Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.
Определение.
Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).
Определенный интеграл ʃ а b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ а b f(x)dx.
Таким образом, S(G) = ʃ а b f(x)dx.
В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ а b f(x)dx.
Пример 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 ; у = 1; х = 2.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.
Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.
Используя формулу S = ʃ а b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:
{у = х 3 ,
{у = 1.
Таким образом, имеем х 1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.
Итак, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).
Ответ: 11/4 кв. ед.
Пример 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции
у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.
Искомая площадь равна S = ʃ а b (√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:
{у = √х,
{у = 2.
Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.
Итак, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).
Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.
Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.
Решение.
Построим график функции у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.
Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у min = -16/(3√3) ≈ -3.
Определим точки пересечения графика с осями координат:
если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;
если у = 0, то х 3 – 4х = 0 или х(х 2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).
Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.
Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.
Так как функция у = х 3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Имеем: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откуда S = 4 кв. ед.
Ответ: S = 4 кв. ед.
Пример 4.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х 2 – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х 0 = 2.
Решение.
Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х 2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.
Так как производная y’ = 4x – 2, то при х 0 = 2 получим k = y’(2) = 6.
Найдем ординату точки касания: у 0 = 2 · 2 2 – 2 · 2 + 1 = 5.
Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.
Построим фигуру, ограниченную линиями:
у = 2х 2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х 2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).
Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.
Имеем: S О A В D = S OABC – S ADBC .
Найдем координаты точки D из условия:
6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Площадь треугольника DBC найдем по формуле S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. ед.).
Окончательно получим: S О A В D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).
Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.
Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями . Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Теорема 1.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Докажем что площадь S квадрата со стороной a равна a 2 . Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n равных квадратов так, как показано на рисунке 1. геометрия площадь фигура теорема
Рисунок 1.
Так как сторона квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна. Сторона каждого маленького квадрата равна, т.е. равна а. Из этого следует, что. Теорема доказана.
Теорема 2.
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне (рис.2.):
S = a * h.
Пусть ABCD - данный параллелограмм. Если он не является прямоугольником, то один из его углов A или B острый. Пусть для определенности угол A острый (рис.2.).
Рисунок 2.
Опустим перпендикуляр AE из вершины A на прямую CB. Площадь трапеции AECD равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треугольника AEB. Опустим перпендикуляр DF из вершины D на прямую CD. Тогда площадь трапеции AECD равна сумме площадей прямоугольника AEFD и треугольника DFC. Прямоугольные треугольники AEB и DFC равны, а значит, имеют равные площади. Отсюда следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника AEFD, т.е. равна AE * AD. Отрезок AE - высота параллелограмма, опущенная к стороне AD , и, следовательно, S = a * h. Теорема доказана.
Теорема 3
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту (рис.3.):
Рисунок 3.
Доказательство.
Пусть ABC - данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке (рис.3.1.).
Рисунок 3.1.
Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, Теорема доказана.
Теорема 3.1.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (рис 3.2.).
Рисунок 3.2.
Доказательство.
Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы B лежала на положительной полуоси C x , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, где h - высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h=b sin C. Следовательно, . Теорема доказана.
Теорема 4.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту (рис.4.).
Рисунок 4.
Доказательство.
Пусть ABCD - данная трапеция (рис.4.1.).
Рисунок 4.1.
Диагональ AC трапеции разбивает ее на два треугольника: ABC и CDA.
Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников.
Площадь треугольника ACD равна площадь треугольника ABC равна. Высоты AF и CE этих треугольников равна расстоянию h между параллельными прямыми BC и AD, т.е. высоте трапеции. Следовательно, . Теорема доказана.
Площади фигур имеют огромное значение в геометрии, как в науке. Ведь площадь это одна из важнейших величин в геометрии. Без знания площадей невозможно решить множество геометрических задач, доказать теоремы, обосновать аксиомы. Площади фигур имели огромное значение много веков назад, но не утратили своего значения в современном мире. Понятия площадей используются во многих профессиях. Они применяются в строительстве, проектирование и во многих других видах деятельности человека. Из этого можно сделать вывод,что без развития геометрии, в частности понятий о площадях, человечество не смогло бы такой большой прорыв в области наук и технике.
Класс: 5
На мой взгляд, задача учителя – не только научить, а развить познавательный интерес у учащегося. Поэтому, когда возможно, связываю темы урока с практическими задачами.
На занятии учащиеся под руководством учителя составляют план решения задач на нахождение площади «сложной фигуры» (для расчеты сметы ремонта), закрепляют навыки решения задач на нахождение площади; происходит развитие внимания, способности к исследовательской деятельности, воспитание активности, самостоятельности.
Работа в парах создает ситуацию общения между теми, кто имеет знания и теми, кто их приобретает; в основе такой работы лежит повышение качества подготовки по предмету. Способствует развитию интереса к процессу учения и более глубокому усвоению учебного материала.
Урок не только систематизирует знания обучающихся, но и способствует развитию творческих, аналитических способностей. Применение задач с практическим содержанием на уроке позволяет показать востребованность математических знаний в повседневной жизни.
Цели урока:
Образовательные:
- закрепление знаний формул площади прямоугольника, прямоугольного треугольника;
- анализ заданий на вычисление площади “сложной” фигуры и способов их выполнения;
- самостоятельное выполнение заданий для проверки знаний, умений, навыков.
Развивающие:
- развитие приёмов умственной и исследовательской деятельности;
- развитие умения слушать и объяснять ход решения.
Воспитательные:
- воспитывать у учащихся навыки учебного труда;
- воспитывать культуру устной и письменной математической речи;
- воспитывать дружеское отношение в классе и умение работать в группах.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
- Математика: учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др., М.: «Мнемозина», 2010.
- Карточки для групп учащихся с фигурами для вычисления площади сложной фигуры.
- Чертёжные инструменты.
План урока:
- Организационный момент.
- Актуализация знаний.
а) Теоретические вопросы (тест).
б) Постановка проблемы. - Изученного нового материала.
а) поиск решения проблемы;
б) решение поставленной проблемы. - Закрепление материала.
а) коллективное решение задач;
Физкультминутка.
б) самостоятельная работа. - Домашнее задание.
- Итог урока. Рефлексия.
Ход урока
I. Организационный момент.
Урок мы начнём вот с таких напутствующих слов:
Математика, друзья,
Абсолютно всем нужна.
На уроке работай старательно,
И успех тебя ждёт обязательно!
II. Актуализация знаний.
а) Фронтальная работа с сигнальными карточками (у каждого ученика карточки с числами 1, 2, 3, 4; при ответе на вопрос теста ученик поднимает карточку с номером правильного ответа).
1. Квадратный сантиметр – это:
- площадь квадрата со стороной 1 см;
- квадрат со стороной 1 см;
- квадрат с периметром 1 см.
2. Площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна:
- 8 дм;
- 8 дм 2 ;
- 15 дм 2 .
3. Справедливо ли утверждение, что равные фигуры имеют равные периметры и равные площади?
4. Площадь прямоугольника определяется по формуле:
- S = a 2 ;
- S = 2 (a + b);
- S = a b.
5. Площадь фигуры изображённой на рисунке, равна:
- 12 см;
- 8 см;
- 16 см.
б) (Постановка проблемы). Задача. Сколько надо краски, чтобы покрасить пол, который имеет следующую форму (см. рис.), если на 1 м 2 расходуется 200 г краски?
III. Изучение нового материала.
Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу? (Найти площадь пола, который имеет вид «сложной фигуры».)
Учащиеся формулируют тему и цели урока (если необходимо учитель помогает).
Рассмотрим прямоугольник ABCD . Проведём в нем линию KPMN , разбив прямоугольник ABCD на две части: ABNMPK и KPMNCD.
Чему равна площадь ABCD ? (15 см 2)
Чему равна площадь фигуры ABMNPK ? (7 см 2)
Чему равна площадь фигуры KPMNCD ? (8 см 2)
Проанализируйте полученные результаты. (15= = 7 + 8)
Вывод? (Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.)
S = S 1 + S 2
Как можно применить это свойство для решения нашей задачи?(Разобьём сложную фигуру на части, найдём площади частей, затем площадь всей фигуры.)
S 1 = 7 2 = 14 (м 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (м 2)
S 3 = 7 3 = 21 (м 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (м 2)
Давайте составим план решения задач на нахождение площади «сложной фигуры»:
- Разбиваем фигуру на простые фигуры.
- Находим площади простых фигур.
а) Задача 1. Сколько потребуется плитки, чтобы выложить площадку следующих размеров:
S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (дм 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (дм 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (дм 2)
Есть ли другой способ решения? (Рассматриваем предложенные варианты.)
Ответ: 2100 дм 2 .
Задача 2. (коллективное решение на доске и в тетрадях.) Сколько требуется м 2 линолеума для ремонта комнаты, имеющей следующую форму:
S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (м 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (м 2)
S = 6 + 2 = 8 (м 2)
Ответ: 8 м 2 .
Физкультминутка.
А теперь, ребята, встали.
Быстро руки вверх подняли.
В стороны, вперед, назад.
Повернулись вправо, влево.
Тихо сели, вновь за дело.
б) Самостоятельная работа (обучающего характера).
Учащиеся разбиваются на группы (№ 5–8 более сильные). Каждая группа – ремонтная бригада.
Задание бригадам: определите, сколько надо краски, чтобы покрасить пол, имеющий форму фигуры, изображённой на карточке, если на 1 м 2 требуется 200 г краски.
Вы эту фигуру строите своей тетради и записывая все данные, приступаете к выполнению задания. Можете обсуждать решение (но только в своей группе!). Если какая-то группа справляется с заданием быстро, то ей – дополнительное задание (после проверки самостоятельной работы).
Задания для групп:
V. Домашнее задание.
п. 18, № 718, № 749.
Дополнительное задание. План-схема Летнего сада (Санкт-Петербург). Вычислить его площадь.
VI. Итоги урока.
Рефлексия. Продолжи фразу:
- Сегодня я узнал…
- Было интересно…
- Было трудно…
- Теперь я могу…
- Урок дал мне для жизни…
Если вы планируете сделать ремонт самостоятельно, то у вас возникнет необходимость составить смету по строительным и отделочным материалам. Для этого вам понадобится рассчитать площадь помещения, в котором вы планируете произвести ремонтные работы. Главным помощником в этом выступает специально разработанная формула. Площадь помещения, а именно ее расчет, позволит вам сэкономить немалые деньги на строительных материалах и направить высвободившиеся денежные ресурсы в более нужное русло.
Геометрическая форма комнаты
Формула расчета площади помещения напрямую зависит от ее формы. Наиболее типичными для отечественных сооружений являются прямоугольные и квадратные комнаты. Однако в ходе перепланировки стандартная форма может искажаться. Комнаты бывают:
- Прямоугольные.
- Квадратные.
- Сложной конфигурации (например, круглые).
- С нишами и выступами.
Каждая из них имеет свои особенности расчета, но, как правило, используется одна и та же формула. Площадь помещения любой формы и размера, так или иначе, поддается вычислению.
Помещение прямоугольной или квадратной формы
Чтобы рассчитать площадь комнаты прямоугольной или квадратной формы, достаточно вспомнить школьные уроки геометрии. Поэтому для вас не должно составить особого труда определить площадь помещения. Формула расчета имеет вид:
S комнаты=A*B, где
А - длина помещения.
В - ширина помещения.
Для измерения этих величин вам понадобится обычная рулетка. Чтобы получить наиболее точные расчёты, стоит измерить стену с обеих сторон. Если значения не сходятся, возьмите за основу среднее значение получившихся данных. Но помните, что любые расчёты имеют свои погрешности, поэтому материал стоит закупать с запасом.
Помещение со сложной конфигурацией
Если ваша комната не попадает под определение «типичной», т.е. имеет форму круга, треугольника, многоугольника, то, возможно, для расчетов вам понадобится другая формула. Площадь помещения с такой характеристикой можно попробовать условно разделить на прямоугольные элементы и произвести расчеты стандартным путем. Если такой возможности у вас нет, тогда воспользуйтесь следующими методиками:
- Формула нахождения площади круга:
S комн.=π*R 2 , где
R - радиус помещения.
- Формула нахождения площади треугольника:
S комн.= √ (P(P - A) х (Р - В) х (Р - С)), где
Р - полупериметр треугольника.
А, В, С - длины его сторон.
Отсюда Р=А+В+С/2
Если в процессе расчета у вас возникли затруднения, то лучше не мучать себя и обратиться к профессионалам.
Площадь помещения с выступами и нишами
Зачастую стены украшают декоративными элементами в форме всевозможных ниш или выступов. Также их наличие может быть обусловлено необходимостью скрыть некоторые неэстетичные элементы вашей комнаты. Наличие выступов или ниш на вашей стене означает, что расчет следует проводить поэтапно. Т.е. сначала находится площадь ровного участка стены, а затем к нему прибавляется площадь ниши или выступа.
Площадь стены находится по формуле:
S стен = Р х С, где
Р - периметр
С - высота
Также нужно учитывать наличие окон и дверей. Их площадь необходимо отнять от получившегося значения.
Комната с многоуровневым потолком
Многоуровневый потолок не так сильно усложняет расчеты, как это кажется на первый взгляд. Если он имеет простую конструкцию, то можно произвести расчеты по принципу нахождения площади стен, осложненных нишами и выступами.
Однако если конструкция вашего потолка имеет дуго- и волнообразные элементы, то целесообразнее определить его площадь с помощью площади пола. Для этого необходимо:
- Найти размеры всех прямых участков стен.
- Найти площадь пола.
- Перемножить длину и высоту вертикальных участков.
- Суммировать получившееся значение с площадью пола.
Пошаговая инструкция по определению общей
площади помещения
- Освободите помещение от ненужных вещей. В процессе замеров вам понадобится свободный доступ ко всем участкам вашей комнаты, поэтому нужно избавиться от всего, что может этому препятствовать.
- Визуально разделите комнату на участки правильной и неправильной формы. Если ваше помещение имеет строго квадратную или прямоугольную форму, то этот этап можно пропустить.
- Сделайте произвольную схему помещения. Этот чертеж нужен для того, чтобы все данные были у вас всегда под рукой. Также он не даст вам возможности запутаться в многочисленных замерах.
- Замеры необходимо производить несколько раз. Это важное правило для исключения ошибок в подсчетах. Также если вы используете убедитесь, что луч лежит ровно на поверхности стены.
- Найдите общую площадь помещения. Формула общей площади помещения заключается в нахождении суммы всех площадей отдельных участков комнаты. Т.е. S общ.= S стен+S пола+S потолка
