Статистическая совокупность состоит из множества единиц, объектов или явлений однородных в некотором отношении и одновременно отличных по величине признаков. Величина признаки каждого объекта определяется как общими для всех единиц совокупности, так и индивидуальными ее особенностями.

Анализируя упорядоченные ряды распределения (ранжировані, интервальные и др.), можно заметить, что элементы статистической совокупности явно концентрируются вокруг некоторых центральных значений. Такая концентрация отдельных значений признака вокруг некоторых центральных значений, как правило, имеет место во всех статистических распределениях. Тенденцию отдельных значений исследуемого признака группироваться вокруг центра распределения частот называют центральной тенденцией. Для характеристики центральной тенденции распределения применяются обобщающие показатели, которые получили название средних величин.

Средней величиной в статистике называют обобщающий показатель, характеризующий типичный размер признака в качественно однородной совокупности в конкретных условиях места и времени и отражает величину варьирующей признака в расчете на единицу совокупности. Вычисляется средняя величина в большинстве случаев путем деления общего объема признака на число единиц, обладающих этим признаком. Если, например, известный фонд месячной заработной платы и количество рабочих за месяц, то среднюю месячную заработную плату можно определить путем деления фонда заработной платы на количество рабочих.

В качестве средних величин выступают такие показатели как средняя продолжительность рабочего дня, недели, года, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда, средний национальный доход на душу населения, средняя урожайность зерновых культур по стране, среднее потребление продуктов питания на душу населения и т.д.

Средние величины исчисляются как из абсолютных, так и относительных величин, являются показателями именованными и измеряются в тех же единицах измерения, что и усереднювана признак. Они характеризуют одним числом значение исследуемой совокупности. В средних величинах находит отражение объективный и типичный уровень социально-экономических явлений и процессов.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по одному какому-либо признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типичных черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, используется система средних показателей. Так, например, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями производительности труда (средней выработки продукции за единицу рабочего времени), фондовооруженностью и енергоозброєністю, уровнем механизации и автоматизации работ и др.

В статистической науке и практике средние величины имеют исключительно большое значение. Метод средних величин является одним из важнейших статистических методов, а средняя величина - одной из основных категорий статистической науки. Теория средних величин занимает одно из центральных мест в теории статистики. Средние величины являются основой для расчета показателей вариации (раздел 5), ошибок выборки (раздел 6), дисперсионного (раздел 8) и корреляционного анализа (раздел 9).

нельзя представить также статистику без индексов, а последние по существу представляют собой средние величины. Использование метода статистических группировок тоже ведет к пользованию средними величинами.

Как уже отмечалось, метод группировок - один из основных методов статистики. Метод средних в сочетании с методом группировок это составная часть научно разработанной статистической методологии. Средние показатели органично дополняют метод статистических группировок.

Средние величины используются для характеристики изменения явлений во времени, расчета средних темпов роста и прироста. Например, сопоставление средних темпов роста показателей производительности труда и ее оплаты за определенный период (ряд лет) раскрывает характер развития явления за изучаемый промежуток времени, отдельно производительности труда и отдельно оплаты труда. Сопоставление темпов роста указанных двух явлений дает представление о характере и особенность соотношения роста или снижения производительности труда относительно ее оплаты за определенные промежутки времени.

Во всех случаях, когда возникает необходимость охарактеризовать одним числом совокупность значений признака, что меняются, пользуются его средним значением.

В статистической совокупности значение признака изменяется от объекта к объекту, то есть варьирует. Усредняя эти значения и предоставляя урівняне значение признака каждому члену совокупности мы абстрагируемся от индивидуальных значений признака, тем самым как бы заменяем ряд распределения значений признака одним и тем же значением, равным средней величине. Однако такая абстракция правомерна лишь в том случае, если усреднение не меняет основного свойства по отношению к данной признаки в целом. Это основное свойство статистической совокупности, связанная с отдельными значениями признака, и которая при усреднении должна быть сохранена неизменной, называется определяющим свойством средней по отношению к исследуемой признаки. Иначе говоря, средняя заменяя индивидуальные значения признака, не должна изменять общего объема явления, т.е. обязательная такое равенство: объем явления равна произведению средней величины на численность совокупности. Например, если из трех значений урожайности ячменя (х, =20,0; 23,3; 23,6 ц/га) вычислена средняя(20,0+23,3+23,6):3 = 22,3 ц/га, то по определяющим свойством средней должна быть соблюдена такая равенство:

Как видно из приведенного примера, средняя урожайность ячменя не совпадает ни с одной из индивидуальных, так как ни в одном хозяйстве не полученная урожайность-22,3 ц/га. Однако если представить, что в каждом хозяйстве получили по 22,3 ц/га, то общая сумма урожайности не изменится и будет равна 66,9 ц/га. Следовательно, средняя заменяя фактическое значение отдельных индивидуальных показателей, не может изменить размер всей суммы величин исследуемого признака.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. в замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Свойство средней характеризовать не отдельные единицы, а выразить уровень признака в расчете на каждую единицу совокупности является ее отличительной способностью. Эта особенность делает среднюю обобщающим показателем уровня варьирующей признаки, т.е. показателем, который абстрагируется от индивидуальных значений величины признака у отдельных единиц совокупности. Но то, что средняя является абстрактной, не лишает ее научного исследования. Абстракция является необходимая степень всякого научного исследования. В средней величине, как в любой абстракции, осуществляется диалектическое единство индивидуального и общего. Взаимосвязь средних и отдельных значений усредненной признаки служит выражением диалектической связи индивидуального и общего.

Применение средних должно базироваться на понимании и взаимосвязи диалектических категорий общего и индивидуального, массового и единичного.

Средняя величина отражает то общее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым общественным явлениям и не заметных в единичных явлениях.

В развитии явлений необходимость сочетается со случайностью. Поэтому средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при расчете средней величины случайные колебания, имеющие разную направленность, в силу действия закона больших чисел, взаимно уравновешиваются, погашаются и в величине средней четко отображается основная закономерность, необходимость, влияние общих условий, характерных для данной совокупности. В средней находит отражение типичный, реальный уровень изучаемых явлений. Оценка этих уровней и изменение их во времени и пространстве - одна из главных задач средних величин. Так, через средние проявляется, например, закономерность повышения производительности труда, урожайности сельскохозяйственных культур, продуктивности животных. Следовательно, средние величины представляют собой обобщающие показатели, в которых находит свое выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

С помощью средних величин изучают изменение явлений во времени и пространстве, тенденции в их развитии, связи и зависимости между признаками, эффективность различных форм организации производства, труда и технологий, внедрения научно-технического прогресса, выявление нового, прогрессивного в развитии тех или иных социально-экономических явлений и процессов.

Средние величины широко применяются в статистическом анализе социально-экономических явлений, так как именно в них находят свое проявление закономерности и тенденции развития массовых общественных явлений, варьирующих как во времени, так и в пространстве. Так, например, закономерность повышения производительности труда в экономике находит свое отражение в росте среднего производства продукции из расчета на одного работника, занятого в производстве, увеличения валовых сборов - в росте средней урожайности сельскохозяйственных культур и т.д.

Средняя величина дает обобщенную характеристику изучаемого явления только по одному признаку, которая отражает одну из важнейших его сторон. В связи с этим для всестороннего анализа исследуемого явления необходимо строить систему средних величин по ряду взаимосвязанных и дополняющих друг друга существенных признаков.

Для того, чтобы средняя отражала действительно типичное и закономерное в изучаемых общественных явлениях при ее расчете необходимо придерживаться таких условий.

1. Признак, по которому исчисляется средняя должна быть существенной. В противном случае будет получена несущественна или искаженная средняя.

2. Среднюю нужно вычислять только по качественно однородной совокупности. Поэтому непосредственному вычислению средних должно предшествовать статистическое группирование, которое дает возможность расчленить исследуемую совокупность на качественно однородные группы. В связи с этим научной основой метода средних величин метод статистических группировок.

Вопрос об однородности совокупности не должен решаться формально по форме ее распределения. Его, так же как и вопрос о типичности средней, нужно решать, исходя из причин и условий, формирующих совокупность. Однородной является и совокупность, единицы которой формируются под влиянием общих главных причин и условий, которые определяют общий уровень данного признака, характерное для всей совокупности.

3. Расчет средней величины должна базироваться на охвате всех единиц данного типа или достаточно большой совокупности объектов, чтобы случайные колебания взаимно зрівноважували друг друга и проявлялась закономерность, типичные и характерные размеры изучаемого признака.

4. Общим требованием при расчете любого вида средних величин является обязательным сохранении неизменным общего объема признака в совокупности при замене индивидуальных его значений средним значением (так называемая определяющее свойство средней).

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя величина это:

1) наиболее типичное для совокупности значение признака;

2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый».

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где X i – варианта (значение) осредняемого признака;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

,

где X i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
Гармоническая
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q 0) и последующим наращиванием по годам:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Приняв q n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

Отсюда

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

,

где X Me – нижняя граница медианного интервала;

h Me – его величина;

(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

S Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

m Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

,

где Х Mo – нижнее значение модального интервала;

m Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

m Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

m Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год

№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.		Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Требуется выполнить группировку предприятий по обмену продукции, приняв следующие интервалы:

до 200 млн. руб.


от 200 до 400 млн. руб.


1. от 400 до 600 млн. руб.
   

   По каждой группе и по всем вместе определить число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сформулировать вывод.
   

   РЕШЕНИЕ
   

   Произведем группировку предприятий по обмену продукции, расчет числа предприятий, объема продукции, среднесписочного числа работников по формуле простой средней. Результаты группировки и расчетов сводим в таблицу.
   

   Группы по объему продукции	№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Среднеспи сочное число работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.	Средняя выработка продукции на одного работника
   1 группа до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Средний уровень		198,3			24,9
   2 группа от 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Средний уровень		282,3	37,6	1530	64,0
   3 группа от 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Средний уровень		512,9	34,4	1421	120,9
   Всего по совокупности		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   В среднем по совокупности		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Вывод. Таким образом, в рассматриваемой совокупности наибольшее число предприятий по объему продукции попало в третью группу – семь, или половина предприятий. Величина среднегодовой стоимости основных средств также в данной группе, как и большая величина среднесписочного числа работников – 9974 человек, наименее прибыльны предприятия первой группы.
   

   ЗАДАЧА 2
   

   Имеются следующие данные по предприятиям фирмы
   

   Номер предприятия, входящего в фирму	I квартал		II квартал
   	Выпуск продукции, тыс. руб.		Отработано рабочими человеко-дней	Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.
   	59390,13

Средняя величина является наиболее ценной с аналитической точ­ки зрения и универсальной формой выражения статистических пока­зателей. Наиболее распространенная средняя - средняя арифметичес­кая - обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы при ее расчете. В то же время при исчислении конкрет­ной средней всегда целесообразно опираться на ее логическую фор­мулу, представляющую собой отношение объема признака к объему совокупности. Для каждой средней существует только одно истинное исходное соотношение, для реализации которого, в зависимости от имеющихся данных, могут потребоваться различные формы средних. Однако во всех случаях, когда характер осредняемой величины под­разумевает наличие весов, нельзя вместо взвешенных формул сред­них использовать их невзвешенные формулы.

Средняя величина - это наиболее характерное для совокупности значение признака и распределенный равными долями между единицами совокупности раз­мер признака совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величи­на, носит название осредняемый .

Средняя величина - показатель, рассчитываемый сопоставлением абсолютных или относительных величин. Среднюю величину обозначают

Средняя величина отражает влияние всех факторов, влия­ющих на исследуемое явление, и является для них равнодей­ствующей. Другими словами, погашая индивидуальные откло­нения и устраняя влияние случаев, средняя величина, отражая общую меру результатов этого действия, выступает общей закономерностью изучаемого явления.

Условия применения средних величин:

Ø однородность исследуемой совокупности. Если некоторые подверженные влиянию случайного фактора элементы совокупности имеют значитель­но отличающиеся от остальных величины изуча­емого признака, то данные элементы повлияют на размер средней для данной совокупности. В этом случае средняя не будет выражать наиболее ти­пичную для совокупности величину признака. Если исследуемое явление неоднородно, требуется его разбивка на содержащие однородные элементы группы. В данном случае рассчитывают средние по группам - груп­повые средние, выражающие наиболее характерную вели­чину явления в каждой группе, а затем рассчитывается об­щая средняя величина для всех элементов, характеризующая явление в целом. Она рассчитывается как средняя из группо­вых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;

Ø достаточное количество единиц в совокупности;

Ø максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности.

Средняя величина (показатель) – это обобщенная количественная характеристика признака в систематической совокупности в конкретных условиях места и времени .

В статистике применяется следующие формы (виды) средних величин, называемых степенными и структурными:

Ø средняя арифметическая (простая и взвешенная);

простая

Кафедра статистики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

На тему: Средние величины

Выполнил: Номер группы: СТП - 72

Юнусова Гульназия Чамилевна

Проверил: Серьга Людмила Константиновна

Введение

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

2. Виды средних величин и сфера их применения

2.1 Степенные средние величины

2.1.1 Средняя арифметическая величина

2.1.2 Средняя гармоническая величина

2.1.3 Средняя геометрическая величина

2.1.4 Средняя квадратическая величина

2.2. Структурные средние величины

2.2.1 Медиана

3. Основные методологические требования правильного расчета средних величин

Заключение

Список использованной литературы

Введение

История практического применения средних насчитывает десятки столетий. Основная цель расчета средней состояла в изучении пропорций между величинами. Значимость расчетов средних величин возросла в связи с развитием теории вероятностей и математической статистики. Решение многих теоретических и практических задач было бы невозможно без расчетов средней и оценки колеблемости индивидуальных значений признака.

Ученые разных направлений стремились дать определение средней. Например, выдающийся французский математик О.Л.Коши (1789 - 1857) считал, что средней нескольких величин является новая величина, заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых величин.

Однако создателем теории средних следует считать бельгийского статистика А. Кетле (1796 - 1874). Им предпринята попытка определить природу средних величин и закономерностей, в них проявляющихся. Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явление. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.

Следствием учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

Ярким выражением изложенного взгляда на среднюю является его теория «среднего человека», т.е. человека среднего роста, веса, силы, среднего объема грудной клетки, емкости легких, средней остроты зрения и обычным цветом лица. Средние характеризуют «истинный» тип человека, все отклонения от этого типа указывают на уродливость или болезнь.

Взгляды А.Кетле получили дальнейшее развитие в работах немецкого статистика В.Лексиса (1837 - 1914).

Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869 - 1957). В средних он видел способ наиболее простого описания количественных характеристик явления. Определяя значение средних или, как он выражается, «их функцию», Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.

Последователем А.Кетле был и итальянский статистик К.Джини (1884-1965), автор крупной монографии «Средние величины». К.Джини подверг критике определение средней, данное советским статистиком А.Я. Боярским, и сформулировал свое: «Средняя нескольких величин является результатом действий, выполняемых по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная или эффективная), либо какую-либо новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)».

В данной курсовой работе мы подробно рассмотрим основные проблемы теории средних величин. В первой главе выявим сущность средних величин и общие принципы применения. Во второй главе рассмотрим виды средних величин и сферу их применения на конкретных примерах. В третьей главе будут рассмотрены основные методологические требования расчета средних величин.

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

Средние величины являются одними изнаиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеютсвоей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящуюиз меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел.Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюденийслучайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.

Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждой единицы совокупности.

Средняя является объективной характеристикой только для однородных явлений. Средние для неоднородных совокупностей называются огульными и могут применяться только в сочетании с частными средними однородных совокупностей.

Средняя применяется в статистических исследованиях для оценки сложившегося уровня явления, для сравнения между собой нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамики развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.

Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовыхрасчетах.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции,т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление?

В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.

На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.

Погода в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде в какой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата - это средние за длительный период характеристики погоды - температуры воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

Однако неправильно сводить роль средних величин только характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.

Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания - это характеристики государства, как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.).

Примером системной средней, характеризующей период времени, может служить средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1992 г., равная +6,3°. Эта средняя обобщает крайне разнородные температуры зимних морозных дней и ночей, летних жарких дней, весны и осени. 1992 г. был теплым годом, его средняя температура не является типичной для Санкт-Петербурга. В качестве типической среднегодовой температуры воздуха в городе следует использовать многолетнюю среднюю, скажем, за 30 лет с 1963 по 1992 г., которая равна +5,05°. Эта средняя является типической средней, так как обобщает однородные величины; средние годовые температуры одного и того же географического пункта, варьирующие за 30 лет от +2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г.

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

• степенные средние;
• структурные средние.

Введем следующие условные обозначения:

Величины, для которых исчисляется средняя;

Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

(5.1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные.

Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .

Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 · 800 + 990 · 650 + 1015 · 700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций был равен:

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство :

Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

(5.4)

Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда получаем:

(5.5)

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

• если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
• средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
• если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч.

Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид:

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров.

Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:

Получаем

Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:

Средняя геометрическая . Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.

Для простой средней геометрической:

Для взвешенной средней геометрической:

Средняя квадратическая величина . Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической:

Формула взвешенной средней квадратической:

(5.11)

В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования.

Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.