Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды - осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

Тема: Движение

Урок: Движение. Свойства движения

Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок .

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M 1 и N 1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 , и наоборот, в каждую точку Q 1 отрезка M 1 N 1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р 1 " плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M 1 N 1 , MР = M 1 Р 1 ", РN = Р 1 "N 1 . Из этих равенств следует, что M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MР + РN = MN = M 1 N 1 , то есть, точка Р 1 " принадлежит отрезку M 1 N 1 и совпадает с точкой P 1 , в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 > M 1 N 1 . То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р 1 отрезка M 1 N 1 . Вторая часть теоремы (касательно точки Q 1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О 1 , а точки А и В - соответственно в точки А 1 и В 1 .

Рассмотрим треугольники АОВ и А 1 О 1 В 1 . По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А 1 , О 1 и В 1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин АО = А 1 О 1 , ОВ = О 1 В 1 и АВ = А 1 В 1 . Таким образом, АОВ = А 1 О 1 В 1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О 1 .

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения - параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М 1 той же плоскости, чтобы (Рис. 3).

Докажем, что параллельный перенос является движением .

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М 1 , а точка N - в точку N 1 . При этом выполнены условия параллельного переноса: и . Рассмотрим четырехугольник

ММ 1 N 1 N. У него две противоположные стороны (MM 1 и NN 1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M 1 N 1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол - в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. - М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7-11 кл. общеобр. учрежд. - М.: Просвещение, 1995.

1. Российский общеобразовательный портал ().

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Движения плоскости и их свойства. Примеры движений. Классификация движений. Группа движений. Применение движений к решению задач

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Движение – это биективное преобразование φ плоскости π, при котором для любых различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY  φ(X)φ(Y).

Свойства движений:

1.Композиция φ ◦ ψ двух движений ψ , φ является движением.

Док-во: Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F ’, а фигура F ’ переводится движением φ в фигуру F ’’. Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X ’ фигуры F ’ , а при втором движении точка X ’ фигуры F ’ переходит в точку X ’’ фигуры F ’’. Тогда преобразование фигуры F в фигуру F ’’, при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X ’’ фигуры F ’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

Запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом композиции является конечный образ – он и ставится в соответствие исходному: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Если φ – движение, то преобразование φ -1 также является движением.

Док-во: Пусть преобразование фигуры F в фигуру F ’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F ’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X ’ фигуры F ’.

Преобразование фигуры F ’ в фигуру F , при котором точка X ’ переходит в точку X , называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ -1 .

Т.о., преобразование, обратное движению, также является движением.

Очевидно, что преобразование φ -1 удовлетворяет равенствам: f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , где ε – тождественное отображение.

3. Ассоциативность композиций: Пусть φ 1 , φ 2 , φ 3 – произвольные движения. Тогда φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет определить степень φ с натуральным показателем n .

Положим φ 1 = φ и φ n +1 = φ n ◦ φ , если n ≥ 1 . Таким образом, движение φ n получается путём n -кратного последовательного применения движения φ .

4. Сохранение прямолинейности: Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Это значит, что если точки A , B , C , лежащие на одной прямой (такие точки называют коллинеарными), переходят в точки A 1 , B 1 , C 1 , то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C , то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Док-во. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C . Докажем, что точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой.

Если точки A 1 , B 1 , C 1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника A 1 B 1 C 1 . Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 .

По определению движения следует, что AC < AB + BC .

Однако по свойству измерения отрезков AC = AB + BC .

Мы пришли к противоречию. Значит, точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 , и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB + AC = BC . Но это противоречит равенству AB + BC = AC .

Т.о., точка A 1 нележит между точками B 1 , и C 1 .

Аналогично доказывается, что точка C 1 не можетлежать между точками A 1 и B 1 . Т.к. из трёх точек A 1 , B 1 , C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

Следствие . При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник.

Если через Х обозначить множество точек плоскости, а через φ(Х) - образ множества Х при движении φ, т.е. множество всех точек вида φ(х), где х є Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Пусть φ – движение, А, В, С – три различные коллинеарные точки.

Тогда точки φ(А), φ(В), φ(С) также коллинеарны.

Если l – прямая, то φ(l) также прямая.

Если множество Х является лучом (отрезком, полуплоскостью), то множество φ(Х) также является лучом (отрезком, полуплоскостью).

5. При движении сохраняются углы между лучами.

Док-во. Пусть AB и AC – два луча, исходящие, из точки A , не лежащие на одной прямой. При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые (лучи) A 1 B 1 и A 1 C 1 . Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны).Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

6. Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей и одинаковую ориентированность флагов.

Лучи l А и l В называются сонаправленными (одинаково ориентированными, обозначение: l А l В ), если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом. Флаг F = (π l , l o) – это объединение полуплоскости π l и луча l o .

Точка О – начало флага, луч l o с началом в точке О – древко флага, π l – полуплоскость с границей l .

Док-во. Пусть φ – произвольное движение, l А l В –сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введём обозначения: l А1 = φ (l А ), А 1 = φ (А ), l В1 = φ (l В ), В 1 = φ (А ).Если лучи l А и l В лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что l А  l В , получаем φ (l А )  φ (l В ), т.е. l А1 l В1 (символом  обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов).Если же l А, l В лежат на разных прямых, то пусть n = (AB ).Тогда существует такая полуплоскость π n , что l А, l В  π n . Отсюда φ (l А ),φ (l В ) φ (π n ). Поскольку φ (π n ) – полуплоскость, причем ее граница содержит точки А 1 и В 1 , мы опять получаем, что l А, l В сонаправлены.

Применим теперь движение φ к одинаково ориентированным флагам F = (π l ,l А ), G = (π m ,m B ).Рассмотрим случай, когда точки A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо (1) l А  π m , m А  π’ l , либо (2) l А  π’ m , m А  π l . Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие (1). Тогда φ (l А )  φ (π m ), φ (m А )  φ (π’ l ). Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов φ (F ) и φ (G ).Если же прямые l , m совпадают, то либо F = G, либо F = G’. Отсюда следует, что флаги φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.

Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую (AB ). Понятно, что найдутся сонаправленные лучи n A и n B и полуплоскость π n такие, что флаг F 1 = (π n, n A ) сонаправлен с F , а флаг G 1 = (π n , n B , ) сонаправлен с G. Значит φ (F ) и φ (G ) одинаково ориентированные.Теорема доказана.

Примеры движений:

1)параллельный перенос - такое преобразование фигуры, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

2)симметрия относительно прямой (осевая или зеркальная симметрия). Преобразование σ фигуры F в фигуру F’ ,при котором каждая её точка X переходит в точку X’ , симметричную относительно данной прямой l , называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F’ называются симметричными относительно прямой l .

3)поворот вокруг точки. Поворотом плоскости ρ вокруг данной точки O называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол α в одном и том же направлении

Свойства движений.

Теорема. Основное свойстве движений.

Результатом двух последовательных движений плоскости является движение плоскости.

Доказательство Утверждение той теоремы очевидно. По сути, надо лишь разъяснить ее формулировку.

Пусть в результате первого движения тока A переходит в точку A", а в результате второго точка A" переходит в точку A"". Два этих движения можно заменить одним преобразованием, переводящим точку A непосредственно в точку A"". Различные точки плоскости при этом переходят в различные точки, поэтому мы на самом деле получили преобразование плоскости. Осталось доказать, что построенное таким образом преобразование является движением.

Рассмотрим две различные точки плоскости A и B, переходящие после первого движения соответственно в точки A" и B". Пусть точки A" и B" в результате второго движения переходят соответственно в точки A"" и B"". Так как AB = A"B"= A""B"", то преобразование, переводящее A и B в A"" и B"", является движением. (Ведь A и B - две любые точки плоскости.) t

1. При движении три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

2. При движении любой отрезок отображается на отрезок, причём концы отрезка переходят в концы его образа.

3. При движении прямая отображается на прямую и параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

4. При движении луч отображается на луч.

5. При движении угол отображается на равный ему угол.

6. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

7. При движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

Аналитическое задание движений

Определение: Говоря, что два репера одинаково ориентированы, если они имеют однозначные базисы, и противоположно ориентированы, если базисы также противоположны.

Определение: Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию, если при этом преобразовании соответствующие реперы одинаково ориентированы и. наоборот, меняет ориентацию если соответствующие реперы противоположно ориентированы.

I. Движение не меняющее ориентацию. Эти движения можно задать формулой вида:

.

II. Движение задается аналогично формулой с противоположными знаками.

.

Обе формулы можно объединить в единую запись.

Можно показать, что все известные нам движения имеют формулу, имеющую частную формулу общей.

- движение II рода.

Можно доказать, что перенос, поворот и центр симметрии является движением I рода.

Теорема: Если некоторое преобразование плоскости может быть задано формулой вида.

,

тогда, если матрица ортогональная, то преобразование является движением. Под ортогональной

Понимаем матрицу, определитель которой равен .

Пример: Пусть на ориентированной плоскости задан угол поворота, зная координаты двух соответствующих точек в заданном репере рассмотрим частный случай, когда центр поворота совпадает с началом координат.

.

- ?

30. Инвариантные точки и прямые. Классификация движений

ТОЧКА ИНВАРИАНТНАЯ

Точка на физико-хим. диаграмме, соответствующая инвариантному равновесию фаз, характеризующемуся строго определенными постоянными значениями всех интенсивных параметров состояния системы (температура, давление, хим. потенциалы компонентов). Частный случай Т. и. - точка тройная . Инвариантные прямые - это прямые, все точки которых после аффинного преобразования остаются принадлежащими данной прямой. То есть если точка с координатами (x, y) принадлежит прямой, то и точка (x*, y*) также принадлежит данной прямой.

Классификация движений плоскости

Определение: Точка плоскости инвариантной (неподвижной), если при данном преобразовании она переходит в себя.

Пример: При центральной симметрии инвариантной является точка центра симметрии. При повороте инвариантной является точка центра поворота. При осевой симметрии инвариантной является прямая - ось симметрии - это прямая инвариантных точек.

Теорема: Если движение не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одно инвариантное направление.

Пример: Параллельный перенос. Действительно, прямые, параллельные этому направлению инвариантных как фигура в целом, хотя не состоит из инвариантных точек.

Теорема: Если движется какой-то луч, луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно прямой содержащей данный луч.

Поэтому по наличию инвариантных точек или фигур можно провести классификацию движений.

Свойство 1. Пусть f - движение точек плоскости, A", B" и C"- образы точек А, В и С при движении f. Тогда точки A", B" и C" лежат на одной прямой в том и только в том случае, когда точки А, В и С коллинеарные.

Cвойство 4. При движении преобразуется в равный ему отрезок Свойство 5. При движении луч преобразуется в луч.

Свойство 7. Пусть дана окружность радиуса r с центром в точке O. Тогда при движении она преобразуется в окружность того же радиуса, с центром в точке, совпадающей с образом центра O.

Под аффинным репером плоскости будем понимать упорядоченную тройку неколлинеарных точек. Свойство 7. При движении репер преобразуется в репер, а ортонормированный репер в ортонормированный репер.

Теорема (Основная теорема движений). Пусть на плоскости даны ортонормированные реперы и. Тогда существует единственное движение g, переводящее репер R в R": .

Следствие. Если f движение плоскости: переводящее ортонормированный репер R в ортонормированный репер R", то каждой точке M плоскости с координатами x и у относительно R соответствует точка M"= f(M) с теми же координатами x и у относительно R".