И др. Все они являются оценками своих теоретических аналогов, которые можно было бы получить, если бы в распоряжении была не выборка, а генеральная совокупность. Но увы, генеральная совокупность – это очень дорого и часто недоступно.

Понятие об интервальном оценивании

Любая выборочная оценка обладает некоторым разбросом, т.к. является случайной величиной, зависящей от значений в конкретной выборке. Стало быть, для более надежных статистических выводов следует знать не только точечную оценку, но и интервал, который с высокой вероятностью γ (гамма) накрывает оцениваемый показатель θ (тета).

Формально, это два таких значения (статистики) T 1 (X) и T 2 (X) , что T 1 < T 2 , для которых при заданном уровне вероятности γ выполняется условие:

Короче, с вероятностью γ или больше истинный показатель находится между точками T 1 (X) и T 2 (X) , которые называются нижней и верхней границей доверительного интервала .

Одним из условий построения доверительных интервалов является его максимальная узость, т.е. он должен быть насколько это возможно коротким. Желание вполне естественно, т.к. исследователь старается точнее локализовать нахождение искомого параметра.

Отсюда следует, что доверительный интервал должен накрывать максимальные вероятности распределения. а сама оценка быть в центре.

То бишь вероятность отклонения (истинного показателя от оценки) в большую сторону равна вероятности отклонения в меньшую сторону. Следует также отметить, что для несимметричных распределений интервал справа не равен интервалу слева.

По рисунку выше отчетливо видно, что чем больше доверительная вероятность, тем шире интервал – прямая зависимость.

Это была небольшая вводная часть в теорию интервального оценивания неизвестных параметров. Перейдем к нахождению доверительных границ для математического ожидания.

Доверительный интервал для математического ожидания

Если исходные данные распределены по , то и среднее будет нормальной величиной. Это следует из того правила, что линейная комбинация нормальных величин также имеет нормальное распределение. Следовательно, для расчета вероятностей мы могли бы использовать математический аппарат нормального закона распределения.

Однако для этого потребуется знать два параметра – матожидание и дисперсию, которые обычно не известны. Можно, конечно, вместо параметров использовать оценки (среднюю арифметическую и ), но тогда распределение средней будет не совсем нормальным, оно будет немного приплюснуто книзу. Этот факт ловко подметил гражданин Уильям Госсет из Ирландии, опубликовав свое открытие в мартовском выпуске журнала «Biometrica» за 1908 год. В целях конспирации Госсет подписался Стьюдентом. Так появилось t-распределение Стьюдента.

Однако нормальное распределение данных, использовавшееся К. Гауссом при анализе ошибок астрономических наблюдений, в земной жизни встречается крайне редко и установить это довольно сложно (для высокой точности необходимо порядка 2 тысяч наблюдений). Поэтому предположение о нормальности лучше всего отбросить и использовать методы, не зависящие от распределения исходных данных.

Возникает вопрос: каково же распределение средней арифметической, если оно рассчитано по данным неизвестного распределения? Ответ дает известная в теории вероятностей Центральная предельная теорема (ЦПТ). В математике существует несколько ее вариантов (на протяжении долгих лет формулировки уточнялись), но все они, грубо говоря, сводятся к утверждению, что сумма большого количества независимых случайных величин подчиняется нормальному закону распределения.

При расчете средней арифметической как раз используется сумма случайных величин. Отсюда получается, что среднее арифметическое имеет нормальное распределение, у которого матожидание – это матожидание исходных данных, а дисперсия – .

Умные люди умеют доказывать ЦПТ, но мы в этом убедимся с помощью эксперимента, проведенного в Excel. Смоделируем выборку из 50-ти равномерно распределенных случайных величин (с помощью функции Excel СЛУЧМЕЖДУ). Затем сделаем 1000 таких выборок и для каждой рассчитаем среднюю арифметическую. Посмотрим на их распределение.

Видно, что распределение средней близко к нормальному закону. Если объем выборок и их количество сделать еще больше, то сходство будет еще лучше.

Теперь, когда мы воочию убедились в справедливости ЦПТ, можно, используя , рассчитать доверительные интервалы для средней арифметической, которые с заданной вероятностью накрывают истинное среднее или математическое ожидание.

Для установления верхней и нижней границы требуется знать параметры нормального распределения. Как правило, их нет, поэтому используют оценки: среднюю арифметическую и выборочную дисперсию . Повторюсь, такой способ дает хорошее приближение только при больших выборках. Когда выборки малые, часто рекомендуют использовать распределение Стьюдента. Не верьте! Распределение Стьюдента для средней бывает только тогда, когда исходные данные имеют нормальное распределение, то есть почти никогда. Поэтому лучше сразу поставить минимальную планку по количеству необходимых данных и использовать асимптотически корректные методы. Говорят, достаточно 30 наблюдений. Берите 50 – не ошибетесь.

T 1,2 – нижняя и верхняя граница доверительного интервала

– выборочное среднее арифметическое

s 0 – среднее квадратичное отклонение по выборке (несмещенное)

n – размер выборки

γ – доверительная вероятность (обычно равна 0,9, 0,95 или 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – обратное значение функции стандартного нормального распределения. По-простому говоря, это количество стандартных ошибок от средней арифметической до нижней или верхней границы (указанным трем вероятностями соответствуют значения 1,64, 1,96 и 2,58).

Суть формулы в том, что берется среднее арифметическое и далее от нее откладывается некоторое количество (с γ ) стандартных ошибок (s 0 /√n ). Все известно, бери и считай.

До массового использования ПЭВМ для получения значений функции нормального распределения и обратной ей использовали . Их и сейчас используют, но эффективнее обратиться к готовым формулам Excel. Все элементы из формулы выше ( , и ) можно легко рассчитать в Excel. Но есть и готовая формула для расчета доверительного интервала – ДОВЕРИТ.НОРМ . Ее синтаксис следующий.

ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)

альфа – уровень значимости или доверительный уровень, который в принятых выше обозначениях равен 1- γ, т.е. вероятность того, что математическое ожидание окажется за пределами доверительного интервала. При доверительной вероятности 0,95, альфа равно 0,05 и т.д.

стандартное_откл – среднее квадратичное отклонение выборочных данных. Стандартную ошибку рассчитывать не нужно, Excel сам разделит на корень из n.

размер – размер выборки (n).

Результат функции ДОВЕРИТ.НОРМ – это второе слагаемое из формулы расчета доверительного интервала, т.е. полуинтервал. Соответственно, нижняя и верхняя точка – это среднее ± полученное значение.

Таким образом, можно построить универсальный алгоритм расчета доверительных интервалов для средней арифметической, который не зависит от распределения исходных данных. Платой за универсальность является его асимптотичность, т.е. необходимость использования относительно больших выборок. Однако в век современных технологий собрать нужное количество данных обычно не представляет трудностей.

Проверка статистических гипотез с помощью доверительного интервала

{module 111}

Одной из главных задач, решаемых в статистике, является . Ее суть вкратце такова. Выдвигается предположение, например, что матожидание генеральной совокупности равно какому-то значению. Затем строится распределение выборочных средних, которые могут наблюдаться при данном матожидании. Далее смотрят, в каком месте этого условного распределения находится реальная средняя. Если она выходит за допустимые пределы, то появление такого среднего очень маловероятно, а при однократном повторении эксперимента почти невозможно, что противоречит выдвинутой гипотезе, которая успешно отклоняется. Если же среднее не выходит за критический уровень, то гипотеза не отклоняется (но и не доказывается!).

Так вот с помощью доверительных интервалов, в нашем случае для матожидания, также можно проверять некоторые гипотезы. Это очень просто сделать. Допустим, средняя арифметическая по некоторой выборке равна 100. Проверяется гипотеза о том, что матожидание равно, допустим, 90. То есть, если поставить вопрос примитивно, то он звучит так: может ли такое быть, чтобы при истинном значении средней равной 90, наблюдаемая средняя оказалась равна 100?

Для ответа на этот вопрос дополнительно потребуется информация о среднем квадратичном отклонении и размере выборки. Допустим среднеквадратичное отклонение равно 30, а количество наблюдений 64 (чтобы легко извлечь корень). Тогда стандартная ошибка средней равна 30/8 или 3,75. Для расчета 95% доверительного интервала потребуется отложить в обе стороны от средней по две стандартные ошибки (точнее, по 1,96). Доверительный интервал получится примерно 100±7,5 или от 92,5 до 107,5.

Далее рассуждения следующие. Если проверяемое значение попадает в доверительный интервал, то оно не противоречит гипотезе, т.к. укладывается в пределы случайных колебаний (с вероятностью 95%). Если проверяемая точка выходит за пределы доверительного интервала, то вероятность такого события очень маленькая, во всяком случае ниже допустимого уровня. Значит, гипотезу отклоняют, как противоречащую наблюдаемым данным. В нашем случае гипотеза о матожидании находится за пределами доверительного интервала (проверяемое значение 90 не входит в интервал 100±7,5), поэтому ее следует отклонить. Отвечая на примитивный вопрос выше, следует сказать: нет не может, во всяком случае такое случается крайне редко. Часто при этом указывают конкретную вероятность ошибочного отклонения гипотезы (p-level), а не заданный уровень, по которому строился доверительный интервал, но об этом в другой раз.

Как видим, построить доверительный интервал для среднего (или математического ожидания) несложно. Главное, уловить суть, а дальше дело пойдет. На практике в большинстве случаев используются 95% доверительный интервал, который имеет в ширину примерно две стандартные ошибки по обе стороны от средней.

На этом пока все. Всех благ!

Инструкция

Учтите, что интервал (l1 или l2), центральной областью которого будет являться оценка l*, а также в котором с вероятностью заключена истинная величина параметра, как раз и будет доверительным интервал ом или соответствующим значением доверительной вероятности альфа. При этом сама l* будет относиться к точечным оценкам. Например, по результатам каких-либо выборочных величин случайного значения Х {x1, x2,..., xn} необходимо вычислить неизвестный параметр показателя l, от которого будет зависеть распределение. В этом случае получение оценки заданного параметра l* будет заключаться в том, что для каждой выборки нужно будет поставить некоторое значение параметра в соответствие, то есть создать функцию результатов наблюдения показателя Q, значение которого и будет принято равным оценочной величине параметра l* в виде формулы: l*=Q*(x1, x2,..., xn).

Обратите внимание, что любая функция по результатам наблюдения называется статистикой. При этом, если она полностью описывает рассматриваемый параметр (явление), тогда ее именуют достаточной статистикой. А потому как результаты наблюдений случайные, то l* будет являться также случайной величиной. Задача расчета статистики должна быть произведена с учетом критериев ее качества. Здесь необходимо учитывать, что закон распределения оценки является вполне определенным, распределение плотности вероятности W(x, l).

Можете рассчитать доверительный интервал достаточно просто, если вам известен закон о распределении оценки. К примеру, доверительный интервал оценки в отношении математического ожидания (средней величины случайного значения) mx* =(1/n)*(x1+x2+ …+xn) . Эта оценка будет являться несмещенной, то есть математическое ожидание или среднее значение показателя будет равным истинной величине параметра (М{ mx*} = mx).

Можете установить, что дисперсия оценки по математическому ожиданию: бх*^2=Dx/n. На основании предельной центральной теоремы можно сделать соответствующий вывод о том, что закон распределения данной оценки гауссовский (нормальный). Поэтому для проведения расчетов можете использовать показатель Ф(z) - интеграл вероятностей. В таком случае, выберите длину доверительного интервал а 2lд, так вы получите: альфа = P{mx-lд (с применением свойства интеграла вероятностей по формуле: Ф(-z)=1- Ф(z)).

Постройте доверительный интервал оценки математического ожидания:- найдите значение формулы (альфа+1)/2;- выберите по таблице интеграла вероятности значение, равное lд/sqrt(Dx/n);- возьмите оценку истинной дисперсии: Dx*=(1/n)*((x1 - mx*)^2+(x2 - mx*)^2+…+(xn - mx*)^2);- определите lд;- найдите доверительный интервал по формуле: (mx*-lд, mx*+lд).

В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее - это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности, а выборочная дисперсия S 2 - точечная оценка дисперсии генеральной совокупности σ 2 . было показано, что выборочное среднее является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Выборочное среднее называется несмещенным, поскольку среднее значение всех выборочных средних (при одном и том же объеме выборки n ) равно математическому ожиданию генеральной совокупности.

Для того чтобы выборочная дисперсия S 2 стала несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности σ 2 , знаменатель выборочной дисперсии следует положить равным n – 1 , а не n . Иначе говоря, дисперсия генеральной совокупности является средним значением всевозможных выборочных дисперсий.

При оценке параметров генеральной совокупности следует иметь в виду, что выборочные статистики, такие как , зависят от конкретных выборок. Чтобы учесть этот факт, для получения интервальной оценки математического ожидания генеральной совокупности анализируют распределение выборочных средних (подробнее см. ). Построенный интервал характеризуется определенным доверительным уровнем, который представляет собой вероятность того, что истинный параметр генеральной совокупности оценен правильно. Аналогичные доверительные интервалы можно применять для оценки доли признака р и основной распределенной массы генеральной совокупности.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении

Построение доверительного интервала для доли признака в генеральной совокупности

В этом разделе понятие доверительного интервала распространяется на категорийные данные. Это позволяет оценить долю признака в генеральной совокупности р с помощью выборочной доли р S = Х/ n . Как указывалось , если величины n р и n (1 – р) превышают число 5, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным. Следовательно, для оценки доли признака в генеральной совокупности р можно построить интервал, доверительный уровень которого равен (1 – α)х100% .

где p S - выборочная доля признака, равная Х/ n , т.е. количеству успехов, деленному на объем выборки, р - доля признака в генеральной совокупности, Z - критическое значение стандартизованного нормального распределения, n - объем выборки.

Пример 3. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Допустим, что 10 из этих накладных составлены с ошибками. Таким образом, р = 10/100 = 0,1. Доверительному уровню 95% соответствует критическое значение Z = 1,96.

Таким образом, вероятность того, что от 4,12% до 15,88% накладных содержат ошибки, равна 95%.

Для заданного объема выборки доверительный интервал, содержащий долю признака в генеральной совокупности, кажется более широким, чем для непрерывной случайной величины. Это объясняется тем, что измерения непрерывной случайной величины содержат больше информации, чем измерения категорийных данных. Иначе говоря, категорийные данные, принимающие лишь два значения, содержат недостаточно информации для оценки параметров их распределения.

В ычисление оценок, извлеченных из конечной генеральной совокупности

Оценка математического ожидания. Поправочный коэффициент для конечной генеральной совокупности (fpc ) использовался для уменьшения стандартной ошибки в раз. При вычислении доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности поправочный коэффициент применяется в ситуациях, когда выборки извлекаются без возвращения. Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Пример 4. Чтобы проиллюстрировать применение поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности, вернемся к задаче о вычислении доверительного интервала для средней суммы накладных, рассмотренной выше в примере 3. Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем X̅ =110,27долл., S = 28,95 долл., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. По формуле (6) получаем:

Оценка доли признака. При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1 – α)х100% , вычисляется по формуле:

Доверительные интервалы и этические проблемы

При выборочном исследовании генеральной совокупности и формулировании статистических выводов часто возникают этические проблемы. Основная из них - как согласуются доверительные интервалы и точечные оценки выборочных статистик. Публикация точечных оценок без указания соответствующих доверительных интервалов (как правило, имеющих 95%-ный доверительный уровень) и объема выборки, на основе которых они получены, может породить недоразумения. Это может создать у пользователя впечатление, что точечная оценка - именно то, что ему необходимо, чтобы предсказать свойства всей генеральной совокупности. Таким образом, необходимо понимать, что в любых исследованиях во главу угла должны быть поставлены не точечные, а интервальные оценки. Кроме того, особое внимание следует уделять правильному выбору объемов выборки.

Чаще всего объектами статистических манипуляций становятся результаты социологических опросов населения по тем или иным политическим проблемам. При этом результаты опроса выносят на первые страницы газет, а ошибку выборочного исследования и методологию статистического анализа печатают где-нибудь в середине. Чтобы доказать обоснованность полученных точечных оценок, необходимо указывать объем выборки, на основе которой они получены, границы доверительного интервала и его уровень значимости.

Следующая заметка

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 448–462

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно большом объеме выборок выборочное распределение средних можно аппроксимировать нормальным распределением. Это свойство не зависит от вида распределения генеральной совокупности.

Доверительный интервал (ДИ; в англ, confidence interval - CI) полученный в исследовании при выборке даёт меру точности (или неопределённости) результатов исследования, для того чтобы делать выводы о популяции всех таких пациентов (генеральная совокупность). Правильное определение 95% ДИ можно сформулировать так: 95% таких интервалов будет содержать истинную величину в популяции. Несколько менее точна такая интерпретация: ДИ - диапазон величин, в пределах которого можно на 95% быть уверенным в том, что он содержит истинную величину. При использовании ДИ акцент делается на определении количественного эффекта, в противоположность величине Р, которая получается в результате проверки статистической значимости. Величина Р не оценивает никакого количества, а служит скорее мерой силы свидетельства против нулевой гипотезы «никакого эффекта». Величина Р сама по себе не говорит нам ничего ни о величине различия, ни даже о его направлении. Поэтому самостоятельные величины Р абсолютно неинформативны в статьях или рефератах. В отличие от них ДИ указывает и на количество эффекта, представляющего непосредственный интерес, например на полезность лечения, и на силу доказательств. Поэтому ДИ непосредственно имеет отношение к практике ДМ.

Подход оценки к статистическому анализу, иллюстрируемый ДИ, направлен на измерение количества интересующего нас эффекта (чувствительность диагностического теста, частота прогнозируемых случаев, сокращение относительного риска при лечении и т.д.), а также на измерение неопределённости в этом эффекте. Чаще всего ДИ - диапазон величин по обе стороны оценки, в котором, вероятно, лежит истинная величина, и можно быть уверенным в этом на 95%. Соглашение использовать 95% вероятность произвольно, также как и величину Р <0,05 для оценки статистической значимости, и авторы иногда используют 90% или 99% ДИ. Заметим, что слово «интервал» означает диапазон величин и поэтому стоит в единственном числе. Две величины, которые ограничивают интервал, называются «доверительными пределами».

ДИ основан на идее, что то же самое исследование, выполненное на других выборках пациентов, не привело бы к идентичным результатам, но что их результаты будут распределены вокруг истинной, однако неизвестной величины. Иными словами, ДИ описывает это как «вариабельность, зависящую от выборки». ДИ не отражает дополнительную неопределённости, обусловленную другими причинами; в частности, он не включает влияние селективной потери пациентов при отслеживании, плохого комплайнса или неточного измерения исхода, отсутствия «ослепления» и т.д. ДИ, таким образом, всегда недооценивает общее количество неопределённости.

Вычисление доверительного интервала

Таблица А1.1. Стандартные ошибки и доверительные интервалы для некоторых клинических измерений

Обычно ДИ вычисляют из наблюдаемой оценки количественного показателя, такого, как различие (d) между двумя пропорциями, и стандартной ошибки (SE) в оценке этого различия. Приблизительный 95% ДИ, получаемый таким образом, - d ± 1,96 SE. Формула изменяется согласно природе меры исхода и охвату ДИ. Например, в рандомизированном плацебо-контролируемом испытании бесклеточной коклюшной вакцины коклюш развивался у 72 из 1670 (4,3%) младенцев, получивших вакцину, и у 240 из 1665 (14,4%) в группе контроля. Различие в процентах, известное как абсолютное снижение риска, составляет 10,1%. SE этого различия равна 0,99%. Соответственно 95% ДИ составляет 10,1% + 1,96 х 0,99%, т.е. от 8,2 до 12,0.

Несмотря на разные философские подходы, ДИ и тесты на статистическую значимость тесно связаны математически.

Таким образом, величина Р «значимая», т.е. Р <0,05 соответствует 95% ДИ, который исключает величину эффекта, указывающую на отсутствие различия. Например, для различия между двумя средними пропорциями это ноль, а для относительного риска или отношения шансов - единица. При некоторых обстоятельствах эти два подхода могут быть не совсем эквивалентны. Преобладающая точка зрения: оценка с помощью ДИ - предпочтительный подход к суммированию результатов исследования, но ДИ и величина Р взаимодополняющи, и во многих статьях используются оба способа представления результатов.

Неопределенность (неточность) оценки, выражаемая в ДИ, в большой степени связана с квадратным корнем из размера выборки. Маленькие выборки предоставляют меньше информации, чем большие, и ДИ соответственно шире в меньшей выборке. Например, статья, сравнивающая характеристики трёх тестов, которые применяются для диагностики инфекции Helicobacter pylori , сообщила о чувствительности дыхательной пробы с мочевиной 95,8% (95% ДИ 75-100). В то время как число 95,8% выглядит внушительно, маленькая выборка из 24 взрослых пациентов с Я. pylori означает, что имеется значительная неопределенность в этой оценке, как показывает широкий ДИ. Действительно, нижний предел 75% намного ниже, чем оценка 95,8%. Если бы такая же чувствительность наблюдалась в выборке 240 человек, то 95% ДИ составлял бы 92,5-98,0, давая больше гарантий, что тест высокочувствителен.

В рандомизированных контролируемых испытаниях (РКИ) незначимые результаты (т.е. те, где Р >0,05) особенно подвержены неверному толкованию. ДИ особенно полезен здесь, поскольку он показывает, насколько совместимы результаты с клинически полезным истинным эффектом. Например, в РКИ, сравнивающем наложение анастомоза швом и скрепками на толстой кишке , раневая инфекция развилась у 10,9% и 13,5% пациентов соответственно (Р = 0,30). 95% ДИ для этого различия составляет 2,6% (от -2 до +8). Даже в этом исследовании, включавшем 652 пациента, остаётся вероятность, что существует умеренное различие в частоте инфекций, возникающих вследствие этих двух процедур. Чем меньше исследование, тем больше неуверенность. Сунг и соавт. выполнили РКИ, чтобы сравнить инфузию октреотида со срочной склеротерапией при остром кровотечении из варикозно-расширенных вен на 100 пациентах. В группе октреотида частота остановки кровотечения составила 84%; в группе склеротерапии - 90%, что даёт Р = 0,56. Заметим, что показатели продолжающегося кровотечения аналогичны таковым при раневой инфекции в упомянутом исследовании. В этом случае, однако, 95% ДИ для различия вмешательств равен 6% (от -7 до +19). Этот интервал весьма широк по сравнению с 5% различием, которое представляло бы клинический интерес. Ясно, что исследование не исключает значительной разницы в эффективности. Поэтому заключение авторов «инфузия октреотида и склеротерапия одинаково эффективны при лечении кровотечения из варикозно-расширенных вен» определённо невалидно. В подобных случаях, когда, как здесь, 95% ДИ для абсолютного снижения риска (АСР; absolute risk reduction - ARR, англ.) включает ноль, ДИ для ЧПЛП (NNT - number needed to treat, англ.) является довольно затруднительным для толкования. ЧПЛП и его ДИ получают из величин, обратных АСР (умножая их на 100, если эти величины даны в виде процентов). Здесь мы получаем ЧПЛП = 100: 6 = 16,6 с 95% ДИ от -14,3 до 5,3. Как видно из сноски «d» в табл. А1.1, этот ДИ включает величины ЧПЛП от 5,3 до бесконечности и ЧПЛВ от 14,3 до бесконечности.

ДИ можно построить для большинства обычно употребляемых статистических оценок или сравнений. Для РКИ он включает разность между средними пропорциями, относительными рисками, отношениями шансов и ЧПЛП. Аналогично ДИ можно получить для всех главных оценок, сделанных в исследованиях точности диагностических тестов - чувствительности, специфичности, прогностической значимости положительного результата (все они являются простыми пропорциями), и отношения правдоподобия - оценок, получаемых в метаанализах и исследованиях типа сравнения с контролем. Компьютерная программа для персональных компьютеров, которая покрывает многие из этих способов использования ДИ, доступна со вторым изданием «Statistics with Confidence». Макросы для вычисления ДИ для пропорций бесплатно доступны для Excel и статистических программ SPSS и Minitab на http://www.uwcm.ac.uk/study/medicine/epidemiology_ statistics/research/statistics/proportions, htm.

Множественные оценки эффекта лечения

В то время как построение ДИ желательно для первичных результатов исследования, они не обязательны для всех результатов. ДИ касается клинически важных сравнений. Например, при сравнении двух групп правилен тот ДИ, что построен для различия между группами, как показано выше в примерах, а не ДИ, который можно построить для оценки в каждой группе. Мало того, что бесполезно давать отдельные ДИ для оценок в каждой группе, это представление может вводить в заблуждение. Точно так же правильный подход при сравнении эффективности лечения в различных подгруппах - сравнение двух (или более) подгрупп непосредственно. Неправильно предполагать, что лечение эффективно только в одной подгруппе, если ее ДИ исключает величину, соответствующую отсутствию эффекта, а другие - нет . ДИ полезны также при сравнении результатов в нескольких подгруппах. На рис. А 1.1 показан относительный риск эклампсии у женщин с преэклампсией в подгруппах женщин из плацебо-контролируемого РКИ сульфата магния.

Рис. А1.2. Лесной график показывает результаты 11 рандомизированных клинических испытаний бычьей ротавирусной вакцины для профилактики диареи в сравнении с плацебо. При оценке относительного риска диареи использован 95% доверительный интервал. Размер чёрного квадрата пропорционален объёму информации. Кроме того, показана суммарная оценка эффективности лечения и 95% доверительного интервала (обозначается ромбом). В метаанализе использована модель случайных эффектов превышает некоторые предварительно установленные; например, это может быть размер, использованный при вычислении величины выборки. В соответствии с более строгим критерием весь диапазон ДИ должен показывать пользу, превышающую предустановленный минимум.

Мы уже обсуждали ошибку, когда отсутствие статистической значимости принимают как указание на то, что два способа лечения одинаково эффективны. Столь же важно не уравнивать статистическую значимость с клинической важностью. Клиническую важность можно предполагать, когда результат статистически значим и величина оценки эффективности лечения

Исследования могут показать, значимы ли результаты статистически и какие из них клинически важны, а какие - нет. На рис. А1.2 приведены результаты четырёх испытаний, для которых весь ДИ <1, т.е. их результаты статистически значимы при Р <0,05 , . После высказанного предположения о том, что клинически важным различием было бы сокращение риска диареи на 20% (ОР = 0,8), все эти испытания показали клинически значимую оценку сокращения риска, и лишь в исследовании Treanor весь 95% ДИ меньше этой величины. Два других РКИ показали клинически важные результаты, которые не были статистически значимыми. Обратите внимание, что в трёх испытаниях точечные оценки эффективности лечения были почти идентичны, но ширина ДИ различалась (отражает размер выборки). Таким образом, по отдельности доказательная сила этих РКИ различна.

Из данной статьи вы узнаете:

Что такое доверительный интервал ?

В чем суть правила 3-х сигм ?

Как можно применить эти знания на практике?

В наше время из-за переизбытка информации, связанного с большим ассортиментом товаров, направлений продаж, сотрудников, направлений деятельности и т.д., бывает трудно выделить главное , на что, в первую очередь, стоит обратить внимание и приложить усилия для управления. Определение доверительного интервала и анализ выхода за его границы фактических значений - методика, которая поможет вам выделить ситуации , влияющие на изменение тенденций. Вы сможете развивать позитивные факторы и снизить влияние негативных. Данная технология применяется во многих известных мировых компаниях.

Существуют так называемые "оповещения" , которые информируют руководителей о том, что очередное значение в определенном направлении вышло за доверительный интервал . Что это означает? Это сигнал, что произошло какое-то нестандартное событие, которое, возможно, изменит существующую тенденцию в данном направлении. Это сигнал к тому, чтобы разобраться в ситуации и понять, что на неё повлияло.

Например, рассмотрим несколько ситуаций. Мы рассчитали прогноз продаж с границами прогноза по 100 товарным позициям на 2011 год по месяцам и в марте фактические продажи:

1. По «Подсолнечному маслу» пробили верхнюю границу прогноза и не попали в доверительный интервал.
2. По «Сухим дрожжам» вышли за нижнюю границу прогноза.
3. По «Овсяным Кашам» пробили верхнюю границу.

По остальным товарам фактические продажи оказались в рамках заданных границ прогноза. Т.е. их продажи оказались в рамках ожиданий. Итак, мы выделили 3 товара, которые вышли за границы, и начали разбираться, что же повлияло на выход за границы:

1. По «Подсолнечному маслу» мы вошли в новую торговую сеть, которая дала нам дополнительный объем продаж, что привело к выходу за верхнюю границу. Для этого товара стоит пересчитать прогноз до конца года с учетом прогноза продаж в данную сеть.
2. По «Сухим дрожжам» машина застряла на таможне, и образовался дефицит в рамках 5 дней, что повлияло на снижение продаж и выход за нижнюю границу. Возможно, стоит разобраться, что послужило причиной и постараться не повторять данную ситуацию.
3. По «Овсяным Кашам» было запущено мероприятие по стимулированию сбыта, которое дало значительный прирост продаж и привело к выходу за границы прогноза.

Мы выделили 3 фактора, которые повлияли на выход за границы прогноза. В жизни их может быть гораздо больше.Для повышения точности прогнозирования и планирования факторы, которые приводят к тому, что фактические продажи могут выйти за границы прогноза, стоит выделить и строить прогнозы и планы по ним отдельно. А затем учитывать их влияние на основной прогноз продаж. Также можно регулярно оценивать влияние данных факторов и менять ситуацию к лучшему за счет уменьшения влияния негативных и увеличения влияния позитивных факторов .

С помощью доверительного интервала мы можем:

1. Выделить направления , на которые стоит обратить внимание, т.к. в этих направлениях произошли события, которые могут повлиять на изменение тенденции .
2. Определить факторы , которые реально влияют на изменение ситуации.
3. Принять взвешенное решение (например, о закупках, при планировании и т.д.).

Теперь рассмотрим, что такое доверительный интервал и как его рассчитать в Excel на примере.

Что такое доверительный интервал?

Доверительный интервал – это границы прогноза (верхняя и нижняя), в рамки которых с заданной вероятностью (сигма) попадут фактические значения.

Т.е. мы рассчитываем прогноз - это наш основной ориентир, но мы понимаем, что фактические значения вряд ли на 100% будут равны нашему прогнозу. И возникает вопрос, в какие границы могут попасть фактические значения, если существующая тенденция сохранится ? И на этот вопрос нам поможет ответить расчет доверительного интервала , т.е. - верхней и нижней границы прогноза.

Что такое заданная вероятность сигма?

При расчете доверительного интервала мы можем задать вероятность попадания фактических значений в заданные границы прогноза . Как это сделать? Для этого мы задаем значение сигма и, если сигма будет равна:

3 сигма - то, вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал составят 99,7%, или 300 к 1, или существует 0,3% вероятности выхода за границы.

2 сигма - то, вероятность попадания очередного значения в границы составляет ≈ 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1, или существует 4,5% вероятности выхода за границы.

1 сигма - то, вероятность ≈ 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1, или существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за пределы доверительного интервала.

Мы сформулировали правило 3 сигм, которое гласит, что вероятность попадания очередного случайного значения в доверительный интервал с заданным значением три сигма составляет 99.7% .

Великим русским математиком Чебышевым была доказана теорема о том, что существует 10% вероятность выхода за границы прогноза с заданным значением три сигма. Т.е. вероятность попадания в доверительный интервал 3 сигма составит минимум 90%, в то время как попытка рассчитать прогноз и его границы «на глазок» чревата куда более существенными ошибками.

Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?

Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд - продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.

Для расчета границ прогноза рассчитаем:

1. Прогноз продаж ().
2. Сигма - среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
3. Три сигма.
4. Доверительный интервал.

1. Прогноз продаж.

=(RC[-14](данные во временном ряду) - RC[-1](значение модели) )^2(в квадрате)

3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали... для каждого года.

Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()

СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)

4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этапво вложенном файле ).

Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))

С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n

Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца - этап 10 во вложенном файле .

3. Рассчитаем 3 сигма.

На 11 этапе задаем количество сигм - в нашем примере «3» (11 этапво вложенном файле ):

Также удобные для практики значения сигма:

1,64 сигма - 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);

1,96 сигма - 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);

2,6 сигма - 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).

5) Рассчитываем три сигма , для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».

3.Определяем доверительный интервал.

1. Верхняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
2. Нижняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;

Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где

Y8 - прогноз продаж;

W8 - номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;

Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).

Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».

Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.

Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.

В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.

Точных вам прогнозов и успехов!

Чем Forecast4AC PRO может вам помочь при расчете доверительного интервала ?:

Forecast4AC PRO автоматически рассчитает верхнюю или нижнюю границы прогноза для более чем 1000 временных рядов одновременно;

Возможность анализа границ прогноза в сравнении с прогнозом, трендом и фактическими продажами на графике одним нажатием клавиши;

В программе Forcast4AC PRO есть возможность задать значение сигма от 1 до 3.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа :

• Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel .
• 4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.