20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.

Базовый уровень:

Атанасян

Рассматривает только Двугранный угол.

Погорелов

Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.

Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).

рис 400 и рис.401

Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):

Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трех­гранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов мож­но считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рас­сматривать как аналоги плоских треугольников , а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферически­ми треугольниками.

Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгран­ный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b,c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сто­ронамиb, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а,b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc(или, короче, трехгранным углом О). Лучи а,b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгран­ного угла.

3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.

При каждом из ребер трехгранного угла определяется соот­ветствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содер­жат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.

Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при реб­рах а,b, с будем соответственно обозначать через а^,b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).

Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а,b, с, а также велbчины α, β, γ и а^,b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элемен­ты плоского треугольника - это его стороны и его углы.)

Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трех­гранных углов.

1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуля­ры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а иbв точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.

АВ 2 =АС 2 +ВС 2 -2АС*ВС*Cos(c^) и АВ 2 =ОА 2 +ОВ 2 -2АО*ВО*Cosγ.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

ОА 2 -АС 2 +ОВ 2 -ВС 2 +2АС*ВС*Cos(c^)-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС 2 -АС 2 =ОС 2 и ОВ 2 -ВС 2 =ОС 2 (2)

Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС 2 +АС*ВС*Cos(c^)

т.е.

Но
,
,
,
. Поэтому

(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов-формула косинусов .

Обе грани α и β – тупые углы.

Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.

Хоты бы 1 из углов α или β прямой.

Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трех­гранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соот­ветственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов ана­логичное условие приводит не к подобию, а к равенству.

Трехгранные углы обладают замечательным свойством , кото­рое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а,b, с на π-α, π-β, π-γи, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойст­венное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).

Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы . Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:

Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:

1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.

2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.

3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.

4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).

При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра.

Под данное определение подходит и двугранный угол. Он состав­лен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.

П

онятие о многогранном угле важно, в частности, при изуче­нии многогранников - в теории многогранников. Строение много­гранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются много­гранные углы.

Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников.

Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми углами.

Рассмотрим три луча а, Ь, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная "из трех плоских углов (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 2). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны -- ребрами, общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 3).

Многогранник

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник -- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (рис. 4). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины -- вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 5). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,... . Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, .... У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам -- призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,-- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника. Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью. Будем считать аналогом точки на плоскости луч в пространстве и аналогом отрезка на плоскости плоский угол в пространстве. Тогда аналогом простой замкнутой ломаной на плоскости является поверхность, образованная конечным набором плоских углов A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 с общей вершиной S (рис. 1), в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом . Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1 , …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 … A n , указывающими вершину и точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными, пятигранными (рис. 2) и т. д.

Многогранный угол называется выпуклым , если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке 2 трехгранный и четырехгранный углы выпуклые, а пятигранный угол – нет.
Рассмотрим некоторые свойства треугольников и аналогичные им свойства трехгранных углов.
Свойство 1 (Неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Аналогичным свойством для трехгранных углов является следующее свойство.
Свойство 1 ". Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC . Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC . Тогда выполняются неравенства

ASB ASC < ASC + BSC ;BSC ASC < ASC + ASB .

Таким образом, остается доказать неравенство ASС < ASB + BSC .
Отложим на грани ASC угол ASD , равный ASB , и точку B выберем так, чтобы SB = SD (рис. 3). Тогда треугольники ASB и ASD равны (по двум сторонам и углу между ними) и, следовательно, AB = AD . Воспользуемся неравенством треугольника AC < AB + BC . Вычитая из обеих его частей AD = AB , получим неравенство DC < BC. В треугольниках DSC и BSC одна сторона общая (SC ), SD = SB и DC < BC. В этом случае против большей стороны лежит больший угол и, следовательно, DSC < BSC . Прибавляя к обеим частям этого неравенства угол ASD , равный ASB , получим требуемое неравенство ASС < ASB + BSC .

Следствие 1. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360 ° .
Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A , образованный гранями ABS, ACS и углом BAC . В силу доказанного свойства, имеет место неравенство BAС < BAS + CAS . Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС < ABS + CBS , ACB < ACS + BCS . Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180 ° , получаем 180 ° < BAS +CAS + ABS + CBS +BCS + ACS = 180 ° - ASB + 180 ° - BSC + 180 ° - ASC . Следовательно, ASB + BSC + ASC < 360 ° .
Следствие 2. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360.
Доказательство аналогично предыдущему.
Следствие 3. Сумма двугранных углов трехгранного угла больше 180 ° .
Доказательство. Пусть SABC – трехгранный угол. Выберем какую-нибудь точку P внутри него и опустим из нее перпендикуляры PA 1 , PB 1 , PC 1 на грани (рис. 4).

Плоские углы B 1 PC 1 , A 1 PC 1 , A 1 PB 1 дополняют соответствующие двугранные углы с ребрами SA, SB, SC до 180 ° . Следовательно, сумма этих двугранных углов равна 540 ° - (B 1 PC 1 +A 1 PC 1 + A 1 PB 1 ). Учитывая, что сумма плоских углов трехгранного с вершиной P угла меньше 360 ° , получаем, что сумма двугранных углов исходного трехгранного угла больше 180 ° .
Свойство 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 2". Биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.
Доказательство аналогично плоскому случаю. А именно, пусть SABC – трехгранный угол. Биссектральная плоскость двугранного угла SA является ГМТ угла, равноудаленных от его граней ASC и ASB . Аналогично, биссектральная плоскость двугранного угла SB является ГМТ угла, равноудаленных от его граней BSA и BSC . Линия их пересечения SO будет равноудалена от всех граней трехгранного угла и, следовательно, через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC .
Свойство 3. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 3". Плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.
Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.
Свойство 4. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 4". Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней пересекаются по одной прямой.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC, SA = SB = SC (рис. 5). Тогда биссектрисы SA 1 , SB 1 , SC 1 углов BSC, ASC, ASB являются медианами соответствующих треугольников. Поэтому AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы треугольника ABC . Пусть O – точка их пересечения. Прямая SO содержится во всех трех рассматриваемых плоскостях и, следовательно, является линией их пересечения.

Свойство 5. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 5 ". Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и перпендикулярные противоположным граням, пересекаются по одной прямой.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной S и ребрами a, b, c. Обозначим a 1 , b 1 , c 1 – линии пересечения граней с плоскостями, проходящими через соответствующие ребра и перпендикулярные этим граням (рис. 6). Зафиксируем точку C на ребре c и опустим из нее перпендикуляры CA 1 и CB 1 на прямые a 1 и b 1 . Обозначим A и B пересечения прямых CA 1 и CB 1 с прямыми a и b . Тогда SA 1 является проекцией AA 1 на грань BSC . Так как BC перпендикулярна SA 1 , то она перпендикулярна и AA 1 . Аналогично, AC перпендикулярна BB 1 . Таким образом, AA 1 и BB 1 являются высотами треугольника ABC . Пусть O – точка их пересечения. Плоскости, проходящие через прямые a и a 1 , b и b 1 перпендикулярны плоскости ABC и, следовательно, линия их пересечения SO перпендикулярна ABC . Значит, SO перпендикулярна AB . С другой стороны, CO перпендикулярна AB . Поэтому плоскость, проходящая через ребро c и SO будет перпендикулярна противоположной грани.
Свойство 6 (теорема синусов). В треугольнике ABC со сторонами a, b, c соответственно, имеют место равенства a : sin A = b : sin B = c : sin C.
Свойство 6". Пусть a , b , g - плоские углы трехгранного угла, a, b, c – противолежащие им двугранные углы. Тогда sin a : sin a = sin b : sin b = sin g : sin c .
Доказательство. Пусть SABC – трехгранный угол. Опустим из точки C перпендикуляр CC 1 на плоскость ASB и перпендикуляр CA 1 на ребро SA (рис. 7). Тогда угол CA 1 C 1 будет линейным углом двугранного угла a . Поэтому CC 1 = CA 1 sin a = SC sin b sin a. Аналогично показывается, что CC 1 = CB 1 sin b = SC sin a sin b. Следовательно, имеет место равенство sin b sin a = sin a sin b и, значит, равенство sin a : sin a = sin b : sin b . Аналогичным образом доказывается, что имеет место равенство sin b : sin b = sin g : sin c .

Свойство 7. Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны.
Свойство 7". Если в выпуклый четырехгранный угол можно вписать сферу, то суммы противоположных плоских углов равны.

Литература
1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть II. Стереометрия. – М.: Учпедгиз, 1938.
2. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
3. Энциклопедия элементарной математики. Книга IV. Геометрия. - М.; 1963.
4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.

Многогранные углы Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника на плоскости. Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной этой плоскости и ограниченной ею внутренней областью.

Определение многогранного угла Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах.

Виды многогранных углов В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Упражнение 1 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Упражнение 2 Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные и четырехгранные углы; б) трехгранные и пятигранные углы; в) четырехгранные и пятигранные углы. Ответ: а) четырехугольная пирамида, треугольная бипирамида; б) пятиугольная пирамида; в) пятиугольная бипирамида.

Неравенство треугольника Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема (Неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Точка пересечения биссектрис Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Биссектральная плоскость SAD двугранного угла SA является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SAC. Аналогично, биссектральная плоскость SBE двугранного угла SB является геометрическим местом точек этого угла, равноудаленных от его граней SAB и SBC. Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех граней трехгранного угла. Следовательно, через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC.

Точка пересечения серединных перпендикуляров Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. Плоскость, проходящая через биссектрису SD угла BSC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SB и SC трехгранного угла SABC. Аналогично, плоскость, проходящая через биссектрису SE угла ASC и перпендикулярная его плоскости, состоит из точек равноудаленных от ребер SA и SC трехгранного угла SABC. Линия их пересечения SO будет состоять из точек, равноудаленных от всех ребер трехгранного угла. Следовательно, ее будет содержать плоскость, проходящая через биссектрису угла ASB и перпендикулярная его плоскости.

Точка пересечения медиан Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол SABC. На его ребрах отложим равные отрезки SA = SB = CS. Биссектрисы SD, SE, SF плоских углов трехгранного угла являются медианами треугольников соответственно SBC, SAB. Следовательно, AD, BE, CF – медианы треугольника ABC. Пусть O – точка пересечения медиан. Тогда прямая SO будет линией пересечения рассматриваемых плоскостей.

Точка пересечения высот Для треугольника имеет место следующая теорема. Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Докажем, что для трехгранного угла имеет место следующий пространственный аналог этой теоремы. Теорема. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и перпендикулярные плоскостям противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

Доказательство Рассмотрим трехгранный угол Sabc. Пусть d, e, f – линии пересечения плоскостей граней трехгранного угла с плоскостями, проходящими через ребра a, b, c этого угла и перпендикулярные соответствующим плоскостям граней. Выберем какую-нибудь точку C на ребре с. Опустим из нее перпендикуляры CD и CE на прямые d и e соответственно. Обозначим A и B точки пересечения прямых CD и CE с прямыми SB и SA соответственно. Прямая d является ортогональной проекцией прямой AD на плоскость BSC. Так как BC перпендикулярна прямой d, то она перпендикулярна и прямой AD. Аналогично, прямая AC перпендикулярна прямой BE. Пусть O – точка пересечения прямых AD и BE. Прямая BC перпендикулярна плоскости SAD, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Аналогично, Прямая AC перпендикулярна плоскости SBE, следовательно, она перпендикулярна прямой SO. Таким образом, прямая SO перпендикулярна прямым BC и AC, следовательно, перпендикулярна плоскости ABC, значит, перпендикулярна и прямой AB. С другой стороны, прямая CO перпендикулярна прямой AB. Таким образом, прямая AB перпендикулярна плоскости SOC. Плоскость SAB проходит через прямую AB, перпендикулярную плоскости SOC, следовательно, сама перпендикулярна этой плоскости. Значит, все три рассматриваемые плоскости пересекаются по прямой SO.

Сумма плоских углов Теорема. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Доказательство. Пусть SABC – данный трехгранный угол. Рассмотрим трехгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABS, ACS и углом BAC. В силу неравенства треугольника, имеет место неравенство BAС

Выпуклые многогранные углы Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
Упражнение 5 Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10 о

Упражнение 6 Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90 о.

Упражнение 7 В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60 о.

Упражнение 8 Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90 о.

Упражнение 9 Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Слайд 1

Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1…An, указывающими вершину и точки на его ребрах. Поверхность, образованную конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S, в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называтьмногогранной поверхностью.

Слайд 2


В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.

Слайд 3

ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ

Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Доказательство.Рассмотрим трехгранный угол SABC. Пусть наибольший из его плоских углов есть угол ASC. Тогда выполняются неравенства ASB ASC

Слайд 4


Свойство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°. Аналогично, для трехгранных углов с вершинами B и С имеют место неравенства: ABС

Слайд 5

ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называетсявыпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Свойство.Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

Слайд 6

Вертикальные многогранные углы

На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов Теорема. Вертикальные углы равны.

Слайд 7

Измерение многогранных углов

Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360о:8 = 45о. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.

Слайд 8

Измерение трехгранных углов*

Выведем формулу, выражающую величину трехгранного угла через его двугранные углы. Опишем около вершины Sтрехгранного угла единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой A, B, C. Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A"B"C" являются пересечением трех двуугольников.Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360о плюс учетверенная величина трехгранного угла, или  SA +SB + SC = 180о + 2SABC.

Слайд 9

Измерение многогранных углов*

Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол. Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2π. Переходя от градусов к числам в полученной формуле, будем иметь: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Слайд 10

Упражнение 1

Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Ответ: а) Нет; б) нет; в) да.

Слайд 11

Упражнение 2

Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы. Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр.

Слайд 12

Упражнение 3

Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол? Ответ: 10о

Слайд 13

Упражнение 4

Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину угла между плоскостями плоских углов в 45°. Ответ: 90о.

Слайд 14

Упражнение 5

В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. Ответ: 60о.

Слайд 15

Упражнение 6

Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA, OB, OC. Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC. Ответ: 90о.

Слайд 16

Упражнение 7

Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра. Ответ: см.

Слайд 17

Упражнение 8

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.

Слайд 18

Упражнение 9

Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер. Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.

Слайд 19

Упражнение 10

Для двугранных углов тетраэдра имеем: , откуда 70о30". Для трехгранных углов тетраэдра имеем: 15о45". Ответ: 15о45". Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.

Слайд 20

Упражнение 11

Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра. Для двугранных углов октаэдра имеем: , откуда 109о30". Для четырехгранных углов октаэдра имеем: 38о56". Ответ: 38о56".

Слайд 21

Упражнение 12

Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра. Для двугранных углов икосаэдра имеем: , откуда 138о11". Для пятигранных углов икосаэдра имеем: 75о28". Ответ: 75о28".

Слайд 22

Упражнение 13

Для двугранных углов додекаэдра имеем: , откуда 116о34". Для трехгранных углов додекаэдра имеем: 84о51". Ответ: 84о51". Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.

Слайд 23

Упражнение 14

В правильной четырехугольной пирамидеSABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдитечетырехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360о, т.е. равен 60о. Ответ: 60о.

Слайд 24

Упражнение 15

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90о. Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360о, т.е. равен 45о. Ответ: 45о.

Слайд 25

Упражнение 16

В правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдитетрехгранный угол при вершине этой пирамиды. Решение:Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре Oтетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360о, т.е. равен 90о. Ответ: 90о.

Посмотреть все слайды