Учитель математики Саримова Наиля Рахимовна

МБОУ Малобугульминская общеобразовательная средняя школа

Бугульминского района Республики Татарстан

Тема урока: Измерительные работы на местности

(для учащихся 5-7 класса)

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)

Тем, кто хоть раз испытал радостное чувство от решения трудной задачи, познал радость пусть маленького, но открытия, а каждая задача в математике-это проблема, к решению которой человечество шло порою долгие годы, а дети будут, стремятся познавать ещё и ещё и использовать, применять полученные знания в жизни. Это вид работы - поможет учителю увлечь учеников, развивать начала математического и логического мышления, расширить кругозор учащегося, творческую работу, пробудить желание заниматься изучением одной из интереснейших наук. Желание это зависит не только от работы на уроке, но и от практических занятий.

Цель урока : Ознакомить учащихся с методами измерительных работ на местности, ознакомить учащихся такими инструментами, как: рулетка, вешка, отвес, земельный циркуль, экер, рассказать, как ими пользоваться.

Задачи:

- обучающие: научить пользоваться и применять эти инструменты при решении задач методом измерительных работ, совершенствовать навыки самостоятельной работы

-развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, умение составлять план решения и делать выводы, развивать познавательные интересы, навыки самоконтроля.

-воспитательные: воспитывать аккуратность, трудолюбие, усидчивость, стремление доводить начатое дело до конца, чувство взаимопомощи, взаимоподдержки.

Тип урока: урок изучения нового материала

Формы работы учащихся: работа в группах, в парах

При отборе содержания каждого урока по данной теме и форм деятельности учащихся используются принципы: взаимосвязи теории с практикой, научности, наглядности.

учёта возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;

сочетания коллективной и индивидуальной деятельности участников;

дифференцированного подхода;

Критерии оценки достижения ожидаемых результатов:

активность учащихся;

самостоятельность учащихся в выполнении заданий;

практические применения математических знаний;

уровень творческих способностей участников.

Подготовка и проведение таких уроков позволяют в результате:

подключить, пробудить и развить потенциальные способности учащихся;

выявить наиболее активных и способных участников;

воспитывать нравственные качества личности: трудолюбие, упорство в достижении цели, ответственность и самостоятельность.

научить применять математические знания в повседневной практической жизни.

Структура урока

Перед проведением измерительных работ на местности ознакомить учащихся такими инструментами:

Рулетка - инструмент для измерения длины. Представляет собой металлическую или пластмассовую ленту с нанесёнными делениями, которая намотана на катушку, заключённую в корпус, снабжённый специальным механизмом для сматывания ленты. Механизм сматывания может быть одного из двух видов: с возвратной пружиной – тогда лента сматывается при отпускании, а вытравливается из корпуса рулетки с некоторым усилием; с выступающей наружу вращающейся рукояткой, связанной с катушкой ленты, – тогда лента сматывается при вращении рукоятки.

Вешка представляет собой прямой деревянный шест или легкую металлическую трубку длиной 1,5 - 3 м с заостренным концом для вытыкания в грунт. Вешки используются для вешения линий, обозначения точек и установки различных устройств при выполнении геодезических работ. Наиболее простые по конструкции вешки для вешения линий и обозначения точек. Они бывают временными и постоянными. Вехи (вешки) – колья, которые вбивают в землю.

Землемерный циркуль (полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м и шириной 2 м. для измерения расстояния на местности, для учащихся удобнее расстояние между ножками взять 1 метр.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.

Отвес (шнуровой отвес) - приспособление, состоящее из тонкой нити и грузика на конце её, позволяющее судить о правильном вертикальном положении, служащее для вертикальной юстировки поверхностей (стен, простенков, кладки и т. д.) и стоек (столбов и т. д.). Под действием силы тяжести нить принимает постоянное направление (отвесная линия).

Оконечность грузика должна точно находиться на продолжении натянутой нити, для этой цели грузику придают вид опрокинутого конуса, поставленного на цилиндр; в основание цилиндра ввинчивается маленький цилиндрик так, чтобы центры их совпадали; в центральное отверстие последнего пропускается нить с узлом на конце.

Отвес применяется для установки реек в вертикальное положение для вертикальной юстировки при нивелировании неровного положения, в конструкциях мензулы, ватерпаса и в угломерных инструментах для установки центра лимба над точкой местности.

Повторить с учащимися такие понятия-прямая, отрезок, прямоугольник, длина, ширина, высота, объём, план, масштаб, площадь квадрата и прямоугольника, средняя длина шага, периметр, правила округления чисел.

Затем учащимся ставиться задачи:

Провести на земле прямую линию. Измерить длину отрезка на прямой.

Провести на земле участок прямоугольной формы и вычислить его площадь и периметр, округлить ответ до целых.

Определить площадь пришкольного участка. Сделать необходимые измерения и вычисления. Изобразить этот участок на плане, масштаб плана 1:50000. Ответ указать в гектарах.

Определите среднюю длину своего шага и с помощью этого найдите расстояние от школы до ближайшего магазина; ответ округлить до метров.

Класс разбивается на 4 группы, каждый получает набор необходимых инструментов. Каждая группа может выполнять работу, начиная с любого номера. Группы составляют-отчет описание о ходе работы, сдают на проверку. Учитель оценивает правильность хода работы, верность вычислений и эстетику оформления, ставит общую оценку всей группе.

Решение задач по измерению на местности

(примерное описание)

№1. Д ля того чтобы построить отрезок прямой линии на местности, нужно построить три вешки на предполагаемом отрезке.

Чтобы проверить правильность построения прямой, надо стать напротив крайней вешки и поглядеть на нее так, чтобы все вешки слились в одну. Если же хоть одна вешка будет выглядывать, надо её переместить так, чтобы её не было видно.

Измерения длины отрезка на местности выполняют с помощью мерной лентой или земляного циркуля, или рулетки, можно измерить приближённо своим шагом, если известно средняя длина шага.

Земельный циркуль используется для нахождения длины и ширины поля, расстояние между его концами АВ может быть различными, обычно это примерно 1,5м или 2м.

Для того чтобы измерить длину отрезка на земле с его помощью, надо пройти с ним вдоль отрезка, постоянно переворачивая в точке С. Сколько раз поместится его длина АВ, столько надо это число умножить на1,5м или на 2м. Получим длину искомого отрезка.

Например: l= 1,5*10=15(м) или l=2*10=20(м). (Затем можно проверить длину рулеткой).

№2. Чтобы построить на земле прямой угол, используют-экер. Это две взаимно перпендикулярные планки, на концах которых вертикально вбиты гвоздики. Всё это крепится на специальной треноге (штативе), и в центре есть отвес, для того чтобы прибор был строго перпендикулярен к поверхности земли. Нужно ещё две вешки.

В точке О устанавливаем экер, а в точке А и В- вешки. Надо стать в точке О и смотреть на планки экера так, чтобы два противоположных гвоздика на одной планке сливались с вешкой в точке. А и В. Если обе вешки слились, то угол ВОА=90 градусам, т.е. угол прямой. Если нет, то надо перемещать вешки до полного слияния.

Так можно построить на земле прямоугольник, квадрат. Затем можно найти длины их сторон. Вычисляем периметр и площадь. Ответ округляем до целого числа.

Например : а=12м6дм, в=34м8дм; 1) Р=2(126дм+348дм)=2*474дм= 948дм=94м 8дм. Р=95м. 2). S=АВ*ВС, S=126*348(дм) =3848(дм квадрате)=385 м квадрате.

Вычисление у квадрата подобные, только все стороны равны.

№3 . Выполним измерительные пришкольного участка рулеткой или земельным циркулем.

Например: Получим длина 450м, ширина100м. Если масштаб 1:5000, то переведем эти размеры для построения плана.

450м= 45000см;

45000:5000=9(см)- на плане;

100м=10000см-на местности;

10000:5000-2(см) - на плане. Получаем прямоугольник АВСД. S= 450*100м=45000кв м =450а=45га.

№4 Определение средней длины своего шага. Для этого строим на земле отрезок прямой линии. Ученик делает 10 шагов и измеряет длину получившегося отрезка. Затем эту длину делит на 10, проделав это несколько раз складывает получившийся результаты и делит на число попыток.

Например:

Количество попыток	Число шагов	Всего длина	Длина 1 шага
Средняя длина шага

Расстояния от школы до ближайшего магазина каждый член группы определяет с помощью длины своего шага. Затем находят среднюю длину расстояния.

Например:

Участники	Длина шага	Всего шагов	Расстояния

L= (310+293+292):3=895:3=298,3(м)=298м.

Муниципальное образовательное учреждение

«Великодворская основная общеобразовательная школа»

Работу выполнил:

Анфалов Сергей Васильевич, 8

класс

Великодворская ООШ Бабушкинского

Дата рождения: 16.06.1995

Домашний адрес: 161344, Вологодская

область, Бабушкинский р-н, д. Великий

Двор, д.76.

Руководитель:

Беляева Елена Васильевна,

учитель физики и математики

МОУ «Великодворская основная

общеобразовательная школа»

Адрес школы: 161344, Вологодская

область Бабушкинский р-н, д. Великий

д. Великий Двор

2009

ВВЕДЕНИЕ.

В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности, измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Мы учимся пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевать практическими приёмами геометрических измерений и построений. Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают интерес к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической деятельности, увидеть масштаб применения математике в жизни человека. По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов(9 кл.), теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и т. д. В школе мы довольно подробно геометрические построения с помощью циркуля и линейки и решаем много задач. А как решить такие же задачи на местности? Ведь возможно вообразить себе такой огромный циркуль, который мог бы очертить окружность школьного стадиона или линейку для разметки дорожек парка. На практике картографам для составления карт, геодезистам для того, чтобы размечать участки на местности, например, для закладки фундамента дома, приходится использовать специальные методы.

Тема нашего реферата: Измерительные работы на местности .
Цель: изучение некоторых методов решения геометрических задач на местности.

Для реализации поставленной цели мы определили следующие задачи:

● Изучить теоретическую и методическую литературу по данному вопросу.

● Показать взаимосвязь математики и основ безопасности жизнедеятельности.

● Применить на практике теоретические знания.

Объектом моих наблюдений стали:

● Определение высоты предмета.

● Расстояние до недоступной точки.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

Одной из наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой является выполнение на уроках геометрии практических работ, связанных с измерением, построением, изображением. Эти же вопросы рассматриваются и в курсе основ безопасности жизнедеятельности, но все измерения проходят без специальных приборов. Работа проводится как на местности, так и решение задач в классе различными способами на нахождение высоты предмета и определение расстояния до недоступной точки. По программе в курсе геометрии рассматриваются следующие вопросы:
7 класс
● «Провешивание прямой на местности» (п.2).
● «Измерительные инструменты» (п.8).
● «Измерение углов на местности» (п.10).
● «Построение прямых углов на местности» (п.13) ● « Задачи на построение. Окружность» (п.21).
● « Практические способы построения параллельных прямых» (п.26).
● «Уголовный отражатель» (п.36).
● «Расстояние между параллельными прямыми» (п.37 – рейсмус).
● «Построение треугольника по трём элементам» (п.38).
8 класс
● «Практические приложения подобия треугольников» (п.64 – измерение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки).
9 класс
● "Измерительные работы» (п.100 - измерение высоты предмета, определение расстояния до недоступной точки).

Измерительные инструменты, используемые при измерении на местности:

● РУЛЕТКА – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для построения прямых углов на местности.
● ЭКЕР – прибор для измерения прямых углов на местности.
● АСТРОЛЯБИЯ – прибор измерения углов на местности.
● ВЕХИ (ВЕШКИ) – колья, которые вбивают в землю.
● ЗЕМЛЯНОЙ ЦИРКУЛЬ (ПОЛЕВОЙ ЦИРКУЛЬ – САЖЕНЬ) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м. и шириной 2 м. для измерения на местности.

ЭКЕР.

Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них взаимно перпендикулярны.

АСТРОЛЯБИЯ.

Устройство астролябия состоит из двух частей: диска (лимб), разделённого на градусы, и вращающейся вокруг центра линейки (алидады). При измерении угла на местности она наводится на предметы, лежащие на его сторонах. Наведение алидады называется визированием. Для визирования служат диоптры. Это металлические пластинки с прорезами. Диоптров два: один с прорезом в виде узкой щели, другой с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. При визировании к узкому прорезу прикладывается глаз наблюдателя, поэтому диоптр с таким прорезом называется глазным. Диоптр с волоском направляется к предмету, лежащему на стороне измеряемого; он называется предметным. В середине алидады прикреплён к ней компас.

ПОСТРОЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА
МЕСТНОСТИ.

На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность.




ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА.

І. Измерение высоты объекта .

Способы:

1 Измерение высоты столба при помощи плоского зеркала.

Согласно законам отражения (оптика, физика), угол падения солнечного луча равен углу отражения этого луча от зеркала.

∟3 = ∟4, где DK ┴ d, d – горизонтальная плоскость.

С – человек; b – предмет; а – зеркало.

∟ADB=∟FDF, так как углы падения и отражения солнечного луча равны, а ∟1 = ∟2 = 90º-∟3, ∟A = ∟E = 90º, значит, треугольники ABD и EFD подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует AB:AD = FE:DE EF = (AB·DE):AD, где AB – «рост» человека – расстояние от земли до глаз, EF – измеряемая высота, AD и D E – соответственно расстояния от человека, отражённого в зеркале до измеряемого предмета.

2. Измерение высоты предмета при помощи тени.

В М А

СВ – высота телеграфного столба.

МN – рост человека (1,6м.).

АМ – тень человека (3,35м.).

АВ – тень столба (15,3м.).

Человек встаёт в область тени столба так, что тень его макушки головы совпадала с концом тени от столба.

Рассмотрим треугольники АВС и АМN.

∟АВС =∟АМN = 90º. По двум равным

∟ВАС – общий. углам.

Треугольники АВС и АМN подобны.

Можно записать соотношение сторон AB:AM = CB:MN

CB = (AB·MN):AM

СВ = (15,3 · 1,6) : 3,35

СВ = 7,3м.

3. Измерение высоты предмета при помощи вехи.

Используем способ, основанный на измерении тени, отбрасываемой объектом.

● Измерить расстояние от дерева до точки, где заканчивается его тень.

● Взять веху и, наблюдая за её тенью, двигаться обратно к дереву до точки полного перекрытия их теней.

● Установить в этом месте веху, измерить расстояние до неё.

●Из подобия треугольников следует, что длина вехи относится к длине своей тени также как и высота дерева к своей.

● Определяем высоту дерева по формуле:

СЕ:BC = AD:AB, отсюда AD = (CE·AB):BC.

4. Измерение высоты предмета при помощи отсутствии тени.

При отсутствии тени высота вертикальных предметов определяется следующим образом.

Рядом с измеряемым предметом установить вертикально палку известной длины и отойти на 25 – 30 шагов. В вытянутой руке держать перед глазами вертикально карандаш или ровную палочку. Отметить на карандаше высоту вертикальной палки и измерить это расстояние. Мысленно умножить это расстояние на измеренный предмет. Умножив полученное количество раз на длину палки, можно получить искомую величину. На этом опыте мы определили, что высота столба равна 6,89 м.

II. Измерение расстояния до недоступной точки.

Способы:

1. Измерение расстояния до недоступной точки при помощи глазомера.

Отчётливо видны:

● на расстоянии 2 – 3 км – очертания больших деревьев;

● на расстоянии 1 км – стволы деревьев;

● на расстоянии 0,5 км – большие сучья;

● на расстоянии 300 м – можно различить листья на деревьях.

2. Измерение расстояния до недоступной точки с помощью подобия треугольников.

А) Для измерения ширины реки на берегу измеряем расстояние АС, с помощью астролябии устанавливаем угол А = 90˚ (направив на объект В на противоположном берегу), измеряем угол С. На листке бумаги строим подобный треугольник в масштабе 1:1000 и вычисляем АВ (ширину реки).

В 1

А 1 С 1

Запишем отношение сторон АВ: А 1 В 1 = АС: А 1 С 1

АВ = (АС·АВ 1 ) : А 1 С 1

Б) Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и АВ 1 С 1 . Точка А выбрана на берегу реки, В 1 и С у кромки поверхности воды, ВВ 1 – ширина реки.

3. Измерение расстояния до недоступной точки способом «кепки».

Для определения ширины реки (оврага) необходимо встать на берег и надвинуть кепку на лоб так, чтобы из-под козырька был виден только обрез воды на противоположном берегу. Далее не меняя наклона головы и положения кепки, следует повернуть голову вправо (влево), заметить предмет, который находится на том же берегу, что и наблюдатель, и виден из-под края козырька. Расстояние до этого предмета равно ширине реки. На опыте мы определили, что ширина реки равна 6 м.

5. Измерение расстояния до недоступной точки с помощью равенства треугольников.

Один из способов определения расстояния до недоступной точки связан с законами геометрии и основан на равенстве треугольников.

● Встать напротив предмета на противоположном берегу реки.

● Повернувшись на 90˚, пройти вдоль берега 20 метров и поставить веху О.

● В том же направлении пройти ещё столько же.

● Повернувшись на 90˚, идти пока веха О и предмет на противоположном берегу не будут на одной линии.

● Расстояние СЕ равно ширине реки ВD.

ВD равно 5,78 м.

6. Измерение расстояния до недоступной точки способом «травинки».

Наблюдатель стоит в точке А и выбирает на противоположном берегу около воды два неподвижных предмета (ориентира), затем, держа в руке травинку (проволоку), которая закрывает промежуток между ориентирами, складывают её пополам и отходят от реки до тех пор, пока расстояние между ориентирами не уложится в сложенную пополам травинку В. Расстояние от А до В равно ширине реки. АВ равно 5,96 м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В этом реферате рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – измерением высоты предмета, определения расстояния до недоступной точки. Приведённые задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.

Литература

Атанасян Л. С. Геометрия 7-9. – М.: Просвещение, 2003.

Юрченко О. Методы мотивации и стимулирования деятельности учащихся. // Математика в школе, №1, 2005

СD -диск «Школа безопасности».

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Понятие и классификация углов, положительные и отрицательные углы. Измерение углов дугами окружности. Единицы их измерения при использовании градусной и радианной мер. Характеристики углов: между наклонной и плоскостью, двумя плоскостями, двугранного.

реферат , добавлен 18.08.2011


дипломная работа , добавлен 01.12.2007


Выдающийся деятель Средневековья, универсальный ученый-энциклопедист Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль-Беруни в своем труде "Гномоника" подробно останавливается на измерения расстояния на Земле и высоты гор задачах и приводит способы их решения.

реферат , добавлен 25.03.2008


Углы и их измерение, тригонометрические функции острого угла. Свойства и знаки тригонометрических функций. Четные и нечетные функции. Обратные тригонометрические функции. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств с помощью формул.

учебное пособие , добавлен 30.12.2009


Использование разнообразных способов измерения расстояния в странах мира. Характеристика системы мер Древней Руси: вершок, пядь, пуд, аршин, сажень и верста. Разработка метрической системы. Меры площади и длины в Египте, Израиле, Великобритании и США.

презентация , добавлен 17.11.2011


Геометрические понятия точки, луча и угла. Виды углов: развернутые, острые, прямые, тупые, смежные и вертикальные. Способы построения смежных и вертикальных углов. Равенство вертикальных углов. Проверка знаний на уроке геометрии: определение вида углов.

презентация , добавлен 13.03.2010


Понятие числовой прямой. Типы числовых промежутков. Определение координатами положения точки на прямой, на плоскости, в пространстве, система координат. Единицы измерения для осей. Определение расстояния между двумя точками плоскости и в пространстве.




«Наука начинается с тех пор, Как начинают измерять, Точная наука немыслима без измерения». Д. И. Менделеев. Формирование умений и навыков применять признаки подобия треугольников при выполнении измерительных работ на местности. Развивать потребность в познании, умение принимать решение, осуществлять поиск направления и методов решения проблемы. Применять знания в необычных ситуациях. Развиваить умение сотрудничать, работать в группе, развивать чувство ответственности.





Действительно, роль измерений в жизни современного человека очень велика. В популярном энциклопедическом словаре дается определение измерению. Измерения – это действия, производимые с целью нахождения числовых значений, количественной величины в принятых единицах измерения. Измерить величину можно с помощью приборов. В повседневной жизни мы уже не можем обойтись без часов, линейки, измерительной ленты, мерного стакана, термометра, электрического счетчика. Можно сказать, с приборами мы сталкиваемся на каждом шагу.





Организовать исследовательскую работу по измерению недоступных расстояний на местности и определения высоты столба или дерева. Способствовать развитию интеллектуальной активности учащихся. Организовать работу участников проекта с компьютером. Сделать выводы.











1) Постановка проблемы. Определение цели проекта. 2) Распределение на группы (измерение высоты столба, измерение высоты дерева, измерения длинны до недоступной точки.) 2) Планирование времени проекта. 3) Поиск информации по проекту. Выполнение необходимых расчётов при проведении исследования. 4) Создание мини- проектов каждому участнику проекта. В которых входит: -Цель. -Оборудование. - Ожидаемый результат. -Решение задачи. - Вывод. 5) Сделать общий вывод по проекту.









































BA=146 см.- рост человека. ВС=9 см..- расстояние от глаз до головы AD=1 м. DE=5 м. contentURL" src="http://images.myshared.ru/12/1016509/slide_16.jpg" width="800" align="left" alt="." title=".">
















На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии.

В древнейшие времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направления сторон горизонта (это очень важно, так как освещенность в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу). Действовали они так. Втыкали вертикально палку и следили за ее тенью. Когда эта тень становилась кратчайшей, тогда ее конец указывал точное направление на север.

Египетский треугольник

Для измерения площади древние египтяне использовали особый треугольник, у которого были фиксированные длины сторон. Занимались измерениями особые специалисты, которые назывались «натягивателями каната» (гарпедонаптай). Они брали длинную веревку, делили ее на 12 равных частей узелками, а концы веревки связывали. На направлении север – юг они устанавливали два кола на расстоянии четырех частей, отмеченных на веревке. Затем при помощи третьего кола натягивали связанную веревку так, чтобы образовался треугольник, у которого одна сторона имела три части, другая – четыре, а третья пять частей. Получался прямоугольный треугольник, площадь которого принимали за эталон.

Определение недоступных расстояний

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Одной из таких задач – это определение расстояний до кораблей находящихся в море.

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников

Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель – в точке А. Требуется определить расстояние КА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка:

АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.

Второй способ - триангуляции

С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод включает три этапа:

□ Измерить углы α, β и расстояние АВ;

□ Построить треугольник А1 В1К1 с углами α и β при вершинах А1 и В1 соответственно;

□ Учитывая подобие треугольников АВК и А1 В1К1 и равенство

АК: АВ = А1К1: А1 В1, по известным длинам отрезков АВ, А1К1 и, А1 В1 нетрудно найти длину отрезка АК.

Прием, которым пользовались в русской военной инструкции начала XVII в.

Задача. Найти расстояние от точки А до точки В.

В точке А нужно выбрать жезл примерно в человека. Верхний конец жезла следует совместить с вершиной прямого угла угольника так, чтобы продолжение одного из катетов проходило через точку В. Далее нужно отметить точку С пересечения продолжения другого катета с землей. Тогда, воспользовавшись пропорцией

АВ: АD = АD: АС, легко вычислить длину АВ; АВ = АD2 / АС. Для того, чтобы упростить расчеты и измерения, рекомендуется разделить жезл на 100 или 1000 равных частей.

Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета.

Огромный вклад в развитие прикладной геометрии внес крупнейший китайский математик III века Лю Хуэй. Ему принадлежит трактат «Математика морского острова», в котором приведены решения различных задач на определение расстояний до предметов, расположенных на отдаленном острове, и вычисление недоступных высот. Эти задачи довольно сложны. Но они имеют практическую ценность, поэтому получили широкое применение не только в Китае, но и за ее пределами.

Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана на расстоянии 1000 бу. Основания обоих шестов находятся на одной прямой с островом. Если отойти по прямой от первого шеста на 123 бу, то глаз человека лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Такая же картина получится, если отойти от второго шеста на 127 бу.

Какова высота острова?

В привычных для нас обозначениях решение данной задачи, основанное на свойствах подобия.

Пусть EF = КD = 3 чжана = 5 бу, ЕD = 1000бу, ЕМ = 123 бу, СD = 127 бу.

Определить АВ и АЕ.

Треугольники АВМ и ЕFМ, АВС и DКС подобны. Следовательно, ЕF:АВ = ЕМ:АМ и КD:АВ = DС:АС. Получим: ЕМ:АМ = DС:АС, или ЕМ: (АЕ + ЕМ) = СD: (АЕ + ЕD + DС). В результате найдем АЕ = 123·1000: (127 – 123) = 30750 (бу). Подобны и треугольники А1ВF и ЕFМ, а АВ = А1В + А1А. Отсюда АВ = 5·1000(127 – 123) + 5 = 1255 (бу)

Как найти высоту острова?

□ Высоту шеста умножь на расстояние между шестами – это делимое.

□ Разность между отступлениями будет делителем, раздели на нее.

□ Что получится, прибавь высоту шеста.

□ Получим высоту острова.

Рецепт, который предлагал Лю Хуэй.

Расстояние до недоступной точки.

❖ Отступление от предыдущего шеста умножить на расстояние между шестами – это делимое.

❖ Разность между отходами будет делителем, раздели на нее.

❖ Получим расстояние, на которое остров отдален от шеста.

Прикладная геометрия была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом геометрия сопровождало человечество на протяжении всей истории его существования. Решение отдельных старинных задач прикладного характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания и сегодня.