При наличии корреляционной связи между факторными и результативными признаками врачам нередко приходится устанавливать, на какую величину может измениться значение одного признака при изменении другого на общепринятую или установленную самим исследователем единицу измерения.

Например, как изменится масса тела школьников 1-го класса (девочек или мальчиков), если рост их увеличится на 1 см. В этих целях применяется метод регрессионного анализа.

Наиболее часто метод регрессионного анализа применяется для разработки нормативных шкал и стандартов физического развития.

1. Определение регрессии . Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым.

   С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.

2. Определение коэффициента регрессии . Коэффициент регрессии - абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения.
3. Формула коэффициента регрессии . R у/х = r ху x (σ у / σ x)
   где R у/х - коэффициент регрессии;
   r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у;
   (σ у и σ x) - среднеквадратические отклонения признаков x и у.

   В нашем примере ;
   σ х = 4,6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период;
   σ у = 8,65 (среднеквадратическое отклонение числа инфекционно-простудных заболеваний).
   Таким образом, R у/х - коэффициент регрессии.
   R у/х = -0,96 х (4,6 / 8,65) = 1,8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (x) на 1 градус среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1,8 случаев.

4. Уравнение регрессии . у = М у + R y/x (х - М x)
   где у - средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (х);
   х - известная средняя величина другого признака;
   R y/x - коэффициент регрессии;
   М х, М у - известные средние величины признаков x и у.

   Например, среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х = - 9°, R у/х = 1,8 заболеваний, М х = -7°, М у = 20 заболеваний, то у = 20 + 1,8 х (9-7) = 20 + 3,6 = 23,6 заболеваний.
   Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у).

5. Назначение уравнения регрессии . Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график - линия регрессии , по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.
6. Сигма регрессии (формула) .
   где σ Rу/х - сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии;
   σ у - среднеквадратическое отклонение признака у;
   r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у.

   Так, если σ у - среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8,65; r ху - коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен - 0,96, то

   

7. Назначение сигмы регрессии . Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у).

   Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудных заболеваний при температуре воздуха х 1 = -6° может колебаться в пределах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
   При х 2 = -9° среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21,18 заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.

   Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.

8. Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии
   • коэффициент регрессии - R у/х;
   • уравнение регрессии - у = М у + R у/х (х-М x);
   • сигма регрессии - σ Rx/y
9. Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии .
   • определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.
   • по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у 2 , у 3 ...)* для определеного значения роста (х, х 2 , х 3 ...).
     ________________
     * Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".

     При этом средние значения массы тела и роста (М х, и М у) для определенного возраста и пола известны

   • вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ у и r ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).
   • на основании известных значений х 1 , х 2 , х 3 и соответствующих им средних значений у 1 , у 2 у 3 , а также наименьших (у - σ rу/х)и наибольших (у + σ rу/х) значений (у) построить шкалу регрессии.

     Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х 2 , х 3 (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).

     Затем в соответствующих точках у 1 , y 2 , y 3 отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у 1 , y 2 , y 3 .

10. Практическое использование шкалы регрессии . Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела - (у) для данного роста (x) (у ± 1 σ Ry/x).

    Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ Ry/x)

    Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ Ry/x).

По результатам статистического исследования физического развития мальчиков 5 лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между ростом и массой тела составляет +0,9, средние квадратические отклонения представлены в таблице.

Требуется:

• рассчитать коэффициент регрессии;
• по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса тела мальчиков 5 лет при росте, равном х1 = 100 см, х2 = 110 см, х3= 120 см;
• рассчитать сигму регрессии, построить шкалу регрессии, результаты ее решения представить графически;
• сделать соответствующие выводы.

Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной таблице.

Таблица 1

Условия задачи				Pезультаты решения задачи
				уравнение регрессии			сигма регрессии	шкала регрессии (ожидаемая масса тела (в кг))
	М	σ	r ху	R у/x	х	У	σ R x/y	y - σ Rу/х	y + σ Rу/х
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рост (х)	109 см	± 4,4см	+0,9	0,16	100см	17,56 кг	± 0,35 кг	17,21 кг	17,91 кг
Масса тела (y)	19 кг	± 0,8 кг			110 см	19,16 кг		18,81 кг	19,51 кг
					120 см	20,76 кг		20,41 кг	21,11 кг

Решение .

Вывод. Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка. Для этого следует восстановить перпендикуляр к линии регрессии.

1. Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
2. Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
3. Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
4. Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
5. Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
6. С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.

Изучение корреляционных зависимостей основывается на исследовании таких связей между переменными, при которых значения одной переменной, ее можно принять за зависимую переменную, «в среднем» изменяются в зависимости от того, какие значения принимает другая переменная, рассматриваемая как причина по отношению к зависимой переменной. Действие данной причины осуществляется в условиях сложного взаимодействия различных факторов, вследствие чего проявление закономерности затемняется влиянием случайностей. Вычисляя средние значения результативного признака для данной группы значений признака-фактора, отчасти элиминируется влияние случайностей. Вычисляя параметры теоретической линии связи, производится дальнейшее их элиминирование и получается однозначное (по форме) изменение «y» с изменением фактора «x».

Для исследования стохастических связей широко используется метод сопоставления двух параллельных рядов, метод аналитических группировок, корреляционный анализ, регрессионный анализ и некоторые непараметрические методы. В общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит не только в количественной оценке их наличия, направления и силы связи, но и в определении формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный. Для ее решения применяют методы корреляционного и регрессионного анализа.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

1.1. Уравнение регрессии: сущность и типы функций

Регрессия (лат. regressio- обратное движение, переход от более сложных форм развития к менее сложным) - одно из основных понятий в теории вероятности и математической статистике, выражающее зависимость среднего значения случайной величины от значений другой случайной величины или нескольких случайных величин. Это понятие введено Фрэнсисом Гальтоном в 1886.

Теоретическая линия регрессии - это та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи.

Теоретическая линия регрессии должна отображать изменение средних величин результативного признака «y» по мере изменения величин факторного признака «x» при условии полного взаимопогашения всех прочих – случайных по отношению к фактору «x» - причин. Следовательно, эта линия должна быть проведена так, чтобы сумма отклонений точек поля корреляции от соответствующих точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была ба минимальной величиной.

y=f(x) - уравнение регрессии - это формула статистической связи между переменными.

Прямая линия на плоскости (в пространстве двух измерений) задается уравнением y=a+b*х. Более подробно: переменная y может быть выражена через константу (a) и угловой коэффициент (b), умноженный на переменную x. Константу иногда называют также свободным членом, а угловой коэффициент - регрессионным или B-коэффициентом.

Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции, с помощью которой характеризуется зависимость между признаками. Главным основанием должен служить содержательный анализ природы изучаемой зависимости, ее механизма. Вместе с тем теоретически обосновать форму связи каждого из факторов с результативным показателем можно далеко не всегда, поскольку исследуемые социально-экономические явления очень сложны и факторы, формирующие их уровень, тесно переплетаются и взаимодействуют друг с другом. Поэтому на основе теоретического анализа нередко могут быть сделаны самые общие выводы относительно направления связи, возможности его изменения в исследуемой совокупности, правомерности использования линейной зависимости, возможного наличия экстремальных значений и т.п. Необходимым дополнением такого рода предположений должен быть анализ конкретных фактических данных.

Приблизительно представление о линии связи можно получить на основе эмпирической линии регрессии. Эмпирическая линия регрессии обычно является ломанной линией, имеет более или менее значительный излом. Объясняется это тем, что влияние прочих неучтенных факторов, оказывающих воздействие на вариацию результативного признака, в средних погашается неполностью, в силу недостаточно большого количества наблюдений, поэтому эмпирической линией связи для выбора и обоснования типа теоретической кривой можно воспользоваться при условии, что число наблюдений будет достаточно велико.

Одним из элементов конкретных исследований является сопоставление различных уравнений зависимости, основанное на использовании критериев качества аппроксимации эмпирических данных конкурирующими вариантами моделей Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:

1. Линейная:

2. Гиперболическая:

3. Показательная:

4. Параболическая:

5. Степенная:

6. Логарифмическая:

7. Логистическая:

Модель с одной объясняющей и одной объясняемой переменными – модель парной регрессии. Если объясняющих (факторных) переменных используется две или более, то говорят об использовании модели множественной регрессии. При этом, в качестве вариантов могут быть выбраны линейная, экспоненциальная, гиперболическая, показательная и другие виды функций, связывающие эти переменные.

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используют метод наименьших квадратов. При применении метода наименьших квадратов для нахождения такой функции, которая наилучшим образом соответствует эмпирическим данным, считается, что сумка квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

Критерий метода наименьших квадратов можно записать таким образом:

Следовательно, применение метода наименьших квадратов для определения параметров a и b прямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

Относительно оценок можно сделать следующие выводы:

1. Оценки метода наименьших квадратов являются функциями выборки, что позволяет их легко рассчитывать.

2. Оценки метода наименьших квадратов являются точечными оценками теоретических коэффициентов регрессии.

3. Эмпирическая прямая регрессии обязательно проходит через точку x, y.

4. Эмпирическое уравнение регрессии построено таким образом, что сумма отклонений

.

Графическое изображение эмпирической и теоретической линии связи представлено на рисунке 1.

Параметр b в уравнении – это коэффициент регрессии. При наличии прямой корреляционной зависимости коэффициент регрессии имеет положительное значение, а в случае обратной зависимости коэффициент регрессии – отрицательный. Коэффициент регрессии показывает на сколько в среднем изменяется величина результативного признака «y» при изменении факторного признака «x» на единицу. Геометрически коэффициент регрессии представляет собой наклон прямой линии, изображающей уравнение корреляционной зависимости, относительно оси «x» (для уравнения

).

Раздел многомерного статистического анализа, посвященный восстановлению зависимостей, называется регрессионным анализом. Термин «линейный регрессионный анализ» используют, когда рассматриваемая функция линейно зависит от оцениваемых параметров (от независимых переменных зависимость может быть произвольной). Теория оценивания

неизвестных параметров хорошо развита именно в случае линейного регрессионного анализа. Если же линейности нет и нельзя перейти к линейной задаче, то, как правило, хороших свойств от оценок ожидать не приходится. Продемонстрируем подходы в случае зависимостей различного вида. Если зависимость имеет вид многочлена (полинома). Если расчёт корреляции характеризует силу связи между двумя переменными, то регрессионный анализ служит для определения вида этой связи и дает возможность для прогнозирования значения одной (зависимой) переменной отталкиваясь от значения другой (независимой) переменной. Для проведения линейного регрессионного анализа зависимая переменная должна иметь интервальную (или порядковую) шкалу. В то же время, бинарная логистическая регрессия выявляет зависимость дихотомической переменной от некой другой переменной, относящейся к любой шкале. Те же условия применения справедливы и для пробит-анализа. Если зависимая переменная является категориальной, но имеет более двух категорий, то здесь подходящим методом будет мультиномиальная логистическая регрессия можно анализировать и нелинейные связи между переменными, которые относятся к интервальной шкале. Для этого предназначен метод нелинейной регрессии.

КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ

- англ. coefficient, regression; нем. Regressionskoeffizient. Одна из характеристик связи между зависимой у и независимой переменной х. К. р. показывает, на сколько единиц увеличивается значение, принимаемое у, если переменная х изменится на единицу своего изменения. Геометрически К. р. является угловым коэффициентом наклона прямой линии у.

Antinazi. Энциклопедия социологии , 2009

Смотреть что такое "КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ" в других словарях:

коэффициент регрессии - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN regression coefficient … Справочник технического переводчика

Коэффициент регрессии - 35. Коэффициент регрессии Параметр модели регрессионного анализа Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения …

коэффициент регрессии - Коэффициент при независимой переменной в уравнении регрессии … Словарь социологической статистики

КОЭФФИЦИЕНТ РЕГРЕССИИ - англ. coefficient, regression; нем. Regressionskoeffizient. Одна из характеристик связи между зависимой у и независимой переменной х. К. р. показывает, на сколько единиц увеличивается значение, принимаемое у, если переменная х изменится на… … Толковый словарь по социологии

выборочный коэффициент регрессии - 2.44. выборочный коэффициент регрессии Коэффициент при переменной в уравнении кривой или поверхности регрессии Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Частный коэффициент регрессии - статистическая мера, обозначающая степень влияния независимой переменной на зависимую в ситуации, когда взаимовлияние всех остальных переменных в модели находится под контролем исследователя … Социологический словарь Socium

РЕГРЕССИИ, ВЕС - Синоним понятия коэффициент регрессии … Толковый словарь по психологии

КОЭФФИЦИЕНТ НАСЛЕДУЕМОСТИ - Показатель относительной доли генетической изменчивости в общей фенотипической вариации признака. Наиболее распространены следующие методы оценки наследуемости хозяйственно полезных признаков: где h2 коэффициент наследуемости; r внутриклассовая… … Термины и определения, используемые в селекции, генетике и воспроизводстве сельскохозяйственных животных

- (R квадрат) это доля дисперсии зависимой переменной, объясняемая рассматриваемой моделью зависимости, то есть объясняющими переменными. Более точно это единица минус доля необъяснённой дисперсии (дисперсии случайной ошибки модели, или условной… … Википедия

Коэффициент при независимой переменной в уравнении регрессии. Так, напр., в уравнении линейной регрессии, связывающей случайные величины Yи X, Р. к. b0 и b1 равны: где r корреляции коэффициент X и Y, . Вычисление оценок Р. к. (в ы б о р о ч н… … Математическая энциклопедия

Книги

• Введение в эконометрику (CDpc) , Яновский Леонид Петрович, Буховец Алексей Георгиевич. Даны основы эконометрики и статистического анализа одномерных временных рядов. Большое внимание уделено классической парной и множественной регрессии, классическому и обобщенному методам…
• Скорочтение. Эффективный тренажер (CDpc) , . Программа адресована пользователям, желающим в кратчайшие сроки овладеть методикой скоростного чтения. Курс построен по принципу "теория - практика" . Теоретический материал и практические…

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Виды регрессионных моделей

где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).

Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).

Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона

В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).

Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)

Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1

где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.

Рис. 18. Результаты применения t

Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.

Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).

По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.

Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы

Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1

Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.

Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:

где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :

где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

• Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
• Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
• Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
• Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
• Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
• Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

• Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
• Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
• Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
• Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
• Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
• Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
• Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
• Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.