Темы кодификатора ЕГЭ: Электроотрицательность. Степень окисления и валентность химических элементов.

Когда атомы взаимодействуют и образуют , электроны между ними в большинстве случаев распределяются неравномерно, поскольку свойства атомов различаются. Более электроотрицательный атом сильнее притягивает к себе электронную плотность. Атом, который притянул к себе электронную плотность, приобретает частичный отрицательный заряд δ — , его «партнер» — частичный положительный заряд δ+ . Если разность электроотрицательностей атомов, образующих связь, не превышает 1,7, мы называем связь ковалентной полярной . Если разность электроотрицательностей, образующих химическую связь, превышает 1,7, то такую связь мы называем ионной .

Степень окисления – это вспомогательный условный заряд атома элемента в соединении, вычисленный из предположения, что все соединения состоят из ионов (все полярные связи – ионные).

Что значит «условный заряд»? Мы просто-напросто договариваемся, что немного упростим ситуацию: будем считать любые полярные связи полностью ионными, и будем считать, что электрон полностью уходит или приходит от одного атома к другому, даже если на самом деле это не так. А уходит условно электрон от менее электроотрицательного атома к более электроотрицательному.

Например , в связи H-Cl мы считаем, что водород условно «отдал» электрон, и его заряд стал +1, а хлор «принял» электрон, и его заряд стал -1. На самом деле таких полных зарядов на этих атомах нет.

Наверняка, у вас возник вопрос — зачем же придумывать то, чего нет? Это не коварный замысел химиков, все просто: такая модель очень удобна. Представления о степени окисления элементов полезны при составлении классификации химических веществ, описании их свойств, составлении формул соединений и номенклатуры. Особенно часто степени окисления используются при работе с окислительно-восстановительными реакциями .

Степени окисления бывают высшие , низшие и промежуточные .

Высшая степень окисления равна номеру группы со знаком «плюс».

Низшая определяется, как номер группы минус 8.

И промежуточная степень окисления — это почти любое целое число в интервале от низшей степени окисления до высшей.

Например , для азота характерны: высшая степень окисления +5, низшая 5 — 8 = -3, а промежуточные степени окисления от -3 до +5. Например, в гидразине N 2 H 4 степень окисления азота промежуточная, -2.

Чаще всего степень окисления атомов в сложных веществах обозначается сначала знаком, потом цифрой, например +1, +2, -2 и т.д. Когда речь идет о заряде иона (предположим, что ион реально существует в соединении), то сначала указывают цифру, потом знак. Например : Ca 2+ , CO 3 2- .

Для нахождения степеней окисления используют следующие правила :

1. Степень окисления атомов в простых веществах равна нулю;
2. В нейтральных молекулах алгебраическая сумма степеней окисления равна нулю, для ионов эта сумма равна заряду иона;
3. Степень окисления щелочных металлов (элементы I группы главной подгруппы) в соединениях равна +1, степень окисления щелочноземельных металлов (элементы II группы главной подгруппы) в соединениях равна +2; степень окисления алюминия в соединениях равна +3;
4. Степень окисления водорода в соединениях с металлами ( — NaH, CaH 2 и др.) равна -1 ; в соединениях с неметаллами () +1 ;
5. Степень окисления кислорода равна -2 . Исключение составляют пероксиды – соединения, содержащие группу –О-О-, где степень окисления кислорода равна -1 , и некоторые другие соединения (супероксиды, озониды, фториды кислорода OF 2 и др.);
6. Степень окисления фтора во всех сложных веществах равна -1 .

Выше перечислены ситуации, когда степень окисления мы считаем постоянной . У всех остальных химических элементов степень окисления — переменная , и зависит от порядка и типа атомов в соединении.

Примеры :

Задание : определите степени окисления элементов в молекуле дихромата калия: K 2 Cr 2 O 7 .

Решение: степень окисления калия равна +1, степень окисления хрома обозначим, как х , степень окисления кислорода -2. Сумма всех степеней окисления всех атомов в молекуле равна 0. Получаем уравнение: +1*2+2*х-2*7=0. Решаем его, получаем степень окисления хрома +6.

В бинарных соединениях более электроотрицательный элемент характеризуется отрицательной степенью окисления, менее электроотрицательный – положительной.

Обратите внимание, что понятие степени окисления – очень условно! Степень окисления не показывает реальный заряд атома и не имеет реального физического смысла . Это упрощенная модель, которая эффективно работает, когда нам необходимо, например, уравнять коэффициенты в уравнении химической реакции, или для алгоритмизации классификации веществ.

Степень окисления – это не валентность ! Степень окисления и валентность во многих случаях не совпадают. Например, валентность водорода в простом веществе Н 2 равна I, а степень окисления, согласно правилу 1, равна 0.

Это базовые правила, которые помогут Вам определить степень окисления атомов в соединениях в большинстве случаев.

В некоторых ситуациях вы можете столкнуться с трудностями при определении степени окисления атома. Рассмотрим некоторые из этих ситуаций, и разберем способы их разрешения:

1. В двойных (солеобразных) оксидах степень у атома, как правило, две степени окисления. Например, в железной окалине Fe 3 O 4 у железа две степени окисления: +2 и +3. Какую из них указывать? Обе. Для упрощения можно представить это соединение, как соль: Fe(FeO 2) 2 . При этом кислотный остаток образует атом со степенью окисления +3. Либо двойной оксид можно представить так: FeO*Fe 2 O 3 .
2. В пероксосоединениях степень окисления атомов кислорода, соединенных ковалентными неполярными связями, как правило, изменяется. Например, в пероксиде водорода Н 2 О 2 , и пероксидах щелочных металлов степень окисления кислорода -1, т.к. одна из связей – ковалентная неполярная (Н-О-О-Н). Другой пример – пероксомоносерная кислота (кислота Каро) H 2 SO 5 (см. рис.) содержит в составе два атома кислорода со степенью окисления -1, остальные атомы со степенью окисления -2, поэтому более понятной будет такая запись: H 2 SO 3 (O 2). Известны также пероксосоединения хрома – например, пероксид хрома (VI) CrO(O 2) 2 или CrO 5 , и многие другие.
3. Еще один пример соединений с неоднозначной степенью окисления – супероксиды (NaO 2) и солеобразные озониды KO 3 . В этом случае уместнее говорить о молекулярном ионе O 2 с зарядом -1 и и O 3 с зарядом -1. Строение таких частиц описывается некоторыми моделями, которые в российской учебной программе проходят на первых курсах химических ВУЗов: МО ЛКАО, метод наложения валентных схем и др.
4. В органических соединениях понятие степени окисления не очень удобно использовать, т.к. между атомами углерода существует большое число ковалентных неполярных связей. Тем не менее, если нарисовать структурную формулу молекулы, то степень окисления каждого атома также можно определить по типу и количеству атомов, с которыми данный атом непосредственно связан. Например, у первичных атомов углерода в углеводородах степень окисления равна -3, у вторичных -2, у третичных атомов -1, у четвертичных — 0.

Потренируемся определять степень окисления атомов в органических соединениях. Для этого необходимо нарисовать полную структурную формулу атома, и выделить атом углерода с его ближайшим окружением — атомами, с которыми он непосредственно соединен.

• Для упрощения расчетов можно использовать таблицу растворимости – там указаны заряды наиболее распространенных ионов. На большинстве российских экзаменов по химии (ЕГЭ, ГИА, ДВИ) использование таблицы растворимости разрешено. Это готовая шпаргалка, которая во многих случаях позволяет значительно сэкономить время.
• При расчете степени окисления элементов в сложных веществах сначала указываем степени окисления элементов, которые мы точно знаем (элементы с постоянной степенью окисления), а степень окисления элементов с переменной степенью окисления обозначаем, как х. Сумма всех зарядов всех частиц равна нулю в молекуле или равна заряду иона в ионе. Из этих данных легко составить и решить уравнение.

При определении этого понятия условно полагают, что связующие (валентные) электроны переходят к более электроотрицательным атомам (см. Электроотрицательность), а потому соединения состоят как бы из положительно и отрицательно заряженных ионов . Степень окисления может иметь нулевое, отрицательное и положительное значения, которые обычно ставятся над символом элемента сверху.

Нулевое значение степени окисления приписывается атомам элементов, находящихся в свободном состоянии, например: Cu, H 2 , N 2 , P 4 , S 6 . Отрицательное значение степени окисления имеют те атомы, в сторону которых смещается связующее электронное облако (электронная пара). У фтора во всех его соединениях она равна −1. Положительную степень окисления имеют атомы, отдающие валентные электроны другим атомам. Например, у щелочных и щелочноземельных металлов она соответственно равна +1 и +2. В простых ионах , подобных Cl − , S 2− , K + , Cu 2+ , Al 3+ , она равна заряду иона . В большинстве соединений степень окисления атомов водорода равна +1, но в гидридах металлов (соединениях их с водородом) - NaH, CaH 2 и других - она равна −1. Для кислорода характерна степень окисления −2, но, к примеру, в соединении с фтором OF 2 она будет +2, а в перекисных соединениях (BaO 2 и др.) −1. В некоторых случаях эта величина может быть выражена и дробным числом: для железа в оксиде железа (II, III) Fe 3 O 4 она равна +8/3.

Алгебраическая сумма степеней окисления атомов в соединении равна нулю, а в сложном ионе - заряду иона. С помощью этого правила вычислим, например, степень окисления фосфора в ортофосфорной кислоте H 3 PO 4 . Обозначив ее через x и умножив степень окисления для водорода (+1) и кислорода (−2) на число их атомов в соединении, получим уравнение: (+1) 3+x+(−2) 4=0, откуда x=+5. Аналогично вычисляем степень окисления хрома в ионе Cr 2 O 7 2− : 2x+(−2) 7=−2; x=+6. В соединениях MnO, Mn 2 O 3 , MnO 2 , Mn 3 O 4 , K 2 MnO 4 , KMnO 4 степень окисления марганца будет соответственно +2, +3, +4, +8/3, +6, +7.

Высшая степень окисления - это наибольшее положительное ее значение. Для большинства элементов она равна номеру группы в периодической системе и является важной количественной характеристикой элемента в его соединениях. Наименьшее значение степени окисления элемента, которое встречается в его соединениях, принято называть низшей степенью окисления; все остальные - промежуточными. Так, для серы высшая степень окисления равна +6, низшая −2, промежуточная +4.

Изменение степеней окисления элементов по группам периодической системы отражает периодичность изменения их химических свойств с ростом порядкового номера.

Понятие степени окисления элементов используется при классификации веществ, описании их свойств, составлении формул соединений и их международных названий. Но особенно широко оно применяется при изучении окислительно-восстановительных реакций . Понятие «степень окисления» часто используют в неорганической химии вместо понятия «валентность» (см.

Во многих школьных учебниках и пособиях учат составлять формулы по валентностям, даже для соединений с ионными связями. Для упрощения процедуры составления формул это, на наш взгляд, допустимо. Но нужно понимать, что это не совсем корректно ввиду вышеизложенной причины.

Более универсальным понятием является понятие о степени окисления. По значениям степеней окисления атомов так же как и по значениям валентности можно составлять химические формулы и записывать формульные единицы.

Степень окисления - это условный заряд атома в частице (молекуле, ионе, радикале), вычисленный в приближении того, что все связи в частице являются ионными.

Прежде чем определять степени окисления, необходимо сравнить электроотрицательности связуемых атомов. Атом с большим значением электроотрицательности имеет отрицательную степень окисления, а с меньшим положительную.

С целью объективного сравнения значений электроотрицательности атомов при расчёте степеней окисления, в 2013 году IUPAC дал рекомендацию использовать шкалу Аллена.

* Так, например, по шкале Аллена электроотрицательность азота 3,066, а хлора 2,869.

Проиллюстрируем данное выше определение на примерах. Составим структурную формулу молекулы воды.

Ковалентные полярные связи O-H обозначены синим цветом.

Представим, что обе связи являются не ковалентными, а ионными. Если бы они были ионными, то с каждого атома водорода на более электроотрицательный атом кислорода перешло бы по одному электрону. Обозначим эти переходы синими стрелками.

*В этом примере, стрелка служит для наглядной иллюстрации полного перехода электронов, а не для иллюстрации индуктивного эффекта.

Легко заметить, что число стрелок показывает количество перешедших электронов, а их направление - направление перехода электронов.

На атом кислорода направлено две стрелки, это значит, что к атому кислорода переходит два электрона: 0 + (-2) = -2. На атоме кислорода образуется заряд равный -2. Это и есть степень окисления кислорода в молекуле воды.

С каждого атома водорода уходит по одному электрону: 0 - (-1) = +1. Значит, атомы водорода имеют степень окисления равную +1.

Сумма степеней окисления всегда равняется общему заряду частицы.

Например, сумма степеней окисления в молекуле воды равна: +1(2) + (-2) = 0. Молекула - электронейтральная частица.

Если мы вычисляем степени окисления в ионе, то сумма степеней окисления, соответственно, равна его заряду.

Значение степени окисления принято указывать в верхнем правом углу от символа элемента. Причём, знак пишут впереди числа . Если знак стоит после числа - то это заряд иона.

Например, S -2 - атом серы в степени окисления -2, S 2- - анион серы с зарядом -2.

S +6 O -2 4 2- - значения степеней окисления атомов в сульфат-анионе (заряд иона выделен зелёным цветом).

Теперь рассмотрим случай, когда соединение имеет смешанные связи: Na 2 SO 4 . Связь между сульфат-анионом и катионами натрия - ионная, связи между атомом серы и атомами кислорода в сульфат-ионе - ковалентные полярные. Запишем графическую формулу сульфата натрия, а стрелками укажем направление перехода электронов.

*Структурная формула отображает порядок ковалентных связей в частице (молекуле, ионе, радикале). Структурные формулы применяют только для частиц с ковалентными связями. Для частиц с ионными связями понятие структурной формулы не имеет смысла. Если в частице имеются ионные связи, то применяют графическую формулу.

Видим, что от центрального атома серы уходит шесть электронов, значит степень окисления серы 0 - (-6) = +6.

Концевые атомы кислорода принимают по два электрона, значит их степени окисления 0 + (-2) = -2

Мостиковые атомы кислорода принимают по два электрона, их степень окисления равна -2.

Определить степени окисления возможно и по структурно-графической формуле, где черточками указывают ковалентные связи, а у ионов указывают заряд.

В этой формуле мостиковые атомы кислорода уже имеют единичные отрицательные заряды и к ним дополнительно приходит по электрону от атома серы -1 + (-1) = -2, значит их степени окисления равны -2.

Степень окисления ионов натрия равна их заряду, а т.е. +1.

Определим степени окисления элементов в надпероксиде (супероксиде) калия. Для этого составим графическую формулу супероксида калия, стрелочкой покажем перераспределение электронов. Связь O-O является ковалентной неполярной, поэтому в ней перераспределение электронов не указывается.

* Надпероксид-анион является ион-радикалом. Формальный заряд одного атома кислорода равен -1, а другого, с неспаренным электроном, 0.

Видим, что степень окисления калия равна +1. Степень окисления атома кислорода, записанного в формуле напротив калия, равна -1. Степень окисления второго атома кислорода равна 0.

Точно также можно определить степени окисления и по структурно-графической формуле.

В кружочках указаны формальные заряды иона калия и одного из атомов кислорода. При этом значения формальных зарядов совпадают со значениями степеней окисления.

Так как оба атома кислорода в надпероксид-анионе имеют разные значения степени окисления, то можно вычислить средне-арифметическую степень окисления кислорода.

Она будет равна / 2 = - 1/2 = -0,5.

Значения среднеарифметических степеней окисления обычно указывают в брутто-формулах или формульных единицах, чтобы показать что сумма степеней окисления равна общему заряду системы.

Для случая с надпероксидом: +1 + 2(-0,5) = 0

Легко определить степени окисления используя электронно-точечные формулы, в которых указывают точками неподеленные электронные пары и электроны ковалентных связей.

Кислород - элемент VIА - группы, следовательно в его атоме 6 валентных электронов. Представим, что в молекуле воды связи ионные, в этом случае атом кислорода получил бы октет электронов.

Степень окисления кислорода соответственно равна: 6 - 8 = -2.

А атомов водорода: 1 - 0 = +1

Умение определять степени окисления по графическим формулам бесценно для понимания сущности этого понятия, так же это умение потребуется в курсе органической химии. Если же мы имеем дело с неорганическими веществами, то необходимо уметь определять степени окисления по молекулярным формулам и формульным единицам.

Для этого прежде всего нужно понять, что степени окисления бывают постоянными и переменными. Элементы, проявляющие постоянную степень окисления необходимо запомнить.

Любой химический элемент характеризуется высшей и низшей степенями окисления.

Низшая степень окисления - это заряд, который приобретает атом в результате приёма максимального количества электронов на внешний электронный слой.

Ввиду этого, низшая степень окисления имеет отрицательное значение, за исключением металлов, атомы которых электроны никогда не принимают ввиду низких значений электроотрицательности. Металлы имеют низшую степень окисления равную 0.

Большинство неметаллов главных подгрупп старается заполнить свой внешний электронный слой до восьми электронов, после этого атом приобретает устойчивую конфигурацию (правило октета ). Поэтому, чтобы определить низшую степень окисления, необходимо понять сколько атому не хватает валентных электронов до октета.

Например, азот - элемент VА группы, это значит, что в атоме азота пять валентных электронов. До октета атому азота не хватает трёх электронов. Значит низшая степень окисления азота равна: 0 + (-3) = -3

В химии описание различных окислительно-восстановительных процессов не обходится без степеней окисления - специальных условных величин, при помощи которых можно определить заряд атома какого-либо химического элемента .

Если представить степень окисления (не путайте с валентностью, так как во многих случаях они не совпадают) как запись в тетради, то мы увидим просто цифры со знаками ноль (0 - в простом веществе), плюс (+) или минус (-) над интересующим нас веществом. Как бы то ни было, они играют огромную роль в химии, а умение определять СО(степень окисления) - это необходимая база в изучении данного предмета, без которой дальнейшие действия смысла не имеют.

Мы используем СО, чтобы описать химические свойства вещества (или отдельного элемента), верного написания его международного названия (понятного для любой страны и нации вне зависимости от используемого языка) и формулы, а также для классификации по признакам.

Степень может быть трёх видов: высшая (для её определения требуется знать, в какой группе находится элемент), промежуточная и низшая (необходимо из числа 8 вычесть номер группы, в которой располагается элемент; естественно, цифра 8 берётся потому, что всего в периодической системе Д.Менделеева 8 групп). Подробно об определении степени окисления и правильном её расставлении будет сказано ниже.

Как определяется степень окисления: постоянная СО

Во-первых, СО может быть переменной или постоянной

Определение постоянной степени окисления не составляет большого труда, поэтому урок лучше начинать именно с неё: для этого необходимо только умение пользоваться ПС (периодической системой). Итак, существует ряд определённых правил:

1. Нулевая степень. Выше было упомянуто - её имеют исключительно простые вещества: S, O2, Al, K и так далее.
2. Если молекулы нейтральны (иными словами, они не имеют электрического заряда), то в сумме их степени окисления равняются нулю. Однако в случае с ионами сумма должна равняться заряду самого иона.
3. В I, II, III группах таблицы Менделеева расположены преимущественно металлы. Элементы этих групп имеют положительный заряд, номер которого соответствует номеру группы (+1, +2, или +3). Пожалуй, большое исключение составляет железо (Fe) - его СО бывает как +2, так и +3.
4. СО водорода (H) чаще всего бывает +1 (при взаимодействии с неметаллами: HCl, H2S), но в отдельных случаях мы ставим -1 (при образовании гидридов в соединениях с металлами: KH, MgH2).
5. СО кислорода (O) +2. Соединения с данным элементом образуют оксиды (MgO, Na2O, H20 - вода). Однако есть и случаи, когда кислород имеет степень окисления -1 (при образовании пероксидов) или и вовсе выступает в роли восстановителя (в соединении с фтором F, потому что окислительные свойства кислорода слабее).

На основе данных сведений расставляются степени окисления во множестве сложных веществ, описываются окислительно-восстановительные реакции и прочее, однако об этом позже.

Переменная СО

Некоторые химические элементы отличаются тем, что имеют не одну степень окисления и меняют её в зависимости от того, в какой формуле стоят. Согласно правилам сумма всех степеней также должна равняться нулю, но для её нахождения необходимо проделать некоторые вычисления. В письменном варианте это выглядит как просто алгебраическое уравнение, но со временем мы «набиваем руку», и не составляет труда составить и быстро выполнить весь алгоритм действий мысленно.

Разобраться на словах будет не так легко, и лучше сразу перейти к практике:

HNO3 - в данной формуле определить степень окисления азота (N). В химии мы и читаем названия элементов, и подходим к расставлению степеней окисления тоже с конца. Итак, известно, что СО кислорода -2. Мы должны умножить степень окисления на коэффициент справа (если он есть): -2*3=-6. Далее переходим к водороду (H): его СО в уравнении будет +1. Значит, чтобы в сумме СО давали ноль, нужно прибавить 6. Проверка: +1+6-7=-0.

Дополнительные упражнения можно будет найти в конце, но прежде всего нам требуется определить, какие элементы имеют переменную степень окисления. В принципе, все элементы, не считая первых трёх групп, меняют свои степени. Наиболее ярким примером служат галогены (элементы VII группы, не считая фтора F), IV группа и благородные газы. Ниже вы увидите перечень некоторых металлов и неметаллов с переменной степенью:

• H (+1, -1);
• Be (-3, +1, +2);
• B (-1, +1, +2, +3);
• C (-4, -2, +2, +4);
• N (-3, -1, +1, +3, +5);
• O (-2, -1);
• Mg (+1, +2);
• Si (-4, -3, -2, -1, +2, +4);
• P (-3, -2, -1, +1, +3, +5);
• S (-2, +2, +4, +6);
• Cl (-1, +1, +3, +5, +7).

Это лишь небольшое количество элементов. Чтобы научиться определять СО, требуется изучение и практика, однако это не значит, что нужно заучивать все постоянные и переменные СО наизусть: просто запомните, что последние встречаются значительно чаще. Зачастую немалую роль играет коэффициент и то, какое вещество представлено - к примеру, в сульфидах отрицательную степень принимает сера (S), в оксидах - кислород (O), в хлоридах - хлор (Cl). Следовательно, в этих солях положительную степень принимает другой элемент (и называется в данной ситуации восстановителем).

Решение задач на определение степени окисления

Теперь мы подошли к самому главному - практике. Попробуйте выполнить следующие задания сами, а затем посмотрите разборку решения и сверьте ответы:

1. K2Cr2O7 - найти степень хрома.
   СО у кислорода -2, у калия +1, а у хрома обозначим пока что как неизвестную переменную x. Суммарное значение равняется 0. Следовательно, составим уравнение: +1*2+2*x-2*7=0. После решения получаем ответ 6. Сделаем проверку - всё совпало, значит, задание решено.
2. H2SO4 - найти степень серы.
   По той же концепции составляем уравнение: +2*1+x-2*4=0. Далее: 2+x-8=0.x=8-2; x=6.

Краткое заключение

Чтобы научиться определять степень окисления самостоятельно, вам нужно не только уметь составлять уравнения, но и основательно взяться за изучение свойств элементов различных групп, вспомнить уроки алгебры, составляя и решая уравнения с неизвестной переменной.
Не забывайте, что в правилах есть свои исключения и о них нельзя забывать: речь идёт об элементах с переменной СО. Также для решения многих задач и уравнений необходимо умение расставлять коэффициенты (и знать, с какой целью это делается).

Редакция "сайт"

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.