Понятие корня n ой степени из действительного числа. Корень n-ой степени: определения, обозначение, примеры

Сценарий урока в 11 классе по теме:

« Корень n-й степени из действительного числа. »

Цель урока: Формирование у учащихся целостного представления о корне n -ой степени и арифметического корень n-ой степени, формирование вычислительных навыков, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач, содержащих радикал. Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы.

Предметные: создать содержательные и организационные условия для усвоения материала по теме « Числовые и буквенные выражения» на уровне восприятия осмысления и первичного запоминания; формировать умения применять данные сведения при вычислении корня n-й степени из действительного числа;

Метопредметные: способствовать развитию вычислительных навыков; умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

Личностные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать ответы других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Планируемый результат.

Предметные: уметь в процессе реальной ситуации применять свойства корня n-й степени из действительного числа при вычислении корней, решении уравнений.

Личностные: формировать внимательность и аккуратность в вычислениях, требовательное отношение к себе и к своей работе, воспитывать чувство взаимопомощи.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Мотивация к учебной деятельности:

Восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.

Наш урок пройдёт под девизом: «Покорим любую вершину, если будем к ней стремиться». Нам с вами в течение урока нужно успеть преодолеть несколько вершин, и каждый из вас должен вложить все свои усилия, чтобы покорить эти вершины.

«Сегодня у нас урок, на котором мы должны познакомиться с новым понятием: « Корень n-й степени» и научиться применять это понятие к преобразованию различных выражений.

Ваша цель – на основе различных форм работы активизировать имеющиеся знания, внести свой вклад в изучение материала и получить хорошие оценки»
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида y =x 2 . Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства?
а) индивидуальный опрос:

что это за выражение

что называется квадратным корнем

что называется арифметическим квадратным корнем

перечислите свойства квадратного корня

б) работа в парах: вычислите.

2. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации: Решите уравнение x 4 =1 . Как мы его можем решить? (Аналитически и графически). Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х 4 прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках: А (-1;1) и B(1;1). Абсциссы точек А и B, т.е. х 1 = -1,

х 2 = 1, являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16: А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не можем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.

х 2 = - (читается: «корень четвертой степени из пяти»).

Мы говорили об уравнении х 4 = а, где а 0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, где а 0, а n - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень х 1 , который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа х 1 введем обозначение .

Определение 1. Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят "«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.

Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в курсе алгебры 9-го класса.

Итак, если а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Вообще, =b и b n =а - одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b, но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.

Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6) 6 =36 - верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению - положительное число, значит = 6 (а не -6). Точно так же, хотя и 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать = 2 (и в то же время ≠-2).

Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix - «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» - это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ - это стилизованная буква r.

Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2) 5 = -32 можно переписать в эквивалентной форме как =-2. При этом используется следующее определение.

Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак, если а , n=,5,7,…,то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.

5. Первичное закрепление знаний:

1. Вычислить: № № 33.5; 33.6; 33.74 33.8 устно а) ; б) ; в) ; г) .

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2 4 =16 (это меньше, чем 17), а З 4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:
2. Найти значения следующих выражений.

Поставить около примера соответствующую букву.

Небольшая информация о великом учёном. Рене Декарт (1596-1650) французский дворянин, математик, философ, физиолог, мыслитель. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел буквенные обозначения x 2 , y 3 . Всем известны декартовы координаты, определяющие функцию переменной величины.

3 . Решить уравнения: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Решение: а) Если = -2, то y = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим: 3х+4= - 8; 3х= -12; х = -4. б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим: х=1.

в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
Вашему вниманию предложено несколько заданий. Когда вы выполните эти задания, вы узнаете имя и фамилию великого учёного-математика. Этот учёный в 1637 г первым ввел знак корня.

6. Давайте немного отдохнём.

Поднимает руки класс - это «раз».

Повернулась голова – это «два».

Руки вниз, вперёд смотри – это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,

С силой их к рукам прижать –это «пять».

Всем ребятам надо сесть –это «шесть».

7. Самостоятельная работа:

вариант: 2 вариант:

б) 3-. б)12 -6 .

2. Решите уравнение: а) х 4 = -16; б) 0,02х 6 -1,28=0; а) х 8 = -3; б)0,3х 9 – 2,4=0;

в) = -2; в)= 2

8. Повторение: Найдите корень уравнения = - х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ впишите меньший из корней.

9. Рефлексия: Чему вы научились на уроке? Что было интересным? Что было трудным?

X 4 =1 и решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х n прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках:

Являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16:

А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не Гложем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.
Можно доказать (примерно так же, как это сделано в нашем учебнике «Алгебра-8» для числа л/б), что х 1 и х 2 - иррациональные числа (т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби).

Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Они ввели в рассмотрение новый символ который назвали корнем четвертой степени, и с помощью этого символа корни уравнения х 4 = 5 записали так: (читается: «корень четвертой степени из пяти»).

Замечание 1. Сравните эти рассуждения с аналогичными рассуждениями, проведенными в § 17, 32 и 38. Новые термины и новые обозначения в математике появляются тогда, когда они необходимы для описания новой математической модели . Это - отражение особенности математического языка: его основная функция не коммуникативная - для общения, а организующая - для организации успешной работы с математическими моделями в разных областях знаний.

Мы говорили об уравнении х 4 =а, где а >0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, гдеа > 0, а п - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень хг, который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа хх введем обозначение Чч.

Вообще, решая уравнение х п =а, где а >0, n е N, п>1, получаем в случае четного п два корня: (рис. 164, в); в случае нечетного п - один корень (читается: «корень n-й степени из числа а»). Решая уравнение х п =0, получаем единственный корень х=0.

Замечание 2. В математическом языке, как и в обыденном языке, бывает так, что один и тот же термин применяется к разным понятиям; так, в предыдущем предложении слово « корень» употреблено в двух смыслах: как корень уравнения (к такому толкованию вы давно привыкли) и как корень л-й степени из числа (новое толкование). Обычно из контекста бывает ясно, какое толкование термина имеется в виду.

Теперь мы готовы дать точное определение.

Определение 1. Корнем л-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят"«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.

Вообще, - одна и та же математическая модель (одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и Ь), но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.

Пример 1. Вычислить:

Впрочем, более точное приближенное значение числа можно найти с помощью калькулятора, который содержит операцию извлечения корня, оно равно приближенно
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2)5 =-32 можно переписать в эквивалентной форме как . При этом используется следующее определение.

Определение 2. Корнем нечетной степени л из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак,

Решение: а) Если Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:

б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим:

в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
г) Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Урок и презентация на тему: "Корень n-ой степени из действительного числа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
"Интерактивные задания на построение в пространстве для 10 и 11 классов"

Корень n степени. Повторение пройденного.

Ребята, тема сегодняшнего занятия называется "Корень n-ой степени из действительного числа" .
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида $y=x^2$. Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства? Повторите самостоятельно эту тему.
Давайте рассмотрим функцию вида $y=x^4$ и построим ее график.

Теперь графически решим уравнение: $x^4=16$.
На нашем графике функции проведем прямую $y=16$ и посмотрим, в каких точках два наших графика пересекаются.
По графику функции хорошо видно, что у нас два решения. Функции пересекаются в двух точках с координатами (-2;16) и (2;16). Абсциссы наших точек и есть решения нашего уравнения: $x_1=-2$ и $x_2=2$. Также легко найти корни уравнения $x^4=1$, очевидно, что $x_1=-1$ и $x_2=1$.
Как быть в случае, если есть уравнение $x^4=7$.
Давайте построим график наших функций:
По нашему графику хорошо видно, что уравнение имеет также два корня. Они симметричны относительно оси ординат, то есть они противоположны. Найти точное решение по графику функций не представляется возможным. Мы можем только сказать, что наши решения по модулю меньше 2, но больше 1. Также можно сказать, что наши корни являются иррациональными числами.
Столкнувшись с такой проблемой, математикам нужно было ее описать. Они ввели новое обозначение: $\sqrt{}$, который назвали корнем четвертой степени. Тогда корни нашего уравнения $x^4=7$ запишутся вот в таком виде: $x_1=-\sqrt{7}$ и $x_2=\sqrt{7}$. Читается, как корень четвертой степени из семи.
Мы говорили об уравнении вида $x^4=a$, где $а>0$ $(а=1,7,16)$. Мы можем рассматривать уравнения вида: $x^n=a$, где $а>0$, n - любое натуральное число.
Нам, следует обратить внимание на степень при х, от четности или нечетности степени - меняется количество решений. Давайте рассмотрим конкретный пример. Решим уравнение $x^5=8$. Построим графики функции:
По графику функций хорошо видно, что в нашем случае имеем всего одно решение. Решение принято обозначать как $\sqrt{8}$. Решая уравнение вида $x^5=a$ и пробежав по всей оси ординат, нетрудно понять, что это уравнение всегда будет иметь одно решение. При этом значение а может быть и меньше нуля.

Корень n степени. Определение

Определение. Корнем n-ой степени ($n=2,3,4…$) из неотрицательного числа а, называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Это число обозначают, как $\sqrt[n]{a}$. Число а называется подкоренным число, n – показатель корня.

Корни второй и третьей степени принято называть корнями квадратными и кубическими соответственно. Мы их изучали в восьмом и девятом классе.
Если $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, то:
1) $\sqrt[n]{a}≥0,$
2) $(\sqrt[n]{a})^n=a.$
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют "извлечением корня" .
Возведение в степень и извлечения корня - это одна и та же зависимость:

Ребята, обратите внимание, что в таблице представлены только положительные числа. В определении мы оговорили, что корень извлекается только из неотрицательного числа а. Дальше мы внесем уточнения, когда можно извлекать корень и из отрицательного числа а.

Корень n степени. Примеры решения

Вычислить:
а) $\sqrt{64}$.
Решение: $\sqrt{64}=8$, так как $8>0$ и $8^2=64$.

Б) $\sqrt{0,064}$.
Решение: $\sqrt{0,064}=0,4$, так как $0,4>0$ и $0,4^3=0,064$.

В) $\sqrt{0}$.
Решение: $\sqrt{0}=0$.

Г) $\sqrt{34}$.
Решение: В данном примере точное значение мы узнать не можем, наше число иррациональное. Но мы можем сказать, что оно больше 2 и меньше 3, так как 2 в 5 степени равно 32, а 3 в 5 степени равно 243. 34 лежит между этим числами. Приближенное значение мы можем найти с помощью калькулятора, который может вычислять корни $\sqrt{34}≈2,02$ с точностью до тысячных.
В нашем определении мы договорились вычислять корни n-ой степени только из положительных чисел. В начале урока мы видели пример, что можно извлекать корни n-ой степени и из отрицательных чисел. Мы рассмотрели нечетный показатель функции и теперь давайте внесем уточнения.

Определение. Корнем нечетной степени n (n=3,5,7,9…) из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведение которого в степень n получается а.

Обозначение принято использовать такие же.
Если $а 1) $\sqrt[n]{a} 2) $(\sqrt[n]{a})^n=a$.
Корень четной степени имеет смысл только для положительного подкоренного числа, корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного числа.

Примеры.
а)Решить уравнения: $\sqrt{3x+3}=-3$.
Решение: Если $\sqrt{y}=-3$, то $y=-27$. То есть, обе части нашего уравнения надо возвести в куб.
$3х+3=-27$.
$3х=-30$.
$х=-10$.

Б)Решить уравнения: $\sqrt{2х-1}=1$.
Возведем обе части в четвертую степень:
$2х-1=1$.
$2х=2$.
$х=1$.

В) Решить уравнения: $\sqrt{4x-1}=-5$.
Решение: Согласно нашему определению, корень четной степени можно извлекать только из положительного числа, а нам дано отрицательное, тогда корней нет.

Г)Решить уравнения: $\sqrt{x^2-7x+44}=2$.
Решение: Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ и $x_2=3$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите:
а) $\sqrt{81}$.
б) $\sqrt{0,0016}$.
в) $\sqrt{1}$.
г) $\sqrt{70}$.
2. Решите уравнения:
а) $\sqrt{2x+6}=2$.
б) $\sqrt{3x-5}=-1$.
в) $\sqrt{4x-8}=-4$.
г) $\sqrt{x^2-8x+49}=2$.

или используя формулу разности квадратов так:

(x 2 -4)*(x 2 +4)=0.

Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

Выражение x 2 +4 не может равняться нулю, следовательно, остается только (x 2 -4)=0.

Решаем его, получаем два ответа.

Ответ: x=-2 и x=2.

Получили, что уравнение x 4 =16 имеет только 2 действительных корня. Это корни четвертой степени из числа 16. Причем положительный корень, называют арифметическим корнем 4 степени из числа 16. И обозначают 4√16. То есть 4√16=2.

Определение

Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n уравнение x n =a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a.

Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

В случае когда n=2, двойку не пишут, а записывают просто √а.

Арифметические корни второй и третей степени имеют свои специальные названия.

Арифметический корень второй степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени - кубическим корнем.

Используя только ишь определение арифметического корня, можно доказать, что n√a равен b. Для этого нужно показать, что:

1. b больше либо равно нулю.
2. b n =a.

Например, 3√(64) = 4, так как 1. 4>0, 2. 4 3 =64.

Следствие из определения арифметического корня.

(n√a) n = a.
n√(a n) = a.

Например, (5√2) 5 = 2.

Извлечение корня n-ой степени

Извлечением корня n-ой степени называется действие, с помощью которого отыскивается корень n-ой степени. Извлечение корня n-ой степени является обратным действием к возведению в n-ую степень.

Рассмотрим пример.

Решить уравнение x 3 = -27.

Перепишем это уравнение в виде (-x) 3 =27.

Положим у=-х, тогда y 3 =27. Это уравнение имеет один положительный корень y= 3√27 = 3.

Отрицательных корней у этого уравнения нет, так как y 3

Получаем, что уравнение у 3 =27 имеет только один корень.

Возвращаясь к исходному уравнению, получаем, что оно имеет тоже только один корень x=-y=-3.

Корнем степени n из действительного числа a , где n - натуральное число, называется такое действительное число x , n -ая степень которого равна a .

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n -ой степени из числа a называется извлечением корня. Число а называется подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n -ой степени для любого действительного числа a . При четном n существует корень n -ой степени только для неотрицательного числаa . Чтобы устранить двузначность корня n -ой степени из числа a , вводится понятие арифметического корня n -ой степени из числа a .

Понятие арифметического корня степени N

Если и n - натуральное число, большее 1 , то существует, и только одно, неотрицательное число х , такое, что выполняется равенство . Это число х называется арифметическим корнем n -й степени из неотрицательного числа а и обозначается . Число а называется подкоренным числом, n - показателем корня.

Итак, согласно определению запись , где , означает, во-первых, что и, во-вторых, что , т.е. .

Понятие степени с рациональным показателем

Степень с натуральным показателем: пусть а - действительное число, а n - натуральное число, большее единицы, n -й степенью числа а называют произведение n множителей, каждый из которых равен а , т.е. . Число а - основание степени, n - показатель степени. Степень с нулевым показателем: полагают по определению, если , то . Нулевая степень числа 0 не имеет смысла. Степень с отрицательным целым показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, то . Степень с дробным показателем: полагают по определению, если и n - натуральное число, m - целое число, то .

Операции с корнями.

Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и одновременно извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:

Теперь формула a m: a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m: a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

Где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

Любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует, что x – любое число; но принимая во внимание, что внашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения. Таким образом, x > 0.

Портал для школьника. Самоподготовка