МКТ - это просто!

«Ничто не существует, кроме атомов и пустого пространства …» - Демокрит
«Любое тело может делиться до бесконечности» - Аристотель

Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Цель МКТ - это объяснение строения и свойств различных макроскопических тел и тепловых явлений, в них протекающих, движением и взаимодействием частиц, из которых состоят тела.
Макроскопические тела - это большие тела, состоящие из огромного числа молекул.
Тепловые явления - явления, связанные с нагреванием и охлаждением тел.

Основные утверждения МКТ

1. Вещество состоит из частиц (молекул и атомов).
2. Между частицами есть промежутки.
3. Частицы беспорядочно и непрерывно движутся.
4. Частицы взаимодействуют друг с другом (притягиваются и отталкиваются).

Подтверждение МКТ:

1. экспериментальное
- механическое дробление вещества; растворение вещества в воде; сжатие и расширение газов; испарение; деформация тел; диффузия; опыт Бригмана: в сосуд заливается масло, сверху на масло давит поршень, при давлении 10 000 атм масло начинает просачиваться сквозь стенки стального сосуда;

Диффузия; броуновское движение частиц в жидкости под ударами молекул;

Плохая сжимаемость твердых и жидких тел; значительные усилия для разрыва твердых тел; слияние капель жидкости;

2. прямое
- фотографирование, определение размеров частиц.

Броуновское движение

Броуновское движение - это тепловое движение взвешенных частиц в жидкости (или газе).

Броуновское движение стало доказательством непрерывного и хаотичного (теплового) движения молекул вещества.
- открыто английским ботаником Р. Броуном в 1827 г.
- дано теоретическое объяснение на основе МКТ А. Эйнштейном в 1905 г.
- экспериментально подтверждено французским физиком Ж. Перреном.

Масса и размеры молекул

Размеры частиц

Диаметр любого атома составляет около см.

Число молекул в веществе

где V - объем вещества, Vo - объем одной молекулы

Масса одной молекулы

где m - масса вещества,
N - число молекул в веществе

Единица измерения массы в СИ: [m]= 1 кг

В атомной физике массу обычно измеряют в атомных единицах массы (а.е.м.).
Условно принято считать за 1 а.е.м. :

Относительная молекулярная масса вещества

Для удобства расчетов вводится величина - относительная молекулярная масса вещества.
Массу молекулы любого вещества можно сравнить с 1/12 массы молекулы углерода.

где числитель - это масса молекулы, а знаменатель - 1/12 массы атома углерода

Это величина безразмерная, т.е. не имеет единиц измерения

Относительная атомная масса химического элемента

где числитель - это масса атома, а знаменатель - 1/12 массы атома углерода

Величина безразмерная, т.е. не имеет единиц измерения

Относительная атомная масса каждого химического элемента дана в таблице Менделеева.

Другой способ определения относительной молекулярной массы вещества

Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс химических элементов, входящих в состав молекулы вещества.
Относительную атомную массу любого химического элемента берем из таблицы Менделеева!)

Количество вещества

Количество вещества (ν) определяет относительное число молекул в теле.

где N - число молекул в теле, а Na - постоянная Авогадро

Единица измерения количества вещества в системе СИ: [ν]= 1 моль

1 моль - это количество вещества, в котором содержится столько молекул (или атомов), сколько атомов содержится в углероде массой 0,012 кг.

Запомни!
В 1 моле любого вещества содержится одинаковое число атомов или молекул!

Но!
Одинаковые количества вещества для разных веществ имеют разную массу!

Постоянная Авогадро

Число атомов в 1 моле любого вещества называют числом Авогадро или постоянной Авогадро:

Молярная масса

Молярная масса (M) - это масса вещества, взятого в одном моле, или иначе - это масса одного моля вещества.

Масса молекулы
- постоянная Авогадро

Единица измерения молярной массы: [M]=1 кг/моль.

Формулы для решения задач

Эти формулы получаются в результате подстановки вышерассмотренных формул.

Масса любого количества вещества

Определение 1

Молекулярно-кинетическая теория – это учение о строении и свойствах вещества, основанное на представлении о существовании атомов и молекул, как наименьших частиц химических веществ.

Основные положения молекулярно-кинетической теории молекулы:

1. Все вещества могут быть в жидком, твердом и газообразном состоянии. Они образуются из частиц, которые состоят из атомов. Элементарные молекулы могут иметь сложное строение, то есть иметь в своем составе несколько атомов. Молекулы и атомы – электрически нейтральные частицы, которые в определенных условиях приобретают дополнительный электрический заряд и переходят в положительные или отрицательные ионы.
2. Атомы и молекулы движутся непрерывно.
3. Частицы с электрической природой силы взаимодействуют друг с другом.

Основные положения мкт и их примеры были перечислены выше. Между частицами имеется малое гравитационное воздействие.

Рисунок 3 . 1 . 1 . Траектория Броуновской частицы.

Определение 2

Броуновское движение молекул и атомов подтверждает существование основных положений молекулярно кинетической теории и опытно обосновывает его. Данное тепловое движение частиц происходит с взвешенными в жидкости или газе молекулами.

Опытное обоснование основных положений молекулярно кинетической теории

В 1827 году Р. Броун открыл это движение, которое было обусловлено беспорядочными ударами и перемещениями молекул. Так как процесс происходил хаотично, то удары не могли уравновесить друг друга. Отсюда вывод, что скорость броуновской частицы не может быть постоянной, она постоянно меняется, а движение направления изображается в виде зигзага, показанное на рисунке 3 . 1 . 1 .

О броуновском движении говорил еще А. Эйнштейн в 1905 году. Его теория нашла подтверждение в опытах Ж. Перрена 1908 - 1911 гг.

Определение 3

Следствие из теории Эйнштейна : квадрат смещения < r 2 > броуновской частицы относительно начального положения, усредненное по многим броуновским частицам, пропорционален времени наблюдения t .

Выражение < r 2 > = D t объясняет диффузионный закон. По теории имеем, что D монотонно возрастает с увеличением температуры. Беспорядочное движение проглядывается при наличии диффузии.

Определение 4

Диффузия – это определение явления проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ друг в друга.

Данный процесс происходит быстро в неоднородном газе. Благодаря примерам диффузии с разными плотностями можно получить однородную смесь. При нахождении в одном сосуде кислорода O 2 и водорода H 2 с перегородкой то при ее удалении газы начинают смешиваться, образую опасную смесь. Процесс возможен при нахождении вверху водорода, а внизу кислорода.

Процессы взаимопроникновения также протекают в жидкостях, но намного медленней. Если растворить твердое тело, сахар, в воде, то получим однородный раствор, который является наглядным примером диффузионных процессов в жидкостях. При реальных условиях смешивание в жидкостях и в газах замаскировано быстрыми процессами перемешивания, к примеру, при возникновении конвекционных потоков.

Диффузия твердых тел отличается своей замедленной скоростью. Если поверхность взаимодействия металлов очистить, то можно увидеть, что с течением большого периода времени в каждом из них появятся атомы другого металла.

Определение 5

Диффузия и броуновское движение считаются родственными явлениями.

При взаимопроникновении частиц обоих веществ движение беспорядочно, то есть, наблюдается хаотичное тепловое перемещение молекул.

Силы, действующие между двумя молекулами, зависят от расстояния между ними. Молекулы имеют в своем составе положительные и отрицательные заряды. При больших расстояниях преобладают силы межмолекулярного притяжения, при небольших – силы отталкивания.

Рисунок 3 . 1 . 2 показывает зависимость результирующей силы F и потенциальной энергии E р взаимодействия между молекулами от расстояния между их центрами. На расстоянии r = r 0 сила взаимодействияобращается в ноль. Данное расстояние условно принимается в качестве диаметра молекулы. При r = r 0 потенциальная энергиявзаимодействия минимальная.

Определение 6

Чтобы отдалить две молекулы с расстоянием r 0 , следует сообщить E 0 , называемую энергией связи или глубиной потенциальной ямы.

Рисунок 3 . 1 . 2 . Сила взаимодействия F и потенциальная энергия взаимодействия E р двух молекул. F > 0 – сила отталкивания, F < 0 – сила притяжения.

Так как молекулы имеют малые размеры, то простые одноатомные могут быть не более 10 – 10 м. Сложные могут достигать размеров в сотни раз больше.

Определение 7

Беспорядочное хаотичное движение молекул называют тепловым движением.

При возрастании температуры увеличивается кинетическая энергия теплового движения. При пониженных температурах средняя кинетическая энергия, в большинстве случаев, оказывается меньше значения глубины потенциальной ямы E 0 . Данный случай показывает, что молекулы перетекают в жидкое или твердое вещество со средним расстоянием между ними r 0 . Если температура повышается, то средняя кинетическая энергия молекулы превышает E 0 , тогда они разлетаются и образуют газообразное вещество.

В твердых телах молекулы двигаются беспорядочно около фиксированных центров, то есть, положений равновесий. В пространстве может быть распределены нерегулярным образом (у аморфных тел) или с образованием упорядоченных объемных структур (кристаллических тел).

Агрегатные состояния веществ

Свобода теплового движения молекул просматривается в жидкостях, так как у них нет привязки к центрам, что позволяет производить перемещения по всему объему. Этим объясняется ее текучесть.

Определение 8

Если молекулы располагаются близко, то могут образовывать упорядоченные структуры с несколькими молекулами. Данное явление получило название ближнего порядка. Дальний порядок характерен для кристаллических тел.

Расстояние в газах между молекулами намного больше, поэтому действующие силы малы, а их движения идут вдоль прямой, ожидая очередного соударения. Значение 10 – 8 м является средним расстоянием между молекулами воздуха в нормальных условиях. Так как взаимодействие сил слабое, газы расширяются и могут заполнять любой объем сосуда. Когда их взаимодействие стремится к нулю, то говорят о представлении идеального газа.

Кинетическая модель идеального газа

В мкт количество вещества считается пропорциональным числу частиц.

Определение 9

Моль – это количество вещества, содержащее столько частиц (молекул), сколько содержится атомов в 0 , 012 к г углерода C 12 . Молекула углерода состоит из одного атома. Отсюда следует, что 1 моль вещества имеет одно и то же количество молекул. Данное число называется постоянной Авогадро N А: N А = 6 , 02 ċ 1023 м о л ь – 1 .

Формула определения количества вещества ν записывается отношением N числа частиц на постоянную Авогадро N A: ν = N N A .

Определение 10

Массой одного моля вещества называют молярную массу М. Она фиксируется в виде формулы M = N А ċ m 0 .

Выражение молярной массы производится в килограммах на моль (к г / м о л ь) .

Определение 11

Если вещество имеет в составе один атом, тогда имеет место говорить об атомной массе частицы. Единица атома – это 1 12 массы изотопа углерода C 12 , называется атомной единицей массы и записывается как (а. е. м. ): 1 а. е. м. = 1 , 66 ċ 10 – 27 к г.

Данная величина совпадает с массой протона и нейтрона.

Определение 12

Отношение массы атома или молекулы данного вещества к 1 12 массы атома углерода называют относительной массой.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) - теория, возникшая в XIX веке и рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

все тела состоят из частиц: атомов , молекул и ионов ;

частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);

частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений .

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена целым рядом опытных фактов. Основными доказательствами положений МКТ стали:

Диффузия

Броуновское движение

Изменение агрегатных состояний вещества

На основе МКТ развит целый ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика . В этих разделах физики изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

Идеальный газ - математическая модель газа , в которой предполагается, что: 1) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией ; 2) суммарный объем молекул газа пренебрежимо мал. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги , а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют также форму в виде упругих сфер или эллипсоидов , что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц и др.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми - Дирака или Бозе - Эйнштейна )

Классический идеальный газ

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, переданному при столкновении частиц со стенкой в единицу времени, внутренняя энергия - сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ - такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля - Мариотта и Гей-Люссака , то есть:

где - давление, - абсолютная температура. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева - Клапейрона

,

где - , - масса, - молярная масса .

где - концентрация частиц , - постоянная Больцмана .

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера :

где - универсальная газовая постоянная , - молярная теплоемкость при постоянном давлении, - молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Статистический расчет распределения скоростей молекул был выполнен Максвеллом.

Рассмотрим результат, полученный Максвеллом в виде графика.

Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

Нельзя ставить вопрос: сколько молекул обладает определенной скоростью. Дело в том, что, хоть число молекул очень велико в любом даже малом объеме, но количество значений скорости сколь угодно велико (как чисел в последовательном ряде), и может случиться, что ни одна молекула не обладает заданной скоростью.

Рис. 3.3

Задачу о распределении молекул по скоростям следует сформулировать следующим образом. Пусть в единице объема n молекул. Какая доля молекул имеет скорости от v 1 до v 1 + Δv ? Это статистическая задача.

Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Необходимые измерения показали, что доля молекул , отнесенная к интервалу скорости Δv , т.е. , имеет вид, показанный на рис. 3.3. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.

Выведем функцию распределения молекул идеального газа по скоростям

- интервал скоростей вблизи скорости .

- число молекул, скорости которых лежат в интервале
.

- число молекул в рассматриваемом объеме.

- угол молекул, скорости которых принадлежат интервалу
.

- доля молекул в единичном интервале скоростей вблизи скорости .

- формула Максвелла.

Используя статистические методы Максвелла получим следующую формулу:

.

- масса одной молекулы,
- постоянная Больцмана.

Наивероятнейшая скорость определяется из условия
.

Решая получаем
;
.

Обозначим ч/з
.

Тогда
.

Рассчитаем долю молекул в заданном интервале скоростей вблизи заданной скорости в заданном направлении.

.

.

- доля молекул, которые имеют скорости в интервале
,
,
.

Развивая идеи Максвелла Больцман рассчитал распределение молекул по скоростям в силовом поле. В отличие от распределения Максвелла в распределении Больцмана вместо кинетической энергии молекул фигурирует сумма кинетической и потенциальной энергии.

В распределении Максвелла:
.

В распределении Больцмана:
.

В гравитационном поле

.

Для концентрации молекул идеального газа имеет место формула:

и соответственно.

- распределение Больцмана.

- концентрация молекул у поверхности Земли.

- концентрация молекул на высоте .

Теплоемкость.

Теплоемкостью тела называется физическая величина, равная отношению

,
.

Теплоемкость одного моля – молярная теплоемкость

.

Т.к.
- функция процесса
, то
.

Учитывая

;

;



.

- формула Майера.

Т.о. задача вычисления теплоемкости сводится к нахождению .

.

Для одного моля:

, отсюда
.

Двухатомный газ (О 2 , N 2 , Cl 2 , СО и т.д.).

(модель жесткой гантели).

Полное число степеней свободы:

.

Тогда
, то

;
.

Это значит, что теплоемкость должна быть постоянной. Вместе с тем опыт говорит, что теплоемкость зависит от температуры.

При понижении температуры "замараживаются" сначала колебательные степени свободы, а затем и вращательные степени свободы.

Согласно законам квантовой механики энергия гармонического осциллятора с классической частотой может принимать только дискретный набор значений

Многоатомные газы (H 2 O, CH 4 , C 4 H 10 O и т.д.).

;
;
;

Сравним теоретические данные с опытными.

Видно, что 2-х атомных газов равняется , но изменяется при низких температурах вопреки теории теплоемкости.

Такой ход кривой от свидетельствует о «замораживании» степеней свободы. Наоборот при больших температурах подключаются дополнительные степени свободы  эти данные ставят под сомнение теорему о равномерном распределении. Современная физика позволяет объяснить зависимость от используя квантовые представления.

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности двухатомных газов) от температуры. Согласно положениям квантовой механики, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно поведению одноатомного. Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между соседними колебательными уровнями (), то с ростом температуры сначала возбуждаются вращательные степени свободы. В результате этого возрастает теплоемкость. При дальнейшем увеличении температуры возбуждаются и колебательные степени свободы, и происходит дальнейший рост теплоемкости. А. Эйнштейн, приближенно считал, что колебания атомов кристаллической решетки независимы. Используя модель кристалла как совокупность независимо колеблющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов, он создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристаллической решетки. Эта теория впоследствии была развита Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Рассмотрев непрерывный спектр частот осцилляторов, Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания на низких частотах, соответствующих упругим волнам. Тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно–волновому дуализму свойств вещества, упругие волны в кристалле сопоставляют сквазичастицами–фононами , обладающими энергией . Фонон – квант энергии упругой волны, являющийся элементарным возбуждением, ведущим себя подобно микрочастице. Как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, так квантование упругих волн (как результата теплового колебания молекул твердых тел) привело к представлению о фононах. Энергия кристаллической решетки складывается из энергии фононного газа. Квазичастицы (в частности фононы) сильно отличаются от обычных микрочастиц (электронов, протонов, нейтронов и т.д.), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы.

Фононы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле.

Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке – импульс при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Фононы имеют спин, равный нулю, и являются бозонами, а потому фононный газ подчиняется статистике Бозе–Эйнштейна.

Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным.

Применение статистики Бозе–Эйнштейна к фононному газу (газу из независимых бозе–частиц) привело Дебая к следующему количественному выводу. При высоких температурах, которые много больше характеристической температуры Дебая (классическая область), теплоемкость твердых тел описывается законом Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и не зависит от температуры. При низких температурах, когда (квантовая область), теплоемкость пропорциональна третьей степени термодинамической температуры: Характеристическая температура Дебая равна: , где – предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

Центральное понятие этой темы - понятие молекулы; слож­ность его усвоения школьниками связана с тем, что молекула - объект, непосредственно ненаблюдаемый. Поэтому учитель дол­жен убедить десятиклассников в реальности микромира, в возмож­ности его познания. В связи с этим большое внимание уделяют рассмотрению экспериментов, доказывающих существование и движение молекул и позволяющих вычислить их основные ха­рактеристики (классические опыты Перрена, Рэлея и Штерна). Кроме этого, целесообразно ознакомить учащихся с расчетными методами определения характеристик молекул. При рассмотрении доказательства существования и движения молекул рассказывают учащимся о наблюдениях Броуном беспо­рядочного движения мелких взвешенных частиц, которое не прекращалось в течение всего времени наблюдения. В то время не было дано правильного объяснения причины этого движения, и лишь спустя почти 80 лет А. Эйнштейн и М. Смолуховский построили, а Ж. Перрен экспериментально подтвердил теорию броу­новского движения. Из рассмотрения опытов Броуна необходимо сделать следую­щие выводы: а) движение броуновских частиц вызывается уда­рами молекул вещества, в котором эти частицы взвешены; б) броуновское движение непрерывно и беспорядочно, оно зави­сит от свойств вещества, в котором частицы взвешены; в) движе­ние броуновских частиц позволяет судить о движении молекул среды, в которой эти частицы находятся; г) броуновское движение доказывает существование молекул, их движение и непрерывный и хаотический характер этого движения. Подтверждение такого характера движения молекул было по­лучено в опыте французского физика Дюнуайе (1911 г.), который показал, что молекулы газа движутся в различных направлениях и в отсутствие соударений их движение прямолинейно. В настоя­щее время факт существования молекул ни у кого не вызывает сомнения. Развитие техники позволило непосредственно наблю­дать крупные молекулы. Рассказ о броуновском движении целесообразно сопровождать демонстрацией модели броуновского движения в вертикальной проекции с помощью проекционного фонаря или кодоскопа, а так­же показом кинофрагмента «Броуновское движение» из кинофиль­ма «Молекулы и молекулярное движение». Кроме того, полезно провести наблюдение броуновского движе­ния в жидкостях с помощью микроскопа. Препарат изготавлива­ют из смеси равных частей двух растворов: 1%-ного раствора серной кислоты и 2%-ного водного раствора гипосульфита. В ре­зультате реакции образуются частицы серы, которые находятся в растворе во взвешенном состоянии. Две капли этой смеси поме­щают на предметное стекло и наблюдают за поведением частиц серы. Препарат можно изготовить из сильно разбавленного рас­твора молока в воде или из раствора акварельной краски в воде. При обсуждении вопроса о размерах молекул рассматривают сущность опыта Р. Рэлея, который заключается в следующем: на поверхность воды, налитой в большой сосуд, помещают каплю оливкового масла. Капля растекается по поверхности воды и об­разует круглую пленку. Рэлей предположил, что, когда капля пере­стает растекаться, ее толщина становится равной диаметру одной молекулы. Опыты показывают, что молекулы различных веществ имеют разные размеры, но для оценки размеров молекул прини­мают величину, равную 10 -10 м. В классе можно проделать ана­логичный опыт. Для демонстрации расчетного метода определения размеров молекул приводят пример вычисления диаметров молекул различ­ных веществ по их плотностям и постоянной Авогадро. Представить малые размеры молекул школьникам трудно, по этому полезно привести ряд примеров сравнительного характера. Например, если увеличить все размеры во столько раз, чтобы молекула была видна (т. е. до 0,1 мм), то песчинка превратилась бы в стометровую скалу, муравей увеличился бы до размеров океанского корабля, человек обладал бы ростом 1700 км. Число молекул в количестве вещества 1 моль можно опреде­лить по результатам опыта с мономолекулярным слоем. Зная диа­метр молекулы, можно найти ее объем и объем количества ве­щества 1 моль, который равен где р - плотность жидкости. Отсюда определяют постоянную Аво­гадро. Расчетный метод заключается в определении числа молекул в количестве вещества 1 моль по известным значениям молярной массы и массы одной молекулы вещества. Значение постоянной Авогадро, по современным данным, 6,022169*10 23 моль -1 . С рас­четным методом определения постоянной Авогадро можно ознако­мить учащихся, предложив ее вычислить по значениям молярных масс разных веществ. Следует ознакомить школьников с числом Лошмидта, которое показывает, какое число молекул содержится в единице объема газа при нормальных условиях (оно равно 2,68799*10 -25 м -3). Де­сятиклассники могут самостоятельно определить число Лошмидта для нескольких газов и показать, что оно во всех случаях одно и то же. Приводя примеры, можно создать у ребят представление о том, насколько большим является число молекул в единице объе­ма. Если в резиновом воздушном шаре сделать прокол настолько тонкий, что через него каждую секунду будет выходить по 1 000 000 молекул, то понадобится примерно 30 млрд. лет, чтобы все молекулы вышли. Один из методов определения массы молекул основан на опыте Перрена, который исходил из того, что капли смолы в воде ведут себя так же, как молекулы в атмосфере. Перрен подсчитывал число капелек в разных слоях эмульсии, выделив с помощью мик­роскопа слои толщиной 0,0001 см. Высота, на которой таких капе­лек в два раза меньше, чем у дна, была равна h = 3*10 -5 м. Мас­са одной капли смолы оказалась равной М = 8,5*10 -18 кг. Если бы наша атмосфера состояла только из молекул кислорода, то на высоте Н=5 км плотность кислорода была бы в два раза меньше, чем у поверхности Земли. Записывают пропорцию m/M=h/H, откуда находят массу молекулы кислорода m=5,1*10 -26 кг. Предлагают учащимся самостоятельно рассчитать массу молекулы водорода, плотность которого в два раза мень­ше, чем у поверхности Земли, на высоте H=80 км. В настоящее время значения масс молекул уточнены. Напри­мер, для кислорода установлено значение 5,31*10 -26 кг, а для во­дорода - 0,33*10 -26 кг. При обсуждении вопроса о скоростях движения молекул уча­щихся знакомят с классическим опытом Штерна. При объяснении опыта целесообразно создать его модель с помощью прибора «Вращающийся диск с принадлежностями». На краю диска в вер­тикальном положении укрепляют несколько спичек, в центре диска - трубку с желобом. Когда диск неподвижен, шарик, опу­щенный в трубку, скатываясь по желобу, сбивает одну из спичек. Затем диск приводят во вращение с определенной скоростью, за­фиксированной по тахометру. Вновь пущенный шарик отклонится от первоначального направления движения (относительно диска) и собьет спичку, находящуюся на некотором расстоянии от первой. Зная это расстояние, радиус диска и скорость шарика на ободе диска, можно определить скорость движения шарика по радиусу. После этого целесообразно рассмотреть сущность опыта Штерна и конструкцию его установки, используя для иллюстрации кино­фрагмент «Опыт Штерна». Обсуждая результаты опыта Штерна, обращают внимание на то, что существует определенное распределение молекул по ско­ростям, о чем свидетельствует наличие у полоски напыленных атомов определенной ширины, причем толщина этой, полоски различна. Кроме того, важно отметить, что молекулы, движу­щиеся с большой скоростью, оседают ближе к месту напротив щели. Наибольшее число молекул имеет наиболее вероятную скорость. Необходимо сообщить учащимся, что теоретически закон рас­пределения молекул по скоростям был открыт Дж. К. Максвел­лом. Распределение молекул по скоростям может быть промодели­ровано на доске Гальтона. Вопрос о взаимодействии молекул школьники уже изучали в VII классе, в X классе знания по этому вопросу углубляют и рас­ширяют. Необходимо подчеркнуть следующие моменты: а) меж­молекулярное взаимодействие имеет электромагнитную природу; б) межмолекулярное взаимодействие характеризуется силами при­тяжения и отталкивания; в) силы межмолекулярного взаимодейст­вия действуют на расстояниях, не больших 2-3 диаметров моле­кул, причем на этом расстоянии заметна лишь сила притяжения, силы отталкивания практически равны нулю; г) по мере умень­шения расстояния между молекулами силы взаимодействия уве­личиваются, причем сила отталкивания растет быстрее (пропорционально г -9), чем сила притяжения (пропорционально r -7 ). Поэтому при уменьшении расстояния между молекулами сначала преобладает сила притяжения, затем при некотором расстоянии r о сила притяжения равна силе отталкивания и при дальнейшем сближении преобладает сила отталкивания. Все вышесказанное целесообразно проиллюстрировать графи­ком зависимости от расстояния сначала силы притяжения, силы отталкивания, а затем равнодействующей силы. Полезно постро­ить график потенциальной энергии взаимодействия, который в дальнейшем можно использовать при рассмотрении агрегатных состояний вещества. Внимание десятиклассников обращают на то, что состоянию устойчивого равновесия взаимодействующих частиц соответствует равенство нулю равнодействующей сил взаимодействия и наи­меньшее значение их взаимной потенциальной энергии. В твердом теле энергия взаимодействия частиц (энергия свя­зи) много больше кинетической энергии их теплового движения, поэтому движение частиц твердого тела представляет собой коле­бания относительно узлов кристаллической решетки. Если кинети­ческая энергия теплового движения молекул много больше потен­циальной энергии их взаимодействия, то движение молекул полно­стью беспорядочное и вещество существует в газообразном состоянии. Если кинетическая энергия теплового движения частиц сравнима с потенциальной энергией их взаимодействия, то веще­ство находится в жидком состоянии.

1.1. Термодинамические параметры. @

Мысленно выделенная макроскопическая система, рассматриваемая методами термодинамики, называется термодинамической системой. Все тела, не включенные в состав исследуемой системы, называются внешней средой. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (или, по-другому, параметрами состояния) – совокупностью физических величин, характеризующих свойства системы. Обычно в качестве основных параметров выбирают давление р, температуру Т и удельный объем v. Различают два типа термодинамических параметров: экстенсивные и интенсивные. Экстенсивные параметры пропорциональны количеству вещества в системе, а интенсивные не зависят от количества вещества и массы системы. Интенсивными параметрами являются давление, температура, удельный объем и др., а экстенсивными – объем, энергия, энтропия.

Объем пропорционален количеству вещества в системе. При расчетах удобнее оперировать с удельным объемом v – это величина, равная отношению объема к массе системы, то есть объем единицы массы v = V/m = 1/ρ, где ρ – плотность вещества.

Давлением называется физическая величина где dF n - проекция силы на нормаль к поверхности площадью dS.

Температура – это физическая величина, характеризующая энергию макроскопической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Температура системы является мерой интенсивности теплового движения и взаимодействия частиц, образующих систему. В этом состоит молекулярно-кинетический смысл температуры. В настоящее время существует две температурных шкалы – термодинамическая (градуированная в Кельвинах (К)) и Международная практическая (градуированная в градусах Цельсия (˚С)). 1˚С = 1К. Связь между термодинамической температурой Т и температурой по Международной практической шкале имеет вид: Т = t + 273,15˚С.

Всякое изменение состояния термодинамической системы, характеризующееся изменением ее параметров, называется термодинамическим процессом. Термодинамический процесс называется равновесным, если при этом система проходит ряд бесконечно близких равновесных состояний. Равновесное состояние – это такое состояние, в которое система приходит в конце концов при неизменных внешних условиях и дальше остается в этом состоянии сколь угодно долго. Реальный процесс изменения состояния системы будет тем ближе к равновесному, чем медленнее он совершается.

1. 2. Уравнение состояния идеального газа. @

В молекулярно-кинетической теории широко используется физическая модель идеального газа. Это вещество, находящееся в газообразном состоянии, для которого выполняются следующие условия:

1. Собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда.

2. Между молекулами газа отсутствуют взаимодействия, кроме случайных столкновений.

3. Столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, т.к. они при условиях, близких к нормальным (давление р 0 = 1,013∙10 5 Па, температура Т 0 =273,15К) ведут себя аналогично идеальному газу. Например, воздух при Т=230К и р= р 0 /50 по всем трем критериям подобен модели идеального газа.

Поведение идеальных газов описывается рядом законов.

Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях этот объем равен V M =22,4∙10 -3 м 3 /моль. В одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое числом Авогадро N A = 6,022∙10 23 моль -1 .

Закон Бойля – Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная pV = const при Т = const и m = const.

Закон Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с температурой р=р 0 (1+αt) при V = const и m = const.

Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой V = V 0 (1+αt) при р = const и m = const. В этих уравнениях t – температура по шкале Цельсия, р 0 и V 0 -давление и объем при 0°С, коэффициент α =1/273,15 К -1 .

Французский физик и инженер Б.Клапейрон и русский ученый Д.И.Менделеев, объединив закон Авогадро и законы идеальных газов Бойля – Мариотта, Шарля и Гей – Люссака, вывели уравнение состояния идеального газа – уравнение, связывающее вместе все три термодинамических параметра системы: для одного моля газа рV М = RT и для произвольной массы газа

Ее можно получить, если учесть, что k =R/N A = 1,38∙10 -23 Дж/К – это постоянная Больцмана, а n =N A /V М – это концентрация молекул газа.

Для расчета давления в смеси разных газов применяется закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов: р =р 1 + р 2 + … + p n . Парциальное давление – это такое давление, которое производил бы газ, входящий в состав газовой смеси, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре. Для расчета парциального давления идеального газа используют уравнение Менделеева– Клапейрона.

1. 3. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории идеальных газов и его следствия. @

Рассмотрим одноатомный идеальный газ, занимающий некоторый объем V (рис.1.1.) Пусть число столкновений между молекулами пренебрежимо мало по сравнению с числом столкновений со стенками сосуда. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ΔS и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, массой m 0 , движущаяся перпендикулярно площадке со скоростью υ, передает ей импульс, который представляет собой разницу импульсов молекулы до и после соударения:

m 0 υ -(-m 0 υ) = 2m 0 υ.

За время Δt площадки ΔS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ΔS и длиной υΔt. Это число молекул будет nυΔSΔt, где n – концентрация молекул. Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных координатных осей, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина – 1/6 – движется в одну сторону, половина – в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ΔS будет nυΔSΔt /6. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

В данном случае, когда сила, действующая на единицу площади, постоянна, для давления газа на стенку сосуда мы можем записать р = F/ΔS = ΔP/ΔSΔt = = nm 0 υ 2 /3. Молекулы в сосуде движутся с самыми различными скоростями υ 1, υ 2…. υ n , общее число их – N. Поэтому необходимо рассматривать среднюю квадратичную скорость, которая характеризует всю совокупность молекул:

Приведенное выше уравнение и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Поскольку m 0 ‹υ кв › 2 /2 – это средняя энергия поступательного движения молекулы ‹ ε пост ›, уравнение можно переписать в виде:
где E – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Таким образом, давление равно двум третям энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема газа.
Найдем еще кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы ‹ ε пост ›, учитывая

k =R/N A получим:

Отсюда следует, что средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул идеального газа пропорциональна его абсолютной температуре и зависит только от нее, т.е. температура есть количественная мера энергии теплового движения молекул. При одинаковой температуре средние кинетические энергии молекул любого газа одинаковы. При Т=0К ‹ε пост › = 0 и поступательное движение молекул газа прекращается, однако анализ различных процессов показывает, что Т = 0К – недостижимая температура.

4. Учитывая, что ‹ε пост › = 3kT/2, р = 2n‹ ε пост ›/3, получим отсюда: р = nkT.

Мы получили уже знакомый нам вариант уравнения Менделеева-Клапейрона, выведенный в данном случае из понятий молекулярно-кинетической теории статистическим методом. Последнее уравнение означает, что при одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул.

1. 4. Барометрическая формула. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р, то на высоте h+dh оно равно р + dp (рис.1.2). При dh > 0, dр < 0, т.к. давление с высотой убывает. Разность давлений р и (р + dр) равна гидростатическому давлению столба газа авсd, заключенного в объеме цилиндра высотой dh и площадью с основанием равным единице. Это запишется в следующем виде: p- (p+dp) = gρdh, - dp = gρdh или dp = ‑gρdh, где ρ – плотность газа на высоте h. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа рV = mRT/M и выразим плотность ρ=m/V=pM/RT. Подставим это выражение в формулу для dр:

dp = - pMgdh/RT или dp/p = - Mgdh/RT

Интегрирование данного уравнения дает следующий результат: Здесь С – константа и в данном случае удобно обозначить постоянную интегрирования через lnC. Потенцируя полученное выражение, находим, что

Данное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

здесь n – концентрация молекул на высоте h, n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М = m 0 N A , где m 0 – масса одной молекулы, а R = k N A , то мы получим П = m 0 gh – это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. Поскольку kT~‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

Постоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функцию f(u), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равные du, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(u), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от u до u+ du. Это число - dN(u)/N= f(u)du. Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f(u)

Данное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям. Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f(u)=0 при u=0 и достигает максимума при некотором значении u в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN(u)/N, скорости которых лежат в интервале du и равное f(u)du, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(u), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f(u) и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости, то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.

Скорость u в, при которой функция f(u) достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функции f(v) ′ = 0 следует, что

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение, положенное в основу молекулярно-кинетической теории, связывает макроскопические величины, описывающие (например, давление) с параметрами его молекул (их и скоростями). Это уравнение имеет вид:

Здесь – масса газовой молекулы, – концентрация таких частичек в единице объема, – усреднённый квадрат скорости молекул.

Основное уравнение МКТ наглядно объясняет, каким образом идеальный газ создает на окружающие его стенки сосуда. Молекулы все время ударяются о стенку, воздействуя на нее с некоторой силой F. Тут следует вспомнить : когда молекула ударяется о предмет, на нее действует сила -F, вследствие чего молекула «отбивается» от стенки. При этом мы считаем соударения молекул со стенкой абсолютно упругими: механическая энергия молекул и стенки полностью сохраняется, не переходя во . Это значит, что при соударениях изменяются только молекул, а нагревания молекул и стенки не происходит.

Зная, что соударение со стенкой было упругим, мы можем предсказать, как изменится скорость молекулы после столкновения. Модуль скорости останется таким же, как и до соударения, а направление движения изменится на противоположное относительно оси Ох (считаем, что Ох – это та ось, которая перпендикулярна стенке).

Молекул газа очень много, движутся они хаотично и о стенку ударяются часто. Найдя геометрическую сумму сил, с которой каждая молекула воздействует на стенку, мы узнаём силу давления газа. Чтобы усреднить скорости молекул, необходимо использовать статистические методы. Именно поэтому в основном уравнении МКТ используют усредненный квадрат скорости молекул , а не квадрат усредненной скорости : усредненная скорость хаотично движущихся молекул равна нулю, и в этом случае никакого давления мы бы не получили.

Теперь ясен физический смысл уравнения: чем больше молекул содержится в объеме, чем они тяжелее и чем быстрее движутся – тем большее давление они создают на стенки сосуда.

Основное уравнение МКТ для модели идеального газа

Следует заметить, что основное уравнение МКТ выводилось для модели идеального газа с соответствующими допущениями:

1. Соударения молекул с окружающими объектами абсолютно упругие. Для реальных же газов это не совсем так; часть молекул всё-таки переходит во внутреннюю энергию молекул и стенки.
2. Силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь. Если же реальный газ находится при высоком давлении и сравнительно низкой температуре, эти силы становятся весьма существенными.
3. Молекулы считаем материальными точками, пренебрегая их размером. Однако размеры молекул реальных газов влияют на расстояние между самими молекулами и стенкой.
4. И, наконец, основное уравнение МКТ рассматривает однородный газ – а в действительности мы часто имеем дело со смесями газов. Как, например, .

Однако для разреженных газов это уравнение дает очень точные результаты. Кроме того, многие реальные газы в условиях комнатной температуры и при давлении, близком к атмосферному, весьма напоминают по свойствам идеальный газ.

Как известно из законов , кинетическая энергия любого тела или частицы . Заменив произведение массы каждой из частичек и квадрата их скорости в записанном нами уравнении, мы можем представить его в виде:

Также кинетическая энергия газовых молекул выражается формулой , что нередко используется в задачах. Здесь k – это постоянная Больцмана, устанавливающая связь между температурой и энергией. k=1,38 10 -23 Дж/К.

Основное уравнение МКТ лежит в основе термодинамики. Также оно используется на практике в космонавтике, криогенике и нейтронной физике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Определить скорость движения частиц воздуха в нормальных условиях.
Решение	Используем основное уравнение МКТ, считая воздух однородным газом. Так как воздух на самом деле – это смесь газов, то и решение задачи не будет абсолютно точным. Давление газа: Можем заметить, что произведение – это газа, так как n – концентрация молекул воздуха (величина, обратная объему), а m – масса молекулы. Тогда предыдущее уравнение примет вид: В нормальных условиях давление равно 10 5 Па, плотность воздуха 1,29кг/м 3 – эти данные можно взять из справочной литературы. Из предыдущего выражения получим молекул воздуха:
Ответ	м/с

ПРИМЕР 2

Задание	Определить концентрацию молекул однородного газа при температуре 300 К и 1 МПа. Газ считать идеальным.
Решение	Решение задачи начнём с основного уравнения МКТ: , как и любых материальных частичек: . Тогда наша расчетная формула примет несколько другой вид: