Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.

Веще́ственное, или действи́тельное число - математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные - из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами .

Абсолютная погрешность и её граница.

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой ) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: Относительная погрешность и её граница.

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Ко́мпле́ксные чи́сла - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy , где x и y - вещественные числа, i - мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле - это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках - электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i .

Вычитание (a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d ) i .

Умножение

Числовая функция. Способы задания функции

В математике числовая функция - это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств - как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел .

Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x ) = x !

Графический С помощью графика Фрагмент графика функции .

Табличный: С помощью таблицы значений

Основные свойства функции

1) Область определения функции и область значений функции . Область определения функции x (переменной x ), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции y , которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции ) Монотонность функции . Возрастающая функция Убывающая функция . Четная функция х f (-x) = f (x). Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f (-x) = - f (x . Функция называется ограниченной неограниченная .7) Периодическость функции . Функция f (x) - периодическая периодом функции

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

График функции - множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента x , а ординаты - соответствующими значениями функции y .

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b . Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах 2 + bх + с . Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +с =0

Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а > 0) или у - х (а < 0).

Логарифмическая функция y = log a x (a > 0)

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая называется синусоидой .

График функции y = cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.

Основные свойства функций. Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.

Область определения функции и область значений функции . Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции . Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции . Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .7) Периодическость функции . Функция f (x) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Периодические функции. Правила нахождения основного периода функции.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Все тригонометрические функции являются периодическими. Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций: Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T 1 и T 2 является функция с периодом НОК (T 1 ,T 2). Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией. Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

Построение графиков степенных функций.

Степенная функция. Это функция: y = ax n , где a, n - постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность : y = ax ; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу . Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a , т. e. её график - прямая линия, параллельная оси Х , исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Обратная функция

Обра́тная фу́нкция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех

Предел функции в точке. Основные свойства предела.

Корень n-ой степени и его свойства.

Корнем n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна a.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства корней:

Степень с произвольным действительным показателем и его свойства.

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием степени, число - показателем степени.

По определению полагают:

Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

.

.

Степенная функции, её свойства и графики

Степенная функция комплексного переменного f (z ) = z n с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел. степенная функция с целочисленным показателем является аналитической во всей комплексной плоскости, как произведение конечного числа экземпляров тождественного отображения f (z ) = z . Согласно теореме единственности эти два признака достаточны для единственности полученного аналитического продолжения. Пользуясь таким определением, можно сразу сделать вывод о том, что степенная функция комплексного переменного обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число - чётное, то и функция - чётная (то есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

Показательная функция, её свойства и графики

Показательная функция - математическая функция .

В вещественном случае основание степени - некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

В самом общем виде - u v , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Свойства ; ; .

Показательные уравнения.

Перейдем непосредственно к показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней. Докажем эту теорему: Пусть a>1 и a х =a y .

Докажем, что в этом случае х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у или что x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.

Также доказывается теорема и для случая, когда 00 и a≠1.

Показательные неравенства

Неравенства вида (или меньше) при а (х) >0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а (х) < 1 при сравнении f (x) и g (x) знак неравенства меняется, а при а (х) > 1 - сохраняется. Самый сложный случай при а (х) < 0 . Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f (x) и g (x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию. Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а (х) = 0 или а (х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Логарифмы и их свойства

Логарифм числа b по основанию a (от греч. λόγος - "слово", "отношение" и ἀριθμός - "число" ) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить число b . Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны. Пример: , потому что . Свойства

Основное логарифмическое тождество:

Логарифмическая функция, её свойства и графики.

Логарифмической функцией называется функция вида f (x ) = log a x , определённая при

Область определения:

Область значения:

График любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0)

Производная логарифмической функции равна:

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log a х = b (где а > 0, а 1). Его решение x = a b .

Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение log a х = b (а > 0, а 1) имеет решение х = а b .

Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:

если log a f (х) = log a g (х), то f (х) = g (х), f (х) >0 , g (х) >0 , а > 0 , а 1 .

Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.

Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Логарифмические неравенства.

Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим: log a f (х) > log a g (х).

При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения. Неравенство log a f (х) > log a g (х) равносильно системе f (x) > g (x) > 0 при a > 1 и системе 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Радианное измерение углов и дуг. Синус, косинус, тангенс, котангенс.

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ) - это поворот луча на 1/360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘); одна минута - соответственно из 60 секунд ( обозначаются “).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии (см. параграф "Длина дуги" в разделе "Геометрическое место точек. Круг и окружность"), длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол связаны соотношением: = l / r.

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад . Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (Am B = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

Синус:

Косинус:

Тангенс:

Котангенс:

Тригонометрические функции числового аргумента

Определение .

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в х радианов. Косинусом числа х называется число, равное косинусу угла в х радианов .

Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента х .

Формулы привидения.

Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента.

Двойного.

( ; .

Тригонометрические функции и их графики. Основные свойства тригонометрических функций.

Тригонометрические функции - вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tg x ), котангенс (ctg x ), Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Функция y sinx ее свойства и график

Свойства:

2. Е (у) = [-1; 1].

3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin (- x) = - y/R = - sinx , где R - радиус окружности, у - ордината точки (рис).

4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,

sin (x+p) = sinx.

с осью Ох: sinx = 0; х = pn, nÎZ;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0 , если xÎ (2pn; p + 2pn), nÎZ;

sinx < 0 , если хÎ (p + 2pn; 2p+pn), nÎZ.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nÎz и убывает на каждом из промежутков , nÎz.

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

x max = p/2 + 2pn, nÎz; y max = 1;

y max = - p/2 + 2pn, nÎz; y min = - 1.

Свойства функции у = cosx и ее график:

Свойства:

2. Е (у) = [-1; 1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)

4. Т = 2p - наименьший положительный период. Действительно,

cos (x+2pn) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = p/2 + pn, nÎZ;

с осью Оу: если х = 0,то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0 , если хÎ (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nÎZ;

cosx < 0 , если хÎ (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nÎZ.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов a первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [-p + 2pn; 2pn],

nÎz и убывает на каждом из промежутков , nÎz.

Свойства функции у = tgx и ее график: свойства -

1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).

3. Функция y = tgx - нечетная

tgx > 0

tgx < 0 при xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонности:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

8. x = p/2 + pn, nÎz - вертикальные асимптоты

Свойства функции у = ctgx и ее график:

Свойства:

1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) =R.

3. Функция y = ctgx - нечетная.

4. Т = p - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

ctgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;

ctgx < 0 при хÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (pn; p + pn), nÎZ.

7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.

8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида , полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на p/2 и умножением на (-1) (рис)

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус , аркко́синус , аркта́нгенс , арккотангес. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin −1 для арксинуса и т.п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1. Основное соотношение

Функция y=arcsinX, её свойства и графики.

Арксинусом числа m называется такой угол x , для которогоФункция y = sinx y = arcsinx является строго возрастающей. (функция является нечётной).

Функция y=arccosX, её свойства и графики.

Арккосинусом числа m называется такой угол x , для которого

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей. cos (arccosx ) = x при arccos (cosy ) = y при D (arccosx ) = [− 1; 1], (область определения), E (arccosx ) = . (область значений). Свойства функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки

Функция y=arctgX, её свойства и графики.

Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

при

Свойства функции arctg

,

.

Функция y=arcctg, её свойства и графики.

Арккотангенсом числа m называется такой угол x , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

Функция является строго убывающей. при при 0 < y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых x .

.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вада sin x = a ; cos x = a ; tg x = a ; ctg x = a , где x

Частные случаи тригонометрических уравнений

Определение. Уравнения вада sin x = a ; cos x = a ; tg x = a ; ctg x = a , где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

	A и пересекаются по прямой а.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые, заданные уравнениями

пересекаются в точке.

Параллельность прямой и плоскости.

Определение 2.3 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α. Теорема 2.4 Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть b α, a || b и a α (чертеж 2.2.1). Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна α, тогда прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке A. Причем A b, так как a || b. Согласно признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Теорема 2.5 Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. Доказательство Действительно, прямые a и b не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости β. Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как a || α. Определение 2.4 Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Прямые называются скрещивающимися при выполнении следующего условия: Если представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой. Иными словами, две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Проще говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.

Теорема (1): Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема (2): Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Теорема (3): Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Параллельность прямых. Свойства параллельных плоскостей.

Параллельными (иногда - равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается. Свойства Параллельность - бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две) 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости. б При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей : Секущая обязательно пересекает обе прямые. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства: Накрест лежащие углы равны. Соответственные углы равны. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ .

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ .

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема о трех перпендикулярах

Пусть AB - перпендикуляр к плоскости α, AC - наклонная и c - прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC . Проведем прямую CK параллельно прямой AB . Прямая CK перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна AB ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC .

Обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Пусть АВ - перпендикуляр к плоскости a , АС - наклонная и с - прямая в плоскости a , проходящая через основание наклонной С . Проведем прямую СК , параллельно прямой АВ . Прямая СК перпендикулярна плоскости a (по этой теореме, так как она параллельна АВ ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с . Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость b (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости b , это АС по условию и СК по построению, значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС . Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с , лежащей в плоскости a .

Перпендикуляр и наклонная.

Перпендикуляром , опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра .

Наклонной , проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной . Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной .

Определение 1 . Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

Определение 2 . Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой прямой, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из этой же точки на данную прямую. AB - перпендикуляр к плоскости α.

AC - наклонная, CB - проекция.

С - основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Двугранный угол.

Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая - ребром . Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Перпендикулярность двух плоскостей.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дата публикации: 2016-03-23

Краткое описание: ...

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛЬНЫХ ПРИЕМОВ.

1
. Решение иррациональных уравнений.

1. Метод подстановки.

1.1.1 Решите уравнение .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

И меем систему уравнений

Т.к. а + в = 4, то

З начит: 9 – x = 8  х = 1. Ответ: х = 1.

1.1.2. Решите уравнение .

Введем обозначения: , ; , .

Значит:

Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем .

И меем систему уравнений

а + в = 2, , , ,

В ернемся к системе уравнений:

, .

Решив уравнение относительно (ab), имеем ab = 9, ab = -1 (-1 посторонний корень, т.к. , .).

Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.

Ответ: нет решений.

1. 1. Решите уравнение: .

Введем обозначение , где . Тогда , .

, ,

Рассмотрим три случая:

1) . 2) . 3) .

А + 1 - а + 2 = 1, а - 1 - а + 2 = 1, а - 1 + а - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1). [ 1 ; 2). а = 2.

Решение: [ 1 ; 2 ].

Если , то , , .

Ответ: .

1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).

Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. М – мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

, , то

1. 1. Решите уравнение: .

ОДЗ: .

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию . Графиком является парабола с вершиной А(3 ; 2).

Наименьшее значение функции у(3) = 2, то есть .

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию . С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на x  (2 ; 4).

При ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Имеем, .

В результате , , то

Составим систему уравнений, исходя из вышеуказанных условий:

Решая первое уравнение системы, имеем х = 3. Подстановкой этого значения во второе уравнение, убеждаемся, что х = 3 есть решение системы.

Ответ: х = 3.

1.3. Применение монотонности функции.

1.3.1. Решите уравнение:

О ДЗ: , т.к.  .

Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая.

Левая часть представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем х = 1.

Доказательство:

Предположим имеется корень х 1 , больший 1, тогда выполняется

Т.к. х 1 >1,

.Делаем вывод, что корней больших единицы нет.

Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы.

Значит x=1 – единственный корень.

Ответ: x = 1.

1.3.2. Решите уравнение:

О ДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к. т.е. .

Преобразуем уравнение ,

Левая часть представляет собой возрастающую функцию (произведение возрастающих функций), правая часть – линейная функция (к = 0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, х = 7.

Проверка:

Можно доказать, что других корней нет(см. пример выше).

Ответ: х = 7.

2.Логарифмические уравнения.

1. Метод оценки левой и правой частей.

2.1.1. Решите уравнение: log 2 (2х - х 2 + 15) = х 2 - 2х + 5.

Дадим оценку левой части уравнения.

2х - х 2 + 15 = - (х 2 - 2х - 15) = - ((х 2 - 2х + 1) - 1 - 15) = - (х - 1) 2 + 16  16.

Тогда log 2 (2х - х 2 + 15)  4.

Оценим правую часть уравнения.

x 2 - 2х + 5 = (х 2 - 2х + 1) - 1 + 5 = (х - 1) 2 + 4  4.

Исходное уравнение может иметь решение только при равенстве обеих частей четырем.

Значит

Ответ: х = 1.

Для самостоятельной работы.

2.1.2. log 4 (6х - х 2 + 7) = х 2 - 6х + 11 Отв.: х = 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Отв.: х = 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 Отв.: х = 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 Отв.: х = 3.

2.2. Использование монотонности функции, подбор корней.

2.2.1. Решите уравнение: log 2 (2х - х 2 + 15) = х 2 - 2х + 5.

Выполним замену 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Тогда x 2 - 2x + 5 = 20 - t, значит

log 2 t = 20 - t .

Функция y = log 2 t - возрастающая, а функция y = 20 - t - убывающая. Геометрическая интерпретация дает нам понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором t = 16.

Решив уравнение 2х - х 2 + 15 = 16, находим, что х = 1.

Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: х = 1.

2.3. Некоторые “интересные” логарифмические уравнения.

2.3.1. Решите уравнение .

ОДЗ: (x - 15) cosx > 0.

Перейдем к уравнению

, , ,

Перейдем к равносильному уравнению

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, или cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 или cos x = -1,

x = 2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ.

1) если x = 15 , то (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0, неверно.

x = 15 – не является корнем уравнения.

2) если x = 2 k, k Z, то (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, заметим, что 15  5 . Имеем

k > 2,5 , k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) если x =  + 2 l, l Z, то ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l < 15,

2 l < 15 -  , заметим, что 15  5  .

Имеем: l < 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Ответ: х = 2 k (k = 3,4,5,6,…); х =  +2 1(1 = 1,0, -1,- 2,…).

3.Тригонометрические уравнения.

3.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.

4.1.1. Решите уравнение cos3x cos2x = -1.

Первый способ..

0,5 (cos x + cos 5 x ) = -1, cos x + cos 5 x = -2.

Поскольку cos x  - 1 , cos 5x  - 1, заключаем,­ что cos x + cos 5x > -2, отсюда

следует система уравнений

c os x = -1,

cos 5x = - 1.

Решив уравнение cos x = -1, получим х =  + 2 к,где k Z.

Эти значения х являются также решениями уравнения cos 5x = -1, т.к.

cos 5 x = cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Таким образом, х =  + 2 к, где k Z , - это все решения системы, а значит и исходного уравнения.

Ответ: х =  (2k + 1), k Z.

Второй способ.

Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3x = - 1.

Решив каждую систему уравнений, найдем объединение корней.

Ответ: x = (2 к + 1), k Z.

Для самостоятельной работы.

Решите уравнения:

3.1.2. 2 cos 3 x + 4 sin x/2 = 7. Ответ: нет решений.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Ответ: нет решений.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Ответ: х = 2  к, k  Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Ответ: х =  /2 +  к, k  Z.

3.1.6. cos 8 x + sin 7 x = 1. Ответ: х =  m, m  Z; х =  /2 + 2  n, n  Z.

1.1 Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие. Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. Эквивалентность не нарушается при возведении обеих частей в нечетную степень. В противном случае требуется проверка найденных решений или оценка знака обеих частей уравнения. Но существуют и другие приемы, которые могут оказаться более эффективными при решении иррациональных уравнений. Например, метод тригонометрической подстановки.

Пример 1. Решите уравнение

Так как , то . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

Положим , где , тогда

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.

Ответ: .

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

Так как , то . Раскроем внутренний модуль

Положим , тогда

.

Условию удовлетворяют два значения и .

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

.

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

Пусть , тогда . Уравнение перепишется в виде

Проверкой устанавливаем, что – корень, тогда делением многочлена на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители

От переменной перейдем к переменной , получим

.

Условию удовлетворяют два значения

.

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что – корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что тоже корень.

Ответ: .

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

.

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить Исходное уравнение перепишется в виде

Так как , то и . Уравнение примет вид

Пусть . Перейдем от уравнения к равносильной системе

.

Числа и являются корнями квадратного уравнения

.

Алгебраическое решение Возведем обе части уравнения в квадрат

Введем замену , тогда уравнение запишется в виде

Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение

.

Так как , то .

В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда . Оказывается, если тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения , которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как переменная может принимать любые действительные значения, положим . Тогда

,

Так как .

Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид

Так как , поделим обе части уравнения на , получим

Пусть , тогда . Уравнение примет вид

.

Учитывая подстановку , получим совокупность из двух уравнений

.

Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.

.

Не может быть значением синуса, так как для любых значений аргумента.

.

Так как и правая часть исходного уравнения положительна, то . Из чего следует, что .

Это уравнение корней не имеет, так как .

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень

.

Алгебраическое решение

Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку , предложенную И. Ф. Шарыгиным .

Положим , тогда

Преобразуем правую часть уравнения :

С учетом преобразований уравнение примет вид

.

Введем замену , тогда

.

Второй корень является лишним, поэтому , а .

Если заранее не известна идея решения уравнения , то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени , найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения , если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.

Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.