы среды совершают вынужденные колебания с частотой источника звука. Согласно формуле (1) заключаем тогда, что при переходе из одной среды в другую наряду со скоростью звука изменяется длина звуковой волны.

С волнами любого происхождения при определённых условиях можно наблюдать четыре ниже перечисленных явления, которые мы рассмотрим на примере звуковых волн в воздухе и волн на поверхности воды.

Отражение волн. Проделаем опыт с генератором тока звуковой частоты, к которому подключён громкоговоритель (динамик), как показано на рис. «а». Мы услышим свистящий звук. На другом конце стола поставим микрофон, соединённый с осциллографом. Поскольку на экране возникает синусоида с малой амплитудой, значит, микрофон воспринимает слабый звук.

Расположим теперь сверху над столом доску, как показано на рис.«б». Поскольку амплитуда на экране осциллографа возросла, значит, звук, доходящий до микрофона, стал громче. Этот и многие другие опыты позволяют утверждать, что механические волны любого происхождения обладают способностью отражаться от границы раздела двух сред.

Преломление волн. Обратимся к рисунку, где изображены волны, набегающие на прибрежную мель (вид сверху). Серо-жёлтым цветом изображён песчаный берег, а голубым – глубокая часть моря. Между ними есть песчаная мель – мелководье.

Волны, бегущие по глубокой воде, распространяются в направлении красной стрелки. В месте набегания на мель волна преломляется, то есть изменяет направление распространения. Поэтому синяя стрелка, указывающая новое направление распространения волны, расположена иначе.

Это и многие другие наблюдения показывают, что механические волны любого происхождения могут преломляться при изменении условий распространения, например, на границе раздела двух сред.

Дифракция волн. В переводе с латинского «дифрактус» означает «разломанный». В физике дифракцией называется отклонение волн от прямолинейного распространения в одной и той же среде, приводящее к огибанию ими препятствий.

Взгляните теперь на другой рисунок волн на поверхности моря (вид с берега). Волны, бегущие к нам издалека, заслоняются большой скалой слева, но при этом частично огибают её. Скала меньших размеров справа и вовсе не является преградой для волн: они полностью её огибают, распространяясь в прежнем направлении.

Опыты показывают, что дифракция наиболее отчётливо проявляется, если длина набегающей волны больше размеров препятствия. Позади него волна распространяется так, как будто препятствия не было.

Интерференция волн. Мы рассмотрели явления, связанные с распространением одной волны: отражение, преломление и дифракцию. Рассмотрим теперь распространение с наложением друг на друга двух или более волн – явление интерференции (от лат. «интер» – взаимно и «ферио» – ударяю). Изучим это явление на опыте.

К генератору тока звуковой частоты присоединим два динамика, соединённые параллельно. Приёмником звука, как и в первом опыте, будет микрофон, подключённый к осциллографу.

Начнём двигать микрофон вправо. Осциллограф покажет, что звук становится то слабее, то сильнее, несмотря на то, что микрофон удаляется от динамиков. Вернём микрофон на среднюю линию между динамиками, а затем будем двигать его влево, снова удаляя от динамиков. Осциллограф вновь покажет нам то ослабление, то усиление звука.

Этот и многие другие опыты показывают, что в пространстве, где распространяются несколько волн, их интерференция может приводить к возникновению чередующихся областей с усилением и ослаблением колебаний.

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Определение 1

Волна – это процесс распространения колебаний в среде.

Различают следующие виды механических волн:

Определение 2

Поперечная волна : частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2 . 6 . 1);

Определение 3

Продольная волна : частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2 . 6 . 2).

Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

Замечание 1

Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е. в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия. При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2 . 6 . 1 . Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

Рисунок 2 . 6 . 2 . Распространение продольной волны по упругому стержню.

Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2 . 6 . 3).

Рисунок 2 . 6 . 3 . Простейшая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m , а пружинки – жесткость k . Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

Замечание 2

Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

Замечание 3

Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.

В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ . Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ .

Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y (x , t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси O X , вдоль которой распространяется волна, и от времени t:

y (x , t) = A cos ω t - x υ = A cos ω t - k x .

В приведенном выражении k = ω υ – так называемое волновое число, а ω = 2 π f является круговой частотой.

Рисунок 2 . 6 . 4 демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени t и t + Δ t . За промежуток времени Δ t волна перемещается вдоль оси O X на расстояние υ Δ t . Подобные волны носят название бегущих волн.

Рисунок 2 . 6 . 4 . «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t + Δ t .

Определение 4

Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси O X , испытывающими колебание в одинаковых фазах.

Расстояние, величина которого есть длина волны λ , волна проходит за период Т. Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ = υ T , где υ является скоростью распространения волны.

С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2 . 6 . 4), при этом значение выражения ω t – k x остается неизменным. Спустя время Δ t точка А переместится по оси O X на некоторое расстояние Δ x = υ Δ t . Таким образом:

ω t - k x = ω (t + ∆ t) - k (x + ∆ x) = c o n s t или ω ∆ t = k ∆ x .

Из указанного выражения следует:

υ = ∆ x ∆ t = ω k или k = 2 π λ = ω υ .

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ .

Определение 5

Волновое число k = 2 π λ – это пространственный аналог круговой частоты ω = - 2 π T .

Сделаем акцент на том, что уравнение y (x , t) = A cos ω t + k x является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси O X , со скоростью υ = - ω k .

Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω . Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

Замечание 4

Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляетсяпоток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T :

Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды ρ (или масса единицы объема) и модульвсестороннего сжатия B (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δ p и относительным изменением объема Δ V V , взятому с обратным знаком):

∆ p = - B ∆ V V .

Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

Пример 1

При температуре 20 ° С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м / с, в различных сортах стали υ ≈ 5 – 6 к м / с.

Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 20 – 30 % и больше.

Рисунок 2 . 6 . 5 . Модель продольных и поперечных волн.

Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится. К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна. Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.

Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x = 0 , а другой – в точке x 1 = L (рисунок 2 . 6 . 6). В струне имеется натяжение T .

Рисунок 2 . 6 . 6 . Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

• y 1 (x , t) = A cos (ω t + k x) – волна, распространяющаяся справа налево;
• y 2 (x , t) = A cos (ω t - k x) – волна, распространяющаяся слева направо.

Точка x = 0 - один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y 1 в результате отражения создает волну y 2 . Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y 1 и y 2 в отдельности. Таким образом:

y = y 1 (x , t) + y 2 (x , t) = (- 2 A sin ω t) sin k x .

Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

Определение 6

Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.

Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце (x = 0) . Чтобы условие было выполнено и на правом конце (x = L) , необходимо чтобы k L = n π , где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

l = n λ n 2 или λ n = 2 l n (n = 1 , 2 , 3 , . . .) .

Набору значений λ n длин волн соответствует набор возможных частот f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

В этой записи υ = T μ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Определение 7

Каждая из частот f n и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f 1 носит название основной частоты, все прочие (f 2 , f 3 , …) называются гармониками.

Рисунок 2 . 6 . 6 иллюстрирует нормальную моду для n = 2 .

Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T ) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f 0 = ω 0 2 π , то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот f n . На рисунке 2 . 6 . 7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

Рисунок 2 . 6 . 7 . Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n ) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рисунок 2 . 6 . 8 . Модель нормальных мод струны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter