В этой статье мы изучим противоположные числа . Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по странице.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет .

Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М , отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N . Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N .

Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число , следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N , и называются противоположными.

Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0 . Число нуль принято считать противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел .

Определение.

Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначения противоположных чисел .

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a , записывается как −a . Например, числу 0,24 противоположно число −0,24 , а числу −25 противоположно число −(−25) .

Приведем примеры противоположных чисел . Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17 ) является примером противоположных целых чисел . Числа и - это противоположные рациональные числа . Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126 . а также 0,(1201) и −0,(1201) . Осталось привести несколько примеров противоположных

Противоположные числа определение

Противоположные числа определение:

Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаками.

Примеры противоположных чисел

Примеры противоположных чисел.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Отсюда понятно как находить число, противоположное данному: просто поменяйте знак числа.

Противоположное число числу 3 есть число минус три.

Пример. Числа противоположные данным.

Дано: числа 1; 5; 8; 9.

Найти числа противоположные данным.

Для решения этого задания просто меняем знаки заданный чисел:

Составим таблицу противоположных чисел:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Число противоположное нулю

Число противоположное нулю есть само число ноль.

Итак, противоположное число числу 0 - это 0.

Противоположные целые числа

Противоположные целые числа отличаются только знаками.

Примеры противоположных целых чисел.

10 -10
20 -20
125 -125

Пара противоположных чисел

Когда говорят о притивоположных числах всегда имеют ввиду пару противоположных чисел.

Число противоположно другому числу. И у каждого числа имеется только одно противоположное число.

Числа, противоположные натуральным

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа.

Составим таблицу противоположных чисел для первых пяти натуральных чисел:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Сумма противоположных чисел

Сумма противоположных чисел равна нулю. Ведь противоположные числа отличаются только знаком.

Противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

$n"\; =\; -n$

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули , но противоположные знаки . В соответствии с этим, противоположное числу $n$ обозначают $-n$.

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Противоположное $(-z)$
Алгебраическая	$x+iy$	$-x-iy$
Тригонометрическая	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$-r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Показательная	$re^\{i\; \backslash varphi\}$	$-re^\{i\; \backslash varphi\}$

Противоположное к мнимой единице

$\backslash frac\{1\}\{i\}=\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; i\}\{i\; \backslash cdot\; i\}=\backslash frac\{i\}\{i^2\}=\backslash frac\{i\}\{-1\}=-i$

Таким образом, получаем

$-i\; =\; \backslash frac\{1\}\{i\}$__ или__ $-i\; =\; i^\{-1\}$

Аналогично для $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{i\}$ __ или __ $i\; =\; -i^\{-1\}$

Напишите отзыв о статье "Противоположное число"

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Противоположное число

«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.
– Как не бы… – начал Кутузов, но тотчас же замолчал и приказал позвать к себе старшего офицера. Вылезши из коляски, опустив голову и тяжело дыша, молча ожидая, ходил он взад и вперед. Когда явился потребованный офицер генерального штаба Эйхен, Кутузов побагровел не оттого, что этот офицер был виною ошибки, но оттого, что он был достойный предмет для выражения гнева. И, трясясь, задыхаясь, старый человек, придя в то состояние бешенства, в которое он в состоянии был приходить, когда валялся по земле от гнева, он напустился на Эйхена, угрожая руками, крича и ругаясь площадными словами. Другой подвернувшийся, капитан Брозин, ни в чем не виноватый, потерпел ту же участь.
– Это что за каналья еще? Расстрелять мерзавцев! – хрипло кричал он, махая руками и шатаясь. Он испытывал физическое страдание. Он, главнокомандующий, светлейший, которого все уверяют, что никто никогда не имел в России такой власти, как он, он поставлен в это положение – поднят на смех перед всей армией. «Напрасно так хлопотал молиться об нынешнем дне, напрасно не спал ночь и все обдумывал! – думал он о самом себе. – Когда был мальчишкой офицером, никто бы не смел так надсмеяться надо мной… А теперь!» Он испытывал физическое страдание, как от телесного наказания, и не мог не выражать его гневными и страдальческими криками; но скоро силы его ослабели, и он, оглядываясь, чувствуя, что он много наговорил нехорошего, сел в коляску и молча уехал назад.

Рассмотрим такой пример. Нужно последовательно посчитать: .

Можно переставить вперед числа, которые необходимо складывать, а затем выполнить вычитание оставшихся: .

Но это не всегда удобно. Например, мы можем вычислять остаток вещей на каком-нибудь складе и нам необходимо знать промежуточный результат.

Можно выполнять действия и подряд: .

Мы знаем, что , значит, результатом будет вычитание из числа . Это значит, что надо вычесть , но пока не из чего. Когда будет из чего вычесть, вычтем:

Но мы можем «схитрить» и обозначить . Таким образом, мы введем новый объект - отрицательные числа .

Такую операцию мы уже проделывали - в природе, например, числа «» тоже не существовало, но мы ввели такой объект, чтобы облегчить запись действий.

Представьте, что нам на спортивном складе поручили выдавать и принимать мячи. Нам нужно вести учет. Можно писать словами:

Выдал , Принял , Выдал , Принял , … (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Учет

Согласитесь, если выдавать и принимать за день нужно много раз, то запись не очень удобная.

Можно разделить лист на две колонки, одна - Принял, другая - Выдал. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Упрощенная запись

Запись стала короче. Но вот проблема: как понять, сколько мячей взяли (или отдали) в какой-то конкретный момент времени?

Можно использовать для записи следующее соображение: когда мы выдаем со склада мячи, то их количество на складе уменьшается, а когда принимаем, то увеличивается.

Но как записать «выдал мяча»? Можно ввести такой объект: .

Это объект позволяет нам сделать математическую запись движения мячей в том порядке, как это происходило:

Рассмотрим еще один пример.

На счету вашего телефона рублей. Вы вышли в Интернет, и это стоило рублей. Получился долг рублей. Оператор мог так и записать: «клиент должен рублей». Вы положили рублей. Оператор вычел долг. Получилось на счету рублей.

Но удобно записывать и операции и деньги на счету с помощью знаков «» и «». (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Удобная запись

Отрицательное число мы вводим, чтобы записать результат вычитания из меньшего числа большего: .

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию: .

Чтобы отрицательные числа отличать от положительных чисел, с которыми мы имели дело раньше, перед ним договорились ставить знак минус: .

Можно было бы обойтись без них? Да можно. В каждой конкретной ситуации мы бы использовали слова «назад», «в долг» и так далее. Но они, эти слова, были бы разные.

А так у нас появляется универсальный удобный инструмент. Один для всех таких случаев.

Можем провести аналогию с автомобилем. Он состоит из большого количества деталей, многие из которых в отдельности не нужны, но все вместе позволяют ездить. Так же и отрицательные числа - инструмент, который вместе с другими математическими инструментами позволяет облегчить вычисления и упростить решение и запись многих задач.

Итак, мы ввели новый объект - отрицательные числа. Для чего их используют в жизни?

Для начала вспомним роли положительных чисел:

Количество: например дерева, литра молока. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Количество

Упорядочивание: например, дома нумеруются положительными числами. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Упорядочивание

Имя: например, номер футболиста. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Число в качестве имени

Теперь посмотрим на функции отрицательных чисел:

Обозначение недостающего количества. Количество отрицательным не бывает. Но отрицательное число используют, чтобы показать, что количество отнимают. Например, мы может вылить из бутылки и записать это как . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Обозначение недостающего количества

Упорядочивание. Иногда при нумерации выбран ноль и нужно пронумеровать объекты в обе стороны от нуля. Например, этажи, расположенные ниже -го, в подвале. (См. Рис. 8.) Или температура, которая ниже выбранного нуля. (См. Рис. 9.)

Рис. 8. Этаж, расположенный ниже -го, в подвале

Рис. 9. Отрицательные числа на шкале термометра

Но все-таки основное предназначение отрицательных чисел - это инструмент для упрощения математических расчетов.

Но чтобы отрицательные числа стали таким удобным инструментом, нужно:

Отрицательная температура - это та, которая ниже нуля, ниже нулевой температуры. Но что такое нулевая температура? Чтобы измерять, записывать температуру нужно выбрать единицу измерения и точку отсчета. И то и другое является договоренностью. Мы используем шкалу Цельсия по имени ученого, который ее предложил. (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Андерс Цельсий

В качестве точки отсчета здесь выбрана температура замерзания воды. Все, что ниже, обозначается отрицательным значением. (См. Рис. 11.)

Рис. 11.

Но понятно, что если взять другую точку отсчета, другой ноль, то отрицательная температура по Цельсию может быть положительной в этой другой шкале. Так и происходит. В физике широко используется шкала Кельвина. Она похожа на шкалу Цельсия, только в качестве нуля выбрано значение самой низкой возможной температуры (ниже не бывает). Это значению называют «абсолютный ноль». По Цельсию это примерно . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Две шкалы

То есть, в шкале Кельвина вообще нет отрицательных значений.

Так, наши летние .

А морозные .

То есть отрицательная температура - это условность, договоренность людей так ее называть.

Начнем с нуля. Ноль занимает особенное положение среди чисел.

Как мы уже обсудили, мы для своего удобства вычитание семи можем обозначить как отрицательное число. Так как оно означает вычитание, то и оставляем знак «» как его признак. Назовем новое число .

То есть, «» - это такое число, которое в сумме с дает ноль: . Причем в любом порядке . Это определение отрицательного (или противоположного) числа.

Для каждого числа, которое мы изучали раньше, введем новое число, отрицательное, признаком которого является знак минус перед ним. То есть для каждого прежнего числа появился его отрицательный близнец. Такие близнецы назовем противоположными числами. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Противоположные числа

Итак, определение: противоположными числами называются два числа, сумма которых равна нулю.

Внешне они отличаются только знаком «».

Если перед переменной стоит знак «», например , что это означает? Это не значит, что данная величина отрицательна. Знак минус означает, что данная величина противоположна числу : . Какое из этих чисел положительное, какое отрицательное, мы не знаем.

Если , то .

Если (отрицательное число), то (положительное число).

Какое число противоположно нулю? Мы это уже знаем.

Если ноль прибавить к любому числу, в том числе и к нулю, то исходное число не изменится. То есть сумма двух нулей равна нулю: . Но числа, сумма которых равна нулю, противоположны. Таким образом, ноль противоположен сам себе.

Итак, мы с вами дали определение отрицательных чисел, выяснили, зачем они нужны.

Теперь немного времени уделим технике. Пока нам нужно научиться для любого числа находить ему противоположное:

В последней части урока поговорим о новых названиях и обозначениях множеств, которые появляются после введения отрицательных чисел.