Итак, мы с вами недавно узнали о . Что есть в мире нечто посерединке, отличное от абсолютизируемых цифровкой „Истины“ и „Лжи“. Даже научились немного операциям, с помощью которых это третье состоянье („Мера“) переводится в истину („+“) или ложь („-“). И наоборот. Мы поняли, как именно ложь и истина способны «прятаться» в этом третьем состоянии („0“).
Давайте приступим к изучению логики этого мира, отличного от двоичного мира американского Спектакля. От чёрно-белой логики плохо/хорошо, с помощью которой СМИ снабжает информацией дрессирует обывателя.
5. Двуместные операции.
Операции с двумя переменными называются двуместными («бинарными»). Если учитывать третье состояние, а в трёхзначной логике оно учитывается, то всего существует 19683 двуместных операций. Десятки тысяч операций сложно разобрать в одной таблице, как мы поступили с унарными операциями в третьем параграфе. Чтобы учесть их все, нужны математические методы, выходящие за рамки этого обзора.Поэтому о двуместных операциях куда меньше информации в Сети. Основной материал этого постинга взят из второй главы («k-значная логика») книжки С.В. Яблонского «Введение в дискретную математику» , по которой нам и преподавали матлогику на мехмате МГУ. Его применение к трёхзначной логике учитывает ту информацию о советской машине «Сетунь», которую мне передал slobin из школы акад. Брусенцова, разработчика этой машины.
Хэкерство не сводится к науке, т.к. подводит к дзэнскому просветлению, а не исходит из католической схоластики. Но изучение компьютерных наук, как мы видим, способно помочь на пути хэкера.
Интерпретация трёхзначной логики, помогающая освоить её побыстрее, отражает непростое время «цифровой оккупации» страны, в которой мы все живём. За эпиграф отдельное спасибо magenta_13 .
5.1. Конъюнкция и дизъюнкция.
Программисты зарубежных двоичных машин должны помнить простенькие логические операции И, ИЛИ (AND, OR). Математики их называют конъюнкцией x&y (в некоторых работах Брусенцова встречается запись x∧y , как дань уважения Лукашевичу) и дизъюнкцией x∨y соответственно. В трёхзначной логике (если использовать префиксную нотацию ) их проще запомнить, как операции min(x,y) и max(x,y) . Любая трёхзначная функция (сколько угодно аргументов) может быть довольно легко записана с помощью этих двух операций и операций выбора (S + , S , S -) из .Вот карты Карно («таблицы Пифагора») для этих двух операций. Они коммутативны, поэтому можете искать x и y хоть по горизонтали, хоть по вертикали («переместительный закон»). Результат будет на пересечении:
|
|
Если вы научили машину делать отрицание Лукашевича (~x=NOT x), то одна из этих функций избыточна, ведь ~min(x,y)=max(~x,~y) . Теперь разберём смысл, интерпретацию этих двух важнейших операций трёхзначной логики. Сразу заметим, что если на входе нет „третьего состоянья“, то эти две функции неотличимы от соответствующих функций профессора Буля.
5.1.1. Логическое И (конъюнкция).
Операцию A&B=min(A,B) часто называют логическим И (Logical AND). Почему? Представим, что ваш проект зависит от нескольких других. В простейшем случае, от каждого из двух других проектов. Всё получится, если Вася сделает обещанное и у Маши тоже всё получится.Пусть A обозначает "у Васи всё получилось", B это "у Маши всё получилось", а C это "у Васи и Маши всё получилось". Оказывается, что C=A&B . Эту формулу легко доказать, ведь состояний всего три и перебрать все можно довольно быстро:
- Случай, когда и Вася, и Маша справились (оба „+“) понятен. Общий проект получился, результат "логического И" тоже „истина“ („+“). Это единственный случай, когда вы можете твёрдо заявить об успехе.
- Случай, когда кто-нибудь из них не справился („-“) тоже понятен. Независимо от усердства другого, общий проект тоже не удался („-“).
- Если среди проектов есть незавершённые („третье состоянье“), но явных провалов нет, тогда статус общего проекта тоже неизвестен („0“).
5.1.2. Логическое ИЛИ (дизъюнкция).
Вторая операция A∨B=max(A,B) называется логическим ИЛИ (Logical OR). Предположим, что для успеха нашего проекта (C) достаточен успех лишь одного из других. При этом не важно, кто именно добьётся своего - Вася (A) или Маша (B).В этом случае C=A∨B . Разберём возможные случаи:
- Кто-то добился успеха (A=„+“ или B=„+“). Тогда, независимо от статуса другого проекта, мы тоже выиграли (C=„+“).
- Оба проиграли (A=„-“ и B=„-“ одновременно). Это единственный случай, когда удача не на нашей стороне (C=„-“).
- Явных успехов нет ни у кого (A≠„+“ и B≠„+“), но на кого-то ещё осталась надежда (A=„0“ или B=„0“). В этом случае наш проект ещё не окончен (C=„0“).
5.2. Алгебра логики.
Как нам напомнил slobin , трёхзначная логика не является булевым кольцом. У неё свой математический аппарат. Его полезно изучить, ведь это поможет почувствовать трёхзначную логику и смелее в ней оперировать. Все эти законы и свойства легко доказать, перебрав все значения входящих в них переменных.Алгебраический подход заключается в том, чтобы определить над множеством {„-“, „0“, „+“} двуместные {&, ∨} и одноместные {", S, ~} операции с помощью законов, а оставшиеся свойства уже выводить из них алгебраически. При этом наборы законов (системы аксиом ) могут быть разными. Главное, чтобы из каждого набора можно было вывести все оставшиеся (не включённые в набор) свойства в качестве следствий.
1. Переместительный закон
(законы коммутативности). Как я уже написал, операции a&b и a∨b коммутативны:
a&b = b&a
a∨b = b∨a
2. Сочетательный закон
(законы ассоциативности).
a&(b&c) = (a&b)&c
a∨(b∨c) = (a∨b)∨c
3. Распределительный закон
(законы дистрибутивности). Как и в булевской алгебре, каждая из двух операций &, ∨ дистрибутивна
относительно другой (кстати, операция & имеет больший приоритет, чем операция ∨):
a&(b∨c) = a&b ∨ a&c
a ∨ b&c = (a∨b)&(a∨c)
4. Идемпотентность
конъюнкции и дизъюнкции означает, что:
a&a = a
a∨a = a
5. Закон двойного (и тройного) отрицания
. Отрицание Лукашевича ~a и циклическое отрицание a" подчиняются следующим законам:
~~a = a (инволютивность
отрицания Лукашевича, то есть обратность самому себе)
a""" = a
Здесь же можно привести определения двух «крайних» операций выбора. Эти тождества приводились в качестве свойств, когда мы определяли операции выбора с помощью таблиц истинности. Считаем, что циклическое отрицание a" обладает большим приоритетом, чем операции выбора:
S - a = Sa"
S + a = Sa""
6. Свойства констант
в общем-то традиционны:
a & „+“ = a
a & „-“ = „-“
a ∨ „+“ = „+“
a ∨ „-“ = a
~ „-“ = „+“
~ „+“ = „-“
К ним добавлены свойства циклического отрицания констант, фактически его буквальное определение:
„-“ " = „0“
„0“ " = „+“
„+“ " = „-“
Также появились два новых свойства, связанных с неизменностью третьего состоянья при отрицании Лукашевича:
~ „0“ = „0“
~(a & „0“) = ~a ∨ „0“
7. Законы де Моргана
(законы дуальности) используют отрицание Лукашевича. Один из них я уже упомянул:
~(a&b) = ~a ∨ ~b
~(a∨b) = ~a & ~b
8. Законы поглощения
:
a & (a∨b) = a
a ∨ a&b = a
9. Антиизотропность отрицания Лукашевича
использует тот факт, что логические значения строго упорядочены („-“ < „0“ < „+“):
a≤b ⇒ ~a ≥ ~b
Более того, если пользоваться операцией сравнения (см. ниже), то справедливо более сильное утверждение:
a mag b ⇔ ~b mag ~a
Впрочем, из-за наличия меры (состоянья „0“) некоторые законы (например законы дополнительности конъюнкции и дизъюнкции) оказываются неверными. Их место занимают другие законы. Кстати, справедливость некоторых из этих законов ставилась под сомненье целыми математическими школами.
10. Закон несовместности состояний
пришёл на смену закону противоречия
, который в трёхзначной логике неверен. Высказывание a & ~a не всегда ложно, не всегда „-“. Зато выполняются следующие тождества:
Sa & Sa"" = „-“
Sa" & Sa"" = „-“
Sa" & Sa = „-“
Эти тождества означают, что a не может принять два состояния одновременно. Их можно записать с помощью операций S - и S + :
Sa & S + a = „-“
S - a & S + a = „-“
S - a & Sa = „-“
11. Закон полноты состояний
сменил неверный закон исключённого третьего
. Действительно, высказывание a ∨ ~a не всегда истинно, не всегда „+“. Третье дано, поэтому следующее высказывание истинно (оно снова потребует поправки при увеличении числа состояний, например при переходе в четырёхзначную логику):
Sa" ∨ Sa ∨ Sa"" = „+“ , или
S - a ∨ Sa ∨ S + a = „+“
Иногда этот закон формулируют, как закон исключённого четвёртого
:
a ∨ a" ∨ a"" = „+“
12. Закон трёхчленного склеивания
сменил неверный закон склеивания
. В троичной логике a&b ∨ a&~b ≠ a и (a∨b) & (a∨~b) ≠ a , зато:
a&Sb" ∨ a&Sb ∨ a&Sb"" = a , или
a&S - b ∨ a&Sb ∨ a&S + b = a
13. Закон обобщённого трёхчленного склеивания
сменил неверный закон обобщённого склеивания
(теоремы консенсуса
). В троичной логике a&c ∨ b&~c ∨ a&b ≠ a&c ∨ b&~c и (a∨b) & (~a∨c) & (b∨c) ≠ (a∨b) & (~a∨c) , зато:
a&Sd" ∨ b&Sd ∨ c&Sd"" ∨ a&b&c = a&Sd" ∨ b&Sd ∨ c&Sd"" , или
a&S - d ∨ b&Sd ∨ c&S + d ∨ a&b&c = a&S - d ∨ b&Sd ∨ c&S + d
14. Трёхчленный закон Блейка-Порецкого
сменил неверный закон Блейка-Порецкого
. Действительно, a ∨ ~a&b ≠ a∨b и a & (~a∨b) ≠ a&b , зато:
a ∨ Sa"&b ∨ Sa&b = a∨b , или
a ∨ S - a&b ∨ Sa&b = a∨b
5.3. Логическое умножение и сложение по модулю три.
Удивительно, но в таблице команд машины «Сетунь» не было ни конъюнкции, ни дизъюнкции. Наряду с арифметическими операциями там была единственная «функция 20», поразрядное логическое умножение . Это обычное умножение, знакомое нам с детства:| x∧y= =x∙y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | + | 0 | - |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| + | - | 0 | + |
Оно позволяет сохранить, обнулить или изменить знак тритов. Если к обнулённым тритам прибавить (арифметически) единички или минус единички, мы получим всё разнообразие, нужное программистам. Исходя из этого данная логическая операция и была выбрана Брусенцовым для аппаратной реализации в «Сетуни», ведь он экономил пространство команд.
Сложение по модулю три напоминает двоичный XOR. Это обычное сложение, только без переноса: в случае переполнения разрядной сетки оно сохраняет лишь младший трит. Как и двоичный XOR, сложение по модулю три либо оставляет трит неизменным, либо изменяет его (производит операции INC / DEC , в зависимости от знака соответствующего трита).
| x⊕y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | + | - | 0 |
| 0 | - | 0 | + |
| + | 0 | + | - |
Эти две важные и полезные операции не найти у Яблонского. Вместо них русский учёный рассматривал аналогичные операции для троичной системы с базисом (0,1,2) - более сложной в аппаратной реализации, да и не нужной никому.
5.4. Функция Вебба, как надежда русской революции.
Люди, всерьёз интересовавшиеся логикой профессора Буля, помнят штрих Шеффера и стрелку Пирса. Есть ли здесь подобные двуместные операции? Оказывается, есть. Двуместная операция, которую математики называют функцией Вебба (x|y=V 3 (x,y)=INC max(x,y)), позволяет реализовать все другие трёхзначные функции. Вы не ослышались, именно все. И одноместные (например INC x=V 3 (x,x)), и двуместные (например x∨y=INC INC V 3 (x,y)). Разумеется, её таблица истинности напоминает дизъюнкцию:| x|y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | 0 | + | - |
| 0 | + | + | - |
| + | - | - | - |
Вполне возможно, что именно логическим элементам, реализующим функцию Вебба, придётся сыграть роль троичных ЛА3"их (элементов И-НЕ). И от качества реализации этой функции, количества транзисторов будет зависеть эффективность будущих отечественных троичных процессоров.
Впрочем, функция DEC max(x,y) (а возможно, что и INC min(x,y) , DEC min(x,y)) ничем не хуже. Вопрос лишь в том, какую из них мы сможем реализовать наиболее эффективно.
6. Практические нужды.
Этот раздел постепенно дописывается. Я уже полностью описал трёхзначную логику. Но всегда есть некоторые добавления и уточнения, важные для конкретных областей деятельности.6.1. Функции, важные для инженеров.
Есть несколько функций, которые Брусенцов счёл полезными при проектировании троичных устройств. Во-первых, это одноместные арифметические функции отделения двоичных компонент α - , α° и α + , которые легко получаются из логических операций выбора:Во-вторых, это пороговое сложение x+y , которое в отличии от сложения по модулю 3 при переполнении выдаёт самое большое (или самое маленькое) значение, умещающееся в трите. Оно не является ассоциативным, но, по свидетельству Брусенцова, существенно проще в аппаратной реализации:
Стив Грабб предложил и реализовал ещё три двуместные функции. Во-первых, это исключающий максимум (Exclusive Max) x⇑y . Результат этой забавной функции равен максимуму двух операндов или „-“, если эти операнды совпадают:
Последняя из функций, предложенных Стивом Граббом называется сравнение
(Magnitude) x≡y , она сравнивает величины двух аргументов. Значение этой функции „-“, если x
| x≡y | - | 0 | + |
|---|---|---|---|
| - | 0 | + | + |
| 0 | - | 0 | + |
| + | - | - | 0 |
6.2. Функции, важные для математиков.
Некоторые функции имеют мало практического смысла для компьютерщиков, но играют важную роль в математической логике, историческую или научную. Приведу их здесь, для полноты картины. Кто знает, быть может что-то из этого наследства заиграет новыми красками в троичных компьютерах...Пионером троичной логики был поляк Лукашевич. Наше логическое ИЛИ он обозначал x∧y и называл слабой конъюнкцией
, а значком x&y обозначал совсем другую, сильную конъюнкцию
, карта Карно которой приведена ниже. Справа приведена импликация Лукашевича
x→ л y (x по горизонтали), которая важна в модальной логике
:
Свои операции конъюнкции и импликации предложил американец Клини. В его интерпретации третье состоянье означало «неопределено»:
| 7. Итоги.Как я уже отметил, существуют десятки тысяч двуместных операций. Полная таблица будет необозрима. Ниже приводится таблица, содержащая в краткой форме все рассмотренные операции.
8. Четвёртое измеренье состоянье.Разработчики давно поняли, что логика профессора Буля недостаточна для построения компьютера. Так компьютерная сеть «с общей шиной» (например Ethernet) требует объединения всех входов и выходов сетевых карт. Объединение входов понятно, все считывают с общего кабеля одну и ту же информацию. Но что такое объединение выходов? Если один компьютер захочет вывести „1“, а соседний „0“, то что получится на шине, что будут считывать входы?Многие современные схемы используют «третье состоянье» (которое скорее административное, чем логическое) и работают на стыке двоичной и троичной логик. Это состояние называется высокий импеданс («отключено»). В частности, в него переходят Интернет-сайты во время DoS-атак. :-) В случае общей шины все выходы должны уметь находиться в этом, третьем состоянии. И только один из них должен выводить на общую шину нолик или единичку, «ложь» или «истину». Аналогично, если мы хотим воспользоваться всеми преимуществами троичной связи, нам придётся прибегать к четвёртому состоянию «высокого импеданса». Впрочем, четырёхзначная логика легко сводится к двоичной. Просто операции производятся над двумя битиками сразу, а не над одним. Коренное отличие лишь в том, что четырёхзначные операции над битом способны влиять на «парный» бит. Впрочем, описываемое «четвёртое состояние» тоже будет нести не логическую, а «административную» функцию. |
Наверняка на хабре уже немало постов на эту тему. Тем не менее, я попытаюсь рассказать свою точку зрения на всё это…
Однажды я прочитал в интернете про троичную систему счисления и заинтересовался. Меня мучил вопрос, а нельзя использовать в основе компьютера симметричную троичную систему счисления (СС), и даже вдруг это увеличит производительность компьютера? Мне казалось, что это возможно, и я жаждал это проверить.
Информация:
Троичная система счисления
- позиционная система счисления с целочисленным основанием, равным 3. Существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная.
В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в симметричной троичной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}.
У некоторых людей эта логика вызывает затруднения. Они говорят, например, приведите пример подобной логики в жизни.
Человек, немного подумавший над этой логикой поймет, что она более жизненна чем двоичная. Обычный пример троичной логики в жизни связан с постоянным током: ток движется в одну сторону, в другую сторону, его нет.
Оказалось, что симметричная троичная система счисления использовалась давным-давно для решения «задачи о гирях», использовалась в компьютере Сетунь , построенном в 50-е годы в МГУ. С 2008 года в университете « California Polytechnic State University of San Luis Obispo» функционирует цифровая компьютерная система TCA2 , основанная на троичной системе счисления.
В чем же плюсы троичной СС над двоичной? Рассмотрим эти плюсы:Меньше разрядов
(Написано разжевано, чтобы каждый смог понять суть этого пункта)
Возьмем число 10 в десятичной СС и переведем его в двоичную СС, получим 1010, переведем в троичную симметричную СС, получим +0+, ну а если в троичную несимметричную СС, то получим 101. Из этого мы видим, что в некоторых числах в троичной симметричной и несимметричной СС-ах меньше разрядов, чем в двоичной СС.
Возьмем число 5 в десятичной СС и переведем его в двоичную СС, получим 101, переведем в троичную симметричную СС, то получим +--, ну а если в троичную несимметричную СС, то получим 12. Из этого мы видим, что в некоторых числах в троичной несимметричной СС меньше разрядов, чем в двоичной и троичной симметричной СС-ах.Емкость
Троичная СС вмещает больший диапазон чисел, т.к. 3^n>2^n (где n-натуральное число). Например, если n=9, то 3^9=19683>2^9=512.
3.Экономичность системы счисления
Экономичность системы счисления - запас чисел, который можно записать в данной системе с помощью определенного количества знаков. Чем больше запас тем экономичнее система. По затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления. Обозначим p основание системы счисления, n количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел которое при этом можно записать будет равно pn/p.
Мы рассмотрели троичную арифметику, теперь затронем логику:
В чем же проблемы двоичной логики?
1.Мощности компьютера, основанного на двоичной логике, не всегда хватает. Приведем пример. Одна из наиболее сложных систем защиты – криптосистема RSA. Вскрытие шифра RSA с длиной ключа 1024 бита (такая длина часто используется в информационных системах) займет в лучшем случае - при проведении распределенных вычислений на тысячах мощных ПК - не менее пятнадцати лет, а к тому времени данная система шифровки перестанет быть востребованной.
Докажем математически какая система счисления будет наилучшей для максимальной мощности и емкости памяти. Для этого рассмотрим функцию f(p)=p^(n/p), в которой p – основание системы счисления, а n – количество требуемых знаков. Тогда получим n/p разрядов требуемых для записи этого набора знаков в заданной системе счисления, а количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно pn/p
F(p)=p^(n/p)
Для того, чтобы определить максимальное значение функции, найдем ее производную:
ln f = ln p^(n/p)
ln f =n/p* ln p
...(Я не буду приводить здесь всю математику)
n*p^(n/p-2) никогда не будет равно 0 => (1 - ln p)=0, ln p = 1, p = e
e = 2,71, а ближайшее целое число к нему – это три.
Значит, в этом плане лучшая система с целочисленным основанием - троичная.
Самое вкусненькое - рассмотрим троичные логические операции:
1.Отрицание
2.Конъюнкция - логическое И
3.Дизъюнкция - логическое ИЛИ
4.Операция Выбора
. Эта операция существует только для троичной логики. Таблица истинности каждой из этих трёх операций содержит везде „-“, кроме единственного значения, которое ею можно выбрать.
5.Модификация
. Полное название этих одноместных операций: увеличение на единицу по модулю три (INC) и уменьшение на единицу по модулю три (DEC). Увеличение на единицу по модулю три – это циклическое прибавление единицы.
Здесь видны и прежде знакомые вам логические операции из двоичной логики, но добавились и новые…
Квантовые компьютеры
Квантовый компьютер - вычислительное устройство, работающее на основе квантовой механики. Квантовый компьютер принципиально отличается от классических компьютеров, работающих на основе классической механики.Благодаря огромной скорости разложения на простые множители, квантовый компьютер позволит расшифровывать сообщения, зашифрованные при помощи популярного асимметричного криптографического алгоритма RSA. До сих пор этот алгоритм считается сравнительно надёжным, так как эффективный способ разложения чисел на простые множители для классического компьютера в настоящее время неизвестен. Для того, например, чтобы получить доступ к кредитной карте, нужно разложить на два простых множителя число длиной в сотни цифр. Даже для самых быстрых современных компьютеров выполнение этой задачи заняло бы больше времени, чем возраст Вселенной, в сотни раз. Благодаря алгоритму Шора эта задача становится вполне осуществимой, если квантовый компьютер будет построен.
Канадская компания D-Wave заявила в феврале 2007 года о создании образца квантового компьютера, состоящего из 16 кубит. Это устройство работает на кубитах - квантовых аналогах битов.
Но можно построить компьютеры не на битах, а на кутритах - аналогах трита в квантовом компьютере.
Кутрит (квантовый трит) - квантовая ячейка, имеющая три возможных состояния.
Подлинное новаторство метода Ланьона в том, что, используя в универсальных квантовых вентилях кутриты вместо кубитов, исследователи могут существенно снизить количество необходимых вентилей.
Ланьон утверждает, что компьютер, который в обычном случае использовал бы 50 традиционных квантовых вентилей, сможет обойтись всего девятью, если будет основан на троичном представлении.
Также, согласно некоторым исследованиям, использование кутритов вместо кубитов позволит упростить реализацию квантовых алгоритмов и компьютеров.
Итог:
В конечном итоге видно, что троичная симметричная система лучше двоичной системы в некоторых показателях, но не сильно выигрывает. Но с пришествием квантовых компьютеров троичные вычисления получили новую жизнь. Универсальные квантовые логические вентили - краеугольный камень новорожденных квантовых вычислительных систем - требует сотни вентилей для завершения одной полезной операции. Квантовый компьютер канадской компании D-Wave, анонсированный в прошлом году, состоит всего из 16 квантовых битов - кубитов - минимум, необходимый для управляемого вентиля «NOT». Использование в квантовом компьютере кутритов нужно было бы намного меньше вентилей для завершения одной операции. Я думаю, если бы началось производство и тестирование таких компьютеров, то результаты были бы лучше, чем у обычных компьютеров, вскоре началось бы массовое их производство, и про двоичные компьютеры все бы забыли…
С двумя чёткими и с одним нечётким значением помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое нечётко и трактуется как «не определено» или «неизвестно».
Физическая реализация
При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы , в общем случае не обязательно электронные.
Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП -технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная. Например, существует лишь 16 комбинаций входов-выходов двухвходового двоичного вентиля, тогда как у аналогичного троичного вентиля таких комбинаций 19683.
На основе троичных элементов - троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова - в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь », выпущена в 46 экземплярах.
Логики
Логики Клини и Приста
Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox) Приста. Обе логики имеют три логических значения - «истина», «ложь» и «неопределённость», которые в логике Клини обозначаются буквами F (False), U (Unknown), T (True), а в логике Приста числами -1, 0 и 1.
| A ∧ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| F | U | T | ||
| A | F | F | F | F |
| U | F | U | U | |
| T | F | U | T | |
| A ∨ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| F | U | T | ||
| A | F | F | U | T |
| U | U | U | T | |
| T | T | T | T | |
| A ∧ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | +1 | ||
| A | −1 | −1 | −1 | −1 |
| 0 | −1 | 0 | 0 | |
| +1 | −1 | 0 | +1 | |
| A ∨ B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| −1 | 0 | +1 | ||
| A | −1 | −1 | 0 | +1 |
| 0 | 0 | 0 | +1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | |
Значение U присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции OPER выполняется соотношение OPER(F,F)=OPER(F,T), то OPER(F,U)=OPER(F,F)=OPER(F,T). Аналогично, если OPER(T,F)=OPER(T,T), то OPER(T,U)=OPER(T,F)=OPER(T,T).
При численном обозначении логических значений (–1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bar{X}=-X;
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \lor Y = max(X,Y);
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \land Y = min(X,Y).
Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X \rightarrow Y \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \bar{X} \lor Y
.
Таблицы истинности для неё
| A → B | B | |||
|---|---|---|---|---|
| +1 | 0 | −1 | ||
| A | +1 | +1 | 0 | −1 |
| 0 | +1 | 0 | 0 | |
| −1 | +1 | +1 | +1 | |
Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.
См. также
Напишите отзыв о статье "Троичная логика"
Примечания
Литература
- Васильев Н. И. Воображаемая логика. - М .: Наука, 1989.
- Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. - М .: Наука, 1997.
- Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. - М .: Мир, 1973.
- Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. - М .: Иностранная литература, 1959.
- Слинин Я. А. Современная модальная логика. - Л. : Издательство Ленинградского университета, 1976.
- Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. - М .: Наука, 1967.
- Гетманова А. Д. Учебник по логике. - М .: Владос, 1995. - С. 259-268. - 303 с. - ISBN 5-87065-009-7.
- Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. - М .: Машиностроение, 1990. - 560 с. - ISBN 5-217-00617-X.
Ссылки
Отрывок, характеризующий Троичная логика
– Я звала её... Но моя девочка, наверное, спит, так как не отвечает... Она устала, думаю. Я не хочу тревожить её покой. Потому, поговори со мною, Север.Он печально-понимающе посмотрел мне в глаза и тихо спросил:
– Что ты хочешь узнать, мой друг? Спрашивай – я постараюсь ответить тебе на всё, что тебя тревожит.
– Светодар, Север... Что стало с ним? Как прожил свою жизнь на Земле сын Радомира и Магдалины?..
Север задумался... Наконец, глубоко вздохнув, будто сбрасывая наваждение прошлого, начал свой очередной захватывающий рассказ...
– После распятия и смерти Радомира, Светодара увезли в Испанию рыцари Храма, чтобы спасти его от кровавых лап «святейшей» церкви, которая, чего бы это ни стоило, пыталась найти и уничтожить его, так как мальчик являлся самым опасным живым свидетелем, а также, прямым продолжателем радомирова Дерева Жизни, которое должно было когда-нибудь изменить наш мир.
Светодар жил и познавал окружающее в семье испанского вельможи, являвшегося верным последователем учения Радомира и Магдалины. Своих детей, к их великой печали, у них не было, поэтому «новая семья» приняла мальчика очень сердечно, стараясь создать ему как можно более уютную и тёплую домашнюю обстановку. Назвали его там Амори (что означало – милый, любимый), так как своим настоящим именем называться Святодару было опасно. Оно звучало слишком необычно для чужого слуха, и рисковать из-за этого жизнью Светодара было более чем неразумно. Так Светодар для всех остальных стал мальчиком Амори, а его настоящим именем звали его лишь друзья и его семья. И то, лишь тогда, когда рядом не было чужих людей...
Очень хорошо помня гибель любимого отца, и всё ещё жестоко страдая, Светодар поклялся в своём детском сердечке «переделать» этот жестокий и неблагодарный мир. Поклялся посвятить свою будущую жизнь другим, чтобы показать, как горячо и самозабвенно любил Жизнь, и как яростно боролся за Добро и Свет и его погибший отец...
Вместе со Светодаром в Испании остался его родной дядя – Радан, не покидавший мальчика ни ночью, ни днём, и без конца волновавшийся за его хрупкую, всё ещё несформировавшуюся жизнь.
Радан души не чаял в своём чудесном племяннике! И его без конца пугало то, что однажды кто-то обязательно их выследит, и оборвёт ценную жизнь маленького Светодара, которому, уже тогда, с самых первых лет его существования, суровая судьба предназначала нести факел Света и Знания в наш безжалостный, но такой родной и знакомый, Земной мир.
Прошло восемь напряжённых лет. Светодар превратился в чудесного юношу, теперь уже намного более походившего на своего мужественного отца – Иисуса-Радомира. Он возмужал и окреп, а в его чистых голубых глазах всё чаще стал появляться знакомый стальной оттенок, так ярко вспыхивавший когда-то в глазах его отца.
Светодар жил и очень старательно учился, всей душой надеясь когда-нибудь стать похожим на Радомира. Мудрости и Знанию его обучал пришедший туда Волхв Истень. Да, да, Изидора! – заметив моё удивление, улыбнулся Сеевер. – тот же Истень, которого ты встретила в Мэтэоре. Истень, вместе с Раданом, старались всячески развивать живое мышление Светодара, пытаясь как можно шире открыть для него загадочный Мир Знаний, чтобы (в случае беды) мальчик не остался беспомощным и умел за себя постоять, встретившись лицом к лицу с врагом или потерями.
Простившись когда-то очень давно со своей чудесной сестрёнкой и Магдалиной, Светодар никогда уже больше не видел их живыми... И хотя почти каждый месяц кто-нибудь приносил ему от них свежую весточку, его одинокое сердце глубоко тосковало по матери и сестре – его единственной настоящей семье, не считая, дяди Радана. Но, несмотря на свой ранний возраст, Светодар уже тогда научился не показывать своих чувств, которые считал непростительной слабостью настоящего мужчины. Он стремился вырасти Воином, как его отец, и не желал показывать окружающим свою уязвимость. Так учил его дядя Радан... и так просила в своих посланиях его мать... далёкая и любимая Золотая Мария.
После бессмысленной и страшной гибели Магдалины, весь внутренний мир Светодара превратился в сплошную боль... Его раненная душа не желала смиряться с такой несправедливой потерей. И хотя дядя Радан готовил его к такой возможности давно – пришедшее несчастье обрушилось на юношу ураганом нестерпимой муки, от которой не было спасения... Его душа страдала, корчась в бессильном гневе, ибо ничего уже нельзя было изменить... ничего нельзя было вернуть назад. Его чудесная, нежная мать ушла в далёкий и незнакомый мир, забрав вместе с собой его милую маленькую сестрёнку...
Он оставался теперь совсем один в этой жестокой, холодной реальности, даже не успев ещё стать настоящим взрослым мужчиной, и не сумев хорошенько понять, как же во всей этой ненависти и враждебности остаться живым...
Но кровь Радомира и Магдалины, видимо, недаром текла в их единственном сыне – выстрадав свою боль и оставшись таким же стойким, Светодар удивил даже Радана, который (как никто другой!) знал, сколь глубоко ранимой может быть душа, и как тяжко иногда даётся возвращение назад, где уже нету тех, кого ты любил и по кому так искренне и глубоко тосковал...
Светодар не желал сдаваться на милость горя и боли... Чем безжалостнее «била» его жизнь, тем яростнее он старался бороться, познавая пути к Свету, к Добру, и к спасению заблудших во тьме человеческих душ... Люди шли к нему потоком, умоляя о помощи. Кто-то жаждал избавиться от болезни, кто-то жаждал вылечить своё сердце, ну, а кто-то и просто стремился к Свету, которым так щедро делился Светодар.
Тревога Радана росла. Слава о «чудесах», творимых его неосторожным племянником, перевалила за Пиренейские горы... Всё больше и больше страждущих, желали обратиться к новоявленному «чудотворцу». А он, будто не замечая назревавшей опасности, и дальше никому не отказывал, уверенно идя стопами погибшего Радомира...
Прошло ещё несколько тревожных лет. Светодар мужал, становясь всё сильнее и всё спокойнее. Вместе с Раданом они давно перебрались в Окситанию, где даже воздух, казалось, дышал учением его матери – безвременно погибшей Магдалины. Оставшиеся в живых Рыцари Храма с распростёртыми объятиями приняли её сына, поклявшись хранить его, и помогать ему, насколько у них хватит на это сил.
И вот однажды, наступил день, когда Радан почувствовал настоящую, открыто грозящую опасность... Это была восьмая годовщина смерти Золотой Марии и Весты – любимых матери и сестры Светодара...
– Смотри, Изидора... – тихо произнёс Север. – Я покажу тебе, если желаешь.
Передо мной тут же появилась яркая, но тоскливая, живая картина...
Хмурые, туманные горы щедро окроплял назойливый, моросящий дождь, оставлявший в душе ощущение неуверенности и печали... Серая, непроглядная мгла кутала ближайшие замки в коконы тумана, превращая их в одиноких стажей, охранявших в долине вечный покой... Долина Магов хмуро взирала на пасмурную, безрадостную картину, вспоминая яркие, радостные дни, освещённые лучами жаркого летнего солнца... И от этого всё кругом становилось ещё тоскливее и ещё грустней.
Высокий и стройный молодой человек стоял застывшим «изваянием» у входа знакомой пещеры, не шевелясь и не подавая никаких признаков жизни, будто горестная каменная статуя, незнакомым мастером выбитая прямо в той же холодной каменной скале... Я поняла – это наверняка и был взрослый Светодар. Он выглядел возмужавшим и сильным. Властным и в то же время – очень добрым... Гордая, высоко поднятая голова говорила о бесстрашии и чести. Очень длинные светлые волосы, повязаны на лбу красной лентою, ниспадали тяжёлыми волнами за плечи, делая его похожим на древнего короля... гордого потомка Меравинглей. Прислонившись к влажному камню, Светодар стоял, не чувствуя ни холода, ни влаги, вернее – не чувствуя ничего...
Здесь, ровно восемь лет назад, скончалась его мать – Золотая Мария, и его маленькая сестра – смелая, ласковая Веста... Они умерли, зверски и подло убитые сумасшедшим, злым человеком... посланным «отцами» святейшей церкви. Магдалина так и не дожила, чтобы обнять своего возмужавшего сына, так же смело и преданно, как она, идущего по знакомой дороге Света и Знания.... По жестокой земной дороге горечи и потерь...
- Во имя чего, мистер Андерсон?
Почему вы встаете и продолжаете драться?
Вы должны понять, что не сможете победить,
сопротивление бессмысленно.
Так почему вы упорствуете, почему???
- Потому что это мой выбор.
Из к/ф «Матрица»
В 1950-е годы группой советских учёных и инженеров под руководством Николая Петровича Брусенцова (1925-2014) была создана электронно-вычислительная машина на основе троичной логики под названием Сетунь. Это сейчас, по прошествии десятков лет, когда двоичность и компьютеры стали понятиями голограммами, такие идеи разработок кажутся необычными, но еще больше они остаются непонятыми. А ведь это было открытие, способное невероятно изменить (или ускорить?) ход истории всего человечества.
Понятно, что для работы любой электронно-вычислительной машины необходимо ей задать правила по которым она будет работать. Эти правила, в самом общем смысле - есть логика, которая ведет за собой соответствующую систему счисления и алгоритмы работы. Всем нам знакома наука Логика, она же Формальная Логика. Хотя ее еще называют аристотелевой логикой, на самом деле она такой не является. Извращение силлогистики Аристотеля и подмены ее формальной логикой началось, по словам Н.П.Брусенцова, еще римскими стоиками. Видимо тогда человечество и начали глобально водить за нос. Продолжилось одурачивание уже в наше время. Логика, которую сегодня считают математической - основана на ошибке. Совершил ее Гильберт. В его совместной с Аккерманом книге «Основы теоретической логики» сказано: «Мы отклоняемся от Аристотеля в истолковании суждения «Все А суть В». По Аристотелю, это суждение может быть истинным, то есть выполняется только лишь в случае, когда существуют какие-то А. Мы считаем это нецелесообразным ». В результате получилось то, что выполняется «Все А суть В» и в то же время не выполняется «Некоторые А суть В». Это нелепость! Вместо аристотелевского следования, которое во всех естественных языках выражается словами «Все А суть В», - и Аристотель очень точно это в своей системе воспроизвел, - они подсунули так называемую материальную импликацию. Дело в том, что суждение «Все А суть В» у Аристотеля трехзначно, в двузначной логике оно невыразимо. В силу именно этого “закона” логика лишилась своего фундаментального отношения - содержательного необходимого следования, в результате чего и стала “мертвой схоластикой”.
В результате возникли так называемые парадоксы материальной импликации, с которыми логики пытаются безрезультатно справиться до сих пор.
Рассмотрим подробно.
Аристотель определил отношение следования в “Первой аналитике” так:
“...когда два [объекта] относятся друг к другу так, что если есть один, [то] необходимо есть и второй; тогда, если нет второго, [то] не будет и первого; однако если второй есть, то не необходимо, чтобы был первый. Но невозможно, чтобы одно и то же было необходимо и когда другое есть, и когда его нет”.
Обозначения: А и ее противоположность (или отсутствие) не-А
В и ее противоположность (или отсутствие) не-В
Суждение «Все А есть В» принимает такие значения:
При А и В - суждение истинно
При А и не-В - суждение ложно, поскольку противоречит первой ситуации. Ведь не возможно, что бы из А следовало и В и не-В.
При не-А и не-В - суждение истинно
И самое интересное
При не-А и В - суждение… не может однозначно принять ни истинность ни ложность.
Если допустить, что это суждение истинно, тогда получится что В следует как из А (первая подстановка), так и из не-А. Это значит что некий вывод мы можем получить как из одной предпосылки, так и из ее антипода - а это противоречит здравому смыслу. Если же допустить, что суждение ложно, тогда получится, что В не может следовать из не-А. Но откуда мы знаем, что это невозможно? Мы этого не знаем, и потому не имеем право утверждать.
Аристотель же говорит об этом так: если второй есть, то не необходимо , чтобы был первый. Не необходимо - вот результат и смысл, который мы должны написать напротив «не-А и В» в суждении «Все А есть В». Но в двузначной логике у нас есть только значение Истинно и Ложно (ДА и НЕТ; 1 и 0), и мы не можем «Не необходимо» обозначить с помощью этих символов. Именно это является главным противоречием формальной (двоичной) логики и реальной жизни. Трехзначная логика же легко решает эту проблему используя третий символ.
В четвертом варианте суждения Аристотель в своих умозаключениях оставляет пустую клетку, подразумевая возможность появления там 0 или 1, но уже при уточненных условиях задачи. Или эту клетку можно обозначить символом Сигма - который является первой буквой слова «привходящее» или по-другому «возможность» на латинском. Знаменитое «не исключено, а значит возможно» - это и есть наше «не необходимо» другими словами. Теперь мы видим как двузначная логика противоречит реальности, и потому используя ее как инструмент для познания мира она будет давать неадекватные реальности результаты, тем самым уменьшая наши возможности к объективному познанию действительности.
Диалектический принцип сосуществования противоположностей лежит в основании аристотелевой силлогистики и неукоснительно соблюдаем в ней, хотя самим Аристотелем об этом ничего не сказано. Однако принцип этот несовместим с законом исключенного третьего, которым исключено как раз сосуществование противоположностей - “может быть, а может не быть”.
Аристотель не признавал закона исключенного третьего. Даже речи о нем не было. Гильберт считал, что аристотелевское понимание суждения «Все А суть В» не нужно принимать, потому что это неприемлемо с точки зрения математических применений. А абсурд приемлем? Вся история говорит о том, что этот абсурд существует.
Брусенцов говорил так: если мы хотим обрести нормальное мышление, мы должны уйти из двузначного мира и освоить трехзначную логику в том виде, как ее создал Аристотель. Не совсем, конечно, так. Не нужны его фигуры. Все это сегодня с помощью алгебры можно будет изящно изложить и легко воспринимать. Но важно понимать, что, кроме ДА и НЕТ, есть еще и НЕ-ДА и НЕ-НЕТ.
Сейчас двузначную логику в школу ввести удалось под названием «информатика». После этого школа уже не будет воспитывать таких людей, как наши ученые прошлого века. Почему в то время было так много творческих ученых? Где-то в 1936 году в образовании был примерно такой же бедлам, как наступил сейчас в России. Потом, по-видимому, сам Сталин обратил на это внимание. Кстати, Сталин был поразительно трудолюбивым в плане обучения человеком. Сохранилось его письмо к жене, в котором он, находясь на отдыхе, просит ее прислать ему учебник по электротехнике. Он понимал, что все нужно знать «в натуре», а не в виде каких-то теоретических схем. Тогда в школу были возвращены учебники Киселева по алгебре и геометрии. Киселевские учебники - это евклидова математика. А Евклид - это математик с философией Аристотеля, и, судя по всему, он Аристотеля понимал верно.
Если мы не хотим в школах воспитывать людей с рефлексами бюрократов и формалистов, то должны заменить двузначную логику трехзначной диалектической логикой Аристотеля.
Примеры троичной логики в жизни
Одним из наиболее наглядных аргументов в пользу троичной системы является известная с глубокой древности логическая задача о взвешивании двух грузов.
Давайте взвесим на обычных рычажных весах два предмета А и В. Весы легко позволят нам определить две противоположности: вес А > В или вес А < В. Но ведь возможно также А = В! Следовательно, задача о весе А и В имеет три решения. А обозначения для такой ситуации в двузначной логике нет!
Точно так же третье решение имеют исход футбольного матча (ничья), нейтралитет (вместо поддержки или противостояния) Швейцарии и Финляндии в период противостояния НАТО и Организации Варшавского договора.
Обозначим за 1 наличие Солнца на небе, а за 0 - отсутствие. Как же тогда там обозначить восход, когда горизонт уже озарен яркими лучами, но солнечный диск еще не показался? А никак, в соответствии с двоичной логикой такое состояние нельзя обозначить, и значит оно в рамках нее не существует. Слышите? Восход, который происходит каждое утро не существует в модели двоичной компьютерной логики.
Прошлое - это то, что БЫЛО, а будущее - это то, что еще НЕ БЫЛО. А где настоящее? Как видно, в двоичной логике невозможно обозначить настоящее, то есть в модели двоичной логики настоящего не существует. Но ведь мы в нем живем! Или не существует будущего, если за 0 обозначить настоящее - но и это звучит не менее абсурдно.
И последний пример из народной пословицы, как всегда очень меткой и емкой.
«Всякая селёдка - это рыба, но не всякая рыба селёдка.»
Здесь можно представить множество рыб (В) - большой круг, и множество селедок (А) - небольшой круг нарисованный внутри большого круга рыб. Глядя на круги мы видим, что если взять селедку, то она непременно будет находиться в множестве рыб. А вторую часть фразы «не всякая рыба селедка», можно переформулировать в вопрос так: Что бы у меня в руках непременно была рыба, я должен взять селедку или не должен ее брать? И ответ: Можно взять, а можно и не брать, ведь кроме селедки есть еще другие рыбы! То есть множество рыб (В) больше множества селедок (А), и значит кроме селедки существуют другие рыбы, о которых мы сейчас речи не ведем. Но мы должны понимать и учитывать, что множество рыб включает еще и другие виды рыб. В двузначной же логике выходит, что раз мы не учитываем, что множество рыб больше множества селедок, и приравниваем (отождествляем) эти множества, то это аналогично умозаключению что всякая рыба - это селедка, что есть абсурд! Таким образом объективную реальность впихнуть в чёрно-белую картину бивалентности невозможно ни теоретически, ни практически, но нас упорно убеждают - что это не только не невозможно, но необходимо и единственно верно.
Лишь на первый взгляд кажется, что бинарность – безобидная философская или математическая категория, образная модель или инструмент, который мы используем по своему желанию. Здесь точно так же как и с физикой. Для удобства представлений мы берем некоторые модели, но в процессе их использования так входим во вкус, что совсем забываем о ее нетождественности реальному миру. Совершенно не случайно бинарная или так называемая «бивалентная» логика «да–нет», нацеленна на поиски «абсолютной истины» и «абсолютной правоты» (или «абсолютной неправоты»), и культивируется тоталитарными режимами. Кроме того, бивалентная логика поддерживает основу тоталитарного мышления – логический фатализм. Главным из его принципов является принцип исключения третьего, где каждое высказывание или истинно, или ложно. «Или–или». Промежуточных состояний или чего-то Третьего – не дано! Так же выбивая, делая невозможным некое развитие будущего по одному из наших вариантов, нам как данность оставляют некий второй вариант - противоположный нашему и в рамках двоичной логики не принять его нельзя, потому что других вариантов не существует в принципе. Можно представить человека, которого ставят на обрыв, в грудь упирают нож и накидывают петлю на шею. Но затянуть петлю или прыгнуть с обрыва человек должен сам. Иными словами выбор без выбора. Так нас загоняют в ментальную ловушку, выхода из которой в рамках навязанной нам и добровольно принятой нами системы - нет. Двоичная логика - это инструмент, которым нас лишают выбора, обезволивают и деморализуют.
Именно поэтому агент Смит так недоумевает, потому что он двоичная компьютерная программа, которой неведома трехзначность бытия.
Трехзначная логика - раздел логики, в котором высказывания могут иметь три истинностных значения: истина, ложь и неопределенное.
Трехзначная логика применима в ситуациях, на которые не распространяется закон исключенного третьего.
Первую систему трехзначной логики разработал в 1920 г. польский логик Ян Лукасевич. Рассмотрим ее идеи.
Вводятся три истинностных значения: 1 (истинно), 1/2 (неопределенно), 0 (ложно), и операции отрицание, импликация, дизъюнкция и конъюнкция.
Особенностью системы Лукасевича является использование бесскобочной записи высказывании.
Перейдем к определению истинностных значений формул в трехзначной логике.
Истинностное значение отрицания высказывания а определяется формулой: Na = 1-а.
Истинностное значение конъюнктивного высказывания определяется формулой: &ab = min (а, b).
Истинностное значение дизъюнктивного высказывания определяется формулой: Vab = max (а, b), Истинностное значение импликативного высказывания определяется формулой:
→ab = min (1,1 -a+b).
Получается, что, исключив строки, в которых высказывания а и b имеют истинностное значение 1/2, мы автоматически переходим к двухзначной логике.
В обычной двухзначной логике имеются тождества, позволяющие заменять высказывание с импликацией на высказывания с дизъюнкцией или с конъюнкцией, это так называемые правила устранения импликации:a→b ≡ ~avb | a→b ≡ ~(a ~b). В трехзначной логике Лукасевича им должны соответствовать тождества: Cab ≡ ANab, Cab ≡ NKaNa. Посмотрим, выполняются ли эти тождества.
Сравнивая значения формул Cab, ANab, NKaNa по строчкам, мы видим, что они совпадают. Следовательно, в трехзначной логике Лукасевича также действуют тождества, позволяющие заменять формулу с импликацией на формулы с конъюнкцией или дизъюнкцией.
В трехзначной логике Лукасевича правила де Моргана выполняются.
В Двухзначной логике формулы a→(b→a), а→а, ~(a→~a), av~a являются тавтологиями, т.е. они истинны при любых значениях а и b. Причем второй, третьей и четвертой тавтологиям соответствуют законы тождества, противоречия (непротиворечия) и исключенного третьего.
В трехзначной логике Лукасевича выполняется закон тождества. Законы противоречия (непротиворечия) и исключенного третьего не выполняются в трехзначной логике Лукасевича.
В дальнейшем Лукасевичем и другими логиками (Э. Пост, С. Яськовский, Е. Слупецкой, Д. Вебб, Дж. Россер) были созданы различные варианты многозначных, в том числе бесконечнозначных, логик, в которых истинностными значениями служат числа, входящие в интервал от 0 до 1. Эти логики используются для решения логических парадоксов, проблем теории вероятностей, при разработке теории информационно-логических машин и т.д. В то же время необходимо подчеркнуть, что многозначные логики не заменяют обычную двузначную логику, которая остается необходимой в качестве метаязыка для описания свойств самой многозначной, в том числе трехзначной, логики.
Понятие релевантной логики. Парадоксы материальной импликации и логического следования. Различные виды условной связи и понятие релевантного следования.
Релевантная логика есть раздел современной неклассической логики, в которой исследуются понятия условной связи и логического следования, свободные от парадоксов материальной импликации и классического следования.
Парадоксы материальной импликации – несоответствие нашей интуиции об истинности условного высказывания (предложения), сформулированного на естественном языке, с приведенным выше табличным определением материальной импликации.
Материальная – такая импликация, которая используется в классической логике, когда из лжи следует все, что угодно, но она является истинной. (если 2+2=4, то Москва – столица России)
Другие парадоксы материальной импликации: из логического противоречия имплицируется все, что угодно, общезначимое выражение имплицируется из чего угодно.
Материальная импликация обладает целым рядом свойств, не совпадающих с нашей интуицией, и в этом смысле она является «парадоксальной». Эта парадоксальность распространяется также и на классическое понятие логического следования, т.к. предложения о логическом следовании тесно связаны с импликативными предложениями посредством соотношения:
А => В равносильно Если А, то В.
Учитывая эту связь, в классической логике легко воспроизводятся следующие несоответствующие нашей интуиции утверждения о логическом следовании: из противоречия следует все, что угодно; тавтология логически следует из чего угодно.
Требования:
1. Релевантная импликация и релевантное следование должны выполнять все свойства классической импликации.
2. Принцип релевантности – у антицедента и консегвента релевантного следования должны быть общие дескриптивные элементы.
3. Не должны быть доказуемы парадоксы материальной импликации.
Релевантное следствие – уместное следование, только суждение, имеющее общее содержание.
Виды импликации:
Строгая импликация – необходимая материальная импликация (логическая необходимость)
Сильная (интенсиональная) импликация
Непарадоксальная импликация (соотвествует если..то)
Релевантная
Материальная
28. Паранепротиворечивые логики. Относительная и абсолютная противоречивость.(НАЙТИ!!!)
Объективными основами их появления явления стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наблюдаются в природе, обществе и познании. В природе и обществе происходят изменения, предметы и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, переход от незнания или неполного знания к более полному и точному. Действие законов двухзначной логики – закона исключенного третьего и закона непротиворечия – в этих ситуациях ограничено или вообще неприменимо.
В определенном временном интервале в паранепротиворечивых логиках допускается как истинность высказывания А, так и не-А. Паранепротиворечивые логики – логические исчисления, которые могут лежать в основе противоречивых формальных теорий.
Логика должна удовлетворять следующим условиям:
1. из двух противоречащих формул А и не-А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В.
2. дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они основа всех обычных рассуждений.
Закон непротиворечия не является тождественно-истинной формулой (тавтологией).
У Н.А. Васильева..закон исключенного четвертого: мысль может быть истинной, ложной, противоречивой, а четвертого не дано.
При создании исчислений стремятся к тому, чтобы запрет на противоречия был не отменен, а только ограничен, чтобы допуск противоречия не означал возможность все, что угодно утверждать и все, что угодно, отрицать.
Непротиворечивость:
В абсолютном смысле – существуют недоказуемые формулы
В относительном смысле –недоказуемы А и не-А
Паранепротиворечивая логика:
1. Система должны быть непротиворечива в абсолютном смысле.
2. Система может быть противоречива в относительном смысле (можно доказать А и не-А)
Модальная логика.
Неклассические логики - совокупность логических систем, отличающихся от обычной, так называемой классической логики тем, что в них либо не действуют те или иные законы (например, закон исключенного третьего или закон противоречия), или вводится больше чем два (истина и ложь) истинностных значения, или по каким-то другим критериям. Среди таких систем обычно называют интуиционистскую, модальную, временную, многозначную, паранепротиворечивую логики, логику нечетких понятий и др
Модальная логика
суждение состоит из субъекта, предиката, связки и квантора, а также о том, что связка и квантор часто опускаются, но имеются в виду.
Сделаем добавление. В суждениях неявно, а иногда явно, может присутствовать еще один элемент. Он выражается словами «возможно», «необходимо», «невозможно», «известно», «уверен», «надеюсь», «запрещено», «разрешено», «истинно», «ложно» и т.д. Это - модальные операторы. Примеры:
Известно, что все мушкетеры служили королю Франции.
Запрещено переходить перекресток на красный цвет.
В дальнейшем вместо слова «суждение» будем снова употреблять «высказывание».
Раздел логики, который исследует свойства высказываний с модальными операторами, называется модальной логикой.
Модальная логика предназначена для того, чтобы различать суждения. Говорит не только об истинности суждения, но и о характере предписывающих значений.
1. Алетическая (истинная) модальность выражает характер связи между мыслимыми субъектами, т.е. между S и Р.
Модальные слова: возможно, вероятно, точно, случайно, необходимо, может быть, не исключается, "допускается" и др..
Модальность:
а) суждение о факте. S есть Р.
б) вероятность суждения или вероятность чего-либо: S, вероятно, есть Р.
в) суждение о необходимости чего-либо: S, необходимо, есть Р.
Обычно 3 модальных оператора: необходимо, возможно и случайно.
2. ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Этот тип модальности - выраженная в суждении информация о характере принятия и степени обоснованности знания. Это характеристики наших знаний. Данная модальность выражается в терминах "доказано", "опровергнуто", "не доказано и не опровергнуто", "знает", "верит", "убежден", "сомневается". Название эпистемической модальности происходит от греческого "эпистема", означавшего в античной философии высший тип несомненного, достоверного знания. Мы можем принимать знания некритически, на основе веры ("Верю, что бывают синие коты" или "Отвергаю то, что марсиане прилетали на Землю"), или принимать их только на основе знания ("Доказано, что все люди смертны" и "Доказано, что все люди не являются смертными").
3. ДЕОНТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Данный тип модальности - выраженное в суждении побуждение людей к конкретным действиям в форме совета, пожелания, команды, правила поведения или приказа. Другими словами, это характеристики действий и поступков людей в обществе. Данная модальность выражается в терминах "обязательно", "разрешено", "запрещено", "безразлично" (аналог алетической модальности "случайно"). К деонтическим относятся высказывания типа "Запрещается переходить улицу на красный свет", "Курить в аудитории не разрешается". К деонтическим относятся различного рода нормативные высказывания, в том числе и нормы права, т. е. официально принятые общеобязательные правила поведения, регулирующие правовые отношения в социальной среде.
4. ВРЕМЕННАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Временная модальность суждений - это выраженная в суждении информация о последовательности наступления событий и об их постоянном или дискретном характере протяженности. Модальность выражается в терминах "всегда", "никогда", "только иногда", "раньше", "позже", "одновременно" ("Студент N всегда опрятен", "Студент N всегда неопрятен", "Студент N никогда не бывает неопрятным", "Студент N иногда бывает опрятным", "N женился раньше D", "D женился позже N").
5. АКСИОЛОГИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ. Данный тип модальности - это выраженная в суждении информация о ценностной оценке поступка, факта, события. Данная модальность выражается в терминах "хорошо", "плохо", "лучше", "хуже", "безразлично", "равноценно". Набором примеров аксиологически сильных суждений (высказываний) является стихотворение В. Маяковского "Что такое хорошо и что такое плохо".
Тут ещё нужно сказать, что есть одноместные (хорошо, возможно, рано) и двухместные модальные операторы (лучше, вероятнее, раньше). Я не могу найти (Витя я), как они ещё точно называются. Завтра допишем либо, если у вас есть, допишите сами.
Согласно традиции средневековой логической мысли, заданной Абеляром, модальное высказывание должно рассматриваться в двух смыслах de dicto и de re. Высказывание, в котором модальность относится к связке, «Сократ может быть бел» - это высказывание в смысле de re, и условия его истинности иные, нежели у соединенных предложений, в которых модус относится ко всему высказыванию (диктуму), т.е. «Возможно, что Сократ бел».
