Зако́ны Ке́плера - три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом / → 0, где , - массы планеты и Солнца.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точкаP траектории называется перигелием , точка A , наиболее удаленная от Солнца – афелием . Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δθ и высотой r :

Здесь – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

r P υ P = r A υ A .

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке (понятно, что на основе законов Кеплера). Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы.

В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом → 0, где, - массы планеты и Солнца соответственно. Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетомe и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

3.1. Движение в гравитационном поле

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна. Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной. При E = E1 rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Причем особенно внимательно Кеплер изучал движение Марса. Рассмотрим законы подробнее.

При с=0 и е=0 эллипс превращается в окуржность. Этот закон, равно как и первые два, применим не только к движению планет, но и к движению как их естественных, так и искуственных спутников. Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

17 в. И. Кеплером (1571-1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546-1601). Закон площадей.) 3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.

КЕПЛЕРОВСКИЙ ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ. 1 й закон: каждая планета движется по эллиптич. Когда камень падает на Землю, он подчиняется закону всемирного тяготения. Эта сила прилагается к одному из взаимодействующих тел и направлена в сторону другого. К такому заключению, в частности, пришел И. Ньютон в своем мысленном бросании камней с высокой горы.Итак, Солнце искривляет движение планет, не давая им разлететься во все стороны.

Кеплер на основе результатов кропотливых и многолетних наблюдений Тихо Браге за планетой Марс смог определить форму его орбиты. Действие на Луну Земли и Солнца делают совершенно непригодными для расчетов ее орбиты законы Кеплера.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Таким образом можно утверждать, что, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади - константа. Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами.

Глава 3. Основы небесной механики

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Круговая и эллиптическая орбиты.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу. Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6). Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.

Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. 3. Наконец, Кеплер отметился еще и третьим законом планетных движений. Солнца, а и - массы планет. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удаленная точка орбиты.

(1546–1601). Они используются в небесной механике и формулируются так:

2. Планета движется так, что ее радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади. (Закон площадей.)

3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Гармонический закон.)

Замечательно, что законы Кеплера, составляющие базис небесной механики, выведены из наблюдений Тихо, выполненных без телескопа.

Закон 1.

Тихо поставил перед Кеплером задачу создания научной теории движения Марса. Следуя методике тех лет, Кеплер перепробовал множество комбинаций эпициклов и эксцентриков, но не смог найти подходящую для точного предвычисления наблюдаемого положения планеты. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля .

Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута (е = 0,2485). Орбиты малых планет – астероидов – тоже эллипсы; наиболее круглая орбита у астероида 1177 Гоннезия (е = 0,0063), а наиболее эксцентричная у 944 Идальго (е = 0,656).

Закон 2.

Законы Кеплера полностью эмпирические, они выведены из наблюдений. Чтобы получить закон площадей, Кеплер трудился около восьми лет, проделав громадный объем вычислений. Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Закон 3.

Третий, или гармонический, закон Кеплера связывает среднее расстояние планеты от Солнца (a ) с ее орбитальным периодом (t ):

где индексы 1 и 2 соответствуют любым двум планетам.

Пример : найти среднее расстояние от Солнца планеты Уран, имеющей период 84,015 лет. Из приведенной выше формулы, взяв период Земли за 1 год и ее расстояние от Солнца за 1 а.е.,

Ньютон (1643–1727) установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до нее, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что закон Кеплера не совсем точен; что в действительности в него входит и масса планеты:

где M – масса Солнца, а m 1 и m 2 – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их расстояния и орбитальные периоды.

Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж, в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого».

Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся немецкому учёному, астроному и математику, Иоганну Кеплеру (1571 – 1630 гг.)– человеку большого мужества и необыкновенной любви к науке.

Он проявил себя ревностным сторонником системы мира Коперника и задался целью уточнить строение Солнечной системы. Тогда это означало: познать законы движения планет, или, как он выразился, «проследить замысел Бога при cотворении мира» . В начале XVII в. Кеплер, изучая обращение Марса вокруг Солнца, установил три закона движения планет.

Первый закон Кеплера: Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе.

Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое свойство, что сумма расстояний каждой её точки от двух точек, называемых фокусами, остаётся постоянной. Эта сумма расстояний равна длине большой оси эллипса. Точка О – центр эллипса, F1 и F2 – фокусы. Солнце находится в данном случае в фокусе F1.

Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая далёкая – афелием. Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса с фокусом, называется радиус-вектором. Отношение расстояния между фокусами к большой оси (к наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е. эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет. Большая полуось эллипса а – среднее расстояние планеты до Солнца.

По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды. У окружности е = 0, у эллипса 0 < е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Орбиты планет – эллипсы, мало отличаются от окружностей; их эксцентриситеты малы. Например, эксцентриситет орбиты Земли е = 0,017.

Второй закон Кеплера: Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади (определяет скорость движения планеты по орбите). Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу.

Планета проходит путь от точки А до А1 и от В до В1 за одно и то же время. Другими словами, планета движется быстрее всего в перигелии, а медленнее всего – когда находится на наибольшем удалении (в афелии). Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна 55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.

Самый близкий к Солнцу Меркурий обегает вокруг светила за 88 дней. За ним движется Венера, и год на ней длится 225 земных суток. Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток, то есть ровно за один год. Марсианский год почти в два раза продолжительнее земного. Юпитерский год равен почти 12 земным годам, а далёкий Сатурн обходит свою орбиту за 29,5 лет! Словом, чем дальше планета от Солнца, тем продолжительнее на планете год. И Кеплер пытался найти зависимость между размерами орбит различных планет и временем их обращения вокруг Солнца.

15 мая 1618 года после множества неудачных попыток Кеплер установил наконец очень важное соотношение, известное как

Третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца.

Если периоды обращения любых двух планет, например Земли и Марса, обозначить через Тз и Тм, а их средние расстояния от Солнца – а з и а м, то третий закон Кеплера можно записать в виде равенства:

Т 2 м / Т 2 з = а 3 м / а 3 з.

Но ведь период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году (Тз = 1), а среднее расстояние Земля – Солнце принято за одну астрономическую единицу (а з = 1 а.е.). Тогда данное равенство примет более простой вид:

Т 2 м = а 3 м

Период обращения планеты (в нашем примере Марса) можно определить из наблюдений. Он составляет 687 земных суток, или 1,881 года. Зная это, нетрудно вычислить среднее расстояние планеты от Солнца в астрономических единицах:

Т.е. Марс находится в среднем в 1,524 раза дальше от Солнца, чем наша Земля. Следовательно, если известно время обращения какой-нибудь планеты, то по нему можно найти её среднее расстояние от Солнца. Таким путём Кеплеру удалось определить расстояния всех известных в ту пору планет:

Меркурий – 0,39,

Венера – 0,72,

Земля – 1,00

Марс – 1,52,

Юпитер – 5,20,

Сатурн – 9,54.

Только это были относительные расстояния – числа, показывающие, во сколько раз та или иная планета дальше от Солнца или ближе к Солнцу, чем Земля. Истинные значения этих расстояний, выраженные в земных мерах (в км), оставались неизвестными, ибо ещё не была известна длина астрономической единицы – среднего расстояния Земли от Солнца.

Третий закон Кеплера связал в единую стройную систему всё солнечное семейство. На поиски ушло девять трудных лет. Победило упорство учёного!

Вывод: законы Кеплера теоретически развивали гелиоцентрическое учение и тем самым укрепляли позиции новой астрономии. Астрономия Коперника – самое мудрое из всех произведений человеческого ума.

Последующие наблюдения показали, что законы Кеплера применимы не только для планет Солнечной системы и их спутников, но и для звёзд, физически связанных между собой и обращающихся вокруг общего центра масс. Они легли в основу практической космонавтики, ибо по законам Кеплера движутся все искусственные небесные тела, начиная с первого советского спутника и кончая современными космическими аппаратами. Не случайно в истории астрономии Иоганна Кеплера называют «законодателем неба».