Построим произвольный треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.
Для доказательства всей теоремы, поскольку размеры треугольника выбраны произвольным образом, достаточно доказать, что соотношение одной произвольной стороны к противолежащему ей углу равно 2R. Пусть это будет 2R = a / sin α, то есть если взять по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр BD для описанной окружности. Образовавшийся треугольник BCD является прямоугольным, поскольку его гипотенуза лежит на диаметре описанной окружности (свойство углов, вписанных в окружность).

Поскольку, углы, вписанные в окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то угол CDB либо равен углу CAB (если точки A и D лежат по одну сторону от прямой BC), либо равен π - CAB (в противном случае).

Обратимся к свойствам тригонометрических функций. Поскольку sin(π − α) = sin α, то указанные варианты построения треугольника все равно приведут к одному результату.

Вычислим значение 2R = a / sin α, по чертежу 2R = BC / sin A. Для этого заменим sin A на соотношение соответствующих сторон прямоугольного треугольника.

2R = BC / sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

А, поскольку, DB строился как диаметр окружности, то равенство выполняется.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

Теорема синусов доказана.

Теорема синусов

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение .

Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
где R - радиус описанной окружности

Теорию - формулировку и доказательство теоремы подробно см. в главе "Теорема синусов" .

Задача

В треугольнике XYZ угол Х=30 угол Z=15. Перпендикуляр YQ к ZY делит сторону ХZ на части XQ и QZ.Найти XY, если QZ=1.5м

Решение .
Высота образовала два прямоугольных треугольника XYQ и ZYQ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 градусов, Соответственно, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Поскольку длина высоты треугольника теперь известна, найдем XY по той же теореме синусов.

QY / sin(30) = XY / sin(90)

Примем во внимание табличные значения некоторых тригонометрических функций:

• синус 30 градусов равен sin(30) = 1 / 2
• синус 90 градусов равен sin(90) = 1

QY = XY sin (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 м

Ответ : 0,8 м или 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Теорема синусов (часть 2)

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме .

Теорию подробно см. в главе "Теорема синусов" .

Задача

Сторона АВ треугольника ABC равна 16см. Угол А равен 30 градусам. Угол В равен 105 градусам. Вычислите длину стороны ВС.

Решение .
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Таким образом
BC / sin α = AB / sin γ

Величину угла С найдем, исходя из того, сумма углов треугольника равна 180 градусам.
С = 180 - 30 -105 = 45 градусов.

Откуда:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

Обратившись к таблице тригонометрических функций, находим:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 см

Ответ : 16 / √2

Задача .
В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника.
Найти АН

Выпускники, которые готовятся сдавать ЕГЭ по математике и хотят получить достаточно высокие баллы, обязательно должны освоить принцип решения задач на применение теоремы синусов и косинусов. Многолетняя практика показывает, что подобные задания из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью программы аттестационного испытания. Поэтому, если одним из ваших слабых мест являются задачи на теорему косинусов и синусов, рекомендуем обязательно повторить базовую теорию по данной теме.

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие выпускники сталкиваются с проблемой поиска базовой теории, необходимой для решения практических задач на применение теоремы синусов и косинусов.

Учебник далеко не всегда оказывается под рукой в нужный момент. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно проблематично даже в Интернете.

Подготовка к аттестационному испытанию вместе с образовательным порталом «Школково» будет максимально качественной и эффективной. Чтобы задачи на теорему синусов и косинусов давались легко, рекомендуем освежить в памяти всю теорию по данной теме. Этот материал наши специалисты подготовили на основе богатого опыта и представили в понятной форме. Найти его вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Знание базовых теорем и определений - это половина успеха при прохождении аттестационного испытания. Отточить навык решения примеров позволяют соответствующие упражнения. Чтобы их найти, достаточно перейти в раздел «Каталог» на образовательном сайте «Школково». Там представлен большой перечень заданий различного уровня сложности, который постоянно дополняется и обновляется.

Задачи на теоремы синусов и косинусов, подобные тем, что встречаются в ЕГЭ по математике, учащиеся могут выполнять в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе.

В случае необходимости любое упражнение, например, можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему, чтобы еще раз проанализировать алгоритм нахождения правильного ответа и обсудить его с преподавателем в школе или репетитором.

При изучении треугольников невольно встаёт вопрос о вычислении зависимости между их сторонами и углами. В геометрии и синусов дает наиболее полный ответ для решения этой проблемы. В изобилии различных математических выражений и формул, законов, теорем и правил встречаются такие, что отличаются необычайной гармоничностью, лаконичностью и простотой подачи заключённого в них смысла. Теорема синусов является ярким примером подобной математической формулировки. Если в словесной трактовке ещё и возникает определённое препятствие в осмыслении данного математического правила, то при взгляде на математическую формулу всё сразу становится на свои места.

Первые сведения о данной теореме были обнаружены в виде доказательства её в рамках математического труда Насир ад-Дин Ат-Туси, датированного тринадцатым веком.

Приближаясь ближе к рассмотрению соотношения сторон и углов в любом треугольнике, стоит отметить, что теорема синусов позволяет решать массу математических задач, при этом данный закон геометрии находит себе применение в различных видах практической деятельности человека.

Сама теорема синусов гласит, что для любого треугольника характерна пропорциональность сторон к синусам противоположных углов. Также имеется и вторая часть этой теоремы, согласно которой отношение любой стороны треугольника к синусу противоположного угла равно описанной около рассматриваемого треугольника.

В виде формулы это выражение выглядит, как

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Имеет теорема синусов доказательство, которое в различных вариантах учебников предлагается в богатом разнообразии версий.

Для примера рассмотрим одно из доказательств, дающих объяснение первой части теоремы. Для этого зададимся целью доказать верность выражения a sinC = c sinA.

В произвольном треугольнике ABC построим высоту BH. В одном из вариантов построения H будет лежать на отрезке AC, а в другом за его пределами, в зависимости от величины углов при вершинах треугольников. В первом случае высоту можно выразить через углы и стороны треугольника, как BH = a sinC и BH = c sinA, что и является требуемым доказательством.

В случае, когда точка H окажется за пределами отрезка AC, можем получить следующие варианты решений:

ВН = a sinC и ВН = c sin(180-A)= c sinA;

либо ВН = a sin(180-C) = а sinC и ВН = c sinA.

Как видим, в независимости от вариантов построения, мы приходим к желаемому результату.

Доказательство второй части теоремы потребует от нас описать вокруг треугольника окружность. Через одну из высот треугольника, к примеру B, построим диаметр круга. Полученную точку на окружности D соединим с одной из высотой треугольника, пусть это будет точка A треугольника.

Если рассмотреть полученные треугольники ABD и ABC, то можно заметить равенство углов C и D (они опираются на одну дугу). А учитывая, что угол А равен девяносто градусов то sin D = c/2R, или же sin C = c/2R, что и требовалось доказать.

Теорема синусов является отправной точкой для решения широкого спектра различных задач. Особая привлекательность заключается в практическом её применении, как следствие из теоремы мы получаем возможность связать между собой величины сторон треугольника, противолежащих углов и радиуса (диаметра) описанной вокруг треугольника окружности. Простота и доступность формулы, описывающей данное математическое выражение, позволяли широко использовать эту теорему для решения задач при помощи различных механических счётных приспособлений таблицы и пр.), но даже приход на службу человека мощных вычислительных устройств не снизил актуальность данной теоремы.

Эта теорема не только входит в обязательный курс геометрии средней школы, но и в дальнейшем применяется в некоторых отраслях практической деятельности.

Тригонометрия широко применяется не только в разделе алгебра — начала анализа, но также и в геометрии. В связи с этим, разумно предположить о существовании теорем и их доказательств, связанных с тригонометрическими функциями. Действительно, теоремы косинусов и синусов выводят очень интересные, а главное полезные соотношения между сторонами и углами треугольников.

С помощью данной формулы можно вывести любую из сторон треугольника:

Доказательство утверждения выводится на основе теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Из вершины C опустим высоту h к основанию фигуры, в данном случае абсолютно не важна ее длина. Теперь, если рассмотреть произвольный треугольник AСВ, то можно выразить координаты точки C через тригонометрические функции cos и sin.

Вспомним определение косинуса и распишем соотношение сторон треугольника ACD: cos α = AD/AC | умножим обе стороны равенства на AC; AD = AC * cos α.

Длину AC примем за b и получим выражение для первой координаты точки С:
x = b * cos⁡α. Аналогично, находим значение ординаты С: y = b * sin α. Далее применим теорему Пифагора и выразим h поочередно для треугольника ACD и DCB:

Очевидно, что оба выражения (1) и (2) равны между собой. Приравняем правые части и приведем подобные:

На практике данная формула позволяет найти длину неизвестной стороны треугольника по заданным углам. Теорема косинусов имеет три следствия: для прямого, острого и тупого угла треугольника.

Заменим величину cos α привычной переменной x, тогда для острого угла треугольника ABC получим:

Если же угол окажется прямым, то 2bx исчезнет из выражения, так как cos 90° = 0. Графически второе следствие можно представить следующим образом:

В случае тупого угла знак «-»перед двойным аргументом в формуле сменится на «+»:

Как видно из объяснения, ничего сложного в соотношениях нет. Теорема косинусов есть не что иное, как переложение теоремы Пифагора в тригонометрических величинах.

Практическое применение теоремы

Задание 1 . Дан треугольник ABC, у которого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Необходимо найти длину стороны AB.

Чтобы правильно произвести расчет, нужно определить угол α. Для этого стоит обратиться к таблице значений для тригонометрических функций, согласно которой арккосинус равен 1/ 2 для угла в 60°. Исходя из этого, воспользуемся формулой первого следствия теоремы:

Задание 2 . Для треугольника ABC известны все стороны: AB =4√2,BC=5,AC=7. Требуется найти все углы фигуры.

В данном случае не обойтись без чертежа условий задачи.

Так как значения углов остаются неизвестными, для поиска решений следует использовать полную формулу для острого угла.

По аналогии нетрудно составить формулы и рассчитать значения и других углов:

В сумме три угла треугольника должны составить 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, следовательно, решение найдено.

Теорема синусов

Теорема гласит, что все стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Записываются соотношения в виде тройного равенства:

Классическое доказательство утверждения проводят на примере фигуры вписанной в окружность.

Чтобы убедиться в правдивости высказывания на примере треугольника ABC на рисунке, необходимо подтвердить тот факт, что 2R = BC / sin A. Затем доказать, что и прочие стороны соотносятся с синусами противоположных углов, как 2R или D окружности.

Для этого проводим диаметр круга из вершины B. Из свойства углов вписанных в окружность ∠GCB – прямой, а ∠CGB либо равен ∠CAB, либо (π — ∠CAB). В случае с синусом последнее обстоятельство не значительно, так как sin (π –α) = sin α. На основании приведенных умозаключений можно утверждать, что:

sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,

Если рассматривать другие углы фигуры, получим расширенную формулу теоремы синусов:

Типовые задания на отработку знания теоремы синусов сводятся к поиску неизвестной стороны или угла треугольника.

Как видно из примеров, решение подобных задач не вызывает затруднений и заключается в проведении математических расчетов.