1. Передаточные функции и частотные характеристики. Аналоговые устройства аппаратуры связи

1. Передаточные функции и частотные характеристики

Электрическую цепь любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии, в технике связи называют четырехполюсником . Зажимы, к которым подключается источник, называются входными , а зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка) – выходными зажимами (полюсами) .

В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 1.1. К входу четырехполюсника 1–1" подключен источник электрической энергии с комплексным действующим значением напряжения и внутренним сопротивлением . К выходным зажимам 2–2" присоединена нагрузка с сопротивлением . К входным зажимам приложено напряжение с комплексным действующим значением , к выходным – с комплексным действующим значением . Через входные зажимы протекает ток с комплексным действующим значением , через выходные зажимы – с комплексным действующим значением . Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 1.1 использованы символические обозначения напряжений и токов. Это означает, что анализ электрической цепи проводится для гармонического колебания определенной частоты. Для данного гармонического колебания можно определить передаточную функцию нагруженного четырехполюсника , которая будет представлять собой отношение комплексного действующего значения выходной электрической величины к комплексному действующему значению входной электрической величины.

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением , а реакцией четырехполюсника на это воздействие – напряжение с комплексным действующим значением или ток с комплексным действующим значением , то получаются комплексные передаточные функции общего вида :

, (1.1)

. (1.2)

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций:

– комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

– комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей – коэффициент усиления по току);

– комплексное передаточное сопротивление;

– комплексная передаточная проводимость.

Часто в теории цепей используют нормированную или рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

, (1.3)

которая получается путем нормирования (1.1) множителем .

Как всякую комплексную величину Н можно представить в показательной форме:

, (1.4)

где – модуль комплексной передаточной функции, а j – ее аргумент.

Рассмотрим комплексную передаточную функцию по напряжению

Подставляя в (1.5) запись комплексных действующих значений

.

Из сравнения этого выражения с (1.4) видно, что

,

т. е. модуль комплексной передаточной функции по напряжению (или комплексного коэффициента усиления по напряжению) показывает во сколько раз изменяется действующее значение (амплитуда) гармонического колебания напряжения на выходе цепи по сравнению с аналогичным значением на входе цепи, а аргумент этой функции определяет сдвиг фаз между гармоническими колебаниями напряжения на входе и выходе.

Точно так же можно найти:

.

Все сказанное выше о коэффициенте передачи по напряжению справедливо и для коэффициента передачи по току.

Если мы будем изменять частоту гармонического колебания, то выражение (1.4) следует записать в виде:

. (1.6)

Функция частоты называется амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ). Она показывает какие изменения в амплитуды гармонических колебаний вносит цепь на каждой частоте.

Функция частоты называется фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ). Соответственно эта характеристика показывает какой фазовый сдвиг приобретает гармоническое колебание каждой частоты при распространении по цепи.

Комплексную передаточную функцию можно представить также в алгебраической форме:

где Re и Im означают реальную и мнимую части комплексной величины.

Из теории комплексных величин известно, что

Пример 1.1

Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а .

Согласно (1.5) запишем

Найдем комплексную функцию на выходе цепи:

Подставив в формулу для , получим комплексную передаточную функцию:

;

Изменяя частоту w от 0 до Ґ , можем изобразить графики АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 1.2, б и в ).

АЧХ и ФЧХ цепи можно представить единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. При этом конец вектора опишет некоторую кривую, которая называется годографом комплексной передаточной функции (рис. 1.3).

Часто специалисты оперируют понятием логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ):

.

Значения величины К оцениваются в децибелах (дБ). В активных цепях, содержащих усилители, величину К называют еще логарифмическим усилением . Для пассивных цепей вместо коэффициента усиления вводят понятие ослабления цепи :

, (1.7)

которое также оценивается в децибелах.

Пример 1.2

Известно, что модуль коэффициента передачи по напряжению цепи принимает следующие значения:

f = 0 кГц Н (f ) = 1

f = 1 кГц Н (f ) = 0,3

f = 2 кГц Н (f ) = 0,01

f = 4 кГц Н (f ) = 0,001

f = 8 кГц Н (f ) = 0,0001

Изобразить график ослабления цепи.

Значения ослабления цепи, рассчитанные по (1.7), приведены в таблице:

f , кГц
А (f ), дБ

График А (f ) приведен на рис. 1.4.

Если вместо комплексных сопротивлений емкости и индуктивности иметь дело с операторными сопротивлениями емкости и индуктивность pL , то в выражении нужно заменить на р .

Операторная передаточная функция цепи может быть записана в общем виде как дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами:

или в виде

где – нули; – полюсы передаточной функции; .

Заменив в (1.8) оператор р на jw , вновь получим комплексную передаточную функцию цепи

,

где АЧХ цепи

Учитывая, что является иррациональной функцией, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w .

Пример 1.3

Найти коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ цепи, изображенной на рис. 1.5, а .

Коэффициент передачи по напряжению этой цепи равен

где Н = 1, , .

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,

.

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

.

На рис. 1.5, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета

.

Амплитудно-частотная характеристика определяется из путем замены р на и вычисления модуля полученной функции

.

Квадрат АЧХ запишется в виде

где ; ;

.

АЧХ цепи изображена на рис. 1.5, в .

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р . На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции . Выберем входное воздействие или в операторной форме . Изображение выходного напряжения в этом случае численно равно , т. е.

где – полином числителя передаточной функции; – коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения к оригиналу :

где в общем случае .

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (1.13) вещественные части полюсов должны быть отрицательными , т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р .

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. n Ф m . Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

В большинстве цепей с зависимыми источниками имеется по крайней мере два пути прохождения сигнала: прямой (от входа к выходу) и обратный (с выхода на вход). Обратный путь прохождения сигнала реализуется с помощью специальной цепи обратной связи (ОС). Таких путей, а значит и цепей ОС, может быть несколько. Наличие в цепях с зависимыми источниками ОС придает им новые ценные качества, которыми не обладают цепи без ОС. Например, с помощью цепей ОС можно осуществить температурную стабилизацию режима работы цепи, уменьшить нелинейные искажения, возникающие в цепях с нелинейными элементами и т. д.

Любую цепь с обратной связью можно представить состоящей из двух четырехполюсников (рис. 1.6).

Активный линейный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению является усилителем. Его иногда называют основным элементом цепи и говорят, что он образует канал прямого усиления.

Пассивный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению называется цепью обратной связи. На входе цепи осуществляется суммирование входного напряжения и напряжения обратной связи .

Выведем формулу передаточной функции по напряжению цепи, изображенной на рис. 1.6. Пусть на вход подается напряжение . Его операторное изображения . На выходе цепи возникает напряжение . В соответствии с рис. 1.6 его операторное изображение

Операторное изображение можно записать через передаточную функцию цепи обратной связи

Тогда выражение (1.14) можно переписать в виде

Операторная передаточная функция по напряжению цепи с ОС (см. рис. 1.6).

. (1.16)

Пример 1.4

На рис. 1.7 изображена цепь на операционном усилителе (ОУ), предназначенная для масштабирования напряжения. Найти передаточную функцию этой цепи.

Получим передаточную функцию этой цепи как цепи с обратной связью, используя формулу (1.16).

Цепью обратной связи на схеме рис. 1.7 служит Г-образный делитель напряжения, составленный из резистивных сопротивлений и . Выходное напряжение усилителя поступает на вход цепи ОС; напряжение ОС снимается с резистора . Передаточная функция по напряжению цепи ОС

Воспользуемся формулой (1.16) и учтем, что входное напряжение и напряжение обратной связи не суммируются, а вычитаются. Тогда получим передаточную функцию масштабного усилителя:

.

Учитывая, что в реальных ОУ значение >> 1, окончательно имеем:

Пример 1.5

Звено на ОУ с частотно-зависимой ОС представлено на рис. 1.8. Найти передаточную функцию этого звена.

Чтобы проанализировать прямой путь прохождения сигнала и путь прохождения сигнала ОС, необходимо воспользоваться методом наложения. Для этого следует поочередно исключать источники входного напряжения и напряжения обратной связи, заменяя их внутренним сопротивлением. В случае идеальных источников напряжения их внутреннее сопротивление равно нулю. Напряжение , приложенное к звену, ослабляется входной цепью, представляющей собой Г-образный делитель напряжения с сопротивлениями и в плечах. Передаточная функция по напряжению такого делителя равна

Цепь обратной связи также является Г-образным четырехполюсником с передаточной функцией.

Коэффициент усиления ОУ .

В соответствии с формулой (1.16) получаем передаточную функцию звена:

Учитывая, что >> 1, получаем:

.

Данное звено может выполнять различные функции в зависимости от вида сопротивлений и . При и звено превращается в инвертирующий масштабный усилитель; при и – в интегратор; при и – в дифференциатор.

Пример 1.6

Звено второго порядка с регулируемым коэффициентом усиления представлено на рис. 1.9, а . Найти передаточную функцию этого звена.

Анализ прохождения входного сигнала и сигнала в цепи ОС показывает, что звено имеет входную цепь, изображенную на рис. 1.9, б и цепь ОС, показанную на рис. 1.9, в . Передаточные функции этих цепей можно получить матричным методом, например, рассматривая каждую цепь как каскадное соединение соответствующих Г-образных четырехполюсников.

Для входной цепи

Для цепи ОС

. (1.18)

С учетом (1.16) получим передаточную функцию звена

. (1.19)

Коэффициент передачи усилителя . Тогда, подставляя (1.17) и (1.18) в (1.19), после преобразования имеем

.

Переходя в (1.16) от оператора р к оператору , получаем комплексную передаточную функцию

. (1.20)

Произведение представляет собой комплексную передаточную функцию усилителя и цепи обратной связи при условии, что обратная связь разорвана (рис. 1.10). Функцию называют передаточной функцией по петле ОС или петлевым усилением . Введем понятия положительной и отрицательной обратной связи. Эти понятия играют заметную роль в теории цепей с обратной связью.

Предположим вначале, что передаточные функции , , не зависят от частоты и являются вещественными числами. Такая ситуация возможна, когда в цепи отсутствуют LC -элементы. При этом может быть как положительным, так и отрицательным числом. В первом случае сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями или, другими словами, сдвиг фаз по петле обратной связи равен нулю или , k = 0, 1, 2, ... Во втором случае, когда , сдвиг фаз по этой петле равен или .

Если в цепи с обратной связью сдвиг фаз по петле равен нулю, то обратная связь называется положительной , если же сдвиг фаз равен , то такая обратная связь называется отрицательной .

Передаточную функцию можно изобразить в виде векторов и показать их на комплексной плоскости. При положительной обратной связи вектор находится на положительной вещественной полуоси, а при отрицательной обратной связи – на отрицательной вещественной полуоси.

Кривая, которую описывает конец вектора при изменении частоты w (рис. 1.11), называется, как известно, годографом.

Представление в виде годографа позволяет определить вид обратной связи в случае частотнозависимой обратной связи.

Введем понятия устойчивой и неустойчивой цепи. Цепь называется устойчивой , если свободные колебания с течением времени стремятся к нулю. В противном случае цепь называется неустойчивой . Из теории переходных процессов следует, что цепь является устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р. Если корни такого уравнения лежат в правой полуплоскости, то цепь является неустойчивой, т. е. она находится в режиме самовозбуждения. Таким образом, для определения условий устойчивости цепи достаточно найти характеристическое уравнение и его корни. Как видим, условия устойчивости можно определить и не вводя понятие обратной связи. Однако здесь возникает ряд проблем. Дело в том, что вывод характеристического уравнения и определение его корней являются громоздкой процедурой, особенно для цепей высокого порядка. Введение понятия обратной связи облегчает получение характеристического уравнения или даже дает возможность обойтись без него. Крайне важно и то, что понятие обратной связи адекватно физическим процессам, возникающим в цепи, поэтому они становятся более наглядными. Глубокое понимание физических процессов облегчает работу по созданию автогенераторов, усилителей и т. д.

Рассмотрим цепь (см. рис. 1.6) и выведем ее характеристическое уравнение. Пусть и, значит, . Тогда из (1.15) следует:

. (1.22)

Если записать передаточную функцию основной цепи в виде , а цепи ОС – , то уравнение (1.22) перепишется следующим образом:

Это равенство выполняется при

Выражение в левой части этого равенства является полиномом, поэтому (1.23) можно записать в общем виде:

Это и есть характеристическое уравнение цепи.

Корни уравнения (1.24) в общем случае являются комплексными величинами

где . Зная корни характеристического уравнения, можно записать выходное напряжение:

Чтобы напряжение не возрастало безгранично, всем корням характеристического уравнения необходимо иметь отрицательные вещественные части, т. е. корни должны располагаться в левой полуплоскости комплексной переменной . Цепь с ОС, обладающая такими свойствами, называется абсолютно устойчивой.

При исследовании цепей с обратной связью могут возникать две проблемы. Если проектируемая цепь должна быть устойчивой, то необходимо располагать критерием, который по виду функций и позволял бы судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости р . Если обратная связь используется для создания неустойчивой автоколебательной цепи, то следует убедиться, что корни уравнения (1.24) расположены, наоборот, в правой полуплоскости. При этом необходимо иметь такое расположение корней, при котором самовозбуждение происходило бы на требуемой частоте.

Рассмотрим критерий устойчивости цепи, названный критерием Найквиста, и позволяющий судить об устойчивости цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи (рис. 1.10).

Передаточная функция разомкнутой цепи, или петлевое усиление, входит в характеристическое уравнение (1.22):

, (1.26)

Если найдется такая частота w , для которой конец вектора попадает в точку с координатами (1, j 0), то это будет означать, что выполняется условие (1.26), т. е. на этой частоте в цепи произойдет самовозбуждение. Значит, по годографу можно определить, устойчива цепь или нет. Для этого используется критерий Найквиста, который формулируется следующим образом: если годограф передаточной функции разомкнутой цепи не охватывает точку с координатами (1, j 0), то при замкнутой цепи обратной связи цепь является устойчивой. В том случае, когда годограф охватывает точку (1, j Х 1 можно записать в виде двух условий:в стационарной режиме. К = 2, кривая 1) и неустойчивой (К = 3, кривая 2; К = 4, кривая 3) цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

2. Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а , если выходным напряжением является напряжение на резисторе R . Построить графики АЧХ и ФЧХ.

Ответ : ; ; 90° – arctg wRC .

3. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для П-образного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L , а в поперечные ветви – емкость С . Ответ : .

4. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.2, а , при R = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ : 12 дБ.

5. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией? Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

6. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 1.5, а , если выходным напряжением является напряжение на емкости С . Построить график АЧХ цепи.

Ответ : ; .

7. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.

8. Как рассчитывается передаточная функция цепи с обратной связью?

9. Доказать, что операторная передаточная функция дифференциатора на операционном усилителе равна (–pRC ). Построить график АЧХ такого дифференциатора.

11. Определить передаточную функцию фильтра, изображенного на рис. 1.13.

Ответ : .

12. Что такое годограф петлевого усиления? Как по годографу определить тип обратной связи?

13. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста? Для каких цепей он используется?

14. Определить комплексную передаточную функцию разомкнутой цепи, изображенной на рис. 1.13. Исследуйте зависимость устойчивости цепи от величины коэффициента усиления К .

Будем полагать, что процессы, проходящие в САР, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, мы ограничимся рассмотрением линейных САР с постоянными параметрами, т.е. параметрами, не зависящими ни от времени, ни от состояния системы.

Пусть для динамической системы (см. рис.)

дифференциальное уравнение записано в операторной форме

где D(P) и M(P) – многочлены от P.

P – оператор дифференцирования;

x(t) – выходная координата системы;

g(t) – входное воздействие.

Преобразуем (1) по Лапласу, предположив нулевые начальные условия.

Введем обозначения

;
,

получим, учитывая, что

Используем обозначение

, (5)

тогда уравнение (3) примет вид:

. (6)

Уравнение (6) связывает изображение Х (S) выходной координаты системы с изображением G(S) входного воздействия. Функция Ф(S) характеризует динамические свойства системы. Как следует из (4) и (5), эта функция не зависит от воздействия, приложенного к системе, а зависит лишь от параметров системы. Учитывая (6) функцию Ф(S ) можно записать следующим образом

Функция Ф(S) называется передаточной функцией системы. Из (7) видно, что передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу входной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Зная передаточную функцию системы Ф(S) определив изображение G(S) воздействия g(t), приложенного к системе можно найти по (6) изображение Х(S) выходной координаты системы х (t), затем, переходя от изображения Х(S) к оригиналу х(t) получить процесс изменения выходной координаты системы при приложении к этой системе входного воздействия.

Многочлен в знаменателе передаточной функции, называется характеристическим полиномом, а уравнение

характеристическим уравнением.

Для системы, описываемой уравнением n-го порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени и имеет n корней, S 1 S 2… S n , среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно – сопряженные.

Корень многочлена стоящего в знаменателе передаточной функции называются полюсами этой передаточной функции, а в числителе – нулями.

Представим многочлены в виде:

Поэтому передаточная функция

. (11)

Отсюда следует, что задание нулей и полюсов определяет передаточную функцию с точностью до постоянного множителя .

В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т.е.

, k=1,2…n,система называется устойчивой. В ней переходная составляющая выходной величины (собственного движения) с течением времени затухает.

Частотные характеристики системы

Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала

Передаточная функция автоматической системы по отношению к управляющему воздействию g(t) есть

(1)

Пусть воздействие

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.

Заметим, что в результате приложения воздействия в системе возникает переходной процесс, который с течением времени стремится к 0, т.к. система предполагается устойчивой. Его мы не рассматриваем. Подобный переход позволяет считать воздействие g(t) заданным на всей оси времени (не рассматривается начальный момент приложения к системе управляющего воздействия) и использовать полученное ранее выражение для спектральной характеристики синусоиды.

Для определения x(t) в установившемся режиме преобразуем обе части дифференциального уравнения (1) по Фурье. При этом имеем в виду, что

;

,

Заметим, что

передаточная функция, в которой S

Кроме того

Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний регулируемой величины определяется из (3) в виде

В (4) функциональный множитель Ф(jω) учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении воздействия g(t) через линейную динамическую систему.

Представим комплексную функцию Ф(jω) в показательной форме

и найдем х(t) по формуле обратного преобразования Фурье:

используя фильтрующие свойства дельта-функции, и учитывая (5), будем иметь

Т.к.
,,

(6)

Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция х(t) линейной автоматической системы на синусоидальные воздействия является также синусоидой. Угловые частоты входного и выходного сигнала совпадают. Амплитуда на выходе системы равна А 1 │Ф(jω) │, а начальная фаза равна argФ(jω) .

Если на вход линейной системы поступает периодическое воздействие в виде

,

то, используя принцип суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что в этом случае вынужденное установившееся движение системы

(7)

Причем величине ω здесь следует придавать дискретные значения, т.е. полагать ω=kω 1

Зная частотные спектры сигнала на входе, можно легко определить частотные спектры сигнала на входе системы. Если, например, известен амплитудный частотный спектр А k входного сигнала g(t), то амплитудный частотный спектр выходного сигнала есть А k │Ф(jkω 1 ) │.

В рассматриваемых выражениях функция Ф(jω) характеризует динамические свойства самой автоматической системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко может быть получена из передаточной функции формальной заменой S на jω

Функция Ф(jω) от непрерывного аргумента ω называется амплитудно-фазовой характеристикой системы АФХ по отношению к управляющему воздействию g(t), приложенному к системе.

Исходя из (3) АФХ может быть определена также, как отношение спектральной характеристики сигнала на ее входе. Модуль АФХ Ф(j  )  характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении последнего через систему, а аргумент ее – фазовый сдвиг сигнала.

Функция Ф(j  ) получила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция argФ(j  ) – фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Пусть воздействие g(t), приложенное к автоматической системе, представляет собой комплексную гармонику с частотой  1 , т.е.

Реакция системы на подобное воздействие в установившемся режиме определяется равенством

Или используя формулу Эйлера

а также то, что

;

Интеграл в правой части равенства найдем, используя фильтрующие свойства дельта-функции.

определяет в комплексной форме установившуюся реакцию системы на воздействие в виде комплексной гармоники с частотой 1.

АФХ может быть использована не только для анализа установившихся колебаний на выходе автоматической системы, но и для определения процесса регулирования в целом. В последнем случае момент времени t 0 приложения к системе управляющего воздействия удобно считать нулевым моментом времени и воспользоваться формулами одностороннего преобразования Фурье. Определив спектральную характеристику
и найдя спектральную характеристику регулируемой величины по формуле

Изменение регулируемой величины x(t) после приложения воздействия g(t) находится по формуле обратного преобразования Фурье.

Можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Полученное выражение называется передаточной

(2.4)

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

Примеры типовых звеньев

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями. В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья. Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

· усилительное,

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (рис. 1.18). у = Kx .

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна нтегралу входной величины:

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (рис. 1.19):

h(t) = Kt.

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр – расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид (рис. 1.20)

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее .

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию): h(t) = Kδ(t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид

Переходная характеристика (рис. 1.21):

Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.

4) Апериодическое (инерционное).

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) =Хо / s Тогда изображение выходной величины:

Разложим дробь на простые:

Оригинал первой дроби по таблице:

Постоянная Т называется постоянной времени . Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (рис. 1.22).

5) Звенья второго порядка (рис. 1.23)

Звенья имеют ДУ и ПФ вида.

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой Хо переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т1 ≥ 2Т2) или колебательный (при Т1 < 2Т2).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

· апериодическое 2-го порядка (Т1 ≥ 2Т2),

· инерционное (Т1 < 2Т2),

· консервативное (Т1 = 0).

6) Запаздывающее .

Если при подаче на вход объекта некоторого сигнала он реагирует на этот сигнал не моментально, а спустя некоторое время, то говорят, что объект обладает запаздыванием.

Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t.

Типовые звенья линейных систем можно определять различными эквивалентными способами, в частности с помощью, так называемой передаточной функции, имеющей, как правило, дробно-рациональный вид, т.е. представляющей собой отношение двух полиномов:

где b i и a j – коэффициенты полиномов. Это т.н. параметры передаточной функции или звена.

Передаточная функция связывает изображение Y(p) выходного сигнала y(t) звена с изображением X(p) его входного сигнала x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

т.е. позволяет по любому известному входному сигналу x(t) найти выходной y(t). Это значит что с точки зрения ТАУ передаточная функция полностью характеризует систему управления или ее звено. Это же самое можно сказать и в отношении совокупности коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Передаточной функцией звена W (p ) называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины

2. Краткие сведения о позиционных звеньях

К позиционным звеньям относятся следующие типовые динамические звенья:

Безынерционное звено,

Апериодическое звено первого порядка,

Апериодическое звено второго порядка,

Колебательное звено,

Консервативное звено.

Временные характеристики позиционных звеньев сведены в табл. 1. Здесь же указаны передаточные функции звеньев.

а). Безынерционное звено.

Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением

х вых = k  x вх (2.1)

Передаточная функция звена равна постоянной величине

W(p) = x вых (р) / х вх (р) = k (2.2)

Примером такого звена являются: механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционный (широкополосный) электронный усилитель, делитель напряжения и т.п. Многие датчики сигналов, как, например, потенциометрические датчики, индукционные датчики, вращающиеся трансформаторы и сельсины, фотоэлементы и т.п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.

Вообще безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности, все звенья характеризуются некоторой инерционностью, поэтому ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до . Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассмотренных ниже, например апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических процессов в этом звене (т.е. постоянными времени).

б) Апериодическое звено 1-го порядка

Это звено описывается дифференциальным уравнением

, (2.3)

где Т - постоянная времени, с,

k - коэффициент передачи звена.

Передаточная функция звена имеет вид

(2.4)

Апериодическое звено – простейшее из тех звеньев, которые обладают инерцией. Действительно это звено не сразу, вначале быстро, а затем все более постепенно реагирует на ступенчатое воздействие. Это происходит потому, что в физическом оригинале апериодического звена имеется один накапливающий элемент (а также один или несколько потребляющих энергию элементов), энергия, запасенная в котором, не может изменяться скачком во времени – для этого потребовалась бы бесконечная мощность.

В качестве примеров апериодических звеньев 1-го порядка можно указать: двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический), генератор постоянного тока, электрические RC - и LR - цепи, магнитный усилитель, резервуар с газом, нагревательная печь. Рабочие процессы в этих звеньях описываются общим уравнением (2.3).

в) Апериодическое звено 2-го порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

(2.5)

При этом корни характеристического уравнения

p 2 + T 1  p +1=0 (2.6)

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии

T 1  2  T 2 (2.7)