На основании похожести по математическому смыслу и взаимозаменяемости разных приемов решения все арифметические способы можно объединить в такие группы:

• 1) способ приведения к единице, приведение к общей мере, обратного приведения к единице, способ отношений;
• 2) способ решения задач с «конца»;
• 3) способ исключения неизвестных (замена одного неизвестного другим, сравнение неизвестных, сравнение данных, сравнение двух условий вычитанием, объединение двух условий в одно); способ предположения;
• 4) пропорциональное деление, подобие или нахождение частей;
• 5) способ преобразования одной задачи в другую (разложение сложной задачи на простые, подготовительные; приведение неизвестных к таким значениям, для которых становится известным их отношение; прием определения произвольного числа для одной из неизвестных величин).

Кроме названных способов целесообразно рассматривать еще способ среднего арифметического, метод излишек, способ перестановки известного и неизвестного, способ «фальшивых» правил.

Посколько обычно невозможно наперед определить, какой из способов является найрациональным, предвидеть, какой их них приведет к простейшему и самому понятному для ученика решению, то учащихся стоит познакомить с разными способами и давать им возможность самим выбирать, какой из них применить при решении конкретной задачи.

Способ исключения неизвестных

Этот способ используется, когда в задаче несколько неизвестных. Такую задачу можно решить с помощью одного из пяти приемов: 1) замена одного неизвестного другим; 2) сравнение неизвестных; 3) сравнение двух условий вычитанием; 4) сравнение данных; 5) объединение нескольких условий в одну.

В результате применения одного из перечисленных приемов вместо нескольких неизвестных остается одно, которое можно найти. Вычислив его, используют данные в условии зависимости для нахождения других неизвестных.

Остановимся детальнее на рассмотрении некоторых из приемов.

1. Замена одного неизвестного другим

Название приема раскрывает его идею: на основании зависимостей (кратных или разностных), какие даны по условию задачи, необходимо выразить все неизвестные через одно из них.

Задача. У Сергея и Андрея всего 126 марок. У Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея. Сколько марок было у каждого из мальчиков?

Краткая запись условия:

Сергей -- ? марок, на 14 марок больше

Андрей -- ? марок

Всего -- 126 марок

Решение 1.

• (замена большего неизвестного меньшим)
• 1) Пусть у Сергея было столько марок, как и у Андрея. Тогда общее количество марок было бы 126 -- 14 = 112 (марок).
• 2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Андрея сначало: 112: 2 = 56 (марок).
• 3) Учитывая, что у Сергея на 14 марок больше, чем у Андрея, получаем: 56 + 14 = 70 (марок).

Решение 2.

• (замена меньшего неизвестного большим)
• 1) Пусть у Андрея было столько же марок, как и у Сергея. Тогда общее количество марок было бы 126 + 14 = 140 (марок).
• 2) Так как у мальчиков теперь одинаковое количество марок, то найдем, сколько марок было у Сергея сначало: 140: 2 = 70 (марок).
• 3) Учитывая, что у Андрея было на 14 марок меньше, чем у Сергея, получим: 70 -- 14 = 56 (марок).

Ответ: У Сергея было 70 марок, а у Андрея -- 56 марок.

Для наилучшего усвоения учащимися способа замены меньшего неизвестного большим перед его рассмотрением необходимо выяснить с учащимися такой факт:если число А больше числа В на С единиц, то чтобы сравнить числа А и В необходимо:

• а) из числа А вычесть число С (тогда оба числа равны числу В);
• б) к числу В прибавить число С (тогда оба числа равны числу А).

Умение учащихся заменять большее неизвестное меньшим, и наоборот, в дальнейшем способствует развитию умений выбирать неизвестное и выражать через него другие величины при составлении уравнения.

2. Сравнение неизвестных

Задача. На четырех полках стояло 188 книг. На второй полке книг было на 16 меньше, чем на первой, на третьей -- на 8 больше, чем на второй, а на четвертой -- на 12 меньше, чем на третьей полке. Сколько книг на каждой полке?

Анализ задачи

Для лучшего осознания зависимостей между четырьмя неизвестными величинами (количеством книг на каждой полке) используем схему:

I _________________________________

II___________________________

III______________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Сравнивая отрезки, которые схематически изображают количество книг на каждой полке, приходим к таким выводам: книг на первой полке на 16 больше, чем на второй; на третьей на 8 больше, чем на второй; на четвертой -- на 12 -- 8 = 4 (книг) меньше, чем на второй. Следовательно, задачу можно решить, сравнив количество книг на каждой полке. Для этого снимем с первой полки 16 книг, с третьей -- 8 книг и поставим на четвертую полку 4 книги. Тогда на всех полках будет одинаковое количество книг, а именно -- как на второй было сначало.

• 1) Сколько книг стоит на всех полках после описанных в анализе задачи операций?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (книг)
• 2) Сколько книг было на второй полке?
• 168: 4 = 42 (книг)
• 3) Сколько книг было на первой полке?
• 42 + 16 = 58 (книг)
• 4) Сколько книг было на третьей полке?
• 42 + 8 = 50 (книг)
• 5) Сколько книг было на четвертой полке?
• 50 -- 12 = 38 (книг)

Ответ: На каждой из четырех полок было 58, 42, 50 и 38 книг.

Замечание. Можно предложить учащимся решить эту задачу другими способами, если сравнивать неизвестные количество книг, которые стояли на первой, или на второй, или на четвертой полках.

3. Сравнение двух условий вычитанием

В сюжет задачи, которая решается этим приемом, часто входят две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество работников и выполненная ими работа и т. п.). В условии дается два значения одной величины и разность двух пропорциональных к ним числовых значений другой величины.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 4кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 500 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

• 4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,
• 4кг ап. и 3кг бан. - 500 руб.

• 1) Сравним стоимость двух покупок. И в первый раз, и во второй раз покупали одинаковое количество апельсинов по одной и той же цене. Первый раз заплатили больше потому, что купили больше бананов. Найдем, на сколько килограммов бананов было куплено больше в первый раз: 5 -- 3 = 2 (кг).
• 2) Найдем, на сколько больше заплатили первый раз, чем во второй (то есть узнаем, сколько стоят 2кг бананов): 620 -- 500 = 120 (руб.).
• 3) Найдем цену 1кг бананов: 120: 2 = 60 (руб.).
• 4) Зная стоимость первой и второй покупок, можем найти цену 1кг апельсинов. Для этого сначало найдем стоимость купленных бананов, потом стоимость апельсинов, а потом цену 1кг. Имеем: (620 -- 60*5) : 4 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, а цена 1кг бананов -- 60 руб.

4. Сравнение данных

Применение данного приема дает возможность сравнить данные и применить способ вычитания. Сравнивать значения данных можно:

• 1) с помощью умножения (сравнивая их с наименьшим общим кратным);
• 2) с помощью деления (сравнивая их с наибольшим общим делителем).

Покажем это на примере.

Задача. За 4кг апельсинов и 5кг бананов заплатили 620 руб, а в следующий раз за 6кг апельсинов и 3кг бананов, купленных по таким же ценам, заплатили 660 руб. Сколько стоит 1кг апельсинов и 1кг бананов?

Краткая запись условия:

• 4кг ап. и 5кг бан. - 620 руб,
• 6кг ап. и 3кг бан. - 660 руб.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наименьшим общим кратным: НОК(4;6) = 12.

Решение1.

• 1) Увеличим количество купленных фруктов и их стоимость в первом случае в 3 раза, а во втором -- в 2 раза. Получим такую краткую запись условия:
• 12кг ап. и 15кг бан. - 1860 руб,
• 12кг ап. и 6кг бан. - 1320 руб.
• 2) Узнаем, на сколько больше бананов купили первый раз: 15- 6 = 9(кг).
• 3) Сколько стоит 9кг бананов? 1860 -- 1320 = 540 (руб).
• 4) Найдем цену 1кг бананов: 540: 9 = 60(руб).
• 5) Найдем стоимость 3кг бананов: 60*3 = 180(руб).
• 6) Найдем стоимость 6кг апельсинов: 660 -- 180 = 480(руб).
• 7) Найдем цену 1кг апельсинов: 480: 6 = 80(руб).

Решение2.

Уравняем количество апельсинов и бананов, сравнивая их с наибольшим общим делителем: НОД (4; 6) = 2.

• 1) Чтобы уравнять количество апельсинов, купленных в первый раз и во второй раз, уменьшим количество купленного товара и его стоимость в первом случае в 2 раза, во втором -- в 3 раза. Получим задачу, которая имеет такую краткую запись условия
• 2кг ап. и 2,5кг бан. - 310 руб,
• 2кг ап. и 1кг бан. - 220 руб.
• 2) На сколько теперь бананов покупают больше: 2,5 -- 1 = 1,5 (кг).
• 3) Найдем, сколько стоит 1,5кг бананов: 310 -- 220 = 90 (руб).
• 4) Найдем цену 1кг бананов: 90: 1,5 = 60 (руб).
• 5) Найдем цену 1кг апельсинов: (660 -- 60*3) : 6 = 80 (руб).

Ответ: цена 1кг апельсинов -- 80 руб, 1кг бананов -- 60 руб.

При решении задач с использованием приема сравнения данных можно не делать такого детального анализа и записей, а только сделать запись изменений, которые делали для сравнения, и записать их в виде таблицы.

5. Объединение нескольких условий в одно

Иногда избавиться от лишних неизвестных можно, объединив несколько условий в одно.

Задача. Туристы вышли из лагеря и сначала 4 часа шли пешком, а потом еще 4 часа ехали на велосипедах с некоторой постоянной скоростью и удалились от лагеря на 60км. Во второй раз они вышли из лагеря и сначала ехали на велосипедах с такой же скоростью 7 часов, а потом повернули в обратном направлении и, двигаясь пешком 4 часа, оказались на расстоянии 50км от лагеря. С какой скоростью туристы ехали на велосипедах?

В задаче два неизвестных: скорость, с какой туристы ехали на велосипедах, и скорость, с какой они шли пешком. Для того, чтобы исключить одно из них, можно объединить два условия в одно. Тогда расстояние, которое пройдут туристы за 4 часа, двигаясь вперед первый раз пешком, равно расстоянию, которое они прошли за 4 часа, двигаясь назад во второй раз. Поэтому на эти расстояния не обращаем внимания. Значит, расстояние, которое пройдут туристы за 4 + 7 =11 (час) на велосипедах, будет равно 50+60=110 (км).

Тогда скорость движения туристов на велосипедах: 110: 11 = 10 (км/ч).

Ответ.Скорость движения на велосипедах составляет 10 км/ч.

6. Способ допущения

Использование способа допущения при решении задач у большинства учащихся не вызывает трудностей. Поэтому, чтобы не возникало механического запоминания учащимися схемы шагов этого способа и непонимания сути выполненных действий на каждом из них, следует сначала показать учащимся способ проб («фальшивое правило» и «правило древних вавилонян»).

При использовании способа проб, в частности «фальшивого правила», одной из неизвестных величин дается («допускается») некоторое значение. Потом, используя все условия, находят значение другой величины. Полученное значение сверяют с тем, которое задано в условии. Если полученное значение отлично от данного в условии, то задаваемое первое значение не правильно и его необходимо увеличивать или уменьшать на 1, и снова находить значение другой величины. Так необходимо делать до тех пор, пока не получим значение другой величины такое, как в условии задачи.

Задача. У кассира есть 50 монет по 50копеек и по 10 копеек, всего на сумму 21 руб. Найдите, сколько было у кассира отдельно монет по 50к. и по 10к.

Решение1. (способ проб)

Воспользуемся правилом «древних» вавилонян. Предположим, что у кассира монет каждого номинала поровну, то есть по 25 штук. Тогда сумма денег будет 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (к.), или 15 руб. Но в условии 21 руб, то есть больше, чем получили, на 21 грн -- 15 руб.= 6 руб. Значит, необходимо увеличивать количество монет по 50 копеек и уменьшать количество монет по 10 копеек, пока не получим в сумме 21 руб. Изменение количества монет и общую сумму запишем в таблицу.

Количество монет	Количество монет	Сумма денег	Сумма денег	Общая сумма	Меньше или больше, чем в условии
					Меньше на 6руб.
					Меньше на 5руб60к
					Как в условии

Как видно из таблицы, у кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Как выяснилось в решении 1, если бы у кассира было поровну монет по 50к. и по 10к., то всего у него было денег 15 руб. Легко заметить, что каждая замена монети 10к. на монету 50к. увеличивает общую сумму на 40к. Значит, необходимо найти, сколько необходимо сделать таких замен Для этого найдем сначала, на сколько денег необходимо увеличить общую сумму:

21 руб -- 15 руб. = 6 руб. = 600 к.

Найдем, сколько раз такую замену необходимо сделать: 600 к. : 40 к.=15.

Тогда по 50 к. будет 25 +15 =40 (монет), а монет по 10 к. останется 25 -- 15 = 10.

Проверкой подтверджается, что общая сумма денег в этом случае равна 21 руб.

Ответ: У кассира было 40 монет по 50 копеек и 10 монет по 10 копеек.

Предложив учащимся самостоятельно выбирать разные значения количества монет по 50 копеек, необходимо подвести их к идее, которая наилучшим с точки зрения рациональности есть допущение, что у кассира были только монеты одного номинала (например, все 50 монет по 50 к. или все 50 монет по 10к. каждая). Благодаря чему, одно из неизвестных исключается и заменяется другим неизвестным.

7. Способ остатков

Этот способ имеет некоторую схожесть с размышлениями при решении задач способами проб и допущений. Способ остатков используем, решая задачи на движение в одном направлении, а именно -- когда необходимо найти время, за которое первый объект, который движется позади с большей скоростью, догонит второй объект, который имеет меньшую скорость движения. За 1 час первый объект приближается ко второму на расстояние, которое равно разности их скоростей, то есть равно «остатку» скорости, которая есть у него в сравнении со скоростью второго. Чтобы найти время, которое необходимо первому объекту для преодоления расстояния, которое было между ним и вторым на начало движения, следует определить, сколько раз «остаток» помещается в этом расстоянии.

Если абстрагироваться от сюжета и рассмотреть только математическую структуру задачи, то в ней говорится о двух множителях (скорости движения обоих объектов) или разнице этих множителей и о двух произведениях (расстояния, которые они проходят) или их разность. Неизвестные множители (время) одинаковые и их необходимо найти. С математической точки зрения неизвестный множитель показывает, сколько раз разность известных множителей содержится в разности произведений. Поэтому задачи, которые решаются способом остатков, получили название задач на нахождение чисел по двум разностям.

Задача. Учащиеся решили наклеить в альбом фотографии с праздника. Если они на каждую страницу наклеют по 4 фотографии, то в альбоме не хватит места для 20 фотографий. Если же на каждую страницу клеить по 6 фотографий, то 5 страниц останутся свободными. Сколько фотографий собираются учащиеся наклеить в альбом?

Анализ задачи

Количество фотографий остается одинаковым при первом и втором вариантах наклеивания. По условию задачи оно неизвестно, но его можно найти, если будет известно количество фотографий, которые размещаются на одной странице, и количество страниц в альбоме.

Количество фотографий, которые наклеивают на одну страницу, известно (первый множитель). Количество страниц в альбоме неизвестно и остается неизменным (второй множитель). Так как известно, что 5 страниц альбома остаются во второй раз свободными, то можно найти, сколько еще фотографий можно было бы наклеить в альбом: 6*5 = 30 (фотографий).

Значит, увеличивая количество фотографий на одной странице на 6 - 4 = 2, количество наклеенных фотографий увеличивается на 20 + 30 = 50.

Так как во второй раз на каждую страницу наклеивали на две фотографии больше и всего наклеили на 50 фотографий больше, то найдем количество страниц в альбоме: 50: 2 = 25 (стр.).

Следовательно, всего фотографий было 4*25 + 20 = 120 (фотографий).

Ответ: В альбоме было 25 страниц и клеили 120 фотографий.

Учителю начальных классов просто необходимо знать, какие имеются виды задач. Сегодня вы узнаете про простые текстовые арифметические задачи. Простые текстовые арифметические задачи — это задачи, которые решаются одним арифметическим действием . Когда мы читаем задачу, мы автоматически соотносим ее с каким либо видом, а тут уже сразу легко становится понятно, каким действием ее надо решать.

Я предоставлю вам не только саму классификацию простых текстовых задач, но и приведу их примеры, а также расскажу про решение текстовых задач арифметическим способом. Все примеры я взяла из учебников математики для 2 класса (ч.1, ч.2), по которым обучаются в школах Беларуси.

Все простые арифметические задачи подразделяют на две большие группы:

— АД I (+/-), то есть те, которые решаются арифметическими действиями первого порядка (сложением или вычитанием);

— АД II (*/:), то есть те, которые решаются арифметическими действиями второго порядка (умножением или делением).

Рассмотрим первую группу простых текстовых арифметических задач (АД I):

1) Задачи, раскрывающие конкретный смысл сложения (+)

В соревнованиях по бегу приняли участие 4 девочки и 5 мальчиков. Сколько учеников из класса участвовало в соревнованиях?

После того, как Саша решил 9 примеров, ему осталось решить еще 3 примера. Сколько всего примеров нужно было решить Саше?

Решаются такие задачи сложением: a+b=?

2) Задачи, раскрывающие конкретный смысл вычитания (-)

Мама испекла 15 пирожков. Сколько пирожков осталось после того, как съели 10 пирожков?

В банке было 15 стаканов сока. За обедом выпили 5 стаканов. Сколько стаканов сока осталось?

Решаются такие задачи вычитанием: a-b=?

3) Задачи на взаимосвязь между компонентами и результатом действия сложения или вычитания:

а) на нахождение неизвестного 1-го слагаемого (?+а=b)

Мальчик положил в коробку 4 карандаша. Там их стало 13. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

Чтобы решить эту задачу, надо от результата действия отнять известное 2-е слагаемое: b-a=?

б) на нахождение неизвестного 2-го слагаемого (a+?=b)

В кастрюлю и чайник налили 13 стаканов воды. Сколько стаканов воды налили в чайник, если в кастрюлю налили 5 стаканов?

Задачи такого типа решаются вычитанием, от результата действия отнимается известное 1-е слагаемое: b-a=?

в) на нахождение неизвестного уменьшаемого (?-а=b)

Ольга собрала букет. В вазу она поставила 3 цвета, и у нее осталось 7 цветов. Сколько цветов было в букете?

Арифметическим способом решение текстовых задач данного типа производится сложением результата действия и вычитаемого: b+a=?

г) на нахождение неизвестного вычитаемого (а-?=b)

Купили 2 десятка яиц. После того как несколько яиц взяли для выпечки, осталось 15. Сколько яиц взяли?

Эти задачи решаются вычитанием: от уменьшаемого отнимаем результат действия: а-b=?

4) Задачи на уменьшение / увеличение на несколько единиц в прямой, косвенной форме

примеры задач на уменьшение на несколько единиц в прямой форме:

В одной коробке было 20 кг бананов, а во второй — на 5 меньше. Сколько килограммов бананов было во второй коробке?

Первый класс собрал 19 ящиков яблок, а второй — на 4 ящика меньше. Сколько ящиков яблок сорвал второй класс?

Эти задачи решаются вычитанием (a-b=? )

Примеров задач на уменьшение в косвенной форме, а также на увеличение в прямой или косвенной форме в учебнике 2-го класса по математике я не обнаружила. Если будет необходимость, пишите в комментариях — и я дополню статью собственными примерами.

5) Задачи на разностные сравнения

Масса гуся — 7 кг, а курицы — 3 кг. На сколько килограммов масса курицы меньше массы гуся?

В первой коробке 14 карандашей, а во второй — 7. На сколько больше карандашей в первой коробке, чем во второй?

Решение текстовых задач на разностные сравнения производится вычитанием от большего числа меньшего.

Мы закончили разбираться с простыми текстовыми арифметическими задачами 1 группы и переходим к задачам 2 группы. Если вам было что-либо непонятно, спрашивайте в комментариях.

Вторая группа простых текстовых арифметических задач (АД II):

1) Задачи, раскрывающие конкретный смысл умножения

Сколько ног у двух собак? У трех собак?

Возле дома стоят три машины. У каждой машины по 4 колеса. Сколько колес у трех машин?

Данные задачи решаются умножением: a*b=?

2) Задачи, раскрывающие конкретный смысл деления:

а) по содержанию

10 пирожных раздали детям, по два каждому. Сколько детей получили пирожные?

В пакетах по 2 кг находится 14 кг муки. Сколько таких пакетов?

В этих задачах мы узнаем, сколько частей получилось с равным содержанием.

б) на равные части

Полоску длиной 10 см разрезали на две равные части. Какой длины каждая часть?

Нина разложила 10 пирожных на 2 тарелки поровну. Сколько пирожных на одной тарелке?

А в этих задачах мы узнаем, каково содержание одной равной части.

Как бы то ни было, все эти задачи решаются делением: a:b=?

3) Задачи на взаимосвязь между компонентом и результатом действий умножения и деления:

а) на нахождение неизвестного первого множителя: ?*а=b

Собственный пример:

В нескольких коробках по 6 карандашей. Всего в коробках 24 карандаша. Сколько коробок?

Решается делением произведения на известный второй множитель: b:a=?

б) на нахождение неизвестного второго множителя: а*?=b

В кафе за один столик можно посадить 3 человека. Сколько таких столиков будет занято, если туда придут 15 человек?

Решается делением произведения на известный первый множитель: b:a=?

в) на нахождение неизвестного делимого: ?:а=b

Собственный пример:

Коля принес в класс конфеты и поделил их поровну между всеми учениками. В классе 16 детей. Каждый получил по 3 конфеты. Сколько конфет принес Коля?

Решается умножением частного на делитель: b*a=?

г) на нахождение неизвестного делителя: а:?=b

Собственный пример:

Витя принес 44 конфеты в класс и поделил их поровну между всеми учениками. Каждый получил по 2 конфеты. Сколько учеников в классе?

Решается делением делимого на частное: а:b=?

4) Задачи на увеличение / уменьшение в несколько раз в прямой или косвенной форме

В учебнике 2 класса примеров подобных текстовых арифметических задач не найдено.

5) Задачи на кратное сравнение

Решаются делением большего на меньшее.

Друзья, вся вышеизложенная классификация простых текстовых задач — это лишь часть большой классификации всех текстовых задач. Кроме того, имеются еще задачи на нахождение процентов, о которых я вам не рассказала. Обо всем этом вы можете узнать из данного видео:

И моя благодарность останется с вами!

Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения

Решение текстовых задач младшими шк ольниками можно рассматривать как средство и как метод обучения, в ходе использования которых происходит усвоение содержания начального курса математики: математических понятий, смысла арифметических действий и их свойств, формирование вычислительных навыков и практических умений.

Учитель, руководящий процессом решения задач школьниками, должен прежде всего сам иметь решать задачи, а также владеть необходимыми знаниями и умениями учить этому других.

Умение решать задачи - основа математической подготовки учителя к обучению младших школьников решению текстовых задач.

Среди распространенных методов решения текстовых задач (алгебраический, арифметический и геометрический) наибольшее применение в начальных классах для большинства задач находит арифметический метод, включающий в себя различные способы их решения. Однако для учителя во многих случаях данный метод решения задач является более сложным, чем алгебраический. Связано это, в первую очередь, с тем , что из курса математики средней школы

практически исключен курс арифметики, который предусматривал формирование у школьников умения решать задачи арифметическим методом. Во-вторых, в вузовском курсе математики ему так же не уделяется должного внимания.

Вместе с тем необходимость в решении задач арифметическим методом диктуется запасом математических знаний младшего школьника, который не позволяет им решать большинство задач, применяя элементы алгебры.

Учитель способен, как правило, любую задачу решить алгебраически, однако далеко не каждый может решить любую задачу арифметически.

Вместе с тем указанные методы взаимосвязаны, и эту взаимосвязь учитель не только должен подмечать, но и использовать в своей работе. В данной статье на примере решения некоторых задач мы попытаемся показать связь алгебраического и арифметического методов решения задач, чтобы помочь учителю найти арифметический способ решения задачи, решив ее алгебраически.

Предварительно сделаем несколько замечаний:

1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметическим. Следует помнить, что решить задачу, применяя арифметический метод, можно в том случае, когда ее алгебраическая модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнении.

2. Вид линейного уравнения не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. Решение системы линейных уравнений, на наш взгляд, практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим способом.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Задача сводится к уравнению

вида ах + b = с.

Задача. В 8 часов утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 часов из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км?

Алгебраический метод приводит к уравнению: (60 + 70) х + 60 3 = 440 или 130х+18= 440, где х часов - время движения второго поезда до встречи. Тогда: 130 х = 440- 180= 130

х= 260, х =2 (ч).

Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем: сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130 (км/ч), время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11-8=3 (ч), расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа (60 3 = 180 (км), расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 - 180 = = 260 (км), время движения второго поезда до встречи (260: 130 -2 (ч)).

В дальнейшем этапы решения каждой задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом будем параллельно записывать в таблице, которая позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в «ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, открывают арифметический способ решения. Так, в данном случае будем иметь следующую таблицу (см. таблицу 1).

Таблица 1

Пусть х часов - время движения второго поезда до встречи. По условию задачи получаем уравнение:

(60+70)-х+60*3=440 или 130х+180=440

Преобразуем уравнение:

130х=440-180 130х=260.

Найдем известное;

Х=260:130; х=2

Найдем сумму скоростей поездов: 60+70=130(км/ч).

Найдем время движения первого поезда до начала движения второго поезда: 11-8=3(ч). Найдем расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа: 60*3=180(км)

Найдем расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км).

Найдем время движения второго поезда: 260:130=2(ч).

Используя данные таблицы 1, получаем арифметическое решение.

1. 1. 3 (ч)- был в пути первый поезд до начала движения второго;

1. 3 = 180 (км) - прошел первый поезд за 3 часа;

3) 440 - 180 = 260 (км) - расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;

1. 70 = 130 (км/ч) - скорость сближения поездов;

1. 130 = 2 (ч) - время движения второго поезда;

6)11 + 2 = 13 (ч) - в такое время поезда встретятся.

Ответ: в 13 часов.

Пример 2. а 1 х +в 1 =а х+в

Задача. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 рублей. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 рублей. Сколько стоит одна книга?

Алгебраический метод приводит к уравнению: 4х + 40 = 7х + 16, где х - стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7 х - 4 х =40-16 -> Зх=24 -> х= 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше книг купили: 7-4=3 (кн.); на сколько меньше денег останется, т.е. на сколько больше денег израсходовали: 40 - 16 = 24 (р); сколько стоит одна книга: 24: 3 = 8 (р). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 2.

Этапы решения задачи

алгебраическим методом

Этапы решения задачи арифметическим методом

Пусть х - стоимость одной книги. По условию задачи

получаем уравнение: 4х+40=7х+16.

Преобразуем уравнение:

7х-4х=40-16 (7-4)х=24 3х=24

Найдем известное:

Х=24:3; х=8

Стоимость четырех книг и еще 40р. равна стоимости 7 книг и еще 70р.

Найдем, на сколько больше книг купили бы: 7-4=3(кн). Найдем, на сколько больше заплатили бы денег: 40-16=24(р.).

Найдем стоимость одной книги: 24:3=8(р.).

Таблица 2

Используя данные таблицы 2, получаем арифметическое решение:

1) 7-4=3 (кн.) - на столько книг купили бы больше;

1. 16 = 24 (р.) - на столько рублей заплатили бы больше;

3)24: 3 = 8 (р.) - стоит одна книга.

Ответ: 8 рублей.

Пример 3. Задача сводится к уравнению вида: ах + b x + сх = d

Задача. Турист проехал 2 200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на теплоходе, автомобиле и на поезде?

Используя данные таблицы 3, получаем арифметическое решение.

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле, за одну часть:

1 2 = 2 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;

2) 2 4 = 8 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на поезде;

3) 1+2+8=11(ч) - приходится на весь путь

Таблица 3

Пусть х километров –расстояние, которое турист проехал на теплоходе.

По условию задачи получаем уравнение: х+2х+2*4х=2200.

Преобразуем уравнение:

(1+2+8)х=2200 11х=2200.

Найдем известное:

Х=2200:11; х=200

Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле (самое меньшее), за 1 часть. Тогда расстояние, которое он проехал на теплоходе, будет соответствовать двум частям, а на поезде – 2 – 4 частям. Значит, весь путь туриста (2200 км) соответствует 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько частей составляет весь путь туриста: 1+2+8=11 (ч.).

Найдем, сколько километров приходится на одну часть: 2200:11=200 (км).

1. 200: 11= 200 (км) - расстояние, которое преодолел турист на автомобиле;

1. 2 = 400 (км) - расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;

6)200 -8=1 600 (км) - расстояние, которое преодолел турист на поезде.

Ответ: 200 км, 400 км, 1 600 км.

Пример 4. Задача сводится к уравнению вида (х + а) в = сх + d .

Задача. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Таблица 4

Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=х*(18+3)-6.

Преобразуем уравнение: 21х – 18х = 90+6 или 3х = 96.

Найдем неизвестное:

Х= 96: 3; х = 32.

В каждый вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах – на 5 * 18 = 90 человек больше. В 3 дополнительных вагона вошло 90 человек и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 мест.

Найдем количество мест в одном вагоне:

96: 3 = 32(м.)

Используя данные таблицы 4, получаем арифметическое решение:

1)5 18 = 90 (чел.) - на столько человек больше, чем мест было в 18 вагонах;

90 + 6 = 96 (м.) - в трех вагонах;

96: 3 = 32 (м.) - в одном вагоне;

32 + 5 = 37 (чел.) - было в каждом из 18 вагонов;

37 18 = 666 (чел.) - уехало на трамваях;

666 + 174 = 840 (чел.) - было в театре.

Ответ: 840 зрителей.

Пример 5. Задача сводится к системе уравнений вида: х+ у = а, х –у = b .

Задача. Пояс с пряжкой стоит 12 рублей, причем пояс дороже пряжки на 6 рублей.

Сколько стоит пояс, сколько стоит пряжка?

Алгебраический метод приводит к системе уравнений:

х+у=12,

х-у=6 где х: рублей - цена пояса, у рублей - цена пряжки.

Данную систему можно решить методом подстановки: выразив одно неизвестное через другое. Из первого уравнения, подставив его значение во второе уравнение, решить полученное уравнение с одним неизвестным, найти второе неизвестное. Однако в этом случае мы не сможем «нащупать» арифметический путь решения задачи.

Сложив уравнения системы, мы сразу будем иметь уравнение 2х = 18.
Откуда находим стоимость пояса х = 9 (р.). Этот способ решения системы позволяет получить следующий арифметический ход рассуждений. Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс. Тогда пряжка с поясом (или 2 пояса) будут стоить 12+6= 18 (р.) (так как на самом деле пряжка на 6 рублей стоит дешевле). Следовательно, один пояс стоит 18:2=9 (р.).

Если мы вычтем почленно из первого уравнения второе, то получим уравнение 2 у =6, откуда у = 3 (р.). В этом случае, решая задачу арифметическим методом, рассуждать следует так. Предположим, что пояс стоит столько же, сколько и пряжка. Тогда пряжка и пояс (или две пряжки) будут стоить 12-6=6 (р.) (так как на самом деле пояс на 6 рублей стоит дороже).
Следовательно, одна пряжка стоит 6:2=3 (р.)

Таблица 5

Пусть х рублей – цена пояса, у рублей – цена пряжки. По условию задачи получаем систему уравнений:

Х + у = 12,

Х – у = 6.

Почленно сложив уравнения системы, получим: 2х = 12 + 6 2х = 18.

Найдем неизвестно:

х = 18: 2; х = 9

Пояс с пряжкой стоят 12р. И пояс дороже пряжки на 6р.

Уравняем неизвестное:

Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс, тогда два пояса стоят 12 + 6 = 18 (р.).

Найдем цену пояса:

18: 2 = 9 (р.).

Используя данные таблицы 5, получаем арифметическое решение:

12+6= 18 (р.) - стоили бы два пояса, если бы пряжка стоила столько же, сколько и пояс;

2) 18:2=9 (р.) - стоит один пояс;

3) 12-9=3 (р.) - стоит одна пряжка.

О т в е т: 9 рублей, 3 рубля.

Пример 6. Задача сводится к системе уравнений вида:

ах + Ьу = с 1 х+у=с2

Задача. Для похода 46 школьников приготовили четырех- и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось ?

Таблица 6

Пусть х – количество четырехместных лодок, у – количество шестиместных лодок. По условию задачи имеем систему уравнений:

х + у = 10,

4х + 6у = 46.

Умножаем обе части первого уравнения на 4.

Имеем:

4х + 4у = 40.

Вычитаем (почленно) полученное уравнение из второго. Имеем:

(6 – 4) у = 46 – 40 или 2у = 6.

Найдем неизвестное:

У = 6: 2; у = 3.

Всех лодок 10 и в них разместилось 46 школьников.

Уравняем неизвестные.

Предположим, что все лодки были четырехместными. Тогда м них разместилось бы 40 человек.

Найдем, на сколько больше человек вмещает шестиместная лодка, чем четырехместная: 6 – 4 = 2 (чел.). Найдем, скольким школьникам не хватит мест, если все лодки будут четырехместные: 46 – 40 = 6 (чел.).

Найдем количество шестиместных лодок: 6: 2 = 3 (шт.).

Используя данные таблицы 6, получаем арифметическое решение:

1)4- 10 = 40 (чел.) - разместилось бы, если бы все лодки были четырехместными;

2) 6 - 4 = 2 (чел.) - на столько человек шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;

3)46 - 40 - 6 (чел.) - стольким школьникам не хватит места, если

все лодки четырехместные;

4) 6: 2 = 3 (шт.) - было шестиместных лодок;

5) 10 - 3 = 7 (шт.) - было четырехместных лодок.

Ответ: 3 шестиместные лодки, 7 четырехместных лодок .

Пример 7. Задача сводится к системе уравнений вида: а х+Ь у=с1; а х +Ь у=с2

Задача. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей, а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44рубля. Сколько стоит блокнот?

Таблица 7

Пусть х рублей – цена ручки, у рублей – цена блокнота. По условию задачи получаем систему уравнений:

3 х + 4 у = 26,

7 х + 6 у = 44.

Умножим обе части первого уравнения на 7. Получим:

21 х + 28 у = 182,

21 х + 18 у = 132.

Вычтем (почленно) из первого уравнения второе.

Имеем:

(28 – 18) у = 182 – 132 или 10 у = 50.

Найдем неизвестное:

У = 50: 10, у = 5.

3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей. 7 ручек и 6 блокнотов стоят 44 рубля.

Уравняем количество ручек в двух покупках. Для этого найдем наименьшее кратное чисел 3 и 7 (21). Тогда в результате первой покупки были куплены 21 ручка и 28 блокнотов, а второй – 21 ручка и 18 блокнотов. Найдем стоимость каждой покупки в этом случае:

26 * 7 = 182 (р.), 44 * 3 = 132 (р.).

Найдем, на сколько больше блокнотов было куплено в первый раз:

28 – 18 = 10 (шт.).

Найдем, на сколько больше заплатили бы при первой покупке:

182 – 132 = 50 (р.).

Найдем, сколько стоит Блокнот:

50: 10 = 5 (р.).

Используя данные таблицы 7, получаем арифметическое решение:

1) 26 7 = 182 (р.) - стоят 21ручка и 28 блокнотов;

2) 44 3 = 132 (р.) - стоят 21ручка и 18 блокнотов;

3) 28 - 18 = 10 (шт.) - на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;

4) 182 - 132 = 50 (р.) - стоят 10 блокнотов;

5) 50: 10=5 (р.) - стоит блокнот.

Ответ: 5 рублей.

Мы рассмотрели некоторые виды текстовых задач, встречающиеся в различных учебниках математики для начальных классов. Несмотря на кажущуюся простоту установления связи между алгебраическим и арифметическим методами, этот прием все же требует тщательной отработки со студентами на практических занятиях и кропотливой работы учителя в ходе самоподготовки к уроку.

1. Общие замечания к решению задач алгебраическим методом.

2. Задачи на движение.

3. Задачи на работу.

4. Задачи на смеси и проценты.

Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач.

1. При решении задач алгебраическим методом искомые величины или другие величины, зная которые можно определить искомые, обозначают буквами (обычно х, у, z ). Все независимые между собой соотношения между данными и неизвестными величинами, которые либо непосредственно сформулированы в условии (в словесной форме), либо вытекают из смысла задачи (например, физические законы, которым подчиняются рассматриваемые величины), либо следуют из условия и некоторых рассуждений, записываются в виде равенства неравенств. В общем случае эти соотношения образуют некоторую смешанную систему. В частных случаях эта система может не содержать неравенств либо уравнений или она может состоять лишь из одного уравнения или неравенства.

Решение задач алгебраическим методом не подчиняется какой-либо единой, достаточно универсальной схеме. Поэтому всякое указание, относящееся ко всем задачам, носит самый общий характер. Задачи, которые возникают при решении практических и теоретических вопросов, имеют свои индивидуальные особенности. Поэтому их исследование и решение носят самый разнообразный характер.

Остановимся на решении задач, математическая модель которых задается уравнением с одним неизвестным.

Напомним, что деятельность по решению задачи состоит из четырех этапов. Работа на первом этапе (анализ содержания задачи) не зависит от выбранного метода решения и не имеет принципиальных отличий. На втором этапе (при поиске пути решения задачи и составлении плана ее решения) в случае применения алгебраического метода решения осуществляются: выбор основного соотношения для составления уравнения; выбор неизвестного и введение обозначения для него; выражение величин, входящих в основное соотношение, через неизвестное и данные. Третий этап (осуществление плана решения задачи) предполагает составление уравнения и его решение. Четвертый этап (проверка решения задачи) осуществляется стандартно.

Обычно при составлении уравнений с одним неизвестным х придерживаются следующих двух правил.

Правило I . Одна из данных величин выражается через неизвестное х и другие данные (то есть составляется уравнение, в котором одна часть содержит данную величину, а другая – ту же величину, выраженную посредством х и других данных величин).

Правило II . Для одной и той же величины составляются два алгебраических выражения, которые затем приравниваются друг к другу.

Внешне кажется, что первое правило проще второго.

В первом случае всегда требуется составить одно алгебраическое выражение, а во втором – два. Однако часто встречаются задачи, в которых удобнее составить два алгебраических выражения для одной и той же величины, чем выбрать уже известную и составить для нее одно выражение.

Процесс решения текстовых задач алгебраическим способом выполняется по следующему алгоритму:

1. Сначала выбирают соотношение, на основании которого будет составлено уравнение. Если задача содержит более двух соотношений, то за основу для составления уравнения надо взять то соотношение, которое устанавливает некоторую связь между всеми неизвестными.

Затем выбирают неизвестное, которое обозначают соответствующей буквой.

Все неизвестные величины, входящие в выбранное для составления уравнения соотношение, необходимо выразить через выбранное неизвестное, опираясь на остальные соотношения, входящие в задачу кроме основного.

4. Из указанных трех операций непосредственно вытекает составление уравнения как оформление словесной записи при помощи математических символов.

Центральное место среди перечисленных операций занимает выбор основного соотношения для составления уравнений. Рассмотренные примеры показывают, что выбор основного соотношения является определяющим при составлении уравнений, вносит логичную стройность в порою расплывчатый словесный текст задачи, дает уверенность в ориентации и предохраняет от беспорядочных действий для выражения всех входящих в задачу величин через данные и искомые.

Алгебраический метод решения задач имеет огромное практическое значение. С его помощью решают самые разнообразные задачи из области техники, сельского хозяйства, быта. Уже в средней школе уравнения применяются учащимися при изучении физики, химии, астрономии. Там, где арифметика оказывается бессильной или, в лучшем случае, требует крайне громоздких рассуждений, там алгебраический метод легко и быстро приводит к ответу. И даже в так называемых «типовых» арифметических задачах, сравнительно легко решаемых арифметическим путем, алгебраическое решение, как правило, является и более коротким, и более естественным.

Алгебраический метод решения задач позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличающиеся друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того же математического рассуждения, одних и тех же соотношений, то есть имеют одну и ту же математическую модель.

2. К группе задач на движение относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути (s ), скорости (v ) и времени (t ). Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении, когда скорость постоянна по модулю и направлению. В этом случае все три величины связаны следующим соотношением: S = vt . Например, если скорость велосипедиста 12 км/ч, то за 1,5 ч. он проедет 12 км/ч  1,5 ч = 18 км. Встречаются задачи, в которых рассматривается равноускоренное прямолинейное движение, то есть движение с постоянным ускорением (а). Пройденный путь s в этом случае вычисляется по формуле: S = v 0 t + at 2 /2, где v 0 – начальная скорость движения. Так, за 10 с падения с начальной скоростью 5 м/с и ускорением свободного падения 9,8 м 2 /с тело пролетит расстояние, равное 5 м/с  10с + 9,8 м 2 /с  10 2 с 2 /2 = 50 м + 490 м = 540 м.

Как уже отмечалось, в ходе решения текстовых задач и в первую очередь в задачах, связанных с движением, весьма полезно сделать иллюстративный чертеж (построить вспомогательную графическую модель задачи). Чертеж следует выполнить так, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми встречами, остановками и поворотами. Грамотно составленный чертеж позволяет не только глубже понять содержание задачи, но и облегчает со­ставление уравнений и неравенств. Примеры таких чертежей бу­дут приведены ниже.

Обычно в задачах на движение принимаются следующие соглашения.

Если специально не оговорено в задаче, то движение на отдельных участках считается равномерным (будь то движение по прямой или по окружности).

Повороты движущихся тел считаются мгновенными, то есть происходят без затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно.

Данную группу задач, в свою очередь, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу; 2) в одном направлении («вдогонку»); 3) в противоположных направлениях; 4) по замкнутой траектории; 5) по течению реки.

Если расстояние между телами равно S , а скорости тел равны v 1 и v 2 (рис. 16 а ), то при движении тел навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно S /(v 1 + v 2).

2. Если расстояние между телами равно S , а скорости тел равны v 1 и v 2 (рис. 16 б ), то при движении тел в одну сторону (v 1 > v 2) время, через которое первое тело догонит второе, равно S /(v 1 – v 2).

3. Если расстояние между телами равно S , а скорости тел равны v 1 и v 2 (рис. 16 в ), то, отправившись одновременно в противоположных направлениях, тела будут через время t находиться на расстоянии S 1 = S + (v 1 + v 2 ) t .

Рис. 16

4. Если тела движутся в одном направлении по замкнутой траектории длиной s со скоростями v 1 и v 2 , то время, через которое тела опять встретятся (одно тело догонит другое), отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = S /(v 1 – v 2) при условии, что v 1 > v 2 .

Это следует из того, что при одновременном старте по замкнутой траектории в одном направлении тело, скорость которого больше, начинает догонять тело, скорость которого меньше. В первый раз оно догоняет его, пройдя расстояние на S большее, чем другое тело. Если же оно обгоняет его во второй, в третий раз и так далее, это означает, что оно проходит расстояние на 2S , на 3S и так далее большее, чем другое тело.

Если тела движутся в разных направлениях по замкнутой траектории длиной S со скоростями v 1 и v 2 , то время, через которое они встретятся, отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = v (v 1 + v 2). В этом случае сразу после начала движения возникает ситуация, когда тела начинают двигаться навстречу друг другу.

5. Если тело движется по течению реки, то его скорость относительно берега и слагается из скорости тела в стоячей воде v и скорости течения реки w : и = v + w . Если тело движется против течения реки, то его скорость и = v – w . Например, если скорость катера v = 12 км/ч, а скорость течения реки w = 3 км/ч, то за 3 ч. по течению реки катер проплывет (12 км/ч + 3 км/ч)  3 ч. = 45 км, а против течения – (12 км/ч – 3 км/ч)  3 ч. = 27 км. Считают, что скорость предметов, имеющих нулевую скорость движения в стоячей воде (плот, бревно и т. п.), равна скорости течения реки.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример .Из одного пункта в одном направлении через каждые 20 мин. выезжают автомобили. Второй автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, а скорость первого на 50% больше скорости второго. Найдите скорость движения третьего автомобиля, если известно, что он обогнал первый автомобиль на 5,5 ч позже, чем второй.

Решение . Пусть х км/ч – скорость третьего автомобиля. Скорость первого автомобиля на 50% больше скорости второго, значит, она равна

При движении в одном направлении время встречи находится как отношение расстояния между объектами к разности их скоростей. Первый автомобиль за 40 мин. (2/3 ч) проедет 90  (2/3) = 60 км. Следовательно, третий его догонит (они встретятся) через 60/(х – 90) часов. Второй за 20 мин. (1/3 ч) проедет 60  (1/3) = 20 км. Значит, третий его догонит (они встретятся) через 20/(х – 60) ч. (рис. 17).

П
о условию задачи

Рис. 17

После несложных преобразований получим квадратное уравнение 11х 2 – 1730х + 63000 = 0, решив которое найдем

Проверка показывает, что второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае третий автомобиль не догонит другие автомобили. Ответ: скорость движения третьего автомобиля 100 км/ч.

Пример .Теплоход прошел по течению реки 96 км, вернулся обратно и некоторое время простоял под погрузкой, затратив на все 32 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Определите скорость теплохода в стоячей воде, если время погрузки составляет 37,5% от времени, затраченно­го на весь путь туда и обратно.

Решение . Пусть х км/ч – скорость теплохода в стоячей воде. Тогда (х + 2) км/ч – его скорость по течению; (х – 2) км/ч – против течения; 96/(х + 2) ч. – время движения по течению; 96/(х – 2) ч. – время движения против течения. Так как 37,5% от общего количества времени теплоход стоял под погрузкой, то чистое время движения равно 62,5%  32/100% = 20 (ч.). Следовательно, по условию задачи имеем уравнение:

Преобразовав его, получим: 24(х – 2 + х + 2) = 5(х + 2)(х – 2) => 5х 2 – 4х – 20 = 0. Решив квадратное уравнение, находим: х 1 = 10; х 2 = -0,4. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10 км/ч – скорость движения теплохода в стоячей воде.

Пример . Автомобиль проехал путь из города А в город С через город В без остановок. Расстояние АВ, равное 120 км, он проехал с постоянной скоростью на 1 ч. быстрее, чем расстояние ВС, равное 90 км. Определите среднюю скорость движения автомобиля от города А до города С, если известно, что скорость на участке АВ на 30 км/ч больше скорости на участке ВС.

Решение . Пусть х км/ч – скорость автомобиля на участке ВС.

Тогда (х + 30) км/ч – скорость на участке АВ, 120/(х + 30) ч, 90/х ч – время, закоторое автомобиль проезжает путиАВ и ВС соответственно.

Следовательно, по условию задачи имеем уравнение:

.

Преобразуем его:

120х + 1(х + 30)х = 90(х + 30) => х 2 + 60х – 2700 = 0.

Решив квадратное уравнение, находим: х 1 = 30, х 2 = -90. Второй корень не удовлетворяет условию задачи. Значит, скорость на участке ВС равна 30 км/ч, на участке АВ – 60 км/ч. Отсюда следует, что расстояние АВ автомобиль проехал за 2 ч. (120 км: 60 км/ч = 2 ч.), а расстояние ВС – за 3 ч. (90 км: 30 км/ч = 3 ч.), поэтому все расстояние АС он проехал за 5 ч. (3 ч. + 2 ч. = 5 ч.). Тогда средняя скорость движения на участке АС, протяженность которого 210 км, равна 210 км: 5 ч. = 42 км/ч.

Ответ: 42 км/ч – средняя скорость движения автомобиля на участке АС.

К группе задач на работу относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе А , времени t , в течение которого производится работа, производительности Р – работе, произведенной в единицу времени. Эти три величины связаны уравнением А = Р t . К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров (сосудов, баков, бассейнов и т. п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу, вообще говоря, можно отнести к группе задач на движение, так как в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом различаются, причем часть задач на работу имеют свои специфические приемы решения. Так, в тех задачах, в которых объем выполняемой работы не задан, вся работа принимается за единицу.

Пример. Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно?

Решение . Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за y дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, a 1/y – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение 12(1/х + 1/у ) = 1.

Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая – только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид:

8/х + 15/у = 1.

Таким образом, имеем систему:

Вычтем из второго уравнения первое, получим:

21/y = 1 => у = 21.

Тогда 12/х + 12/21 = 1 => 12/ х – = 3/7 => х = 28.

Ответ: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.

Пример . Рабочий А и рабочий В могут выполнить работу за 12 дней, рабочий А и рабочий С – за 9 дней, рабочий В и рабочий С – за 12 дней. За сколько дней они выполнят работу, работая втроем?

Решение . Пусть рабочий А может выполнить работу за х дней, рабочий В – за у дней, рабочий С – за z дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х, 1/ y и 1/z – производительности рабочих А, В и С соответственно. Используя условие задачи, приходим к следующей системе уравнений, представленной в таблице.

Таблица 1

Преобразовав уравнения, имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Сложив почленно уравнения системы, получим:

или

Сумма это совместная производительность рабочих, поэтому время, за которое они выполнят всю работу, будет равно

Ответ: 7,2 дня.

Пример . В бассейн проведены две трубы – подающая и отводя­щая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн и за сколько часов через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?

Решение . Пусть V м 3 – объем бассейна, х м 3 /ч – производительность подающей трубы, у м 3 /ч – отводящей. Тогда V / x ч. – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V / y ч. – время, необходимое отводящей трубе на осушение бассейна. По условию задачи V / x – V / y = 2.

Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V /3)/(y – x ), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:

В задаче необходимо найти V / x и V / y . Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V / x и V / y , записав систему в виде:

Вводя новые неизвестные V / x = а и V / y = b , получаем следующую систему:

Подставляя во второе уравнение выражение а = b + 2, имеем уравнение относительно b :

решив которое найдем b 1 = 6, b 2 = -8. Условию задачи удовлетворяет первый корень 6, = 6 (ч.). Из первого уравнения последней системы находим а = 8 (ч), то есть первая труба наполняет бассейн за 8 ч.

Ответ: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч., через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.

Пример . Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Решение . Найдем 35 % от 240 га: 240 га  35 % /100 % = 84 га.

Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 га + 84 га = 324 га. Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х + 3) га; 240/х – время работы первой бригады; 324/(х + 3) – время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение

которое после преобразований можно записать так:

324х – 240х – 720 = 2х 2 + 6х => 2х 2 – 78х + 720 = 0 => х 2 – 39х + 360 = 0.

Решив квадратное уравнение, находим х 1 = 24, х 2 = 15. Это норма первой бригады.

Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га – вторая; 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га – вторая.

Пример . В мае два цеха изготовили 1080 деталей. В июне первый цех увеличил выпуск деталей на 15%, а второй увеличил выпуск деталей на 12%, поэтому оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в июне каждый цех?

Решение . Пусть х деталей изготовил в мае первый цех, у деталей – второй. Так как в мае изготовлено 1080 деталей, то по условию задачи имеем уравнение x + y = 1080.

Найдем 15% от х :

Итак, на 0,15х деталей увеличил выпуск продукции первый цех, следовательно, в июне он выпустил х + 0,15 х = 1,15 x деталей. Аналогично найдем, что второй цех в июне изготовил 1,12 y деталей. Значит, второе уравнение будет иметь вид: 1,15 x + 1,12 у = 1224. Таким образом, имеем систему:

из которой находим х = 480, у = 600. Следовательно, в июне цеха изготовили 552 детали и 672 детали соответственно.

Ответ: первый цех изготовил 552 детали, второй – 672 детали.

4. К группе задач на смеси и процентыотносятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты.

Задачи на концентрацию и процентное содержание

Уточним некоторые понятия. Пусть имеется смесь из п различных веществ (компонентов) А 1 А 2 , ..., А n соответственно, объемы которых равны V 1 , V 2 , ..., V n . Объем смеси V 0 складывается из объемов чистых компонентов: V 0 = V 1 + V 2 + ... + V n .

Объемной концентрацией вещества А i (i = 1, 2, ..., п) в смеси называется величина с i , вычисляемая по формуле:

Объемным процентным содержанием вещества А i (i = 1, 2, ..., п) в смеси называется величина p i , вычисляемая по формуле р i = с i ,  100%. Концентрации с 1, с 2 , ..., с n , являющиеся безразмерными величинами, связаны равенством с 1 + с 2 + ... + с n = 1, а соотноше­ния

показывают, какую часть полного объема смеси составляют объе­мы отдельных компонентов.

Если известно процентное содержание i -го компонента, то его концентрация находится по формуле:

то есть Pi – это концентрация i -го вещества в смеси, выраженная в процентах. Например, если процентное содержание вещества составляет 70%, то его соответствующая концентрация равна 0,7. И наоборот, если концентрация равна 0,33, то процентное содержание равно 33%. Таким образом, сумма р 1 + р 2 + …+ р n = 100%. Если известны концентрации с 1 , с 2 , ..., с n компонентов, составляющих данную смесь объема V 0 , то соответствующие объемы компонентов находятся по формулам:

Аналогичным образом вводятся понятия весовые (массовые) кон центрации компонентов смеси и соответствующие процентные со­держания. Они определяются как отношение веса (массы) чистого вещества А i , в сплаве к весу (массе) всего сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

Встречаются задачи, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать плотности (удельные веса) компонентов, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонентов с 1 и с 2 (с 1 + с 2 = 1) и удельными весами компонентов d 1 и d 2 . Масса смеси может быть найдена по формуле:

в которой V 1 и V 2 – объемы составляющих смесь компонентов. Весовые концентрации компонентов находятся из равенств:

которые определяют связь этих величин с объемными концентрациями.

Как правило, в текстах таких задач встречается одно и то же повторяющееся условие: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A 1 , A 2 , А 3 , ..., А n , составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты А 1, А 2 , А 3 , ..., А n войдут в получившуюся смесь. Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а также концентрации составляющих ее компонентов А 1, А 2 , А 3 , ..., А n . С помощью концентраций нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какое количество каждого компонента входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонентов А 1, А 2 , А 3 , ..., А n в новой смеси.

Пример .Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 80% и 30% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 60% меди?

Решение . Пусть первого сплава взято х кг, а второго – у кг. По условию концентрация меди в первом сплаве равна 80/100 = 0,8, во втором – 30/100 = 0,3 (ясно, что речь идет о весовых концентрациях), значит, в первом сплаве 0,8х кг меди и (1 – 0,8)х = 0,2х кг цинка, во втором – 0,3 у кг меди и (1 – 0,3)y = 0,7у кг цинка. Количество меди в получившемся сплаве равно (0,8  х + 0,3  у) кг, а масса этого сплава составит (х + у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, равна

По условию задачи эта концентрация должна равняться 0,6. Следова­тельно, получаем уравнение:

Данное уравнение содержит два неизвестных х и у. Однако по условию задачи требуется определить не сами величины х и у, а только их отношение. После несложных преобразований получаем

Ответ: сплавы надо взять в отношении 3: 2.

Пример .Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40%-ный, второй – 60%-ный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получили бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?

Решение . Пусть х кг – масса первого раствора, у кг – второго. Тогда масса 20%-ного раствора (х + у + 5) кг. Так как в х кг 40%-ного раствора содержится 0,4х кг кислоты, в у кг 60%-ного раствора содержится 0,6y кг кислоты, а в (х + у + 5) кг 20%-ного раствора содержится 0,2(х + у + 5) кг кислоты, то по условию имеем первое уравнение 0,4х + 0,6y = 0,2(х +у + 5).

Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг 80%-ного раствора, то получится раствор массой (х + у + 5) кг, в котором будет (0,4х + 0,6у + 0,8  5) кг кислоты, что составит 70% от (х + у + 5) кг.

Решение задач алгебраическим способом (с помощью уравнений) По учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича

учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»

г. Лихославль Тверской области

Цели: - показать правило решения задач алгебраическим способом; - формировать умение решать задачи арифметическим и алгебраическим способами.

Способы

решения задач

Арифметический (решение задачи по действиям)

Алгебраический (решение задачи с помощью уравнения)

Задача №509

Прочитайте задачу.

Постарайтесь найти разные способы решения.

В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.

1 способ решения

(смотреть)

3 способ решения

(смотреть)

2 способ решения

4 способ решения

1 способ (арифметический)

• 16 – 4 = 12 (кг) – печенья останется в двух коробках, если из первой коробки достать 4 кг печенья.

• 12: 2 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

• 6 + 4 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

Ответ

В решении использован способ уравнивания .

Вопрос : почему он получил такое название?

Назад )

2 способ (арифметический)

• 16 + 4 = 20 (кг) – печенья станет в двух коробках, если во вторую коробку добавить 4 кг печенья.

• 20: 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

• 10 - 4 = 6 (кг) – печенья было во второй коробке.

Ответ : масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй 6 кг.

В решении использован способ уравнивания .

Назад )

3 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья во второй коробке буквой х кг. Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (х +4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((х +4)+ х ) кг.

(х +4)+ х =16

х +4+ х =16

2 х +4=16

2 х =16-4

2 х =12

х =12:2

Во второй коробке было 6 кг печенья.

6+4=10 (кг) – печенья было в первой коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Задание : Объясните, в чем отличие арифметического способа от алгебраического?

Назад )

4 способ (алгебраический)

Обозначим массу печенья в первой коробке буквой х кг. Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (х -4) кг, а масса печенья в двух коробках – (х +(х -4)) кг.

По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Получаем уравнение:

х +(х -4)=16

х + х -4=16

2 х -4=16

2 х =16+4

2 х =20

х =20:2

В первой коробке было 10 кг печенья.

10-4=6 (кг) – печенья было во второй коробке.

В решении использован алгебраический способ.

Назад )

• Какие два способа решения задачи были использованы?
• Что собой представляет способ уравнивания?
• Чем первый способ уравнивания отличается от второго?
• В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Как можно уравнять количество денег в обоих карманах?
• В чем заключается алгебраический способ решения задачи?
• Чем отличается 3 способ решения задачи от 4-го?
• В одном кармане на 10 рублей больше, чем в другом. Известно, что меньшее количество денег обозначили переменной х . Как будет выражаться через х
• Если за х обозначить большее количество денег в кармане, тогда как будет выражаться через х количество денег в другом кармане?
• В магазине шампунь стоит на 25 руб дороже, чем в супермаркете. Обозначьте одну переменную буквой у и выразите другую стоимость через эту переменную.

Задача №510

Решите задачу арифметическим и алгебраическим способами.

С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на 12 ц больше, чем с каждого из двух первых. Сколько картофеля собрали с каждого участка.

Алгебраический способ

(смотреть)

Арифметический способ

(смотреть)

выход )

Арифметический способ

• 156 - 12 = 144 (ц) – картофеля собрали бы с трех участков, если бы урожайность всех участков была бы одинаковой.

• 144: 3 = 48 (ц) – картофеля собрали с первого и собрали со второго участков.
• 48 + 12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ

Назад )

Алгебраический способ

Пусть с первого участка собрали х ц картофеля. Тогда со второго участка собрали тоже х ц картофеля, а с третьего участка собрали (х +12) ц картофеля.

По условию со всех трех участков собрали 156 ц картофеля.

Получаем уравнение:

х + х + (х +12) =156

х + х + х + 12 = 156

3 х +12 = 156

3 х = 156 – 12

3 х = 144

х = 144: 3

С первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля.

48 +12 = 60 (ц) – картофеля собрали с третьего участка.

Ответ : с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего участка собрали 60 ц картофеля.

Назад