11. Урна содержит занумерованных шаров с номерами от 1 до 9. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
А – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1,2,…,М.
В
С – нет ни одного совпадения номера шара и порядка извлечения.
Определить вероятность событий А,В,С . Найти предельные значения вероятностей при .
Решение:
1) Найдем вероятность события А .
Вероятность того, что первым извлечется шар с номером 1 равна (т.к. подходит только один шар с №1, а всего шаров 9 шт.) .
Вероятность того, что извлекут вторым шар с №2 равна , т.к. шаров всего осталось 8 шт, а походит только 1.
И т.д.
По теореме умножения вероятностей получаем:

2) Найдем вероятность события В .
В – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения.
— обратное событие, т.е. ни разу номер шара не совпадет с порядковым номером извлечения.
— вероятность того, что первым шаром извлекут не шар с №1, т.е. всего шаров 9 шт, а подходят 8 шт.

Вычислим вероятность того, что вторым извлекут шар с номером 2.
Т.е. его не должны извлечь первым и извлечь на втором.
.
Тогда, по теореме о вероятность обратного события, вероятность того, что вторым извлечется не шар №2:
.
Найдем вероятность того, что третьим шаром извлечется шар с №3 (т.е. его не должны извлечь при первом и втором извлечении и извлечь на третьем):

И вероятность того, что не извлекут на третьем шар с №3:

Аналогично и с другими шарами. Получили, что вероятность того, что отдельный шар будет извлечен в порядке, не соответствующим его номеру: .
Тогда вероятность того, что ни разу номер шара не совпадет с порядковым номером извлечения:

Значите:
3)
Найдем вероятность события С – нет ни одного совпадения номера шара и порядка извлечения.
События С и совпадают, т.е.
4) Найдем значения предельных вероятностей при .

ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Р(А) = n (A ) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение:

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение:

Для вычисления n (D ) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n (D ) =

P (D ) = 28/120.

Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n (E )=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );

D – все ячейки заняты (M =N +1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение:

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

n (C ) = N *(N -1)*…*(N +M -1) и Р(С) =

В частном случае при M =N : Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.

Итак, n (D ) =

.

Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому:

Урновые схемы

Есть урна, (то есть ящик), содержащая n занумерованных объектов, которые мы будем называть шариками. Мы выбираем из этой урны k шариков. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шариков из n , или сколько различных результатов (то есть наборов, состоящих из k шариков) получится.

На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся

– с тем, как организован выбор (скажем, можно ли шарики возвращать в урну), и

– с тем, что понимается под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные схемы выбора :

1. Выбор с возвращением : каждый выбранный шарик возвращается в урну, то есть каждый из k шариков выбирается из полной урны. В полученном наборе, состоящем из k номеров шариков, могут встречаться одни и те же номера (выборка с повторениями ).

2. Выбор без возвращения: выбранные шарики в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера (выборка без повторений ).

И в том, и в другом случае результатом выбора является набор из k номеров шариков. Удобно считать, что шарики всегда выбираются последовательно, по одному (с возвращением или без).

Есть две возможности:

1. Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трех шариков из урны, содержащей 5 шариков, наборы (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) различны, если производится выбор с учетом порядка.

2. Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, в примере выше первые два набора (1,2,5), (2,5,1) есть один и тот же результат выбора, а набор (4,4,5) - другой результат выбора.

Подсчитаем теперь, сколько возможно различных результатов при каждой из четырех схем (выбор с возвращением и без, и в каждом из этих случаев учитываем ли мы порядок или нет).

Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка

k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется числом сочетаний из n элементов по k элементов :

Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка

Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и с учетом порядка определяется числом перестановок из элементов:

Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка

Рассмотрим урну с двумя шариками и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением:

С учетом порядка	Без учета порядка
(1, 1) (2, 2) (1, 2) (2, 1)	(1, 1) (2, 2) (1, 2)

В схеме «без учета порядка» получилось 3 различных результата в отличие от четырех в схеме «с учетом порядка». Тогда общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и без учета порядка определяется числом сочетаний с повторениями

Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком , в k ! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом .

2.1. Из колоды, содержащей 36 карт, вытаскивают одну карту. Какова вероятность, что эта карта пиковой масти?

Ответ: а) 0,21; б) 0,23; в) 0,25; г) 0,30.

2.2. В колоде 36 карт. Наудачу извлекается одна карта. Какова вероятность, что вынутая карта туз?

Ответ: а) 1/3; б) 1/6; в) 1/9; г) 1/12.

2.3. В урне 5 белых и 10 черных шаров. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Ответ: а) 1/3; б) 2/3; в) 1; г) 0.

2.4. Из урны, содержащей 5 белых, 10 красных и 6 черных шаров, наугад вынимается один шар. Какова вероятность, что он белый?

Ответ: а) 5/16; б) 10/21; в) 5/21; г) 10/16.

2.5. Из урны, содержащей шары с номерами 1; 5; 6; 7; 9; 12; 13; 15; 18; 20, исчез один шар. Какова вероятность, что номер исчезнувшего шара делится на 4?

Ответ: а) 0,2; б) 0,5; в) 0,8; г) 1.

2.6. Из книги в 120 страниц ученик прочитал какую-то одну страницу, номер которой делится на 4. Какова вероятность, что случайно названное число, является номером прочитанной страницы?

Ответ: а) 1/10; б) 1/20; в) 1/30; г) 1/120.

2.7. Игральную кость бросают два раза. Какова вероятность, что на верхних гранях выпадет в сумме 8 очков?

Ответ: а) 2/3; б) 5/36; в) 1/6; г) 1/8.

2.8. Ученик взял в библиотеке две книги по 320 и 380 страниц. Из каждой книги он прочитал по одной странице. Какова вероятность, что номера прочитанных страниц совпадают?

Ответ: а) 1/60; б) 1/700; в) 1/320; г) 1/380.

2.9. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек). Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3.

Ответ: а) 0,001; б) 0,01; в) 0,1; г) 0,3.

2.10. Наудачу брошен игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не меньше 5 очков?

Ответ: а) 1/2; б) 1/3; в) 1/4; г) 1/6.

2.11. Из урны, содержащей 1 красный и 3 синих шара, вынимают одновременно 2 шара. Что можно сказать о событиях А – вынуты 2 синих шара и В – вынуты 1 синий шар и 1 красный шар?

2.12. Бросают две игральных кости. Что можно сказать о событиях А – выпадение на верхних гранях по шесть очков и В – выпадение на верхних гранях комбинации пять и шесть очков?

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

2.13. Из урны, содержащей 2 красных и 3 синих шара, вынимают одновременно 3 шара. Что можно сказать о событиях А – вынуты 1 красный и 2 синих шара и В – вынуты 1 синий и 2 красных шара?

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

2.14. Выполняется бросаний кубика. Что можно сказать о событиях А – выпадение «1» хотя бы 1 раз и В – невыпадение «1» ни разу?

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

Ответ: а) событие А более вероятно; б) событие В более вероятно; в) события А и В равновероятны.

2.15. Произвольным образом по 2 урнам распределяют 2 черных и 2 белых шара. При этом возможны следующие исходы эксперимента:

– в каждой урне по 1 белому и по черному шару;

– в одной урне 2 белых шара, во второй урне 2 черных шара;

– в одной урне 1 белый шар, во второй урне 1 белый и 2 черных шара;

– в одной урне 1 черный шар, во второй урне 1 черный и 2 белых шара.

Событие А состоит в том, что из урны вынут белый шар.

1) При каком исходе событие А более вероятно?

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

2) Какие исходы дают одинаковые по вероятности осуществления события А?

Ответ: а) и ; б) и ; в) и ; г) и .

3) При каких исходах событие А менее вероятно?

Ответ: а) ; б) и ; в) и ; г) .

2.16. Куб, все грани которого окрашены, распили на 27 кубиков одинакового размера и тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь n окрашенных граней.

Ответ: а) 4/27; б) 1/27; в) 1/9; г) 0.

Ответ: а) 1/27; б) 2/27; в) 1/9; г) 2/9.

Ответ: а) 1/27; б) 4/9; в) 1/9; г) 4/27.

Ответ: а) 2/27; б) 4/27; в) 8/27; г) 16/27.

Теорема умножения

Равенство

носит название теоремы умножения .

Эта теорема обобщается на случай n событий:

Задача 1. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится без возвращения.

Решение. Введем следующие события: A 1 = {первым вытащили белый шар}, A 2 ={вторым вытащили белый шар}, A 3 = {третьим вытащили белый шар}. Тогда интересующее нас событие A = {придется производить четвертое извлечение} = {первые три шара белые} =
. По теореме умножения вероятностей

P (A 1) = 5/8;
, так как один белый шар уже вынут, и перед вторым извлечением в урне осталось 7 шаров, 4 из которых белые; , так как два белых шара уже вынуты и перед третьим извлечением в урне осталось 6 шаров, 3 из которых белые. Следовательно,

Ответ. 5/28.
Из аксиом вероятности следует, как мы упоминали, что для произвольных двух событий А и В вероятность

Это равенство носит название теоремы сложения .

Теорема сложения обобщается на случай нескольких событий:

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов, взятых по 1, 2, 3 и т.д. соответственно.

Формула полной вероятности

Если события H 1 , H 2 , ..., H n попарно несовместны и их объединение дает достоверное событие
, то говорят что события H 1 , H 2 , ..., H n образуют полную группу событий . Таким образом, полная группа событий – это "разбиение" достоверного события на непересекающиеся части, которые иногда называют гипотезами .

По определению гипотез
и , а по второй аксиоме вероятности
, поэтому:

то есть для полной группы событий верно равенство:

Для любого события A и полной группы событий H 1 , H 2 ,..., H n справедлива формула полной вероятности :

Формулу полной вероятности разумно применять в том случае, когда присутствуют как бы два элемента случайности, и исход второго случайного события зависит от реализации первого случайного события.

Задача 2. Предприятие выпускает изделия, из которых 99% удовлетворяют стандарту, а 1% – нет (первый элемент случайности). Упрощенная система контроля стандартное изделие признает стандартным с вероятностью 0,995 и нестандартное признает стандартным с вероятностью 0,001 (второй элемент случайности). Найти вероятность того, что контроль пропустит наугад взятое изделие.

Решение. Рассмотрим события:

A = {наугад взятое изделие прошло контроль};

Н 1 = {взятое изделие стандартное}, Р (Н 1)=0,99;

Н 2 = {взятое изделие нестандартное}, Р (Н 2)=0,01;

A |Н 1 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно стандартное}, Р (A |Н 1) = 0,995;

A |Н 2 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно нестандартное}, Р (A |Н 2) = 0,001;

Задача. 3. В двух урнах имеются белые и черные шары: в первой урне 8 белых и 2 черных, во второй – 6 белых и 2 черных. Шар, взятый наудачу из первой урны, переложен во вторую, после чего выбирается наудачу шар из второй урны. Найти вероятность извлечения черного шара из второй урны.

Решение. Обозначим: А = {из второй урны извлечен черный шар}. Требуется найти P (A )

Возможны следующие пути развития событий:

либо из первой урны с вероятностью 2/10 извлекается и перекладывается во вторую урну черный шар, после чего во второй урне становится 9 шаров (из которых 3 черные), и вероятность достать из нее черный шар равна 3/9;

либо из первой урны с вероятностью 8/10 извлекается и перекладывается во вторую урну белый шар, после чего во второй партии – 9 шаров (из которых 2 черных), и вероятность достать из нее черный шар равна 2/9.

Введем гипотезы:

H 1 = {из первой урны извлечен черный шар}, P (H 1) = 2/10 = 0,2;

H 2 = {из первой урны извлечен белый шар}, P (H 2) = 8/10 = 0,8;

P (H 1) + P (H 2) = 1.

Тогда Р (A |Н 1) = {из второй урны извлечен черный шар при условии, что из первой урны был извлечен черный шар }, P (A |H 1) = 3/9 = 1/3. Аналогично, P (A |H 2) = 2/9.

По формуле полной вероятности:

Ответ. 11/45.

Формула Байеса

Пусть снова H 1 , H 2 , ..., H n – полная группа событий и в результате эксперимента произошло событие A . Тогда для гипотезы Н i априорную вероятность Р (Н i ), вычисленную до проведения эксперимента, можно уточнить после того, как произведен эксперимент, в результате которого произошло событие A , и посчитать апостериорную вероятность Р (Н i |A ):

.

Последняя формула носит название формулы Байеса .

Так в задаче 2. вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, то есть поступившее к потребителю, удовлетворяло стандарту равна:

.
Задача 4. В условиях задачи 3 найти вероятность того, что из первой урны был вынут черный шар, если из второй урны был вынут тоже черный шар.

Решение. В обозначениях введенных при решении задачи 3. требуется найти P (H 1 |A ). По формуле Байеса

Ответ. 3/11.
Задача 5. Сообщение состоит из сигналов «1» и «0». Свойства помех таковы, что искажаются в среднем 5% сигналов «0» и 3% сигналов «1». При искажении вместо сигнала «0» принимается сигнал «1» и наоборот. Известно, что среди передаваемых сигналов «0» и «1» встречаются в соотношении 3:2. Найти вероятность того, что отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1».

Решение. Эксперимент проведен, и наступило событие A ={принят сигнал «1»}.

Гипотезы: H 1 = {отправлен сигнал «0»}, H 2 = {отправлен сигнал «1»}.

По условию: P (H 1) = 3/5 = 0,6, P (H 2) = 2/5 = 0,4, то есть P (H 1) + P (H 2) = 1.

Рассмотрим события:

A |H 1 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «0»} = {сигнал «0» искажен}, следовательно, по условию P (A |H 1)=0,05;

A |H 2 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «1»} = {сигнал «1» неискажен}, следовательно, по условию P (A |H 2)=1–0,03=0,97;

H 1 | A = {отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1»}.

По формуле Байеса