Нравится нам это или нет, но наша жизнь полна всевозможных случайностей, как приятных так и не очень. Поэтому каждому из нас не помешало бы знать, как найти вероятность того или иного события. Это поможет принимать верные решения при любых обстоятельствах, которые связаны с неопределенностью. К примеру, такие знания окажутся весьма кстати при выборе вариантов инвестирования, оценке возможности выигрыша в акции или лотерее, определении реальности достижения личных целей и т. д., и т. п.

Формула теории вероятности

В принципе, изучение данной темы не занимает слишком много времени. Для того чтобы получить ответ на вопрос: "Как найти вероятность какого-либо явления?", нужно разобраться с ключевыми понятиями и запомнить основные принципы, на которых базируется расчёт. Итак, согласно статистике, исследуемые события обозначаются через A1, А2,..., An. У каждого из них есть как благоприятствующие исходы (m), так и общее количество элементарных исходов. К примеру, нас интересует, как найти вероятность того, что на верхней грани кубика окажется четное число очков. Тогда А - это бросок m - выпадение 2, 4 или 6 очков (три благоприятствующих варианта), а n - это все шесть возможных вариантов.

Сама же формула расчета выглядит следующим образом:

С одним исходом все предельно легко. А вот как найти вероятность, если события идут одно за другим? Рассмотрим такой пример: из карточной колоды (36 шт.) показывается одна карта, затем она прячется снова в колоду, и после перемешивания вытаскивается следующая. Как найти вероятность того, что хоть в одном случае была вытащена дама пик? Существует следующее правило: если рассматривается сложное событие, которое можно разделить на несколько несовместимых простых событий, то можно сначала рассчитать результат для каждого из них, а затем сложить их между собой. В нашем случае это будет выглядеть так: 1 / 36 + 1 / 36 = 1 / 18 . А как же быть тогда, когда несколько происходят одновременно? Тогда результаты умножаем! Например, вероятность того, что при одновременном подбрасывании сразу двух монет выпадут две решки, будет равна: ½ * ½ = 0.25.

Теперь возьмем еще более сложный пример. Предположим, мы попали на книжную лотерею, в которой из тридцати билетов десять являются выигрышными. Требуется определить:

1. Вероятность того, что оба окажутся выигрышными.
2. Хотя бы один из них принесет приз.
3. Оба окажутся проигрышными.

Итак, рассмотрим первый случай. Его можно разбить на два события: первый билет будет счастливым, и второй также окажется счастливым. Учтем, что события зависимы, поскольку после каждого вытаскивания общее количество вариантов уменьшается. Получаем:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Во втором случае понадобится определить вероятность проигрышного билета и учесть, что он может быть как первым по счету, так и вторым: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.

Наконец, третий случай, когда по разыгранной лотерее даже одной книжки получить не получится: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.

Теория вероятности - довольно обширный самостоятельный раздел математики. В школьном курсе теория вероятности рассматривается очень поверхностно, однако в ЕГЭ и ГИА имеются задачи на данную тему. Впрочем, решать задачи школьного курса не так уж сложно (по крайней мере то, что касается арифметических операций) - здесь не нужно считать производные, брать интегралы и решать сложные тригонометрические преобразования - главное, уметь обращаться с простыми числами и дробями.

Теория вероятности - основные термины

Главные термины теории вероятности - испытание, исход и случайное событие. Испытанием в теории вероятности называют эксперимент - подбросить монету, вытянуть карту, провести жеребьевку - все это испытания. Результат испытания, как вы уже догадались, называется исходом.

А что же такое случайность события? В теории вероятности предполагается, что испытание проводится ни один раз и исходов много. Случайным событием называют множество исходов испытания. Например, если вы бросаете монету, может произойти два случайных события - выпадет орел или решка.

Не путайте понятия исход и случайное событие. Исход - это один результат одного испытания. Случайное событие - это множество возможных исходов. Существует, кстати, и такой термин, как невозможное событие. Например, событие "выпало число 8" на стандартном игровом кубике является невозможным.

Как найти вероятность?

Все мы примерно понимаем, что такое вероятность, и довольно часто используем данное слово в своем лексиконе. Кроме того, мы можем даже делать некоторые выводы относительно вероятности того или иного события, например, если за окном снег, мы с большой вероятностью можем сказать, что сейчас не лето. Однако как выразить данное предположение численно?

Для того чтобы ввести формулу для нахождения вероятности, введем еще одно понятие - благоприятные исход, т. е. исход, который является благоприятным для того или иного события. Определение довольно двусмысленное, конечно, однако по условию задачи всегда понятно, какой из исходов благоприятный.

Например: В классе 25 человек, трое из них Кати. Учитель назначает дежурной Олю, и ей нужен напарник. Какова вероятность того, что напарником станет Катя?

В данном примере благоприятный исход - напарник Катя. Чуть позже мы решим эту задачу. Но сначала введем с помощью дополнительного определения формулу для нахождения вероятности.

• Р = А/N, где P - вероятность, A - число благоприятных исходов, N - общее количество исходов.

Все школьные задачи крутятся вокруг одной этой формулы, и главная трудность обычно заключается в нахождении исходов. Иногда их найти просто, иногда - не очень.

Как решать задачи на вероятность?

Задача 1

Итак, теперь давайте решим поставленную выше задачу.

Число благоприятных исходов (учитель выберет Катю) равно трем, ведь Кать в классе три, а общих исходов - 24 (25-1, ведь Оля уже выбрана). Тогда вероятность равна: P = 3/24=1/8=0,125. Таким образом, вероятность того, что напарником Оли окажется Катя, составляет 12,5%. Несложно, правда? Давайте разберем кое-что посложней.

Задача 2

Монету бросили два раза, какова вероятность выпадения комбинации: один орел и одна решка?

Итак, считаем общие исходы. Как могут выпасть монеты - орел/орел, решка/решка, орел/решка, решка/орел? Значит, общее число исходов - 4. Сколько благоприятных исходов? Два - орел/решка и решка/орел. Таким образом, вероятность выпадения комбинации орел/решка равна:

• P = 2/4=0,5 или 50 процентов.

А теперь рассмотрим такую задачу. У Маши в кармане 6 монет: две - номиналом 5 рублей и четыре - номиналом 10 рублей. Маша переложила 3 монеты в другой карман. Какова вероятность того, что 5-рублевые монеты окажутся в разных карманах?

Для простоты обозначим монеты цифрами - 1,2 - пятирублевые монеты, 3,4,5,6 - десятирублевые монеты. Итак, как могут лежать монеты в кармане? Всего есть 20 комбинаций:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На первый взгляд может показаться, что некоторые комбинации пропали, например, 231, однако в нашем случае комбинации 123, 231 и 321 равнозначны.

Теперь считаем, сколько у нас благоприятных исходов. За них берем те комбинации, в которых есть либо цифра 1, либо цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Их 12. Таким образом, вероятность равна:

• P = 12/20 = 0,6 или 60%.

Задачи по теории вероятности, представленные здесь, довольно простые, однако не думайте, что теория вероятности - это простой раздел математики. Если вы решите продолжать образование в вузе (за исключением гуманитарных специальностей), у вас обязательно будут пары по высшей математике, на которых вас ознакомят с более сложными терминами данной теории, и задачи там будут куда сложнее.

Наш ответ

Выбор правильной ставки зависит не только от интуиции, спортивных знаний, букмекерских коэффициентов, но и от коэффициента вероятности события. Возможность рассчитать подобный показатель в беттинге является залогом успеха в прогнозировании предстоящего события, на который предполагается осуществление ставки.
В букмекерских конторах существует три вида коэффициентов (подробней в статье ), от разновидности которых зависит, как рассчитать вероятность события игроку.

Десятичные коэффициенты

Расчет вероятности события в таком случае происходит по формуле: 1/коэф.соб. = в.и, где коэф.соб. – коэффициент события, а в.и – вероятность исхода. Например, берем коэффициент события 1,80 при ставке в один доллар, совершая математическое действие по формуле, игрок получает, что вероятность исхода события по версии букмекера 0,55 процента.

Дробные коэффициенты

При использовании дробных коэффициентов формула расчета вероятности будет другая. Так при коэффициенте 7/2, где первая цифра означает возможный размер чистой прибыли, а вторая размер необходимой ставки, для получения этой прибыли, уравнение будет выглядеть следующим образом: зн.коэф/ на сумму зн.коэф и чс.коэф = в.и. Здесь зн.коэф – знаменатель коэффициента, чс.коэф – числитель коэффициента, в.и – вероятность исхода. Таким образом, для дробного коэффициента 7/2 уравнение выглядит как 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22, следовательно, 0,22 процента вероятность исхода события по версии букмекерской конторы.

Американские коэффициенты

Американские коэффициенты мало популярны у игроков и, как правило, используются исключительно в США, обладая сложной и запутанной структурой. Для ответа на вопрос: «Как посчитать вероятность события таким способом?», нужно знать, что подобные коэффициенты могут быть отрицательными и положительными.

Коэффициент со знаком «-», например -150, показывает, что игроку для получения чистой прибыли в 100 долларов необходимо совершить ставку в 150 долларов. Вероятность события рассчитывается исходя из формулы, где нужно разделить отрицательный коэффициент на сумму отрицательного коэффициента и 100. Выглядит это на примере ставки -150, так (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6, где 0,6 умножается на 100 и исход вероятности события составляет 60 процентов. Эта же формула подходит и для положительных американских коэффициентов.

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

1.Задача. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию «на обоих кубиках выпало одинаковое количество очков» при подбрасывании двух игральных кубиков?

Решение: Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).

2.Задача. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитываются сумма очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?

Решение: Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1;3;1), (1;1;3), (1;2;2), (2;1;2), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами (1;1;4), (1;4;1), (4;1;1), (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).

3.Задача. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5, 4, 3?

Решение: Обозначим через А событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствую 6 исходов (числа 5, 10,15,20,25,30). Следовательно

Р(А)= 6/30= 0,2

4. Задача. Произвольно выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение: Обозначим буквой С событие «выбранное число является простым». В данном случае n=10, m=4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

Р(С)=4/10=0,4.

5. Задача. Какова вероятность того, что в произвольно выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение: Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m =9, а n =90, то

Р(А)=9/90=0,1

6. Задача. Подбрасываются две монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах монет окажутся две цифры?

Решение: Обозначим буквой D событие «на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра». В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов (Г;Г), (Г;Ц), (Ц;Г), (Ц;Ц). Запись (Г;Ц) означает, что на первой монете выпал герб, а на второй – цифра. Событию D благоприятствует один исход - (Ц;Ц).Поскольку m =1, а n =4, то

Р(D )=1/4=0,25.

7. Задача. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что произвольным образом открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение: Из условия задачи следует, что всех равновозмож-ных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n =300. А из них m =60 благоприятствует наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5 k , где k - натуральное число, причем 0<5 k < 300, откуда k < 300/5=60. Следовательно

P (А)= 60/300=0,2

8. Задача. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 5 человек?

Решение: Согласно формуле для перестановок для n=5 имеем

9. Задача. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из 10 кандидатов?

Решение: В соответствии с формулой для числа сочетаний С (а в данном случае речь идет именно о сочетаниях, поскольку нужно определить число возможных комбинаций по 3 элемента в каждой из 10 имеющихся в наличии, не взирая на порядок следования этих элементов внутри комбинации), находим

10. Задача. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из 10 кандидатов?

Решение: Для получения результата воспользуемся формулой для числа размещений по 3 элемента из десяти, поскольку в данном случае необходимо учесть в отличие от задачи девять не только число возможных комбинация, но и порядок следования элементов внутри каждой комбинации.

11. Задача. Сколько различных шестизначных числа можно записать с помощью цифр 1;1;1;2;2;2?

Решение: В данном случае речь идет о числе перестановок с повторениями. Тогда формула для вычисления перестано-вок будет иметь вид

Для нашего случая число символов, которые повторяются k =2,повторяются они каждый по три раза А общее число символовn = 3+3=6. По приведенной формуле получаем

12. Задача. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 6 деталей 4 окажется стандартными?

Решение: Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 разных деталей из 10 имеющихся в наличии, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов

Определяем число исходов, благоприятствующих событию A – «среди взятых наугад 6 деталей 4 стандартных». Четыре стандартных из имеющихся в наличии 7 можно взять способами, при этом остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10-7=3 нестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятных исходов равноСледует обратить особое внимание, что сумма верхних и нижних индексов в последнем произведении дает значение верхних и нижних индексов знаменателя формулы для определения вероятности события

13. Задача. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки?

Решение: Число всех равновозможных случаев распределе-ния 5 билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. . Число групп по трое юношей из 15, еоторые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка должна сочетаться с любой парой девушек, которые будут отобраны из 10 оставшихся студенток группы, а это число будет равно. Следовательно, число удовлетворяющих условию задачи групп студентов по пять человек в каждой, где будет 3 юноши и 2 девушки, равно произведениюЭто произведение равно числу благоприятствующих случаев распределения 5 билетов среди 25 учащихся таким образом, чтобы было выполнено условие: 3 билета досталось юношам, а два – девушкам. И тогда в соответствии с формулой определения вероятности получаем

14. Задача. В ящике находится 15 красных, 9 синих и 6 зелёных шаров. Наугад извлекают 6 шаров. Найти вероятность того, что вынуты 1 зелёный, 2 синих и 3 красных шара.

Решение: В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет Подсчитаем число элементарных исходов, благоприят-ствующих событию A . Три красных шара из 15 можно выбрать способами, два синих шара из 9 возможных можно выбратьспособами, один зеленый из 6 -способами. Следовательно, в силу принципа произведения в комбинаторике, число исходов, благоприятствующих событиюA , будет По формуле непосредственного подсчета вероятностей получаем

15. Задача. В ящике находятся 15 шаров, из которых 10 красных, остальные синие. Из ящика вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых 2 шара синего цвета?

Решение: Общее число элементарных исходов данного опыта равно числу сочетаний из 15 по 6, т.е.

Число благоприятных исходов равно произведению

Тогда вероятность искомого варианта составит величину

16. Задача. Из десяти билетов выигрышными являются только два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наугад пяти билетов один выигрышный?

Решение: Общее число исходов, когда из десяти наличных билетов мы выбираем пять, определяется числом сочетаний А число благоприятных исходов определим как произ-ведение двух сомножителей Отсюда вероятность определяем как

17. Задача. Из 500 взятых наугад деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение: Так как в данном случае m =8, а n =500, то согласно определению частоты события имеем

18. Задача. Среди 1000 новорожденных оказалось 513 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

Решение: Поскольку в данном случае m =513, а n =1000, то

19. Задача. При стрельбе по мишени частота попаданий составляет W =0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение: Из условия задачи имеем n =40, а найти необходимо m . Тогда получаем

20. Задача. Частота нормальной всхожести семян W =0,75. Из высеянных семян взошло 1940. Сколько семян было высеяно?

Решение: Из условия задачи m =1940, а определить необхо-димо n.

21. Задача. На отрезке натурального ряда от 1 до 30 найти частоту простых чисел?

Решение: На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23, 29; всего их десять. Так как n =30, а m =10, то

22. Задача. В круг вписан квадрат. В круг бросают дротик. Определить вероятность того, что дротик попадёт в квадрат.

Решение: Введем обозначение: R – радиус круга, a - сторона вписанного в круг квадрата, событие A – попадание дротика в квадрат, S – площадь круга, S 1 – площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга Площадь квадрата определяется как Теперь выразим сторону квадрата через радиус круга, используя теорему Пифагора

По определению геометрической вероятности имеем

23. Задача. В шар вписан куб. Точка наугад зафиксирована внутри шара. Найти вероятность того, что точка попадёт в куб.

Решение: самостоятельно.

24. Задача. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела. Событие А к – «попадание в мишень при к-том выстреле(к=0,1,2,3)». Выразить через А 1 , А 2 , А 3 следующие события: А- «хотя бы одно попадание», В- «три попадания», С- «три промаха», D- «хотя бы один промах».

Решение: Событие A тогда и только тогда, когда наступает A 1 , или A 2 , или A 3 . Это означает, что A=A 1 +A 2 +A 3 . Три попадания будет тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т.е. события наступят все вместе B=A 1 *A 2 *A 3. Три промаха будет тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, т.е. события осуществляются все вместе: Рассуждая аналогично, получаем выражение для.

25. Задача. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела. Событие А к – «попадание в мишень при к-том выстреле(к=0,1,2,3)». Выразить через А 1 , А 2 , А 3 следующие события: А- «хотя бы одно попадание», Е- «не меньше двух попаданий», F- «не более одного попадания», G- «попадание после первого выстрела».

Решение: Событие A тогда и только тогда, когда наступает A 1 , или A 2 , или A 3 . Это означает, что A=A 1 +A 2 +A 3 . По аналогии с задачей 24 для события Е имеем

Событие F получим в виде .

Событие G будет получено .

26. Задача. Подбрасывают два игральных кубика. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обоих кубиках, не превысит 5?

Решение: Пусть выпало на первом кубике, а - на втором кубике. Пространство элементарных событий есть множество пар (n 1 , n 2):

Событие А имеет вид

Множество Ω содержит 36 элементов (6*6) , а множество А – 10 элементов (1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (2,3); (3,2); (1,3); (3,1); (1,4); (4,1). По известной формуле получим значение вероятности

27. Задача. Подбрасываются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков на обоих кубиках не больше 6.

Решение: Самостоятельно.

28. Задача. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыш выпадает на 13 билетов. Некто купил 4 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

Решение: Общее число возможных исходов, когда производится выбор 4 билетов из 100 возможных определяется как . Число благоприятствующих исходов будет определяться как произведение Тогда вероятность приобрести выигрышный билет выразиться следующим выражением

29. Задача. В урне 40 шаров: 15 синих, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что произвольно вынутый из урны шар окажется цветным?

30. Задача. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4?

31. Задача. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на три сектора. Вероятность попадания в первый сектор составляет 0,4 , во второй – 0,3 . Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

32. Задача. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

33. Задача. Три стрелка стреляют по мишени и попадают с вероятностями 0,85; 0,8; 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном выстреле мишень окажется поврежденной.

34. Задача. В урне 6 синих, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают три шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что первым будет синий шар, вторым – красный, а третьим – белый.

35. Задача. В каждом из трёх ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27, во втором – 28, в третьем – 25 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три детали будут кондиционными?

37. Задача. В мастерской независимо друг от друга работает два мотора. Вероятность отказа первого мотора в течении часа составляет 0,85, а второго – 0,8. Найти вероятность того, что в течении часа ни один из моторов не откажет.

38. Задача. Из урны, содержащей 3 синих и 2 красных шара, по схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность P k того, что красный шар впервые появится при k – том испытании (k =1;2; 3; 4).

39. Задача. Сколько раз надо подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестёрок была бы больше ½? (задача де Мере).

40. Задача. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трёх независимых испытаниях, равна 0,973. Найти вероятность появления события в одном испытании, полагая её величиной постоянной.

41. Задача. В урне находится 10 красных и 5 синих шаров. Последовательно извлекают по схеме бесповторного опыта два шара. Определить вероятность того, что в первый раз извлечен синий шар, а во второй раз красный шар.

42. Задача. На фабрике, изготовляющей болты первая машина производит 30%, вторая – 25%, а третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответствен-но. Найти вероятность того, что произвольно выбранный болт оказался бракованным.

43. Задача. В партии электроламп 20% выпущено на первом заводе, 30% - на втором и 50% на третьем. Вероятности выпуска брака заводами составляют 0,01; 0,005 и 0,006 со- ответственно. Найти вероятность того, что произвольно взятая из партии лампочка окажется работоспособной.

44. Задача. На сборку попадают запчасти с трёх автоматов. Из- вестно, что первый автомат даёт 0,1% брака, второй – 0,2%, а третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если первый автомат выпустил 1000 деталей, второй – 2000, а третий – 3000 запчастей.

45. Задача. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака от первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обрабатываемые детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза выше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая случайным образом деталь будет стандартной.

46. Задача. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака от первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обрабатываемые детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза выше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая случайным образом деталь будет бракованной.

47. Задача. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями: p 1 =0,2; p 2 =0,3; p 3 =0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное количество часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное время.

48. Задача. В учебной группе студентов учатся 5 отличников, 10 хорошистов и 6 слабоуспевающих. На экзамене отличник может получить только отлично. Хорошист с равной вероятностью получит отличную или хорошую оценку. Слабоуспевающий студент с равной долей успеха может получить хорошую, удовлетворительную и неудовлетворительную оценку. Для сдачи контрольного среза приглашают трёх человек из этой группы. Найти вероятность того, что они получат отличные оценки.

49. Задача. В учебной группе студентов учатся 5 отличников, 7 хорошистов и 8 слабоуспевающих. На экзамене отличник может получить только отлично. Хорошист с равной вероятностью получит отличную или хорошую оценку. Слабоуспевающий студент с равной долей успеха может получить хорошую, удовлетворительную и неудовлетворительную оценку. Для сдачи контрольного среза приглашают трёх человек из этой группы. Найти вероятность того, что они получат хорошие оценки.

51. Задача. В учебной группе студентов учатся 6 отличников, 10 хорошистов и 4 слабоуспевающих. На экзамене отличник может получить только отлично. Хорошист с равной вероятностью получит отличную или хорошую оценку. Слабоуспевающий студент с равной долей успеха может получить хорошую, удовлетворительную и неудовлетворительную оценку. Для сдачи контрольного среза приглашают трёх человек из этой группы. Найти вероятность того, что они получат отличные и хорошие оценки.

52. Задача. На склад поступает продукция трёх фабрик, причём продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, и третье-34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей – 1%. Найти вероятность того, что случайным образом выбранное изделие окажется продукцией первой фабрики.

53. Задача. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объём продукции второго завода в три раза превосходит объём продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго – 1%. Изделия поступают на общий склад. Найти вероятность того, что приобретённое в магазине изделие изготовлено на втором заводе, если оно оказалось испорченным.

54. Задача. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объём продукции второго завода в два раза превосходит объём продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 0,5%, у второго – 0,2%. Изделия поступают на общий склад. Найти вероятность того, что приобретённое в магазине изделие изготовлено на первом заводе, если оно оказалось исправным.

X

57. Задача. В коробке 7 карандашей, из которых 4 – красные. Из коробки случайным образом достают 3 карандаша. Найти закон распределения случайной величины X

58. Задача. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей.

	0 ,2

55. Задача. В первой урне 2 синих и 6 красных шаров, во второй – 4 синих и 2 красных. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, не обращая внимания на их цвет, и после этого достали из неё один шар. Определить вероятность того, что этот шар окажется синим.

Решение: Введём обозначение «А» - событие «шар, извлечённый из второй урны – синий»; гипотезы Н 1 – «из первой урны во вторую переложены два синих шара» , Н 2 – «переложены два разноцветных шара» , Н 3 – «переложены два красных шара». Вычислим вероятности гипотез Н i и условные вероятности Р(А/Н i), (i=1,2,3):

P (A / H 1 )=3/4; P(A / H 2 )=5/8; P (A / H 3 )=1/2.

По формуле полной вероятности получаем ответ на вопрос

Р(А)=1/28*3/4+12/28*5/8+15/28*1/2=9/16

56. Задача. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается число очков, выпавших на обоих кубиках. Найти закон распределения случайной величины X - суммы выпавших очков на двух игральных кубиках.

Решение. В этом испытании 36 равновозможных исходов. Случайная величина Х может принимать значения от 2 до 12, причём значения 2 и 12 она примет один раз, значения 3 и 11 – по 2 раза, значения 4 и 10 – по 3 раза, 5 и 9 – по 4 раза, 6 и 8 – по 5 раз, значение 7 – 6 раз. Следовательно, закон распределения данной случайной величины Х можно задать таблицей

57. Задача. В коробке 7 карандашей, из которых 4 – красные. Из коробки случайным образом достают 3 карандаша. Найти закон распределения случайной вели-чины X , равной числу красных карандашей в выборке.

Решение. В выборке из трёх карандашей может не оказаться ни одного красного карандаша, может появиться один, два или три карандаша. Следовательно случайная величина Х может принимать значения х 1 =0; х 2 =1; х 3 =2; х 4 =3.

Находим вероятности этих значений =;

; .

Закон распределения примет вид:

Найти функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Для построения функции распределения F (X ) дискретной случайной величины Х воспользуемся формулой

59. Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения. 0 при x <0

F (x )= x /2 при 0< x <2

1 при x >2

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение. Для данного интервала F(x)=x/2. Тогда по известным правилам P(1

60. Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения. 0 при x <0

F (x )= x /3 при 0< x <3

1 при x >3

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение. По известным формулам для заданного интервала P(2< X< 3)=F(3)-F(2)=(3/3)-(2/3)=1-2/3=1/3

61. Задача. Случайная величина Х задана функцией распределения. 0 при x <0

F ( x )= sin x при 0< x <π/2

1 при x >π/2

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение. Так как P(4

62. Задача. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией