Предположим, что застройщик оценивает стоимость группы небольших офисных зданий в традиционном деловом районе.

Застройщик может использовать множественный регрессионный анализ для оценки цены офисного здания в заданном районе на основе следующих переменных.

y - оценочная цена здания под офис;

x 1 - общая площадь в квадратных метрах;

x 2 - количество офисов;

x 3 - количество входов (0,5 входа означает вход только для доставки корреспонденции);

x 4 - время эксплуатации здания в годах.

В этом примере предполагается, что существует линейная зависимость между каждой независимой переменной (x 1 , x 2 , x 3 и x 4) и зависимой переменной (y), то есть ценой здания под офис в данном районе. Исходные данные показаны на рисунке.

Настройки для решения поставленной задачи показаны на рисунке окна "Регрессия ". Результаты расчетов размещены на отдельном листе в трех таблицах

В итоге мы получили следующую математическую модель:

y = 52318 + 27,64*x1 + 12530*x2 + 2553*x3 - 234,24*x4.

Теперь застройщик может определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе. Если это здание имеет площадь 2500 квадратных метров, три офиса, два входа и время эксплуатации - 25 лет, можно оценить его стоимость, используя следующую формулу:

y = 27,64*2500 + 12530*3 + 2553*2 - 234,24*25 + 52318 = 158 261 у.е.

В регрессионном анализе наиболее важными результатами являются:

• коэффициенты при переменных и Y-пересечение, являющиеся искомыми параметрами модели;
• множественный R, характеризующий точность модели для имеющихся исходных данных;
• F-критерий Фишера (в рассмотренном примере он значительно превосходит критическое значение, равное 4,06);
• t-статистика – величины, характеризующие степень значимости отдельных коэффициентов модели.

На t-статистике следует остановиться особо. Очень часто при построении регрессионной модели неизвестно, влияет тот или иной фактор x на y. Включение в модель факторов, которые не влияют на выходную величину, ухудшает качество модели. Вычисление t-статистики помогает обнаружить такие факторы. Приближенную оценку можно сделать так: если при n>>k величина t-статистики по абсолютному значению существенно больше трех, соответствующий коэффициент следует считать значимым, а фактор включить в модель, иначе исключить из модели. Таким образом, можно предложить технологию построения регрессионной модели, состоящую из двух этапов:

1) обработать пакетом "Регрессия " все имеющиеся данные, проанализировать значения t-статистики;

2) удалить из таблицы исходных данных столбцы с теми факторами, для которых коэффициенты незначимы и обработать пакетом "Регрессия " новую таблицу.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

###### ## ## ###### ######
## ### ### ## ##
## #### ## ##### ##
## ## ## ## ## ##
## ## ###### ## ## ## ## ##
#### ## ###### #### ####

Введите число, изображенное выше:

Подобные документы

Основы построения и тестирования адекватности экономических моделей множественной регрессии, проблема их спецификации и последствия ошибок. Методическое и информационное обеспечение множественной регрессии. Числовой пример модели множественной регрессии.

курсовая работа , добавлен 10.02.2014


Понятие модели множественной регрессии. Сущность метода наименьших квадратов, который используется для определения параметров уравнения множественной линейной регрессии. Оценка качества подгонки регрессионного уравнения к данным. Коэффициент детерминации.

курсовая работа , добавлен 22.01.2015


Построение модели множественной линейной регрессии по заданным параметрам. Оценка качества модели по коэффициентам детерминации и множественной корреляции. Определение значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.

контрольная работа , добавлен 01.12.2013


Построение уравнения множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, отбор информативных факторов. Проверка значимости уравнения регрессии по критерию Фишера и статистической значимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

лабораторная работа , добавлен 17.10.2009


Описание классической линейной модели множественной регрессии. Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Оценка модели парной регрессии с наиболее значимым фактором. Графическое построение интервала прогноза.

курсовая работа , добавлен 17.01.2016


Факторы, формирующие цену квартир в строящихся домах в Санкт-Петербурге. Составление матрицы парных коэффициентов корреляции исходных переменных. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность. Тест Гельфельда-Квандта.

контрольная работа , добавлен 14.05.2015


Оценка распределения переменной Х1. Моделирование взаимосвязи между переменными У и Х1 с помощью линейной функции и методом множественной линейной регрессии. Сравнение качества построенных моделей. Составление точечного прогноза по заданным значениям.

курсовая работа , добавлен 24.06.2015

Назначение множественной регрессии – анализ связи между одной зависимой и несколькими независимыми переменными.

Пример: Имеются данные о стоимости одного рабочего места (при покупке 50 рабочих мест) для различных PDM-систем. Требуется: оценить зависимость между ценой рабочего места PDM-системы от количества реализованных в ней характеристик, приведенных в таблице 2.

Таблица 2 - Характеристики PDM-систем

Номер п/п	PDM-система	Стоимость	Управление конфигурацией изделия	Модели изделий	Коллективная работа	Управление изменениями изделий	Документооборот	Архивы	Поиск документов	Планирование проекта	Управление изготовлением изделий
	iMAN			Да	Да
	PartY Plus			Да	Да
	PDM STEP Suite			Да	Да
	Search			Да	Да
	Windchill			Да	Да
	Компас-Менеджер			Да	Да
	T-Flex Docs			Да	Да
	ТехноПро			Нет	Нет

Численное значение характеристик (кроме «Стоимость», «Модели изделий» и «Коллективная работа») означает количество реализованных требований каждой характеристики.

Создадим и заполним электронную таблицу с исходными данными (Рисунок 27).

Значение «1» переменных «Мод. изд.» и «Коллект. р-та.» соответствует значению «Да» исходных данных, а значение «0» значению «Нет» исходных данных.

Построим регрессию между зависимой переменной «Стоимость» и независимыми переменными «Упр. конф.», «Мод. изд.», «Коллект. р-та», «Упр. изм.», «Док.», «Архивы», «Поиск», «План-е», «Упр. изгот.».

Для начала статистического анализа исходных данных вызвать модуль «Multiple Regression» (рисунок 22).

В появившемся диалоговом окне (рисунок 23) указать переменные по которым будет производиться статистический анализ.

Рисунок 27 - Исходные данные

Для этого нажать кнопку Variables и в появившемся диалоговом окне (рисунок 28) в части соответствующей зависимым переменным (Dependent var.) выбрать «1-Стоимость», а в части соответствующей независимым переменным (Independent variable list) выбрать все остальные переменные. Выбор нескольких переменных из списка осуществляется с использованием клавиш «Ctrl» или «Shift», либо указанием номеров (диапазона номеров) переменных в соответствующем поле.

Рисунок 28 - Диалоговое окно задания переменных для статистического анализа

После того как переменные выбраны нажать кнопку «OK» в диалоговом окне задания параметров модуля «Multiple Regression». В появившемся окне с надписью «No of indep. vars. >=(N-1); cannot invert corr. matrix.» (рисунок 29) нажать кнопку «OK».

Данное сообщение появляется в случае когда система не может построить регрессию по всем заявленным независимым переменным, т.к. число переменных больше или равно числу случаев минус 1.

В появившемся окне (рисунок 30) на закладке «Advanced» можно изменить метод построения уравнения регрессии.

Рисунок 29 - Сообщение об ошибке

Для этого в поле «Method» (метод) выбрать «Forward stepwise» (пошаговый с включением).

Рисунок 30 - Окно выбора метода и задания параметров построения уравнения регрессии

Метод пошаговой регрессии состоит в том, что на каждом шаге в модель включается, либо исключается какая-то независимая переменная. Таким образом, выделяется множество наиболее "значимых" переменных. Это позволяет сократить число переменных, которые описывают зависимость.

Пошаговый анализ с исключением («Backward stepwise»). В этом случае все переменные будут сначала включены в модель, а затем на каждом шаге будут устраняться переменные, вносящие малый вклад в предсказания. Тогда в качестве результата успешного анализа можно сохранить только "важные" переменные в модели, то есть те переменные, чей вклад в дискриминацию больше остальных.

Пошаговый анализ с включением («Forward stepwise»). При использовании этого метода в регрессионное уравнение последовательно включаются независимые переменные, пока уравнение не станет удовлетворительно описывать исходные данные. Включение переменных определяется при помощи F - критерия. На каждом шаге просматриваются все переменные и находится та из них, которая вносит наибольший вклад в различие между совокупностями. Эта переменная должна быть включена в модель на данном шаге, и происходит переход к следующему шагу.

В поле «Intercept» (свободный член регрессии) можно выбрать включать ли его в уравнение («Include in model») либо не учитывать и считать равным нулю («Set to zero»).

Параметр «Tolerance» это толерантность переменных. Определяется как 1 минус квадрат коэффициента множественной корреляции этой переменной со всеми другими независимыми переменными в уравнении регрессии. Поэтому, чем меньший толерантность переменной, тем более избыточный - ее вклад в уравнение регрессии. Если толерантность любой из переменных в уравнении регрессии равна или близка к нулю, то уравнение регресса не может быть оценено. Поэтому параметр толерантность желательно задать равным 0,05 или 0,1.

Параметр «Ridge regression; lambda:» используется, когда независимые переменные высоко межкоррелированые, и устойчивые оценки для коэффициентов уравнения регрессии, не могут быть получен через метод наименьших квадратов. Указанная постоянная (лямбда) будет добавлена к диагонали матрицы корреляций, которая тогда заново будет приведена к стандартизированному виду (так чтобы все диагональные элементы были равны 1.0). Другими словами, данный параметр искусственно уменьшает коэффициенты корреляции так, чтобы можно было вычислить более устойчивые (все же смещенный) оценки параметров регрессии. В наше случае данный параметр не используется.

Параметр «Batch processing/printing» (обработка, печать отчетов) используется, когда необходимо сразу подготовить для отчета несколько таблиц, отражающих результаты и процесс регрессионного анализа. Эта опция весьма полезна, когда необходимо напечатать или проанализировать результаты пошагового регрессионного анализа на каждом шаге.

На закладке «Stepwise» (рисунок 31) можно задать параметры условия включения («F to enter») или исключения («F to remove») переменных при построении уравнения регрессии, а также количество шагов построения уравнения («Number of steps»).

Рисунок 31 – Закладка «Stepwise» окна выбора метода и задания параметров построения регрессионного уравнения

F это величина значения F-критерия.

Если при пошаговом анализе с включением необходимо, чтобы все или почти все переменные вошли в уравнение регрессии то необходимо значение «F to enter» установить минимальным (0,0001), и значение «F to remove» также установить минимальным.

Если при пошаговом анализе с исключением необходимо, удалять все переменные (по одной) из уравнения регрессии то необходимо значение «F to enter» установить очень большим, например 999, и значение «F to remove» установить близким к «F to enter».

Следует помнить, что значение параметра «F to remove» всегда должно быть меньше чем «F to enter».

Опция «Display results» (отображение результатов) имеет два варианта:

2) At each step – отображать результаты анализа на каждом шаге.

После нажатия кнопки «OK» в окне выбора методов регрессионного анализа появится окно результатов анализа (рисунок 32).

Рисунок 32 - Окно результатов анализа

Рисунок 33 - Краткие результаты регрессионного анализа

Согласно результатам анализа коэффициент детерминации . Это означает, что построенная регрессия объясняет 99,987% разброса значений относительно среднего, т.е. объясняет практически всю изменчивость переменных.

Большое значение и его уровень значимости показывают, что построенная регрессия высоко значима.

Для просмотра кратких результатов регрессии нажать кнопку «Summary: Regression result». На экране появится электронная таблица с результатами анализа (рисунок 33).

В третьем столбце («B») отображены оценки неизвестных параметров модели, т.е. коэффициенты уравнения регрессии.

Таким образом, искомая регрессия имеет вид:

Качественно построенное уравнение регрессии можно интерпретировать следующим образом:

1) Стоимость PDM-системы увеличивается с возрастанием количества реализованных функций по управлению изменениями, документообороту и планированию, а также, если в систему включена функция поддержки модели изделия;

2) Стоимость PDM-системы снижается с увеличением реализованных функций управления конфигурацией и с увеличением возможностей поиска.

Вопросы:

4. Оценка параметров линейной модели множественной регрессии.

5. Оценка качества множественной линейной регрессии.

6. Анализ и прогнозирование на основе многофакторных моделей.

Множественная регрессия является обобщением парной регрессии. Она используется для описания зависимости между объясняемой (зависимой) переменой У и объясняющими (независимыми) переменными Х 1 ,Х 2 ,…,Х k . Множественная регрессия может быть как линейная, так и нелинейная, но наибольшее распространение в экономике получила линейная множественная регрессия.

Теоретическая линейная модель множественной регрессии имеет вид:

соответствующую выборочную регрессию обозначим:

Как и в парной регрессии случайный член ε должен удовлетворять основным предположениям регрессионного анализа. Тогда с помощью МНК получают наилучшие несмещенные и эффективные оценки параметров теоретической регрессии. Кроме того переменные Х 1 ,Х 2 ,…,Х k должны быть некоррелированы (линейно независимы) друг с другом. Для того, чтобы записать формулы для оценки коэффициентов регрессии (2), полученные на основе МНК, введем следующие обозначения:

Тогда можно записать в векторно-матричной форме теоретическую модель:

и выборочную регрессию

МНК приводит к следующей формуле для оценки вектора коэффициентов выборочной регрессии:

(3)

Для оценки коэффициентов множественной линейной регрессии с двумя независимыми переменными , можно решить систему уравнений:

(4)

Как и в парной линейной регрессии для множественной регрессии рассчитывается стандартная ошибка регрессии S:

(5)

и стандартные ошибки коэффициентов регрессии:

(6)

значимость коэффициентов проверяется с помощью t-критерия.

имеющего распространение Стьюдента с числом степеней свободы v= n-k-1.

Для оценки качества регрессии используется коэффициент (индекс) детерминации:

, (8)

чем ближе к 1, тем выше качество регрессии.

Для проверки значимости коэффициента детерминации используется критерий Фишера или F- статистика.

(9)

с v 1 =k, v 2 =n-k-1 степенями свободы.

В многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Для компенсации такого увеличения вводится скорректированный (или нормированный) коэффициент детерминации:

(10)

Если увеличение доли объясняемой регрессии при добавлении новой переменной мало, то может уменьшиться. Значит, добавлять новую переменную нецелесообразно.

Пример 4:

Пусть рассматривается зависимость прибыли предприятия от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников. Собраны статистические данные по 6 однотипным предприятиям. Данные в млн. ден. ед. приводятся в таблице 1.

Таблица 1

Построить двухфакторную линейную регрессию и оценить ее значимость. Введем обозначения:

Транспонируем матрицу Х:

Обращение этой матрицы:

таким образом зависимость прибыли от затрат на новое оборудование и технику и от затрат на повышение квалификации работников можно описать следующей регрессией:

Используя формулу (5), где k=2 рассчитаем стандартную ошибку регрессии S=0,636.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии рассчитаем, используя формулу (6):

Аналогично:

Проверим значимость коэффициентов регрессии а 1 , а 2 . посчитаем t расч.

Выберем уровень значимости , число степеней свободы

значит коэффициент а 1 значим.

Оценим значимость коэффициента а 2:

Коэффициент а 2 незначим.

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (7) . Прибыль предприятия на 96% зависит от затрат на новое оборудование и технику и повышение квалификации на 4% от прочих и случайных факторов. Проверим значимость коэффициента детерминации. Рассчитаем F расч.:

т.о. коэффициент детерминации значим, уравнение регрессии значимо.

Большое значение в анализе на основе многофакторной регрессии имеет сравнение влияния факторов на зависимый показатель у. Коэффициенты регрессии для этой цели не используется, из-за различий единиц измерения и различной степени колеблемости. От этих недостатков свободные коэффициенты эластичности:

Эластичность показывает, на сколько процентов в среднем изменяется зависимый показатель у при изменении переменной на 1% при условии неизменности значений остальных переменных. Чем больше , тем больше влияние соответствующей переменной. Как и в парной регрессии для множественной регрессии различают точечный прогноз и интервальный прогноз. Точечный прогноз (число) получают при подстановке прогнозных значений независимых переменных в уравнение множественной регрессии. Обозначим через:

(12)

вектор прогнозных значений независимых переменных, тогда точечный прогноз

Стандартная ошибка предсказания в случае множественной регрессии определяется следующим образом:

(15)

Выберем уровень значимости α по таблице распределения Стьюдента. Для уровня значимости α и числа степеней свободы ν = n-k-1 найдем t кр. Тогда истинное значение у р с вероятностью 1- α попадает в интервал:

Тема 5:

Временные ряды.

Вопросы:

4. Основные понятия временных рядов.

5. Основная тенденция развития – тренд.

6. Построение аддитивной модели.

Временные ряды представляют собой совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Момент (или период) времени обозначают t, а значение показателя в момент времени обозначают у(t) и называют уровнем ряда .

Каждый уровень временного ряды формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно разделить на 3 группы:

Длительные, постоянно действующие факторы, оказывающие на изучаемое явление определяющее влияние и формирующие основную тенденцию ряда – тренд T(t).

Кратковременные периодические факторы, формирующие сезонные колебания ряда S(t).

Случайны факторы, которые формируют случайные изменения уровней ряда ε(t).

Аддитивной моделью временного ряда называется модель, в которой каждый уровень ряда представлен суммой тренда, сезонной и случайной компоненты:

Мультипликативная модель – это модель, в которой каждый уровень ряда представляет собой произведение перечисленных компонент:

Выбор одной из моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если амплитуда возрастает, то мультипликативную модель.

Основная задача эконометрического анализа заключается в выявлении каждой из перечисленных компонент.

Основной тенденцией развития (трендом) называют плавное и устойчивое изменение уровней ряда во времени свободное от случайных и сезонных колебаний.

Задача выявления основных тенденций развития называется выравниванием временного ряда .

К методам выравнивания временного ряда относят:

1) метод укрупнения интервалов,

2) метод скользящей средней,

3) аналитическое выравнивание.

1) Укрупняются периоды времени, к которым относятся уровни ряда. Затем по укрупненным интервалам суммируются уровни ряда. Колебания в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимно погашаются. Более четко обнаружится общая тенденция.

2) Для определения числа первых уровней ряда рассчитывается средняя величина. Затем рассчитывается средняя из такого же количества уровней ряда, начиная со второго уровня и т.д. средняя величина скользит по ряду динамики, продвигаясь на 1 срок (момент времени). Число уровней ряда, по которому рассчитывается средняя, может быть четным и нечетным. Для нечетного скользящую среднюю относят к середине периода скольжения. Для четного периода нахождение среднего значения не сопоставляют с определением t, а применяют процедуру центрирования, т.е. вычисляют среднее из двух последовательных скользящих средних.

3) Построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровня ряда от времени. Для построения трендов применяют следующие функции:

Параметры трендов определяются с помощью МНК. Выбор наилучшей функции осуществляется на основе коэффициента R 2 .

Построение аддитивной модели проведем на примере.

Пример 7:

Имеются поквартальные данные об объеме потребления электроэнергии в некотором районе за 4 года. Данные в млн. кВт в таблице 1.

Таблица 1

Построить модель временного ряда.

В этом примере в качестве независимой переменной рассматриваем номер квартала , а в качестве зависимой переменной y(t) потребление электроэнергии за квартал.

Из диаграммы рассеяния можно увидеть, что тенденция (тренд) носит линейный характер. Видно также наличие сезонных колебаний (период = 4) одинаковой амплитуды, поэтому будем строить аддитивную модель.

Построение модели включает следующие шаги:

1. Проведем выравнивание исходного ряда методом скользящей средней за 4 квартала и проведем центрирование:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на 1 момент времени.

1.2. Разделив полученные суммы на, 4 найдем скользящие средние.

1.3. Приводим эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем среднее значение из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

2. Рассчитаем сезонную вариацию. Сезонная вариация (t) = y(t) – центрированная скользящая средняя. Построим таблицу 2 .

Таблица 2

Сквозной № квартала t	Потребление электроэнергии Y(t)	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
	6,0	-	-	-
	4,4	6,1	-	-
	5,0	6,4	6,25	-1,25
	9,0	6,5	6,45	2,55
	7,2	6,75	6,625	0,575
:	:	:	:	:
	6,6	8,35	8,375	-1,775
	7,0	-	-	-
	10,8	-	-	-

3. На основе сезонной вариации в таблице 3 рассчитывается сезонная компонента.

Показатели	Год	Номер квартала в году I II III IV
		-	-	-1,250	2,550
	0,575	-2,075	-1,100	2,700
	0,550	-2,025	-1,475	2,875
	0,675	-1,775	-	-
Итого		1,8	-5,875	-3,825	8,125	Сумма
Среднее		0,6	-1,958	-1,275	2,708	0,075
Сезонная компонента		0,581	-1,977	-1,294	2,690

4. Устраняем сезонную компоненту из исходных уровней ряда:

Вывод:

Аддитивная модель объясняет 98,4% общей вариации уровней исходного временного ряда.

Задачей множественной линейной регрессии является построение линейной модели связи между набором непрерывных предикторов и непрерывной зависимой переменной. Часто используется следующее регрессионное уравнение:

Здесь а i - регрессионные коэффициенты, b 0 - свободный член(если он используется), е - член, содержащий ошибку - по поводу него делаются различные предположения, которые, однако, чаще сводятся к нормальности распределения с нулевым вектором мат. ожидания и корреляционной матрицей .

Такой линейной моделью хорошо описываются многие задачи в различных предметных областях, например, экономике, промышленности, медицине. Это происходит потому, что некоторые задачи линейны по своей природе.

Приведем простой пример. Пусть требуется предсказать стоимость прокладки дороги по известным ее параметрам. При этом у нас есть данные о уже проложенных дорогах с указанием протяженности, глубины обсыпки, количества рабочего материала, числе рабочих и так далее.

Ясно, что стоимость дороги в итоге станет равной сумме стоимостей всех этих факторов в отдельности. Потребуется некоторое количество, например, щебня, с известной стоимостью за тонну, некоторое количество асфальта также с известной стоимостью.

Возможно, для прокладки придется вырубать лес, что также приведет к дополнительным затратам. Все это вместе даст стоимость создания дороги.

При этом в модель войдет свободный член, который, например, будет отвечать за организационные расходы (которые примерно одинаковы для всех строительно-монтажных работ данного уровня) или налоговые отчисления.

Ошибка будет включать в себя факторы, которые мы не учли при построении модели (например, погоду при строительстве - ее вообще учесть невозможно).

Пример: множественный регрессионный анализ

Для этого примера будут анализироваться несколько возможных корреляций уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, находящихся за чертой бедности. Следовательно мы будем считать переменную характерезующую процент семей, находящихся за чертой бедности, - зависимой переменной, а остальные переменные непрерывными предикторами.

Коэффициенты регрессии

Чтобы узнать, какая из независимых переменных делает больший вклад в предсказание уровня бедности, изучим стандартизованные коэффициенты (или Бета) регрессии.

Рис. 1. Оценки параметров коэффициентов регрессии.

Коэффициенты Бета это коэффициенты, которые вы бы получили, если бы привели все переменные к среднему 0 и стандартному отклонению 1. Следовательно величина этих Бета коэффициентов позволяет сравнивать относительный вклад каждой независимой переменной в зависимую переменную. Как видно из Таблицы, показанной выше, переменные изменения населения с 1960 года (POP_ CHING), процент населения, проживающего в деревне (PT_RURAL) и число людей, занятых в сельском хозяйстве (N_Empld) являются самыми главными предикторами уровня бедности, т.к. только они статистически значимы (их 95% доверительный интервал не включает в себя 0). Коэффициент регрессии изменения населения с 1960 года (Pop_Chng) отрицательный, следовательно, чем меньше возрастает численность населения, тем больше семей, которые живут за чертой бедности в соответствующем округе. Коэффициент регрессии для населения (%), проживающего в деревне (Pt_Rural) положительный, т.е., чем больше процент сельских жителей, тем больше уровень бедности.

Значимость эффектов предиктора

Просмотрим Таблицу с критериями значимости.

Рис. 2. Одновременные результаты для каждой заданной переменной.

Как показывает эта Таблица, статистически значимы только эффекты 2 переменных: изменение населения с 1960 года (Pop_Chng) и процент населения, проживающего в деревне (Pt_Rural), p < .05.

Анализ остатков. После подгонки уравнения регрессии, почти всегда нужно проверять предсказанные значения и остатки. Например, большие выбросы могут сильно исказить результаты и привести к ошибочным выводам.

Построчный график выбросов

Обычно необходимо проверять исходные или стандартизованные остатки на большие выбросы.

Рис. 3. Номера наблюдений и остатки.

Шкала вертикальной оси этого графика отложена по величине сигма, т.е., стандартного отклонения остатков. Если одно или несколько наблюдений не попадают в интервал ± 3 умноженное на сигма, то, возможно, стоит исключить эти наблюдения (это можно легко сделать через условия выбора наблюдений) и еще раз запустить анализ, чтобы убедится, что результаты не изменяются этими выбросами.

Расстояния Махаланобиса

Большинство статистических учебников уделяют много времени выбросам и остаткам относительно зависимой переменной. Тем не менее роль выбросов в предикторах часто остается не выявленной. На стороне переменной предиктора имеется список переменных, которые участвуют с различными весами (коэффициенты регрессии) в предсказании зависимой переменной. Можно считать независимые переменные многомерным пространством, в котором можно отложить любое наблюдение. Например, если у вас есть две независимых переменных с равными коэффициентами регрессии, то можно было бы построить диаграмму рассеяния этих двух переменных и поместить каждое наблюдение на этот график. Потом можно было отметить на этом графике среднее значение и вычислить расстояния от каждого наблюдения до этого среднего (так называемый центр тяжести) в двумерном пространстве. В этом и заключается основная идея вычисления расстояния Махаланобиса . Теперь посмотрим на гистограмму переменной изменения населения с 1960 года.

Рис. 4. Гистограмма распределения расстояний Махаланобиса.

Из графика следует, что есть один выброс на расстояниях Махаланобиса.

Рис. 5. Наблюдаемые, предсказанные и значения остатков.

Обратите внимание на то, что округ Shelby (в первой строке) выделяется на фоне остальных округов. Если посмотреть на исходные данные, то вы обнаружите, что в действительности округ Shelby имеет самое большое число людей, занятых в сельском хозяйстве (переменная N_Empld). Возможно, было бы разумным выразить в процентах, а не в абсолютных числах, и в этом случае расстояние Махаланобиса округа Shelby, вероятно, не будет таким большим на фоне других округов. Очевидно, что округ Shelby является выбросом .

Удаленные остатки

Другой очень важной статистикой, которая позволяет оценить серьезность проблемы выбросов, являются удаленные остатки . Это стандартизованные остатки для соответствующих наблюдений, которые получаются при удалении этого наблюдения из анализа. Помните, что процедура множественной регрессии подгоняет поверхность регрессии таким образом, чтобы показать взаимосвязь между зависимой и переменной и предиктором. Если одно наблюдение является выбросом (как округ Shelby), то существует тенденция к "оттягиванию" поверхности регрессии к этому выбросу. В результате, если соответствующее наблюдение удалить, будет получена другая поверхность (и Бета коэффициенты). Следовательно, если удаленные остатки очень сильно отличаются от стандартизованных остатков, то у вас будет повод считать, что регрессионный анализа серьезно искажен соответствующим наблюдением. В этом примере удаленные остатки для округа Shelby показывают, что это выброс, который серьезно искажает анализ. На диаграмме рассеяния явно виден выброс.

Рис. 6. Исходные остатки и Удаленные остатки переменной, означающей процент семей, проживающих ниже прожиточного минимума.

Большинство из них имеет более или менее ясные интерпретации, тем не менее обратимся к нормальным вероятностным графикам.

Как уже было упомянуто, множественная регрессия предполагает, что существует линейная взаимосвязь между переменными в уравнении и нормальное распределение остатков. Если эти предположения нарушены, то вывод может оказаться неточным. Нормальный вероятностный график остатков укажет вам, имеются ли серьезные нарушения этих предположений или нет.

Рис. 7. Нормальный вероятностный график; Исходные остатки.

Этот график был построен следующим образом. Вначале стандартизованные остатки ранжируюся по порядку. По этим рангам можно вычислить z значения (т.е. стандартные значения нормального распределения) на основе предположения, что данные подчиняются нормальному распределению. Эти z значения откладываются по оси y на графике.

Если наблюдаемые остатки (откладываемые по оси x) нормально распределены, то все значения легли бы на прямую линию на графике. На нашем графике все точки лежат очень близко относительно кривой. Если остатки не являются нормально распределенными, то они отклоняются от этой линии. Выбросы также становятся заметными на этом графике.

Если имеется потеря согласия и кажется, что данные образуют явную кривую (например, в форме буквы S) относительно линии, то зависимую переменную можно преобразовать некоторым способом (например, логарифмическое преобразование для "уменьшения" хвоста распределения и т.д.). Обсуждение этого метода находится за пределами этого примера (Neter, Wasserman, и Kutner, 1985, pp. 134-141, представлено обсуждение преобразований, убирающих ненормальность и нелинейность данных). Однако исследователи очень часто просто проводят анализ напрямую без проверки соответствующих предположений, что ведет к ошибочным выводам.