Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.
Полезные материалы
Подборки видео и онлайн-курсы
Тригонометрические формулы
Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул
Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
- Необходимая теория для решения задач.
- а) Решите уравнение $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. - а) Решите уравнение $\dfrac{6}{\cos^2 x} - \dfrac{7}{\cos x} + 1 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -3\pi; -\pi \right]$. - Решите уравнение $\sin\sqrt{16 - x^2} = \dfrac12$.
- а) Решите уравнение $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. - а) Решите уравнение $\dfrac{5}{\mathrm{tg}^2 x} - \dfrac{19}{\sin x} + 17 = 0$.
- Решите уравнение $\dfrac{2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x}{\sqrt{\mathrm{ctg}x}} = 0$.
- Решите уравнение $\dfrac{\mathrm{tg}^3x - \mathrm{tg}x}{\sqrt{-\sin x}} = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.- а) Решите уравнение $\cos 2x = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. - а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt3\cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$.
Видеоразборы задач
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{3}; \sqrt{20} \right]$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]$.
а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right)$.
а) Решите уравнение $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac{3\pi}{2} \right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.
а) Решите уравнение $8 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \cos \left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = 9$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[- \dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$.
а) Решите уравнение $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$.
а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{49} \right)^{\sin x} = 7^{2 \sin 2x}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$.
а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.
Подборка заданий прошлых лет
- а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна) - а) Решите уравнение $\sqrt{x^3 - 4x^2 - 10x + 29} = 3 - x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]$. (ЕГЭ-2018. Досрочная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x $.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6} \right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $2 \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3} \right) - \sqrt{3} \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
- а) Решите уравнение $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3} \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6} \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left(\dfrac{\pi}{4} + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{7\pi}{2}; 5\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна) - а) Решите уравнение $2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3} \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)- а) Решите уравнение $2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $x - 3\sqrt{x - 1} + 1 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{3}; \sqrt{20} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{\pi}{2};\ \pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}2;\ \log_2 5 \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 0{,}1;\ 12\sqrt{5} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $0{,}4^{\sin x} + 2{,}5^{\sin x} = 2$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна) - а) Решите уравнение $\log_8 \left(7\sqrt{3} \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна) - а) Решите уравнение $\log_4 \left(2^{2x} - \sqrt{3} \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна) - а) Решите уравнение $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна) - а) Решите уравнение $81^{\cos x} - 12\cdot 9^{\cos x} + 27 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2017, основная волна) - а) Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x + 1} + 2^{5 - x} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ЕГЭ-2017, досрочная волна) - а) Решите уравнение $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt{10};\ \sqrt{99} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2;\ 2{,}5 \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac{3\pi}{2} \right) + 1$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна, резервный день) - а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt{2} \cos \left(\dfrac{3\pi}{2} - x \right)$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна) - а) Решите уравнение $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, основная волна) - а) Решите уравнение $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^{x + 4} + 112 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна) - а) Решите уравнение $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac{3\pi}{2} - x \right) = 0,25$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна) - а) Решите уравнение $\dfrac{13\sin^2 x - 5\sin x}{13\cos x + 12} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2016, досрочная волна) - а) Решите уравнение $\dfrac{\sin2x}{\sin\left(\dfrac{7\pi}{2} - x \right)} = \sqrt{2}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left$. (ЕГЭ-2015, основная волна) - а) Решите уравнение $4 \sin^2 x = \mathrm{tg} x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна) - а) Решите уравнение $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна) - а) Решите уравнение $\cos 2x - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, основная волна) - а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2} \sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна) - а) Решите уравнение $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi;\ \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2015, досрочная волна) - а) Решите уравнение $\mathrm{tg}^2 x + (1 + \sqrt{3}) \mathrm{tg} x + \sqrt{3} = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; \ 4\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна) - а) Решите уравнение $2\sqrt{3} \cos^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) - \sin 2x = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; \ 3\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна) - а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2} \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3\pi; \ -\dfrac{3\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2014, основная волна) - а) Решите уравнение $-\sqrt{2} \sin\left(-\dfrac{5\pi}{2} + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{9\pi}{2}; \ 6\pi\right]$. (ЕГЭ-2014, досрочная волна) - а) Решите уравнение $\sin 2x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; \ -\dfrac{5\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2013, основная волна) - а) Решите уравнение $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -5\pi; \ - \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2012, вторая волна)
Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!
Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.
Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.
1. Уравнение `sin x=a`.
При `|a|>1` не имеет решений.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.
Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.
При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.
Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.
3. Уравнение `tg x=a`
Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.
Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице
Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:
- с помощью преобразовать его до простейшего;
- решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.
Рассмотрим на примерах основные методы решения.
Алгебраический метод.
В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.
Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,
находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Разложение на множители.
Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.
Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Приведение к однородному уравнению
Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:
`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).
Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.
Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.
Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:
`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Переход к половинному углу
Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.
Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Применив описанный выше алгебраический метод, получим:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Введение вспомогательного угла
В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:
`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.
Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Подробнее рассмотрим на следующем примере:
Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:
`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.
Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.
Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`
`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`
`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`
Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!
Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.
а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].
Показать решениеРешение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac{9\pi }4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac{7\pi }3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac{5\pi }3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{5\pi }3, \frac{7\pi }3, \frac{9\pi }4.
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt {tgx}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right] ;
Показать решениеРешение
а) ОДЗ: \begin{cases} tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end{cases}
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end{array}\right.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi {12}+\frac{\pi n}2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right].
x=\frac\pi {12}, x=\frac{5\pi }{12}; x=\pi ; x=\frac{13\pi }{12}; x=\frac{17\pi }{12}.
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) \pi; \frac\pi {12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{13\pi }{12}; \frac{17\pi }{12}.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left(\frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right].
Показать решениеРешение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 9}4=\frac{1\pm3}4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac{2\pi }3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac{11\pi }3, x_2=4\pi , x_3 =\frac{13\pi }3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac{11\pi }3, 4\pi , \frac{13\pi }3.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac{11+5ctg\left(\dfrac{3\pi }2-x\right) }{1+tgx}.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left(-2\pi ; -\frac{3\pi }2\right).
Показать решениеРешение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left(\frac{3\pi }2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.
Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
\frac{\sqrt 2}{2}<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Действительно, \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{5\sqrt 2}{10}<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Заметим также, что \left(\frac{3\sqrt 2}5\right) ^2=\frac{18}{25}<1^2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
arccos 1 0 Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
Так что же делать? Да все просто, переносить все в одну сторону и выносить общий множитель: Ну вот, на множители разложили, ура! Теперь решаем: Первое уравнение имеет корни: А второе: На этом первая часть задачи решена. Теперь нужно отобрать корни:
Промежуток вот такой: Или его еще можно записать вот так: Ну что, давай отбирать корни: Вначале поработаем с первой серией (да и проще она, что уж говорить!)
Так как наш промежуток - целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные, все равно они дадут неотрицательные корни. Возьмем, тогда - многовато, не попадает. Пусть, тогда - снова не попал. Еще одна попытка - , тогда - есть, попал! Первый корень найден! Стреляю еще раз: , тогда - еще раз попал! Ну и еще разок: : - это уже перелет. Так что из первой серии промежутку принадлежат 2 корня: .
Работаем со второй серией (возводим
в степень по правилу):
Недолет! Снова недолет! Опять недолет! Попал!
Перелет! Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни: Вот по такому алгоритму мы и будем решать все другие примеры. Давай вместе потренируемся еще на одном примере. Решение:
Опять пресловутые формулы приведения: Опять не вздумай сокращать! Первое уравнение имеет корни: А второе: Теперь снова поиск корней. Начну со второй серии, мне про нее уже все известно из предыдущего примера! Посмотри и убедись, что корни, принадлежащие промежутку следующие: Теперь первая серия и она попроще: Если - подходит Если - тоже годится Если - уже перелет. Тогда корни будут следующие: Ну что, техника тебе ясна? Решение тригонометрических уравнений уже не кажется таким сложным? Тогда быстренько прорешай следующие задачки самостоятельно, а потом мы с тобой будем решать другие примеры: И снова формула приведения: Первая серия корней: Вторая серия корней: Начинаем отбор для промежутка Ответ:
, . Довольно хитрая группировка на множители (применю формулу синуса двойного угла): тогда или Это общее решение. Теперь надо отбирать корни. Беда в том, что мы не можем сказать точное значение угла, косинус которого равен одной четверти. Поэтому я не могу просто так избавиться от арккосинуса - вот такая досада! Что я могу сделать, так это прикинуть, что так как, то. Составим таблицу: промежуток: Ну что же, путем мучительных поисков мы пришли к неутешительному выводу о том, что наше уравнение имеет один корень на указанном промежутке: \displaystyle arccos\frac{1}{4}-5\pi
Уравнение пугающего вида. Однако решается довольно просто путем применения формулы синуса двойного угла: Сократим на 2: Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым и вынесем общие множители: Ясно, что первое уравнение корней не имеет, а теперь рассмотрим второе: Вообще я собирался чуть позже остановиться на решении таких уравнений, но раз уж подвернулось, то делать нечего, надо решать... Уравнения вида:
Данное уравнение решается делением обеих частей на: Таким образом, наше уравнение имеет единственную серию корней: Нужно найти те из них, которые принадлежат промежутку: . Опять построим табличку, как я делал и ранее: Ответ:
. Уравнения, сводящиеся к виду:
Ну вот, теперь самое время переходить ко второй порции уравнений, тем более, что я уже и так проболтался в чем состоит решение тригонометрических уравнений нового типа. Но не лишним будет повторить, что уравнение вида Решается делением обеих частей на косинус: Пример 1.
Первое - ну совсем простое. Перенесем вправо и применим формулу косинуса двойного угла: Ага! Уравнение вида: . Делю обе части на Делаем отсев корней: Промежуток: Ответ:
Пример 2.
Все тоже довольно тривиально: раскроем скобки справа: Основное тригонометрическое тождество: Синус двойного угла: Окончательно получим: Отсев корней: промежуток. Ответ:
. Ну как тебе техника, не слишком сложна? Я надеюсь, что нет. Сразу можно оговориться: в чистом виде уравнения, которые тут же сводятся к уравнению относительно тангенса, встречаются довольно редко. Как правило, этот переход (деление на косинус) является лишь частью более сложной задачи. Вот тебе пример
, чтобы ты мог поупражняться: Давай сверяться: Уравнение решается сразу же, достаточно поделить обе части на: Отсев корней: Ответ:
. Так или иначе, нам еще предстоит встретиться с уравнениями того вида, которые мы только что разобрали. Однако нам еще рано закругляться: остался еще один «пласт» уравнений, которые мы не разобрали. Итак: Здесь все прозрачно: смотрим пристально на уравнение, максимально его упрощаем, делаем замену, решаем, делаем обратную замену! На словах все очень легко. Давай посмотрим на деле: Пример.
Ну что же, здесь замена сама напрашивается к нам в руки! Тогда наше уравнение превратится вот в такое: Первое уравнение имеет корни: А второе вот такие: Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку Ответ:
. Давай вместе разберем чуть более сложный пример
: Здесь замена сразу не видна, более того, она не очень очевидна. Давай вначале подумаем: а что мы можем сделать? Можем, например, представить А заодно и Тогда мое уравнение примет вид: А теперь внимание, фокус: Давай разделим обе части уравнения на: Внезапно мы с тобой получили квадратное уравнение относительно! Сделаем замену, тогда получим: Уравнение имеет следующие корни: Неприятная вторая серия корней, но ничего не поделаешь! Производим отбор корней на промежутке. Нам также нужно учитывать, что Так как и, то Ответ:
Для закрепления, прежде чем ты сам будешь решать задачи, вот тебе еще упражнение
: Здесь нужно держать ухо востро: у нас появились знаменатели, которые могут быть нулевыми! Поэтому надо быть особо внимательными к корням! Прежде всего, мне нужно преобразовать уравнение так, чтобы я мог сделать подходящую замену. Я не могу придумать сейчас ничего лучше, чем переписать тангенс через синус и косинус: Теперь я перейду от косинуса к синусу по основному тригонометрическому тождеству: И, наконец, приведу все к общему знаменателю: Теперь я могу перейти к уравнению: Но при (то есть при). Теперь все готово для замены: Тогда или Однако обрати внимание, что если, то при этом! Кто от этого страдает? Беда с тангенсом, он не определен, когда косинус равен нулю (происходит деление на ноль). Таким образом, корни уравнения следующие: Теперь производим отсев корней на промежутке: Таким образом, наше уравнение имеет единственный корень на промежутке, и он равен. Видишь: появление знаменателя (также, как и тангенса, приводит к определенным затруднениям с корнями! Тут нужно быть более внимательным!). Ну что же, мы с тобой почти закончили разбор тригонометрических уравнений, осталось совсем немного - самостоятельно решить две задачи. Вот они. Решил? Не очень сложно? Давай сверяться: Подставляем в уравнение: Перепишем все через косинусы, чтобы удобнее было делать замену: Теперь легко сделать замену: Ясно, что - посторонний корень, так как уравнение решений не имеет. Тогда: Ищем нужные нам корни на промежутке
Ответ:
. Тогда или Ответ:
Ну вот, теперь все! Но решение тригонометрических уравнений на этом не заканчивается, за бортом у нас остались самые сложные случаи: когда в уравнениях присутствует иррациональность или разного рода «сложные знаменатели». Как решать подобные задания мы рассмотрим в статье для продвинутого уровня. В дополнение к рассмотренным в предыдущих двух статьях тригонометрическим уравнениям, рассмотрим еще один класс уравнений, которые требуют еще более внимательного анализа. Данные тригонометрические примеры содержат либо иррациональность, либо знаменатель, что делает их анализ более сложным
. Тем не менее ты вполне можешь столкнуться с данными уравнениями в части С экзаменационной работы. Однако нет худа без добра: для таких уравнений уже, как правило, не ставится вопрос о том, какие из его корней принадлежат заданному промежутку. Давай не будем ходить вокруг да около, а сразу тригонометрические примеры. Пример 1.
Решить уравнение и найти те корни, которые принадлежат отрезку. Решение:
У нас появляется знаменатель, который не должен быть равен нулю! Тогда решить данное уравнение - это все равно, что решить систему Решим каждое из уравнений: А теперь второе: Теперь давай посмотрим на серию: Ясно, что нам не подходит вариант, так как при этом у нас обнуляется знаменатель (см. на формулу корней второго уравнения) Если же - то все в порядке, и знаменатель не равен нулю! Тогда корни уравнения следующие: , . Теперь производим отбор корней, принадлежащих промежутку. Тогда корни следующие: Видишь, даже появление небольшой помехи в виде знаменателя существенно отразилось на решении уравнения: мы отбросили серию корней, нулящих знаменатель. Еще сложнее может обстоять дело, если тебе попадутся тригонометрические примеры имеющие иррациональность. Пример 2.
Решите уравнение: Решение:
Ну хотя бы не надо отбирать корни и то хорошо! Давай вначале решим уравнение, не взирая на иррациональность: И что, это все? Нет, увы, так было бы слишком просто! Надо помнить, что под корнем могут стоять только неотрицательные числа. Тогда: Решение этого неравенства: Теперь осталось выяснить, не попала ли ненароком часть корней первого уравнения туда, где не выполяется неравенство. Для этого можно опять воспользоваться таблицей: Таким образом, у меня «выпал» один из корней! Он получается, если положить. Тогда ответ можно записать в следующем виде: Ответ:
Видишь, корень требует еще более пристального внимания! Усложняем: пусть теперь у меня под корнем стоит тригонометрическая функция. Пример 3.
Как и раньше: вначале решим каждое отдельно, а потом подумаем, что же мы наделали. Теперь второе уравнение: Теперь самое сложное - выяснить, не получаются ли отрицательные значения под арифметическим корнем, если мы подставим туда корни из первого уравнения: Число надо понимать как радианы. Так как радиана - это примерно градусов, то радианы - порядка градусов. Это угол второй четверти. Косинус второй четверти имеет какой знак? Минус. А синус? Плюс. Так что можно сказать про выражение: Оно меньше нуля! А значит - не является корнем уравнения. Теперь черед. Сравним это число с нулем. Котангенс - функция убывающая в 1 четверти (чем меньше аргумент, тем больше котангенс). радианы - это примерно градусов. В то же время так как, то, а значит и Ответ:
. Может ли быть еще сложнее? Пожалуйста! Будет труднее, если под корнем по-прежнему тригонометрическая функция, а вторая часть уравнения - снова тригонометрическая функция. Чем больше тригонометрических примеров, тем лучше, смотри дальше: Пример 4.
Корень не годится, ввиду ограниченности косинуса Теперь второе: В то же время по определению корня: Надо вспомнить единичную окружность: а именно те четверти, где синус меньше нуля. Какие это четверти? Третья и четвертая. Тогда нас будут интересовать те решения первого уравнения, которые лежат в третьей или четвертой четверти. Первая серия дает корни, лежащие на пересечении третьей и четвертой четверти. Вторая же серия - ей диаметрально противоположная - и порождает корни, лежащие на границе первой и второй четверти. Поэтому эта серия нам не подходит. Ответ:
, И опять тригонометрические примеры с «трудной иррациональностью»
. Мало того, что у нас снова под корнем тригонометрическая функция, так теперь она еще и в знаменателе! Пример 5.
Ну, ничего не поделаешь - поступаем как и раньше. Теперь работаем со знаменателем: Я не хочу решать тригонометрическое неравенство, а потому поступлю хитро: возьму и подставлю в неравенство мои серии корней: Если - четное, то имеем: так как, то все углы вида лежат в четвертой четверти. И снова сакральный вопрос: каков знак синуса в четвертой четверти? Отрицательный. Тогда неравенство Если же -нечетное, то: В какой четверти лежит угол? Это угол второй четверти. Тогда все углы - снова углы второй четверти. Синус там положительный. Как раз то, что надо! Значит, серия: Подходит! Точно так же разбираемся со второй серией корней: Подставляем в наше неравенство: Если - четное, то Углы первой четверти. Синус там положительный, значит серия подходит. Теперь если - нечетное, то: тоже подходит! Ну вот, теперь записываем ответ! Ответ:
Ну вот, это был, пожалуй, наиболее трудоемкий случай. Теперь я предлагаю тебе задачи
для самостоятельного решения. Решения:
Второе уравнение: Отбор корней, которые принадлежат промежутку
Ответ:
Или Рассмотрим: . Если - четное, то Ответ:
, . Или Вторая часть: В то же время по ОДЗ требуется, чтобы Проверяем найденные в первом уравнении корни: Если знак: Углы первой четверти, где тангенс положительный. Не подходит! Угол четвертой четверти. Там тангенс отрицательный. Подходит. Записываем ответ: Ответ:
, . Мы вместе разобрали в этой статье сложные тригонометрические примеры, но тебе стоит прорешать уравнения самому. Тригонометрическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.
Существует два способа
решения тригонометрических уравнений: Первый способ
- с использованием формул. Второй способ
- через тригонометрическую окружность. Позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.ЗАПОМНИ: НИКОГДА НЕЛЬЗЯ СОКРАЩАТЬ ОБЕ ЧАСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ФУНКЦИЮ, СОДЕРЖАЩУЮ НЕИЗВЕСТНУЮ! ТАКИМ ОБРАЗОМ, ТЫ ТЕРЯЕШЬ КОРНИ!
Пример 2. Уравнение, сводящиеся к разложению на множители с помощью формул приведения
Самостоятельная работа. 3 уравнения.
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие промежутку.
Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.Уравнение 1.
Уравнение 2. Проверка самостоятельной работы.
Уравнение 3. Проверка самостоятельной работы.
Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
Ука-жи-те корни урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие про-ме-жут-ку.Решение тригонометрических уравнений заменой переменной
- подходит
- перебор
Най-ди-те все корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
Ука-жи-те корни этого урав-не-ния, при-над-ле-жа-щие от-рез-ку.
Здесь замена видна сразу:
- подходит!
- подходит!
- подходит!
- подходит!
- много!
- тоже много!
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
- не подходит
- подходит
- подходит
- подходит
перебор
перебор
: , но
Нет!
Да!
Да!
,Тренировка
Первое уравнение:
или
ОДЗ корня:
или
Но
- не подходит!
Если - нечетное, : - подходит!
Значит, наше уравнение имеет такие серии корней:
или
Отбор корней на промежутке:
- не подходит
- подходит
- подходит
- много
- подходит
много
Так как, то при тангенс не определен. Тут же отбрасываем эту серию корней!
Если знак:КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Обязательный минимум знаний
sin x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
или
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, k Z
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
y
y
x
y
x
x Обязательный минимум знаний
cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
y
y
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
x
x Обязательный минимум знаний
tg x = a, a R
x = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Свести уравнение к одной функции
Свести к одному аргументу
Некоторые методы решения
тригонометрических уравнений
Применение тригонометрических формул
Использование формул сокращённого умножения
Разложение на множители
Сведение к квадратному уравнению относительно sin x, cos x, tg x
Введением вспомогательного аргумента
Делением обеих частей однородного уравнения первой степени
(asin x +bcosx = 0) на cos x
Делением обеих частей однородного уравнения второй степени
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) на cos2 x Устные упражнения Вычислите
arcsin ½
arcsin (- √2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arctg √3
arctg (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6
(с помощью тригонометрической окружности)
cos 2x = ½, x [- /2; 3 /2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2 n, n Z
x = ± /6 + n, n Z
Отберём корни с помощью тригонометрической окружности
Ответ: - /6; /6; 5 /6; 7 /6 Различные способы отбора корней
Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку
sin 3x = √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Отберём корни с помощью перебора значений k:
k = 0, x = /9 – принадлежит промежутку
k = 1, x = – /9 + /3 = 2 /9 – принадлежит промежутку
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 – не принадлежит промежутку
k = – 1, x = – /9 – /3 = – 4 /9 – принадлежит промежутку
k = – 2, x = /9 – 2 /3 = – 5 /9 – не принадлежит промежутку
Ответ: -4 /9; /9; 2 /9 Различные способы отбора корней
Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку
(с помощью неравенства)
tg 3x = – 1, x (- /2;)
3x = – /4 + n, n Z
x = – /12 + n/3, n Z
Отберём корни с помощью неравенства:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n = – 1, x = – /12 – /3 = – 5 /12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = – /12 + /3 = /4
n = 2, x = – /12 + 2 /3 = 7 /12
n = 3, x = – /12 + = 11 /12
Ответ: – 5 /12; – /12; /4; 7 /12; 11 /1210. Различные способы отбора корней
Найти корни уравнения, принадлежащие данному промежутку
(с помощью графика)
cos x = – √2/2, x [–4; 5 /4]
x = arccos (– √2/2) + 2 n, n Z
x = 3 /4 + 2 n, n Z
Отберём корни с помощью графика:
x = – /2 – /4 = – 3 /4; x = – – /4 = – 5 /4
Ответ: 5 /4; 3 /411. 1. Решить уравнение 72cosx = 49sin2x и указать его корни на отрезке [; 5/2]
1. Решить уравнение 72cosx = 49sin2x
и указать его корни на отрезке [ ; 5 /2]
Решим уравнение:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cos x (1 – 2sinx) = 0,
cos x = 0 ,
x = /2 + k, k Z
или
1 – 2sinx = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
Проведём отбор корней с помощью
тригонометрической окружности:
x = 2 + /6 = 13 /6
Ответ:
а) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
б) 3 /2; 5 /2; 13 /612. 2. Решить уравнение 4cos2 x + 8 cos (x – 3/2) +1 = 0 Найти его корни на отрезке
2. Решить уравнение 4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
Найти его корни на отрезке
4cos2 x + 8 cos (x – 3 /2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3 /2 – x) +1 = 0,
4cos2x – 8 sin x +1 = 0,
4 – 4sin2 x – 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x – 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = – 2,5
или
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z13. Проведем отбор корней на отрезке (с помощью графиков)
Проведем отбор корней на отрезке
(с помощью графиков)
sin x = ½
Построим графики функций y = sin x и y = ½
x = 4 + /6 = 25 /6
Ответ: а) (-1)k /6 + k, k Z; б) 25 /614. 3. Решить уравнение Найти его корни на отрезке
4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
Если cos2 2x = 0, то sin2 2x = 0, что невозможно, поэтому
cos2 2x 0 и обе части уравнения можно разделить на cos2 2x.
tg22x + 3 – 4 tg 2x = 0,
tg22x – 4 tg 2x + 3= 0,
tg 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
или
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x = ½ arctg 3 + k/2, k Z15.
4 – cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z или x = ½ arctg 3 + k/2, k Z
Так как 0 < arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
является решением
Так как 0 < /8 < /4 < 1,значит /8
также является решением
Другие решения не попадут в
промежуток , так как они
получаются из чисел ½ arctg 3 и /8
прибавлением чисел, кратных /2.
Ответ: а) /8 + n/2, n Z ; ½ arctg 3 + k/2, k Z
б) /8; ½ arctg 316. 4. Решить уравнение log5(cos x – sin 2x + 25) = 2 Найти его корни на отрезке
4. Решить уравнение log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
Найти его корни на отрезке
Решим уравнение:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ОДЗ: cos x – sin 2x + 25 > 0,
cos x – sin 2x + 25 = 25, 25 > 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 – 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
или
1 – 2sinx = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z17.
Проведём отбор корней на отрезке
Проведём отбор корней на отрезке :
1) x = /2 + n, n Z
2 /2 + n 7 /2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 – /6 = 17 /6
Ответ: а) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
б) 13 /6 ; 5 /2; 7 /2; 17 /618. 5. Решить уравнение 1/sin2x + 1/sin x = 2 Найти его корни на отрезке [-5/2; -3/2]
5. Решить уравнение 1/sin2x + 1/sin x = 2
Найти его корни на отрезке [-5 /2; -3 /2]
Решим уравнение:
1/sin2x + 1/sin x = 2
x k
Замена 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/sin x = – 2,
sin x = – ½,
x = – /6 + 2 n, n Z
или
x = – 5 /6 + 2 n, n Z
1/sin x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2 n, n Z
Исключается эта серия корней, т.к. -150º+ 360ºn выходит за пределы
заданного промежутка [-450º; -270º]19.
Продолжим отбор корней на отрезке
Рассмотрим остальные серии корней и проведём отбор корней
на отрезке [-5 /2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x = - /6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2 n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1, n Z
n = -1
n = -1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Ответ: а) /2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1 /6 + k, k Z
б) -13 /6 ; -3 /220. 6. Решить уравнение |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Найти его корни на отрезке [-1; 8]
Решим уравнение
|sin x|/sin x + 2 = 2cos x
1)Если sin x >0, то |sin x| =sin x
Уравнение примет вид:
2 cos x=3,
cos x =1,5 – не имеет корней
2) Если sin x <0, то |sin x| =-sin x
и уравнение примет вид
2cos x=1, cos x = 1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Учитывая, что sin x < 0, то
остаётся одна серия ответа
x = - π/3 +2πk, k Z
Произведём отбор корней на
отрезке [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π < -3, - π/3 < -1,
-π/3 не принадлежит данному
отрезку
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 π/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 не принадлежит данному
отрезку.
Ответ: а) - π/3 +2πk, k Z
б) 5
π/321. 7. Решить уравнение 4sin3x=3cos(x- π/2) Найти его корни на промежутке
8. Решить уравнение √1-sin2x= sin x
Найти его корни на промежутке
Решим уравнение √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1- sin2x = sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sin x≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/225. Проведём отбор корней на отрезке
Проведём отбор корней на отрезке
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
у =sin x и у=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Ответ: а) (-1)k /4 + k, k Z ;б) 11 /426. 9. Решить уравнение (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Найти его корни на промежутке [-5; -7/2]
9. Решить уравнение (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Найти его корни на промежутке [-5 ; -7 /2]
Решим уравнение
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ОДЗ: cos x <0 ,
/2 +2 n
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x+ sin x) =0,
sin x=0, x= n, n Z
или
cos x+ sin х=0 | : cos x,
tg x= -1, x= - /4 + n, n Z
C учётом ОДЗ
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2 n, n Z27. Отберём корни на заданном отрезке
Отберём корни на заданном
отрезке [-5 ; -7 /2]
x= +2 n, n Z ;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n = -3, x= -6 = -5
x= 3 /4 + 2 n, n Z
-5 ≤ 3 /4 + 2 n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, нет такого
целого n.
Ответ: а) +2 n, n Z ;
3 /4 + 2 n, n Z ;
б) -5 .28. 10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1 Найти его корни на промежутке [/2; 3/2]
10. Решить уравнение 2sin2x =4cos x –sinx+1
Найти его корни на промежутке [ /2; 3 /2]
Решим уравнение
2sin2x = 4cos x – sinx+1
2sin2x = 4cos x – sinx+1,
4 sinx∙cos x – 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x – 1) + (sin x – 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
или
4cos x +1= 0, cos x = -0,25
x = ± (-arccos (0,25)) + 2 n, n Z
Запишем корни этого уравнения иначе
x = - arccos(0,25) + 2 n,
x = -(- arccos(0,25)) + 2 n, n Z29. Отберём корни с помощью окружности
x = /2+2 n, n Z, х = /2;
x = -arccos(0,25)+2 n,
х=-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z,
x = - arccos(0,25),
x = + arccos(0,25)
Ответ: а) /2+2 n,
-arccos(0,25)+2 n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
б) /2;
-arccos(0,25); +arccos(0,25)