Можно отметить ряд результатов, присущих этому действию. Эти результаты называют свойствами сложения натуральных чисел . В этой статье мы подробно разберем свойства сложения натуральных чисел, запишем их при помощи букв и приведем поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Теперь приведем пример, иллюстрирующий сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Представим ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко, а со второй яблони - 2 яблока и еще 4 яблока. А теперь рассмотрим такую ситуацию: с первой яблони упало 1 яблоко и еще 2 яблока, а со второй яблони упало 4 яблока. Понятно, что на земле и в первом и во втором случае окажется одинаковое количество яблок (что можно проверить пересчетом). То есть, результат сложения числа 1 с суммой чисел 2 и 4 равен результату сложения суммы чисел 1 и 2 с числом 4 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать сочетательное свойство сложения натуральных чисел: чтобы прибавить к данному числу данную сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое данной суммы и к полученному результату прибавить второе слагаемое данной суммы . Это свойство с помощью букв можно записать так: a+(b+c)=(a+b)+c , где a , b и c – произвольные натуральные числа.

Обратите внимание, что в равенстве a+(b+c)=(a+b)+c присутствуют круглые скобки «(» и «)». Скобки используются в выражениях для указания порядка выполнения действий – сначала выполняются действия в скобках (подробнее об этом написано в разделе ). Иными словами, в скобки заключаются выражения, значения которых вычисляются в первую очередь.

В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех, четырех и большего количества натуральных чисел .

Свойство сложения нуля и натурального числа, свойство сложения нуля с нулем.

Мы знаем, что нуль НЕ является натуральным числом. Так почему же мы решили рассмотреть свойство сложения нуля и натурального числа в этой статье? На это есть три причины. Первая: это свойство используется при сложении натуральных чисел столбиком . Вторая: это свойство используется при вычитании натуральных чисел . Третья: если считать, что нуль означает отсутствие чего-либо, то смысл сложения нуля и натурального числа совпадает со смыслом сложения двух натуральных чисел .

Проведем рассуждения, которые помогут нам сформулировать свойство сложения нуля и натурального числа. Представим, что в ящике нет ни одного предмета (иными словами, в ящике находится 0 предметов), и в него помещают a предметов, где a – любое натуральное число. То есть, сложили 0 и a предметов. Понятно, что после этого действия в ящике стало a предметов. Следовательно, справедливо равенство 0+a=a .

Аналогично, если в ящике находится a предметов и в него добавляют 0 предметов (то есть, не добавляют ни одного предмета), то после этого действия в ящике окажутся a предметов. Таким образом, a+0=a .

Теперь мы можем привести формулировку свойства сложения нуля и натурального числа: сумма двух чисел, одно из которых равно нулю, равна второму числу . Математически это свойство можно записать в виде следующего равенства: 0+a=a или a+0=a , где a – произвольное натуральное число.

Отдельно обратим внимание на то, что при сложении натурального числа и нуля остается верным переместительное свойство сложения, то есть, a+0=0+a .

Наконец, сформулируем свойство сложения нуля с нулем (оно достаточно очевидно и не нуждается в дополнительных комментариях): сумма двух чисел, каждое из которых равно нулю, равна нулю . То есть, 0+0=0 .

Теперь пришло время разобраться с тем, как выполняется сложение натуральных чисел .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Тема, которой посвящен этот урок, - «Свойства сложения».На нем вы познакомитесь с переместительным и сочетательным свойствами сложения, рассмотрев их на конкретных примерах. Узнаете, в каких случаях можно ими пользоваться, чтобы сделать процесс вычисления более простым. Проверочные примеры помогут определить, насколько хорошо вы усвоили изученный материал.

Урок: Свойства сложения

Внимательно посмотрите на выражение:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Нам нужно найти его значение. Давайте это сделаем.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Результат выражения 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Скажите, удобно ли было вычислять? Вычислять было не совсем удобно. Посмотрите еще раз на числа этого выражения. Нельзя ли их поменять местами так, чтобы вычисления были более удобными?

Если мы перегруппируем числа по-другому:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Окончательный результат выражения 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Мы видим, что результаты выражений получились одинаковые.

Слагаемые можно менять местами, если это удобно для вычислений, и значение суммы от этого не изменится.

В математике существует закон: Переместительный закон сложения . Он гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Дядя Федор и Шарик поспорили. Шарик находил значение выражения так, как оно записано, а дядя Федор сказал, что знает другой, более удобный способ вычисления. Видите ли вы более удобный способ вычисления?

Шарик решал выражение так, как оно записано. А дядя Федор, сказал, что знает закон, который разрешает менять слагаемые местами, и поменял местами числа 25 и 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Мы видим, что результат остался таким же, но считать стало гораздо проще.

Посмотрите на следующие выражения и прочитайте их.

6 + (24 + 51) = 81 (к 6 прибавить сумму 24 и 51)
Нет ли удобного способа для вычисления?
Мы видим, что если прибавить 6 и 24, то мы получим круглое число. К круглому числу всегда легче что-то прибавлять. Возьмем в скобки сумму чисел 6 и 24.
(6 + 24) + 51 = …
(к сумме чисел 6 и 24 прибавить 51)

Вычислим значение выражения и посмотрим, изменилось ли значение выражения?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Мы видим, что значение выражения осталось прежним.

Потренируемся еще на одном примере.

(27 + 19) + 1 = 47 (к сумме чисел 27 и 19 прибавить 1)
Какие числа удобно сгруппировать так, чтобы получился удобный способ?
Вы догадались, что это числа 19 и 1. Сумму чисел 19 и 1 возьмем в скобки.
27 + (19 + 1) = …
(к 27 прибавить сумму чисел 19 и 1)
Найдем значение этого выражения. Мы помним, что сначала выполняется действие в скобках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Значение нашего выражения осталось таким же.

Сочетательный закон сложения : два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Теперь потренируемся пользоваться обоими законами. Нам нужно вычислить значение выражения:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Сначала воспользуемся переместительным свойством сложения, которое разрешает менять слагаемые местами. Поменяем местами слагаемые 14 и 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Теперь воспользуемся сочетательным свойством, которое разрешает нам два соседних слагаемых заменять их суммой.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Сначала узнаем значение суммы 38 и 2.

Теперь сумму 14 и 6.

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().

Сделай дома

1. Вычислите сумму слагаемых по-разному:

а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16

2. Вычислите результаты выражений:

а) 19 + 4 + 16 + 1 б) 8 + 15 + 12 + 5 в) 20 + 9 + 30 + 1

3. Вычислите сумму удобным способом:

а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13

Итак, в общем случае вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством . Запишем это утверждение с помощью букв. Если a и b неравные натуральные числа, то a−b≠b−a . Например, 45−21≠21−45 .

Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Следующее свойство связано с вычитанием из натурального числа суммы двух чисел. Давайте рассмотрим пример, который даст нам понимание этого свойства.

Представим, что у нас в руках находится 7 монет. Мы сначала решаем сохранить 2 монеты, но, подумав, что этого будет мало, решаем сохранить еще одну монету. На основании смысла сложения натуральных чисел можно утверждать, что в этом случае мы приняли решение сохранить количество монет, которое определяется суммой 2+1 . Итак, берем две монеты, добавляем к ним еще одну монету и помещаем их в копилку. При этом количество монет, оставшихся у нас в руках, определяется разностью 7−(2+1) .

А теперь представим, что у нас есть 7 монет, и мы помещаем в копилку 2 монеты, а после этого - еще одну монету. Математически этот процесс описывается следующим числовым выражением: (7−2)−1 .

Если пересчитать монеты, которые остаются в руках, то и в первом и во втором случаях мы имеем 4 монеты. То есть, 7−(2+1)=4 и (7−2)−1=4 , следовательно, 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Рассмотренный пример позволяет нам сформулировать свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое .

Напомним, что мы придали смысл вычитанию натуральных чисел лишь для случая, когда уменьшаемое больше, чем вычитаемое, или равно ему. Поэтому мы можем вычесть из данного натурального числа данную сумму лишь тогда, когда эта сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число. Заметим, что при выполнении этого условия, каждое из слагаемых не превосходит натурального числа, из которого вычитается сумма.

С помощью букв свойство вычитания суммы двух чисел из данного натурального числа записывается в виде равенства a−(b+c)=(a−b)−c , где a , b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a>b+c или a=b+c .

Рассмотренное свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел , позволяют выполнять вычитание суммы трех и большего количества чисел из данного натурального числа .

Свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Переходим к следующему свойству, которое связано с вычитанием данного натурального числа из данной суммы двух натуральных чисел. Рассмотрим примеры, которые помогут нам «увидеть» это свойство вычитания натурального числа из суммы двух чисел.

Пусть у нас в первом кармане находятся 3 конфеты, а во втором – 5 конфет, и пусть нам нужно отдать 2 конфеты. Мы это можем сделать разными способами. Разберем их по очереди.

Во-первых, мы можем сложить все конфеты в один карман, после чего оттуда достать 2 конфеты и отдать их. Опишем эти действия математически. После того, как мы сложим конфеты в один карман, их количество будет определяться суммой 3+5 . Теперь из общего количества конфет мы отдадим 2 конфеты, при этом оставшееся у нас количество конфет будет определяться следующей разностью (3+5)−2 .

Во-вторых, мы можем отдать 2 конфеты, достав их из первого кармана. В этом случае разность 3−2 определяет оставшееся количество конфет в первом кармане, а общее количество оставшихся у нас конфет будет определяться суммой (3−2)+5 .

В-третьих, мы можем отдать 2 конфеты из второго кармана. Тогда разность 5−2 будет соответствовать количеству оставшихся конфет во втором кармане, а общее оставшееся количество конфет определит сумма 3+(5−2) .

Ясно, что во всех случаях у нас останется одинаковое количество конфет. Следовательно, справедливы равенства (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) .

Если бы нам пришлось отдать не 2 , а 4 конфеты, то мы могли бы это сделать двумя способами. Во-первых, отдать 4 конфеты, предварительно сложив их все в один карман. В этом случае оставшееся количество конфет определяется выражением вида (3+5)−4 . Во-вторых, мы могли отдать 4 конфеты из второго кармана. В этом случае общее количество конфет дает следующая сумма 3+(5−4) . Понятно, что и в первом и во втором случае у нас останется одинаковое количество конфет, следовательно, справедливо равенство (3+5)−4=3+(5−4) .

Проанализировав результаты, полученные при решении предыдущих примеров, мы можем сформулировать свойство вычитания данного натурального числа из данной суммы двух чисел. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое . Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.

Запишем свойство вычитания натурального числа из суммы с помощью букв. Пусть a , b и c – некоторые натуральные числа. Тогда при условии, что a больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=(a−c)+b , а при выполнении условия, что b больше или равно c , справедливо равенство (a+b)−c=a+(b−c) . Если и a и b больше или равно c , то справедливы оба последних равенства, и их можно записать следующим образом: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

По аналогии можно сформулировать свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел. В этом случае данное натуральное число можно вычесть из любого слагаемого (конечно, если оно больше или равно вычитаемому числу), и к полученной разности прибавить оставшиеся слагаемые.

Чтобы наглядно представить озвученное свойство, можно представить, что у нас много карманов, и в них находятся конфеты. Пусть нам нужно отдать 1 конфету. Понятно, что мы можем отдать 1 конфету из любого кармана. При этом не важно, из какого именно кармана мы ее отдадим, так как это не влияет на то количество конфет, которое у нас останется.

Приведем пример. Пусть a , b , c и d – некоторые натуральные числа. Если a>d или a=d , то разность (a+b+c)−d равна сумме (a−d)+b+c . Если b>d или b=d , то (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Если же c>d или c=d , то справедливо равенство (a+b+c)−d=a+b+(c−d) .

Следует отметить, что свойство вычитания натурального числа из суммы трех и большего количества чисел не является новым свойством, так как оно следует из свойств сложения натуральных чисел и свойства вычитания числа из суммы двух чисел.

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.