Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла

На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением

• x 2 +y 2 =1.

Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:

• sin(a) = у,
• cos(a) = х.

Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство

• (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.

Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.

Например.

Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi

Воспользуемся формулой приведенной выше:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Так как pi

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Соотношение между тангенсом и котангенсом одного и того же угла

Теперь, попробуем найти зависимость, между тангенсом и котангенсов.

По определению tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Перемножим эти равенства, получим tg(a)*ctg(a) =1.

Из этого равенства можно выразить одну функцию через другую. Получим:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Следует понимать, что эти равенства справедливы лишь тогда, когда tg и ctg существуют, то есть для любых а, кроме а=k*pi/2, при любом целом k.

Теперь попробуем используя основное тригонометрическое тождество найти зависимости между тангенсом и косинусом.

Поделим основное тригонометрическое тождество, на (cos(a)) 2 . (cos(a) не равен нулю, иначе бы тангенс не существовал бы.

Получим следующее равенство ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2 .

Разделив почленно получаем:

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .

Как уже отмечалось выше, эта формула верна если cos(a) не равен нулю, то есть для всех углов а, кроме а=pi/2 +pi*k, при любом целом k.

Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:

Знать:

формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.

Понимать:

что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

Применить:

умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.

Анализ:

анализировать ошибки в логике рассуждения.

Синтез:

предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.

Оценка:

знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.Ход урока:

Организационный момент.

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке.

Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать. На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1.

В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?

(В I четверти, 1 рад. 57,3 0).

Какое слово пропущено в определение функции синус?

Синусом угла  называется............ точки единичной окружности. (Ордината)

Какое слово пропущено в определении функции косинус?

Косинусом угла  называется............ точки единичной окружности (Абсцисса).

Какие значения может принимать синус?

()

Объяснение нового материала.

Изобразим единичную окружность с центром в точке О. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол  получен радиус ОВ (рис. 5). Тогда по определению
где – абсцисса точки В, – ее ордината. Отсюда следует, что Точка В принадлежит окружности. Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению
Воспользовавшись тем, что получим
(1). Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества. Равенство (1) называется основным тригонометрическим тождеством. В равенстве (1)  может принимать любые значения. Самостоятельно завершите запись:
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:
Учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 3. В этих формулах от чего зависит знак перед корнем? (От того, в какой четверти расположен угол тригонометрической функции, которую мы определяем).
Пример 1 . Вычислить
если
Определим четверть, в которой находится угол . Четверть – III. Вспомним, что синус в третьей четверти отрицательный, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак « – »: Пример 2. Вычислить
если
Определяем четверть, в которой находится угол  . Четверть – IV, косинус в четвертой четверти положителен. Поэтому в формуле (3) перед корнем нужен знак « + »:
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса

Перемножая эти равенства, получаем:


Из равенства (4) можно выразить
через
и наоборот:


Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых
имеют смысл, т. е. при
Выведем теперь формулы, выражающие соотношения между тангенсом и косинусом, а также котангенсом и синусом одного и того же аргумента. Разделив обе части равенства (1) на
, получим:
т.е.

Если обе части равенства (1) разделить на
, то будем иметь:
т.е.

Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что
Решение:

Для отыскания котангенса угла  удобно воспользоваться формулой (6):

Ответ:
Пример2. Известно, что
. Найдем все остальные тригонометрические функции. Решение:

Воспользуемся формулой (7). Имеем:

,
. По условию задачи угол  является углом 1 четверти, поэтому его косинус положителен. Значит



Ответ:
Установленные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента позволяют упрощать тригонометрические выражения.
Пример 3. Упростим выражение:
Решение: Воспользуемся формулами:
. Получим:

Закрепление.

А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.

Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

Инструкция:

4 вариант

А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.

Домашнее задание.
Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)

6

А синуса график волна за волной
По оси абсцисс убегает.

Из студенческой песни.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:

• ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.
• РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..
• ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.

ЗДОРОВЬЕ СБЕРЕГАЮЩАЯ: создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УРОКА:

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА: кабинет математики.

ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.

МЕТОДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: групповая и индивидуальная работа за партой и у доски.

ТИП УРОКА: урок усвоения новых знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.

2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой учащихся на работу, доведение до них плана урока.

3. Анализ ошибок домашнего задания. На экране - картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.

РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.

С/о – самооценка.

О/т – оценка товарища.

4. Актуализация знаний, подготовка к восприятию нового материала.

Следующий этап нашего урока-диктант. Записываем кратко ответы – чертеж у нас на слайде.

Диктант (устное повторение необходимых сведений):

1. Дайте определение:

• синуса острого угла А прямоугольного треугольника;
• косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;
• тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;
• котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;
• какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Дайте определение:

• синуса угла a a .
• косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a .
• тангенса угла a .
• котангенса угла a .

3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол

4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.

Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.

5. Из истории тригонометрии. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал формулы приведения, с которыми вам еще предстоит встретиться, выделил классы четных и нечетных функций.

6. Введение нового материала:

Главное не просто сообщить учащимся конечные выводы, а сделать учащихся как бы участниками научного поиска: поставив вопрос, так, чтобы они, разбудив свою любознательность, включились в исследование, что способствует достижению более высокого уровня умственного развития учащихся.

Поэтому при введении нового материала я создаю проблемную ситуацию – как легче и рациональней установить зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла – через уравнение единичной окружности или через теорему Пифагора.

Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.

1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1x 2 +y 2 =1; sin 2 +cos 2 =1.

2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB 2 +AB 2 =OA 2 - и получаем sin 2 +cos 2 =1.

Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество

(на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).

Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.

Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:

a 2 -b 2 =(a-b)(a+b),

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ,

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,

a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2),

a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2).

Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin 2 +cos 2 =1.

Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.

Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.

Применение полученных знаний:

1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.

2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ

Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым.

В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.

Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант - 1, 2-й вариант - 2.

На слайде – верное решение.

Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества

1. найти значение выражения:

2. выразить число 1 через угол a , если

Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.

6. Закрепление нового материала (по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).

ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….

1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.

ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..

2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.

7. Физкультминутка.Я знаю, что вы уже взрослые и считаете, что совсем не устали, особенно сейчас, когда урок идет так активно, что время для нас как –бы и удлиняется– по теории относительности А.Эйнштейна, но давайте проведем гимнастику для сосудов головного мозга:

• повороты и наклоны головы вправо – влево, вверх – вниз
• массаж плечевого пояса и кожи головы – руки от кисти, лицо и затылок – сверху вниз.
• плечи поднять вверх и расслабленно “сбросить” вниз. Каждое упражнение выполняем 5-6 раз!

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………………………………………………………………………………………

Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?

ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….

ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….

ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………

Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.

1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.

8. Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.

1. Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…
2. Абсцисса точки на единичной окружности.
3. Отношение косинуса к синусу.
4. Синус – это…..точки на единичной окружности.
5. Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……

Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.

9. Инструктаж учителя по выполнению домашнего задания.

10. Подведение учителем итогов урока.

11. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4). Учебник Ш.А Алимов “Алгебра и начала анализа”., 10-11, “Просвещение”., М., 2005г.