В представляемом видеоуроке мы подробно рассмотрим вопрос умножения многочлена на какое-либо выражение, отвечающее определению «моном», или одночлен. Мономом может выступать любое свободное числовое значение, представленное натуральным числом (в любой степени, с любым знаком) либо же некая переменная (с подобными атрибутами). При этом стоит помнить, что многочлен представляет собой набор алгебраических элементов, называемых членами полинома. Иногда некоторые члены могут быть приведены с подобностью и сокращены. Настоятельно рекомендуется проводить процедуру приведения подобных слагаемых после операции умножения. Конечным ответом, в таком случае, будет являться стандартизованная форма полинома.
Как следует из нашего видео, процесс умножения одночлена на многочлен можно рассматривать с двух позиций: линейной алгебры и геометрии. Рассмотрим операцию умножения многочлена с каждой стороны - это способствует универсальности применения правил, особенно в случае комплексных задач.
В алгебраическом понимании, умножение полинома на одночлен отвечает стандартному правилу умножения на сумму: каждый элемент суммы должен быть умножен на заданное значение, а полученное значение алгебраически сложено. Стоит понимать, что любой многочлен - это развернутая алгебраическая сумма. После умножения каждого члена полинома на некое значение мы получим новую алгебраическую сумму, которую принято приводить к стандартному виду, если это возможно, конечно.
Рассмотрим умножение многочлена в данном случае:
3а * (2а 2 + 3с - 3)
Легко понять, что тут выражение (2а 2 + 3с - 3) является многочленом, а 3а - свободным множителем. Для решения этого выражения достаточно переумножить каждый из трех членов полинома на 3а:
При этом стоит помнить, что знак является важным атрибутом переменной справа, и его нельзя потерять. Знак «+», как правило, не записывается, если с него начинается выражение. При умножении чисельно-буквенных выражений все коэффициенты при переменных элементарно перемножаются. Одинаковые переменные повышают степень. Разные переменные остаются неизменными, и записываются в одном элементе: а*с = ас. Знание этих простейших правил сложения способствует корректному, и быстрому решению любых подобных упражнений.
Мы получили три значения, которые являются, по сути, членами итогового многочлена, что и есть ответом на пример. Необходимо лишь алгебраически сложить данные значения:
6а 3 + 9ас +(- 9а) = 6а 3 + 9ас - 9а
Скобки раскрываем, сохраняя знаки, так как это алгебраическое сложение, и между мономами по определению стоит знак «плюс». Итоговый стандартный вид многочлена является корректным ответом на представляемый пример.
Геометрический вид умножения многочлена на одночлен представляет собой процесс нахождения площади прямоугольника. Предположим, у нас есть некий прямоугольник со сторонами а и с. Фигура разбита двумя отрезками на три прямоугольника различной площади, так, что сторона с является для всех общей, или одинаковой. А стороны а1, а2 и а3 в сумме дают начальную а. Как известно из аксиоматического определения площади прямоугольника, для нахождения этого параметра необходимо перемножить стороны: S = а*с. Либо же, S = (а1 + а2 + а3) * с. Проведем умножение многочлена (образованного сторонами меньших прямоугольников) на одночлен - главную сторону фигуры, и получим выражение для S: а1*с + а2*с + а3*с. Но если внимательно присмотреться, то можно заметить, что данный многочлен является суммой площадей трех меньших прямоугольников, которые и составляют начальную фигуру. Ведь для первого прямоугольника S = а1с (по аксиоме) и т.д. Алгебраически верность рассуждений при сложении многочлена подтверждается расчетами линейной алгебры. А геометрически - правилами сложения площадей в единой простейшей фигуре.
При проведении манипуляций с умножением многочлена на одночлен следует помнить, что при этом степени монома и полинома (общая) складываются - а полученное значение является степенью нового многочлена (ответа).
Все вышеперечисленные правила вместе с основами алгебраического сложения используются в примерах простейшего упрощения выражений, где проводится приведение подобных слагаемых и умножение элементов для упрощения всего многочлена.
Урок алгебры в 7 -м классе
ЦЕЛИ УРОКА
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ: сформулировать определение умножения одночлена на многочлен; развивать умения и навыки работы с одночленами и многочленами.
РАЗВИВАЮЩИЕ: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ: воспитывать познавательную активность, ответственность; активизировать мыслительную деятельность в процессе выполнения самостоятельной работы.
ОБОРУДОВАНИЕ
Мультимедийный проектор, карточки с дифференцированными заданиями, карточки «Математическое лото», карточки с самостоятельной работой, «Оценочный лист».
ТИП УРОКА
Комбинированный.
СТРУКТУРА УРОКА
Мотивационная беседа.
Проверка домашнего задания. Индивидуальная работа по карточкам.
Актуализация опорных знаний - устная работа в игровой форме, с помощью которой ведется повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
Изучение нового материала - в ходе беседы, учащиеся формулируют правило умножения одночлена на многочлен.
Закрепление изученного материала.
Физпауза.
Самостоятельная работа с самопроверкой.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Итог урока.
ХОД УРОКА
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ Слайд 1,2.
Учитель: Здравствуйте, ребята! Сегодня девизом к нашему уроку будут слова величайшего древнего китайского философа Конфуция: «Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный, путь подражания - это путь самый легкий и путь опыта - это путь самый горький.» Мы с вами пойдем благородным путем. Продолжим учиться размышлять, находить рациональные пути решения и высказывать свои идеи. Желаю вам удачи!
Сегодня на уроке вы оцениваете свою деятельность в «Оценочных листах».
Оценочный лист ученика ______________________________
| Этапы урока | Отметка за работу |
||||
| Домашнее задание | |||||
| Индивидуальная работа по карточке | |||||
| Устная работа «Математическое лото» | |||||
| Изучение нового материала | |||||
| Закрепление. Работа по учебнику | |||||
| Работа в группе №630 | |||||
| Самостоятельная работа | |||||
| Рефлексия |
|||||
| Как ты оцениваешь свое участие в работе? | |||||
| Как ты оцениваешь свои знания по теме? | |||||
| Какие темы тебе надо повторить, чтобы быть успешным? |
|||||
| Умножение степеней с одинаковыми основаниями. | |||||
| Приведение подобных членов многочлена. | |||||
| Умножение одночленов. | |||||
| Раскрытие скобок со знаками «+» и «-» | |||||
1. ПОВТОРЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ «ОДНОЧЛЕНЫ. МНОГОЧЛЕНЫ»
Проверка домашнего задания. (три ученика, на заранее подготовленной доске, воспроизводят решения домашних номеров. После проверки выполнения, учащиеся класса задают дополнительный вопрос, выставляется отметка.)
Индивидуальная работа по карточкам. (Приложение 1)
№ 601. Слайд 3.
2. Устная работа. « Математическое лото».
Учитель: Ребята, вы умеете играть в лото? Работу выполняете в паре. На парте лежит таблица «Математическое лото». Вычеркните правильные ответы. Готовы?
1). Математическое лото.
Вычеркни правильные ответы.
| 10ab + 10b2 - 20b |
Учитель показывает карточки, ученики вычеркивают верные ответы.
2). Упростите выражения.
а 5 ∙ а 4 2 6 ∙ 2 9 5а ∙ 3а -2у ∙ 6х 4 ab ∙ a 2
5 x +(8- x ) 12а - (2 - 6 a ) 2 (a - b ) - a 2 (4 a - 1) 10 b (a + b - 2)
Учитель: Ребята, проверьте, правильно ли справились с этим заданием? Слайд 4.
Какие выражения остались? (Ученики: «одночлены и многочлены»)
Какие действия можно выполнять с многочленами и одночленами? (Ученики: «складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень»).
Прочитайте выражения: 5х + (8 - х); 12 - (2 - 6а) (учитель прикрепляет на доске магнитом)
Какие выражения при упрощении вызвали затруднения? Почему? (Ученики: «2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), не умеем упрощать выражения такого вида»)
Прочитайте эти выражения. (2(а-b), -a2(4a - 1), 10b(a + b - 2), прикреплены на доске магнитом)
Как называются выражения, стоящие перед скобками? (Ученики: «одночлены»)
Как называются выражения в скобках? (Ученики: «многочлены»)
Как вы думаете, чему вы сегодня научитесь на уроке? (Ученики: «умножать одночлен на многочлен»)
Сформулируйте тему урока и запишите ее в тетрадь. (Ученики: «Умножение одночлена на многочлен») Слайд 5.
Как упростить эти выражения? Кто смог умножить одночлен на многочлен? На какие знания вы опирались? (выслушиваю ответы учеников).
Сегодня вы научитесь выполнять еще одно преобразование алгебраических выражений, находить произведение одночлена на многочлен.
3. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА Слайд 6,7.
Учитель: Запишите в тетрадь выражение 7m6(m3 - m2 - 2)=
Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен? (Ученики: «распределительное свойство, умножение степеней с одинаковыми основаниями, умножение положительных и отрицательных чисел»)
Запишите следующее выражение -3а2 (4а3 - а + 1)=
Какие правила надо знать, чтобы умножить одночлен на многочлен?
Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. (Ученики: «Чтобы умножить одночлен на многочлен надо, одночлен умножить на каждый член многочлена»)
Молодцы! Прочитайте в учебнике определение по нашей теме.
4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА (работа с учебником)
Слайд 8.
№ 614 (а,б,в) - ученики на доске с объяснением;
№618 (г) - учитель вместе с учениками;
А) 1-й ряд (1 ученик на доске),
Б) 2-й ряд (1 ученик на доске),
В) 3-ряд (1 ученик на доске);
№ 630 (работа в группе)
Учитель: К вашим партам приклеены кружки, разные по цвету (6 разных цветов по 4 кружка). На них к №630 написаны буквы. Посмотрите, найдите задание в учебнике. Одинаковые буквы на кружках- это члены вашей группы. Выполните задание.
(после окончания работы каждая группа комментирует ответы, проверяем, разбираем ошибки)
Молодцы, успешно справились с данной работой. Не забудьте про «Оценочный лист».
5. ФИЗПАУЗА Слайд 9.
Быстро встали, улыбнулись,
Выше-выше подтянулись.
Ну-ка плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали, сели, встали,
И на месте побежали.
Учится с тобою молодёжь
Развивать и волю, и смекалку.
6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (в двух вариантах, для проверки усвоения нового материала)
Учитель: На ваших партах лежат задания для самостоятельной работы. Выполните предложенное задание.
Вариант 1.
А) _____ (х-у) = 4bx - 4by.
Б) _____ (5a + b) = 10
В) _____(x - 2) = x
Г) ______(c - m + b) = -ayc + aym - ayb.
Вариант 2.
Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстанови его:
А) _____(х-у) = 9ax - 9ay.
Б) _____(2a + b) = 2
В) ______(x - ) = x
Г) _____(x + y - a) = -bcx - bcy + bca.
Учитель: Проверьте правильность выполнения задания. Слайд 10.
8. РЕФЛЕКСИЯ Слайд 11.
Как вы оцениваете свое участие в работе на уроке?
Как вы оцениваете свои знания по новой теме?
Какие темы необходимо повторить, чтобы в дальнейшим быть успешным?
9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Слайд 12.
10. ИТОГ УРОКА.
Ребята, вы сегодня очень хорошо работали на уроке, были активны, помогали друг другу. Сдайте ваши оценочные листы. Карточки с самостоятельной работой. На следующем уроке вы их получите с оценкой учителя.
Всем спасибо! До свидания! Слайд 13.
Приложение 1.
Карточка №1
1. Приведите подобные члены многочлена.
А) 5х + 6у - 3х - 12у = _________________________________________.
Б) 3ab + 7b + 12b - ab = _________________________________________.
B) 3t2 - 5t + 11 - 3t2 + 5t = ________________________________________.
2. Представьте выражение в виде степени.
А) b13 ∙b ∙ b7 = __________________.
Б) (x3)2 ∙ x4 = ___________________ .
Карточка №2
1. Раскройте скобки, используя правило.
А) 6а + (х + 3а - 1)= ______________________________________.
Б) 5у - (2х - а + b)= _____________________________________.
2. Упростите выражение:
а) (х3)2 ∙ х4 =____________________________________.
Б) (а3 ∙ а5)4 = ________________________________________
В) (с6)8: (с7)5 = _______________________________________
Карточка №3
Упростите выражение:
(8c2 + 3c) + (-7c2 - 11c + 3) - (-3c2 - 4) = ____________________________________________________________.
2.Вычислите:
А) 43 ∙ 53 = _______________;
Б) = ___________________.
Карточка №4.
1. Составьте сумму многочленов и приведите к стандартному виду:
А) 12у2 + 8у - 11 и 3у2 - 6у + 3;
Составьте разность многочленов и приведите к стандартному виду:
Б) а2 - 5ab - b2 и a2 + b2.
Упростите:
х15: х5 ∙ х7 = __________________.
Литература
- Алгебра: учебник для 7 класса / Ю. Н. Макарычев [и др.]; под редакцией С. А. Теляковского - М.: Просвещение, 2014
- Дидактические материалы по алгебре для 7 класса / Л. П. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. - М.: Просвещение, 1012
- Поурочные разработки по алгебре. 7 класс/ А. Н. Рурукин, Г. В. Лупенко, И. А. Масленникова. - М.: ВАКО, 2007
- Открытые уроки алгебры. 7-8 классы / Н. Л. Барсукова. - М.: ВАКО, 2013
НР МОБУ «Пойковская средняя общеобразовательная школа №2»
Открытый урок по алгебре в 7 классе
по теме:
«Умножение одночлена на многочлен»
Учителя математики
Лимарь Т. А.
г. п. Пойковский, 2014
Методическая информация
Тип урока
Урок «открытия» нового знания
Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные)
Деятельностная цель урока : формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.
Образовательная цель : расширение понятийной базы по теме «Многочлены» за счет включения в нее новых элементов: умножение одночленов на многочлен.
Задачи урока
образовательные:
Выработать алгоритм умножения одночлена на многочлен, рассмотреть примеры его применения.
развивающие:
Развитие внимания, памяти, умения рассуждать и аргументировать свои действия через решение проблемной задачи;
Развитие познавательного интереса к предмету;
Формирование эмоционально-положительного настроя у учащихся путем применения активных форм ведения урока и применением ИКТ;
Развитие рефлексивных умений через проведение анализа результатов урока и самоанализа собственных достижений.
воспитательные:
Развитие коммуникативных умений обучающихся через организацию групповой, парной и фронтальной работы на уроке.
Используемые методы
Словесные методы (беседа, чтение),
Наглядные (демонстрация презентации),
Проблемно-поисковый,
Метод рефлексивной самоорганизации (деятельностный метод),
Формирование личностных УУД.
Дидактическое обеспечение урока:
Компьютерная презентация,
Карточки с заданиями,
Карточки оценки работы на уроке,
Карточки с практическими заданиями по новой теме.
Этапы урок
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Организационный этап. (1мин)
Цели: актуализация знаний учащихся, определение целей урока, деление класса на группы (разно уровневые), выбор руководителя группы.
Психологический настрой, приветствие учащихся.
Приветствует учеников, называет эпиграф урока. Предлагает занять места по заранее распределенным группам и дает предварительный инструктаж.
Здравствуйте, присаживайтесь. Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого урока в мире математики неопределенности становится меньше. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.
В ходе урока вы будете заполнять оценочный лист, который лежит у вас на столах, после выполнения каждого задания.
Учащиеся рассаживается по заранее разделенным группам. Знакомится с оценочным листом.
Устный счет.
Цель: проверить усвоение теоретического материала по теме: «Умножение одночлена на одночлен. Возведение в степень» и умения применять его на практике, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы.
а) математический диктант.
Привести подобные одночлены.
а) 2х+4у+6х=
б) -4а+в-3а=
в) 3c+2d+5d=
г) -2d +4a-3a =
2. Умножить одночлен на одночлен
а) -2ху 3х
б) (-4ав) (-2в)
г) (-5ав) (2z )
д) 2z (x +y )
Учитель предлагает выполнить математический диктант, записанный на доске. Контролирует правильность выполнение, подводит к изучению нового материала.
Совместно с учащимися формулирует цель и тему урока
- какой из номеров диктанта вызвал у вас наибольшие затруднения?
Давайте попробуем выяснить где именно возникло затруднение и почему?
- Цель нашего урока: научиться выполнять умножение одночлена на многочлен (справедливость вашего решения).
Тема урока: « У множение одночлена на многочлен».
Учащиеся выполняют задания. Совместно с учителем формулирует цель и тему урока. Записывают тему урока тетрадях.
(предполагаемый ответ учащихся д)
Выработать (сформулировать) правило умножения одночлена на многочлен.
Подведение к новой теме
Цель: подготовить учащихся к изучению нового материала.
Работа в группах.
Группа №1.
Вычислить.
15 80+15 20= 1200+300=1500
15 (80+20)=15 100=1500
Группа №2
Вычислить.
20 40+20 100=800+2000=2800
20 (40+100)=20 140=2800
Группа №3.
Вычислить .
6 (2а+3а)=6 5а=30а
6 2а+6 3а=12а+18а=30
Группа № 4
Вычислить
7 (4х+2х)= 7 6х=42
7 4х+7 2х=28х+14х=42х
Учитель проводит инструктаж. Контролирует выполнение.
Каждой группе необходимо найти значение двух выражений. Сравнить их и записать вывод в виде равенства или неравенства.
Учащиеся решают примеры в группах, делают вывод.
1 член от каждой группы пишет вывод на доске.
На доске написано:
15 80+15 20=15 (80+20)
20 40+20 100=20 (40+100)
6 (2а+3а)=6 2а+6 3
7 (4х+2х)=7 4х+7 2х
Учащиеся выставляют себе оценку в оценочный лист. Если вывод сформулирован и записан правильно, то ставят 5.
«Открытие» учащимися нового материала.
Цель:
формирование у учащихся способностей к самостоятельному построению новых способов действия по теме «Умножение одночлена на многочлен» на основе метода рефлексивной самоорганизации.
Выполнение задания «Заполните пропуски»
Слайд 2.
2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙
3х(а+в)= а+ в
Через минуту на доске высвечивается правильное решение.
Учитель дает инструктаж.
Проводит опрос. Делает вывод.
Пользуясь равенствами, записанными на доске, заполните пропуски в следующих выражениях
Обратите внимание, что стоит перед скобкой?
Что стоит в скобках?
Что получается в ответе?
И так, давайте сделаем вывод как умножить одночлен на многочлен. Через три минуты представляют свой материал классу (используется белый лист и фломастеры).
Обобщает
Проверим, правильно ли вы сформулировали правило. Для этого откроем учебник на стр.
Ученики работают в группах, каждая группа обсуждает, как заполнить пропуски.
Проверяют правильность заполнения пропусков.
Каждая группа выдвигает свою гипотезу и представляет классу, проходит общее обсуждение и делается вывод.
Читают вслух правило из учебника.
Одночлен
Многочлен
Новый многочлен
Первичное закрепление.
Цель: отработка навыков умножения одночлена на многочлен, развитие мыслительных навыков учащихся, осознание ценности совместной деятельности, борьба за успех группы, повышение мотивации учебной деятельности.
Работа в группах.
Группа №1, 3
х∙(
m ∙(n +3)=__________________ ; 7a ∙(2b -3c ) = _______________ ;
Группа №2, 4
a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;
m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;
7
Учитель дает инструктаж.
На парте возьмите карточку №2 Обязательное условие - при решении проговаривать друг другу правило.
Выполните взаимопроверку, группа 1 меняется карточками с группой 3, а группа 2 – с группой 4. Выставьте оценки группам в оценочный лист:
5 правильно выполненных задания – оценка «5»; 4 - «4»; 3- «3»; меньше 3- «2».
Выполняют задание на карточках, проводят взаимопроверку.
Ответственный член группы №1 спрашивает любого члена группы №3. Выставляет оценку в оценочный лист.
ответственный член группы №2 спрашивает любого члена группы №4. Выставляет оценку в оценочный лист
6. Математическая зарядка.
Цель: повысить или удержать умственную работоспособность детей на уроках;
обеспечить кратковременный активный отдых для учеников в течение урока.
Учитель проводит инструктаж, показывает карточки, на которых записаны одночлены, многочлены и выражения которые не являются ни одночленами, ни многочленами.
Учащиеся выполняют упражнения по командам
«Одночлен» - руки подняли вверх; «Многочлен» - руки перед собой «Другое выражение» - руки в стороны;
Закрыли глаза, про себя досчитали до 30, открыли глаза.
Математическое лото
Цель: закрепить алгоритм умножения одночлена на многочлен и побудить интерес к математике
Группа№1,3
с(3а-4в)=3ас-12вс;
3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;
4) -n(x-m)=-nx+nm;
5) 3z (x-y )= 3zx-3zy .
Карточки с ответами:
3ас-12вс; 3ас+12вс; 3ас-4в
zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;
3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;
Nx+nm; nx+nm; nx-nm;
3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.
Группа №2, 4
Умножьте одночлен на многочлен
5a(b+3d)=5ab+15ad
А(3в+с)=-3ав-ас;
4x (5c -s )=20cx -4xs ;
a(3c+2b)=3ac +2ba
Карточки с ответами:
3ав-ас; 3ав+ас; в-ас;
20cx -4xs ; 20cx +4xs ; 5c -4xs ;
3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;
cp-5cm; ср-5m; p-5cm.
5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad
Раздает конверты. Рассказывает правила игры. В одном конверте лежат 5 примеров на умножения одночлен на многочлен и 15 карточек с ответами.
Поясняю, как оценивать выполненную работу.
Группа получает оценку «5»,если первой выполнила все задания верно, 4 задания – «4»; 3 задания – «3», меньше трех –«2», та группа, которая завершает игру в лото второй, при этом выполнив все задания, верно получает оценку «4», третья – «3», последняя – «2».
Получают конверты с заданиями.
Выполняют умножение одночлена на одночлен.
Выбирают правильные ответы из всех предложенных карточек.
Самопроверка.
Получают карточку для самопроверки. Выставляют оценку в оценочный лист.
8 . Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).
Цель: самооценка учащимися результатов своей учебной деятельности, осознание метода построения границ и применения нового способа действия.
Фронтальная беседа по вопросы на слайде:
Какой алгоритм умножения одночлена на многочлен существует в математике?
Какой результат вашей деятельности?
Учитель проводит анализ оценочных листов (их результаты видны на слайде)
Возвращается к девизу урока, проводит параллель между эпиграфом и выведенном на уроке алгоритмом.
Сдайте оценочные листы, на которых четко видно результат вашей деятельности.
Еще раз вернемся к девизу нашего урока: «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». Алгоритм который мы вывели сегодня на уроке, поможет в дальнейшем сделать нам новые открытия: умножение многочлена на многочлен, поможет узнать формулы сокращенного умножения, о которых много говорят в алгебре. В переде нас ждет много интересного и важного.
Спасибо за урок!!!
Учащиеся делают самоанализ своей работы, вспоминают алгоритм, изученный на уроке, отвечают на вопросы.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
КАРТОЧКА №1.
Группа №1.
Вычислить.
15 80+15 20= ______________________________
15 (80+20)= _______________________________
КАРТОЧКА №1.
Группа №2
Вычислить.
20 40+20 100 =_________________________________
20 (40+100)= __________________________________
КАРТОЧКА №1.
Группа №3.
Вычислить .
6 (2а+3а)=_____________________________________
6 2а+6 3а=_____________________________________
КАРТОЧКА №1
Группа № 4
Вычислить
7 (4х+2х)= _____________________________________
7 4х+7 2х= _____________________________________
КАРТОЧКА №2.
Группа №3
х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
КАРТОЧКА №4.
Группа №2
7x ∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.КАРТОЧКА №2.
Группа №1
х∙(z +y ) = __________________ ; a ∙(c +d )=___________________ ;
m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
КАРТОЧКА №2.
Группа №2
a ∙(c -y ) = __________________ ; c ∙(c +d )=___________________ ;
m ∙(y +5)=__________________ ; 6m ∙(2n -3k ) = ______________ ;
7x ∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.Математическое лото ( по два экземпляра)
с(3а-4в)
z(x+2y)
3c(x-3y)
-n(x-m)
3z (x-y )
-а(3в+с)
4x (5c -s )
a(3c+2b)
c(p-5m)
5a(b+3d)
Ответы к лото (по два экземпляра)
3ас-12вс
3ас+12вс
3ас-4в
zx+2zy;
zx-2zy
zx+2y
3сх-9су
3cx-3cy
3сх+3су
Nx+nm
nx+nm
nx-nm
zx-zy
3zx-y
3zx-3zy
3ав-ас
3ав+ас;
в-ас
20cx -4xs
20cx +4xs
5c -4xs
3ac+2ba
3ac+6ba
3ac-2ba
cp-5cm
ср-5m
p-5cm.
5ab+ad
5ab+5b
На данном уроке будет изучена операция умножения многочлена на одночлен, являющаяся основой для изучения умножения многочленов. Вспомним распределительный закон умножения и сформулируем правило умножения любого многочлена на одночлен. Также вспомним некоторые свойства степеней. Кроме того, будут сформулированы типовые ошибки при выполнении различных примеров.
Тема: Многочлены. Арифметические операции над одночленами
Урок: Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
Операция умножения многочлена на одночлен является основой для рассмотрения операции умножения многочлена на многочлен и нужно сначала научиться умножать многочлен на одночлен, чтобы разобраться в умножении многочленов.
Основой данной операции является распределительный закон умножения. Напомним его:
По существу, мы видим правило умножения многочлена, в данном случае двучлена, на одночлен и это правило можно сформулировать так: чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Сложить алгебраически полученные произведения, после чего произвести над многочленом необходимые действия - а именно привести его к стандартному виду.
Рассмотрим пример:
Комментарий: данный пример решается, точно следуя правилу: каждый член многочлена умножается на одночлен. Для того, чтобы хорошо понять и усвоить распределительный закон, в данном примере члены многочлена были заменены на х и у соответственно, а одночлен на с, после этого выполнено элементарное действие в соответствии с распределительным законом и выполнена подстановка исходных значений. Следует быть внимательными со знаками и правильно выполнить умножение на минус единицу.
Рассмотрим пример умножения трехчлена на одночлен и убедимся, что оно ничем не отличается от такой же операции с двучленом:
Перейдем к решению примеров:
Комментарий: данный пример решается согласно распределительному закону и аналогично предыдущему примеру - каждый член многочлена умножается на одночлен, полученный многочлен уже записан в стандартном виде, поэтому упростить его нельзя.
Пример 2 - выполнить действия и получить многочлен в стандартном виде:
Комментарий: для решения данного примера сначала произведем умножение для первого и второго двучленов согласно распределительному закону, после этого приведем полученный многочлен к стандартному виду - приведем подобные члены.
Теперь сформулируем основные задачи, связанные с операцией умножения многочлена на одночлен, и приведем примеры их решения.
Задача1 - упростить выражение:
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, а именно вначале производится умножение многочленов на соответствующие одночлены, после этого приведение подобных.
Задача 2 - упростить и вычислить:
Пример 1:;
Комментарий: данный пример решается аналогично предыдущему, с тем лишь дополнением, что после приведения подобных членов нужно вместо переменной подставить ее конкретное значение и вычислить значение многочлена. Напомним, чтобы легко умножить десятичную дробь на десять, нужно переместить запятую на один разряд вправо.
§ 1 Умножение многочлена на одночлен
Когда речь идёт об умножении многочленов, то мы можем иметь дело с операциями двух видов: умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен. На этом занятии мы узнаем, как умножить многочлен на одночлен.
Основным правилом, которое используют при умножении многочлена на одночлен, является распределительное свойство умножения. Вспомним:
Чтобы сумму умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.
Это свойство умножения распространяется и на действие вычитания. В буквенной записи распределительное свойство умножения выглядит так:
(а + b) ∙ с = ас + bc
(а - b) ∙ с = ас - bc
Рассмотрим пример: многочлен (5аb - 3а2) умножить на одночлен 2b.
Введём новые переменные и обозначим 5аb - буквой х, 3а2 - буквой у, 2b - буквой с. Тогда наш пример примет вид:
(5аb - 3а2) ∙ 2b = (х - у) ∙с
Согласно распределительному закону это равно хс - ус. Теперь вернёмся к первоначальному значению новых переменных. Получим:
5аb∙2b - 3а2∙2b
Теперь приведём получившийся многочлен к стандартному виду. Получим выражение:
Таким образом, можно сформулировать правило:
Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.
Это же правило действует и при умножении одночлена на многочлен.
§ 2 Примеры по теме урока
При умножении многочленов на практике во избежание путаницы с определением получающихся знаков рекомендуют сначала определять и сразу записывать знак произведения, а уж потом находить и записывать произведение чисел и переменных. Вот как это выглядит на конкретных примерах.
Пример 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).
Здесь одночлен - 5аb надо умножить на два одночлена, составляющих многочлен, 4а2b и - 2а. Первое произведение будет со знаком «-», а второе - со знаком «+». Поэтому решение будет выглядеть так:
(4а2b - 2а) ∙ (-5аb) = - 4а2b ∙ 5аb + 2а ∙ 5аb = -20а3b2 + 10а2b
Пример 2. -ху(2х - 3у +5).
Здесь нам придётся выполнить три действия умножения, причём знак первого произведения будет «-», знак второго «+», знак третьего «-». Решение выглядит так:
Ху(2х - 3у + 5) = -ху∙2х + ху∙3у - ху∙5 = -2х2у + 3ху2 - 5ху.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
