Для экспериментального изучения зависимостей между случайными величинами х и у производят некоторое количество независимых опытов. Результат i -го опыта дает пару значений (х г, у г), i = 1, 2,..., п.
Величины, характеризующие различные свойства объектов, могут быть независимыми или взаимосвязанными. Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связь.
При функциональной зависимости двух величин значению одной -x h обязательно соответствует одно или несколько точно определенных значений другой величины -у { . Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В реальных ситуациях существует бесконечно большое количество свойств самого объекта и внешней среды, влияющих друг на друга, поэтому такого рода связи не существуют, иначе говоря, функциональные связи являются математическими абстракциями.
Воздействие общих факторов, наличие объективных закономерностей в поведении объектов приводят лишь к проявлению статистической зависимости. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения других (другой), и эти другие величины принимают некоторые значения с определенными вероятностями. Функциональную зависимость в таком случае следует считать частным случаем статистической: значению одного фактора соответствуют значения других факторов с вероятностью, равной единице. Более важным частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, характеризующая взаимосвязь значений одних случайных величин со средним значением других, хотя в каждом отдельном случае любая взаимосвязанная величина может принимать различные значения.
Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение - сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.
Термин «корреляция» впервые применил французский палеонтолог Ж. Кювье, который вывел «закон корреляции частей и органов животных» (этот закон позволяет восстанавливать по найденным частям тела облик всего животного). В статистику указанный термин ввел английский биолог и статистик Ф. Гальтон (не просто связь - relation, а «как бы связь» - corelation).
Корреляционные зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается - увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.
Простейшим приемом выявления связи между изучаемыми признаками является построение корреляционной таблицы; ее наглядным изображением служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладываются значения jq, по оси ординат у х. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно качественно судить о наличии связи.
Рис. 7.3.
Положительная корреляция между случайными величинами, близкая к параболической функциональной, представлена на рис. 6.1, а. На рис. 6.1, б приведен пример слабой отрицательной корреляции, а на рис. 6.1, в - пример практически некоррелированных случайных величин. Корреляция высокая, если на графике зависимость «можно представить» прямой линией (с положительным или отрицательным углом наклона).
Различают два вида зависимости между экономическими явлениями : функциональную и статистическую. Зависимость между двумя величинами X и Y , отображающими соответственно два явления, называется функциональной , если каждому значению величины x соответствует единственное значение величины Y и наоборот. Примером функциональной связи в экономике может служить зависимость производительности труда от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени. При этом следует отметить, что если Х – детерминированная, не случайная величина, то и функционально зависящая от нее величина Y тоже является детерминированной. Если же Х – величина случайная, то и Y также случайная величина.
Однако гораздо чаще в экономике имеет место не функциональная, а статистическая зависимость , когда каждому фиксированному значению независимой переменой X соответствует не одно, а множество значений зависимой переменной Y, причем заранее нельзя сказать, какое именно значение примет Y . Это связано с тем, что на Y кроме переменной X влияют и многочисленные неконтролируемые случайные факторы. В этой ситуации Y является случайной величиной, а переменная X может быть как детерминированной, так и случайной величиной.
Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость , при которой функциональной зависимостью связаны фактор X и среднее значение (математическое ожидание) результативного показателя Y . Статистическая зависимость может быть выявлена лишь по результатам достаточно большого числа наблюдений. Графически статистическая зависимость двух признаков может быть представлена с помощью поля корреляции, при построении которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X , а по оси ординат – результирующего Y .
Корреляционная связь – частный случай статистической связи, при котором разным значениям переменной соответствуют разные средние значения другой переменной. Корреляционная связь предполагает, что изучаемые переменные имеют количественное выражение.
Если изучается связь между двумя признаками, налицо парная корреляция; если изучается связь между многими признаками – множественная корреляция.
В качестве примера на рис.
1 представлены данные, иллюстрирующие прямую зависимость между х и у (рис. 1, а) и обратную зависимость (рис. 1, б). В случае «а» это прямая зависимость между, к примеру, среднедушевым доходом (х ) и сбережением (у ) в семье. В случае «б» речь идет об обратной зависимости. Такова, наш пример, зависимость между производительностью труда (х ) и себестоимостью единицы продукции (у ). На рис. 1 каждая точка характер изучает объект наблюдения со своими значениями х и у .Рис. 1. Поле корреляции
На рис. 1 также представлены прямые линии, линейные уравнения регрессии типа , характеризующие функциональную зависимость между независимой переменной х и средним значением результативного показателя у . Таким образом, по уравнению регрессии, зная х , можно восстановить лишь среднее значение у .
Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака , а на оси ординат - результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике (рис. 11.1).
Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.
Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на рис. 2.1.
Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии , то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений , обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов , то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результату. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации г2 будет приближаться к единице.
Соответственно для зависимости, изображенной на полях корреляции рис. 3,5 б) и в), гетероскедастичность остатков представлена на рис. 3.9 и 3.10.
Если поле корреляции может быть аппроксимировано прямой, которая называется линией регрессии , то приступают к вычислению коэффициента парной корреляции г. Его числовые значения заключены в интервале [-1, 1]. Если г равно 1 или -1, то существует функциональная прямая или обратная связь . Когда г близок к нулю, связь между явлениями отсутствует, а при г 0,7 связь считается существенной. Коэффициент корреляции рассчитывают по формуле
После выделения названных выше групп железнодорожных хозяйств был использован еще один приближенный прием предварительного анализа однородности совокупности по каждой группе железнодорожных хозяйств - построение полей корреляции каждого из включенных в исследование факторов с себестоимостью перевозок. Основным признаком однородности или неоднородности выбранных совокупностей служило отсутствие или наличие разрывов и скачков в расположении точек на полях корреляции.
Для изучения были предварительно выбраны путем профессионального логического анализа все возможные факторы, данные об изменении которых по предприятиям имеются в отчетности министерства. Такими факторами следует считать общий объем перевозок, среднюю производительность вагонов и локомотивов рабочего парка, грузонапряженность, фондоемкость единицы перевозок и производительность труда и др. (всего 11 факторов). Таким образом, по четырем группам предприятий было построено 44 поля корреляции.
После определения указанных величин получается уравнение парной зависимости, графическое изображение которого в осях координат называется теоретической линией регрессии . Если на такое поле нанести все замеры, а не только теоретическую линию регрессии , то мы получим поле корреляции.
Исходный материал систематизируем на поле корреляции и в корреляционной таблице. В нашем примере в качестве фактора выступает стоимость машин См, а в качестве функции - среднегодовая численность рабочих Р.
В результате разбивки на интервалы вся плоскость, на которой нанесены замеры по обоим признакам к и у, называемая полем корреляции, представит собой клетки, причем каждый замер характеризуется не точными значениями своих координат, а лишь значениями интервала, в который он отнесен.
На рис. 16 представлено поле корреляции, на котором по оси абсцисс даны интервалы для значений аргумента Сы, а по оси ординат - интервалы для значения функции Р. Построенное таким способом поле корреляции называется вторичным.
Для выбора интервалов может быть построено также первичное поле корреляции. Все точки на этом поле проставлены с учетом значений их координат. По густоте расположения точек и намечаются интервалы.
Наряду с построением поля корреляции, как указано выше, составляется корреляционная таблица, в которой производятся все вычисления, связанные с определением средних, построением эмпирической линии регрессии и исходных данных для определения параметров в системе нормальных уравнений.
В табл. 36 весь материал распределен по интервалам. Используя его, строим вторичное поле корреляции, на которое наносим все значения переменных, и определяем средние значении (/, //,. .., уп по интервалам. Соединив между собой средние значения в каждом интервале отрезками прямых линий, получаем эмпирическую линию регрессии (см. рис. 16).
| Рис. 18. Корреляционная таблица и вторичное поле корреляции зависимости численности рабочих и объема применения сборных железобетонных конструкций | /info/5440">Уравнения парной регрессии и выведенной в дальнейшем множественной регрессии применимы в случае, если переменные изменяются в следующих пределах численность рабочих - от 850 до 7850 чел., стоимость машин - от 0,15 до 3,15 млн. руб., объем сборных конструкций - от 10 до 230 тыс. m и откладывают по вертикальной оси, в значения независимой - по горизонтальной. Поле корреляции используется при определении формы зависимости между переменными, График дает исследователю первое
В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора Xj остатки е,- имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастнчность. Наличие гетероскедастич-ности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис. 3.5). Другая типичная исследовательская задача - оценка взаимосвязи между явлениями - решается с помощью хорошо разработанного в математической статистике аппарата теории корреляции. Для этого необходимо иметь выборки по сравниваемым явлениям, показанным на картах разной тематики (например, Д и В). Значения а и Ь, берут в одних и тех же /-х точках, т.е. строго скоординированно, и затем строят график поля корреляции. |
1. Тема работы.
2. Краткие теоретические сведения.
3. Порядок выполнения работы.
4. Исходные данные для разработки математической модели.
5. Результаты разработки математической модели.
6. Результаты исследования модели. Построение прогноза.
7. Выводы.
В задачах 2-4 можно использовать ППП Excel для расчетов характеристик модели.
Работа № 1.
Построение моделей парной регрессии. Проверка остатков на гетероскедастичность.
По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны значения двух признаков:
х - выпуск продукции, тыс. ед.;
у - затраты на производство, млн. руб.
| x | y |
| 5,3 | 18,4 |
| 15,1 | 22,0 |
| 24,2 | 32,3 |
| 7,1 | 16,4 |
| 11,0 | 22,2 |
| 8,5 | 21,7 |
| 14,5 | 23,6 |
| 10,2 | 18,5 |
| 18,6 | 26,1 |
| 19,7 | 30,2 |
| 21,3 | 28,6 |
| 22,1 | 34,0 |
| 4,1 | 14,2 |
| 12,0 | 22,1 |
| 18,3 | 28,2 |
Требуется:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи .
2. Построить модели:
Линейной парной регрессии.
Полулогарифмической парной регрессии.
2.3 Степенной парной регрессии.
Для этого:
2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса)
корреляции.
3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса)
детерминации и средней ошибки аппроксимации
.
4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности
сравнительную оценку силы связи фактора с результатом
.
5. С помощью F -критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования .
По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии.
Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность.
Строим поле корреляции.
Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх , или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ах b .
Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a , такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.
2.1. Модель линейной парной регрессии .
2.1.1. Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх .
Строим расчетную таблицу 1.
Таблица 1
Параметры a и b уравнения
Y x = a + bx
Разделив на n
b
:
Уравнение регрессии:
=11,591+0,871x
С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.
2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.
Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.
Средние квадратические отклонения:
Коэффициент корреляции:
Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.
2.1.3. Оценим качество построенной модели.
т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у , на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.
Следовательно, качество модели высокое.
А i .
Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.
Ошибка аппроксимации А i , i =1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
2.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.
2.1.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H 0
, что выявленная зависимость у
от х
носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-
критерия Фишера:
Найдем фактическое значение F - критерия Фишера:
следовательно, гипотеза H 0 H 1 x и y неслучайна.
Построим полученное уравнение.
2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии .
2.2.1. Рассчитаем параметры а и b в регрессии:
у x =а +blnх .
Линеаризуем данное уравнение, обозначив:
y=a + bz .
Параметры a и b уравнения
= a + bz
определяются методом наименьших квадратов:
Рассчитываем таблицу 2.
Таблица 2
Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b :
Уравнение регрессии:
= -1,136 + 9,902z
2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х .
Т. к. уравнение у = а + bln x линейно относительно параметров а и b и его линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной _у , то теснота связи между переменными у и х , оцениваемая с помощью индекса парной корреляции R xy , также может быть определена с помощью линейного коэффициента парной корреляции r yz
среднее квадратическое отклонение z :
Значение индекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида = a + bz.
2.2.3. Оценим качество построенной модели.
Определим коэффициент детерминации:
т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у , на долю необъясненной вариации приходится 16,2%. Следовательно, качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации А i .
Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора. Ошибка аппроксимации А i , :
, i
=1…15.
Средняя ошибка аппроксимации:
.
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.
2.2.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H 0
, что выявленная зависимость у
от х
носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.
Найдем табличное (критическое) значение F -критерия Фишера:
Найдем фактическое значение F -критерия Фишера:
следовательно, гипотеза H 0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H 1 : с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.
Построим уравнение регрессии на поле корреляции
2.3. Модель степенной парной регрессии.
2.3.1. Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:
Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:
и замена переменных:
Y=lny, X=lnx, A=lna
Параметры уравнения:
определяются методом наименьших квадратов:
Рассчитываем таблицу 3.
Определяем b :
Уравнение регрессии:
Построим уравнение регрессии на поле корреляции:
2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R yx .
Предварительно рассчитаем теоретическое значение для каждого значения фактора x, и , тогда:
Значение индекса корреляции R xy близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида:
2.3.3. Оценим качество построенной модели.
Определим индекс детерминации:
R 2 =0,936 2 =0,878,
т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 12,4%.
Качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации.
Ошибка аппроксимации А i , i =1…15:
Средняя ошибка аппроксимации:
Ошибка небольшая, качество модели высокое.
2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.
2.3.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H 0 , что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.
табличное (критическое) значение F -критерия Фишера:
фактическое значение F -критерия Фишера:
следовательно, гипотеза H 0 отвергается, принимается альтернативная гипотеза H 1 : с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.
Таблица 3
3. Выбор лучшего уравнения.
Составим таблицу полученных результатов исследования.
Таблица 4
Анализируем таблицу и делаем выводы.
ú Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах.
ú При этом характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками x и у.
ú Поэтому в качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель.
При постановке вопроса о корреляционной зависимости между двумя статистическими признаками Х и У проводят эксперимент с параллельной регистрацией их значений.
Пример 8.1.
Определить, зависит ли результат прыжка в длину с разбега (признак Х) от величины конечной скорости разбега (признак У). Для ответа на этот вопрос параллельно с регистрацией результата Х каждого прыжка спортсмена или группы спортсменов регистрируют и величину конечной скорости разбега Y . Пусть они таковы:
Таблица 5
| I | ||||||||
| xi (см) | ||||||||
| yi (м/с) | 10,7 | 10,5 | 10,1 | 9,8 | 10,1 | 10,5 | 9,1 | 9,6 |
Представим таблицу 5 в виде графика в прямоугольной системе координат, где на горизонтальной оси будем откладывать длину прыжка (Х), а на вертикальной - величину конечной скорости разбега в этом прыжке (Y).
function PlayMyFlash(cmd){ Corel_.TPlay(cmd); }
№1 !!! №2 !!! №3 !!! №4 !!! №5!!! №6 !!! №7 !!! №8!!!
Рис. 8. График корреляционного поля.
Будем называть корреляционным полем зону разброса таким образом полученных точек на графике. Визуально анализируя корреляционное поле на рисунке 8, можно заметить, что оно как бы вытянуто вдоль какой-либо прямой линии. Такая картина характерна для так называемой линейной корреляционной взаимосвязи между признаками. При этом можно в общем предположить, что с увеличением конечной скорости разбега увеличивается и длина прыжка, и наоборот. Т.е. между рассматриваемыми признаками наблюдается прямая (положительная) взаимосвязь.
Наряду с этим примером из множества других возможных корреляционных полей можно выделить следующие (рис.9-11):
На рисунке 9 тоже просматривается линейная взаимосвязь, но с увеличением значений одного признака, уменьшаются значения другого, и наоборот, т.е. связь обратная или отрицательная. Можно предположить, что на рисунке 11 точки корреляционного поля разбросаны около какой-то кривой линии. В таком случае говорят, что между признаками существует криволинейная корреляционная связь.
В отношении корреляционного поля, изображенного на рисунке 10, нельзя сказать, что точки располагаются вдоль какой-то прямой или кривой линии, оно имеет сферическую форму. В этом случае говорят, что признаки Х и Y не зависят друг от друга.
Кроме этого по корреляционному полю можно примерно судить о тесноте корреляционной связи, если эта связь существует. Здесь говорят: чем меньше точки разбросаны около воображаемой усредненной линии, тем теснее корреляционная связь между рассматриваемыми признаками.
Визуальный анализ корреляционных полей помогает разобраться в сущности корреляционной взаимосвязи, позволяет высказать предположение о наличии, направленности и тесноте связи. Но точно сказать, имеется связь между признаками или нет, линейная связь или криволинейная, тесная связь (достоверная) или слабая (недостоверная), с помощью этого метода нельзя. Наиболее точным методом выявления и оценки линейной взаимосвязи между признаками является метод определения различных корреляционных показателей по статистическим данным.
3. Коэффициенты корреляции и их свойства
Часто для определения достоверности взаимосвязи между двумя признаками(Х, У) используютнепараметрический (ранговый) коэффициент корреляции Спирмена и параметрический коэффициент корреляции Пирсона . Величина этих показателей корреляционной связи определяется по следующим формулам:
(1)
Где: dx - ранги статистических данных признака х;
dy - ранги статистических данных признака у.
(2)
Где: - статистические данные признака х,
Статистические данные признака у.
Эти коэффициенты обладают такими мощными признаками:
1. На основании коэффициентов корреляции можно судить только о прямолинейной корреляционной взаимосвязи между признаками. О криволинейной связи с их помощью ничего сказать нельзя.
2. Значения коэффициентов корреляции есть безразмерная величина, которая не может быть меньше -1 и больше +1, т.е.
3.
4. Если значения коэффициентов корреляции равны нулю, т.е. = 0 или = 0, то связь между признаками х, у отсутствует.
5. Если значения коэффициентов корреляции отрицательные, т.е. < 0 или < 0, то связь между признаками Х и Y обратная
.
6. Если значения коэффициентов корреляции положительные, т.е. > 0 или y> 0 , то связь между признаками Х и Y прямая
(положительная).
7. Если коэффициенты корреляции принимают значения +1 или -1, т.е. = ± 1 или = ± 1, то связь между признаками Х и Y линейная (функциональная)
.
8. Только по величине коэффициентов корреляции нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Эта достоверность еще зависит от числа степеней свободы.
Где: n - число коррелируемых пар статистических данных признаков Х и Y.
Чем больше n , тем выше достоверность связи при одном и том же коэффициенте корреляции.
Кроме перечисленных общих свойств у рассматриваемых коэффициентов корреляции имеются и различия. Главное их отличие состоит в том, что коэффициент Пирсона ( может быть использован только в случае нормальности распределения признаков Х и Y , коэффициент Спирмена () может быть использован для признаков с любым видом распределения. Если рассматриваемые признаки имеют нормальное распределение, то целесообразнее определять наличие корреляционной связи с помощью коэффициента Пирсона (), т.к. в этом случае он будет иметь меньшую погрешность, чем коэффициент Спирмена ().
Пример 8.2.
Определить с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмена существует ли взаимосвязь между результатами прыжка в длину с разбега (X) и конечной скоростью разбега (Y) группы спортсменов (данные примера 8.1, табл. 5).
В формуле (1) dx и dy ранги статистических данных, т.е. места вариант в их ранжированной совокупности. Если в совокупности несколько одинаковых данных, то их ранги равны и определяются как среднее значение от мест, занимаемых этими вариантами. Например,
| Данные xi | |||||||||
| Ранги dx | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 4,5 | 7,5 | 7,5 |
| 3 + 4 + 5 + 6 | 7 + 8 | |||
Пользуясь этим правилом, определим ранги данных таблицы 5. Для удобства все запишем в виде таблицы 6.
Таблица 6
| dx | dy | dx - dy | |||
| 9,1 | 1 - 1 = 0 | 02 = 0 | |||
| 9,6 | 2 - 2 = 0 | 02 = 0 | |||
| 9,8 | 3 - 3 = 0 | 02 = 0 | |||
| 10,1 | 4 - 4 = 0 | 02 = 0 | |||
| 10,5 | 6,5 | 5 - 6,5 = - 1,5 | (- 1,5)2 = 2,25 | ||
| 10,5 | 6,5 | 6 - 6,5 = - 0,5 | (- 0,5)2 = 0,25 | ||
| 10,3 | 7 - 5 = 2 | 22 = 4 | |||
| 10,7 | 8 - 8 = 0 | 02 = 0 | |||
| (dx-dy) = 0 |
В данном случае имеем 8 пар значений, т.е. 8 коррелируемых пар. Значит n = 8. Подставив полученное в формулу (1), будем иметь:
Вывод:
(0,92 > 0) , то между признаками Х и У У Х ), и наоборот - с уменьшением скорости разбега уменьшается длина прыжка. Достоверность коэффициента корреляции Спирмена определяется по таблице критических значений рангового коэффициента корреляции .
б) т.к. полученное значение коэффициента корреляции = 0,9 больше табличного значений = 0,88, соответствующего уровню b = 99%, то уверенность в правильности вывода (а) больше 99%. Такая достоверность позволяет распространить вывод (а) на всю генеральную совокупность, т.е. на всех прыгунов в длину.
Если не производится предварительной проверки рассматриваемых совокупностей на нормальность распределения, то, в случае недостоверности коэффициента корреляции Пирсона, следует проверить наличие связи еще и по коэффициенту Спирмена.
Пример 8.3.
Ранговым коэффициентом корреляции можно выявлять взаимосвязи между переменными, имеющими любые статистические распределения. Но если эти переменные имеют нормальное распределение (Гаусса), то более точно связь можно установить с помощью нормированного (Бравэ-Пирсона) коэффициента корреляции.
Предположим, что в нашем примере и - отвечают закону нормального распределения, и проверим наличие связи между результатами тестаX и Y c помощью расчета нормированного коэффициента корреляции.
Из формулы (1) видно, что для вычисления необходимо найти средние значения признаковX, Y и отклонения каждого статистического данного от его среднего . Зная эти значения, можно найти суммы по которым не сложно вычислить
По данным таблице 5 заполним таблицу 7:
Таблица 7
| 962 = 9216 | 10,7 | 0,6 | 0,62 = 0,36 | 96 · 0,6 = 57,6 | ||
| 262 = 676 | 10,5 | 0,4 | 0,42 = 0,16 | 26 · 0,4 = 10,4 | ||
| 10,3 | 0,2 | 0,04 | 5,4 | |||
| - 4 | 9,8 | - 0,3 | 0,09 | 1,2 | ||
| 10,1 | 0,00 | 1,0 | ||||
| 10,5 | 0,4 | 0,16 | 3,2 | |||
| - 92 | 9,1 | - 1,0 | 1,00 | 9,2 | ||
| - 64 | 9,6 | - 0,5 | 0,25 | 32,0 | ||
| = 23262 | = 2,06 | = 201 |
Подставив сумму столбца 7 в числитель формулы (1), а суммы столбцов 3 и 6 в знаменатель, получим:
Вывод:
а) т.к. значение коэффициента корреляции положительное (0.92>0) , то между Х и Y наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением скорости разбега (признакY ) увеличивается длина прыжка (признак Х ) и наоборот - с уменьшением скорости разбега уменьшается длина прыжка. Очень важно знать уверенность в правильности полученного вывода.
