Возрастание, убывание и экстремумы функции
Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции . Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной , которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной, являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.
А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной . Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.
Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче !
Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции
Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:
На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции . Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ , как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.
Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .
Аналогично, функция убывает
на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах 
.
Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.
Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности) .
Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.
Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).
Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума . Вспоминаем:
Окрестностью точки
называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная - окрестность:
Собственно, определения:
Точка называется точкой строгого максимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .
Точка называется точкой строгого минимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».
Примечание : требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям
Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.
Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.
Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!) :
Точка называется точкой максимума
, если существует
её окрестность, такая, что для всех
Точка называется точкой минимума
, если существует
её окрестность, такая, что для всех
значений данной окрестности выполнено неравенство .
Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё , направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .
Да, кстати, о королевских особах:
– значение называют максимумом
функции;
– значение называют минимумом
функции.
Общее название – экстремумы функции.
Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!
Точки экстремума
– это «иксовые» значения.
Экстремумы
– «игрековые» значения.
! Примечание : иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.
Сколько может быть экстремумов у функции?
Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.
ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума , а экстремумы – локальными экстремумами . Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум . Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.
Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?
Формулировка побуждает найти:
– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);
– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-)
Как всё это определить? С помощью производной функции!
Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?
Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной .
Производная тангенса 
несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения
.
С котангенсом и его производной 
ситуация ровно противоположная.
Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: 
.
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.
Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.
Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные , напоминаю, следуют непосредственно из определения производной .
Зачем исследовать функцию с помощью производной?
Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции : где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.
Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции :
Пример 1
Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции
Решение :
1) На первом шаге нужно найти область определения функции , а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.
2) Второй пункт алгоритма обусловлен
необходимым условием экстремума:
Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует .
Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».
Условие необходимо, но не достаточно , и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .
Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :
В начале первой статьи о графиках функции
я рассказывал, как быстро построить параболу на примере 
: «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции
. Поэтому повысим степень:
Пример 2
Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.
Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:
Пример 3
Исследовать функцию с помощью первой производной
Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.
Решение :
1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .
2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:
Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:
Таким образом, получаем три критические точки:
3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов
определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:
Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной 
и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: 
. 
Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .
Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.
Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на 
и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .
В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума: 
Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-)
При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.
! Повторим важный момент : точки не считаются критическими – в них функция не определена . Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).
Ответ
: функция возрастает на 
и убывает на В точке достигается максимум функции: 
, а в точке – минимум: .
Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами
даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:
Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика
(что, как правило, и бывает в похожих случаях).
Пример 4
Найти экстремумы функции
Пример 5
Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции
…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается....
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)
В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x)
возрастает
на интервале X
,
если для любых и 
выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x)
убывает
на интервале X
,
если для любых и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .
Под
окрестностью точки понимают
интервал 
,
где -
достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим
к нахождению производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2
,
а знаменатель обращается в ноль при x=0
.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Функция
называетсявозрастающей
на интервале
,
если для любых точек
выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует
большее значение функции).
Аналогично, функция
называетсяубывающей
на интервале
,
если для любых точек
из этого интервала при выполнении
условия
выполняется неравенство
(большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции).
Возрастающие на
интервале
и убывающие на интервале
функции называютсямонотонными
на интервале
.
Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.
Теорема (достаточное
условие возрастания функции).
функции
положительна на интервале
,
то функция
монотонно возрастает на этом интервале.
Теорема (достаточное
условие убывания функции).
Если производная дифференцируемой на
интервале
функции
отрицательна на интервале
,
то функция
монотонно убывает на этом интервале.
Геометрический
смысл
этих теорем состоит в том, что на
интервалах убывания функции касательные
к графику функции образуют с осью
тупые углы, а на интервалах возрастания
– острые (см.рис.
1).
Теорема (необходимое
условие монотонности функции).
Если
функция
дифференцируема и
(
)
на интервале
,
то она не убывает (не возрастает) на этом
интервале.
Алгоритм нахождения
интервалов монотонности функции
:
Пример.
Найти интервалы монотонности функции
.
Точка
называетсяточкой
максимума функции
такое, что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполнено неравенство
.
Максимум функции – это значение функции в точке максимума.
На рис
2 показан
пример графика функции, имеющей максимумы
в точках
.
Точка
называетсяточкой
минимума функции
,
если существует некоторое число
такое, что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполнено неравенство
.
Нарис.
2 функция
имеет минимум в точке
.
Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы . Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума .
Функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.
В точках экстремума у производной есть особые свойства.
Теорема (необходимое
условие экстремума).
Пусть в точке
функция
имеет экстремум. Тогда либо
не существует, либо
.
Те точки из области
определения функции, в которых
не существует или в которых
,
называютсякритическими
точками функции
.
Таким образом, точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.
Пример.
Рассмотрим
.
Имеем
,
но точка
не является точкой экстремума (см.рис
3).
Теорема (первое
достаточное условие экстремума).
Пусть в точке
функция
непрерывна, а производная
при переходе через точку
меняет знак. Тогда
– точка экстремума: максимума, если
знак меняется с «+» на «–», и минимума,
если с «–» на «+».
Если при переходе
через точку
производная не меняет знак, то в точке
экстремума нет.
Теорема (второе
достаточное условие экстремума).
Пусть в точке
производная дважды дифференцируемой
функции
равна
нулю (
),
а ее вторая производная в этой точке
отлична от нуля (
)
и непрерывна в некоторой окрестности
точки
.
Тогда
– точка экстремума
;
при
это точка минимума, а при
это точка максимума.
Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума:
Найти производную.
Найти критические точки функции.
Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.
Найти экстремальные значения функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума:
Пример.
Найти экстремумы функции
.
Производной. Если производная функции положительна для любой точки интервала, то функция возрастает, если отрицательна – убывает.
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти область ее определения, производную, решить неравенства вида F’(x) > 0 и F’(x)
Решение.
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³
Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x - 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x - 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x - 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 - x)/x³.
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 - x)/x³
4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .
4. Левая часть неравенства имеет один действительный х = 4 и обращается в при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток , и в промежуток убывания, а точка 0 не включается .
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ .
Источники:
- как найти на функции промежутки убывания
Функция представляет собой строгую зависимость одного числа от другого, или значения функции (y) от аргумента (х). Каждый процесс (не только в математике), может быть описан своей функцией, которая будет иметь характерные особенности: промежутки убывания и возрастания, точки минимумов и максимумов и так далее.
Вам понадобится
- - бумага;
- - ручка.
Инструкция
Пример 2.
Найти промежутки убывания f(x)=sinx +x.
Производная данной функции будет равна: f’(x)=cosx+1.
Решая неравенство cosx+1
Интервалом монотонности функции можно назвать промежуток, в котором функция либо только возрастает, либо только убывает. Ряд определенных действий поможет найти такие диапазоны для функции, что нередко требуется в алгебраических задачах подобного рода.
Инструкция
Первым шагом в решении задачи по определению интервалов, в которых функция монотонно возрастает или убывает, станет вычисление данной функции. Для этого узнайте все значения аргументов (значения по оси абсцисс), для которых можно найти значение функции. Отметьте точки, в которых наблюдаются разрывы. Найдите производную функции. Определив выражение, которое представляет собой производную, приравняйте его к нулю. После этого следует найти корни получившегося . Не про область допустимых .
Точки, в которых функция либо в которых ее производная равна нулю, представляют собой границы интервалов монотонности . Эти диапазоны, а также точки, их разделяющие, следует последовательно внести в таблицу. Найдите знак производной функции в полученных промежутках. Для этого подставьте в выражение, соответствующее производной, любой аргумент из интервала. Если результат положительный, функция в данном диапазоне возрастает, в обратном случае - убывает. Результаты вносятся в таблицу.
В строку, обозначающую производную функции f’(x), записывается соответствующий значениям аргументов : «+» - если производная положительна,«-» - отрицательна или «0» – равна нулю. В следующей строке отметьте монотонность самого исходного выражения. Стрелка вверх соответствует возрастанию, вниз – убыванию. Отметьте функции. Это точки, в которых производная равна нулю. Экстремум может быть либо точкой максимума, либо точкой минимума. Если предыдущий участок функции возрастал, а текущий убывает, это точка максимума. В случае, когда до данной точки функция убывала, а теперь возрастает – это точка минимума. Внесите в таблицу значения функции в точках экстремума.
Источники:
- что такое определение монотонность
Исследование поведения функции, имеющей сложную зависимость от аргумента, проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки роста или убывания функции.
Монотонность
Очень важным свойством функции является ее монотонность. Зная это свойство различных специальных функций, можно определить поведение различных физических, экономических, социальных и многих других процессов.
Выделяют следующие виды монотонности функций:
1) функция возрастает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
2) функция убывает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что . Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
3) функция неубывает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что ;
4) функция невозрастает , если на некотором интервале, если для любых двух точек и этого интервала таких, что выполнено, что .
2. Для первых двух случаев еще применяют термин «строгая монотонность».
3. Два последних случая являются специфическими и задаются обычно в виде композиции из нескольких функций.
4. Отдельно отметим, что рассматривать возрастание и убывание графика функции следует именно слева-направо и никак иначе.
2. Четность/нечетность.
Функция называется нечетной , если при изменении знака аргумента, она меняет свое значение на противоположное. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция изменит свой знак. График такой функции симметричен относительно начала координат.
Примерами нечетных функций являются и др.
Например, график действительно обладает симметричностью относительно начала координат:
Функция называется четной , если при изменении знака аргумента, она не меняет свое значение. Формульная запись этого выглядит так . Это значит, что после подстановки в функцию на место всех иксов значений «минус икс», функция в результате не изменится. График такой функции симметричен относительно оси .
Примерами четных функций являются и др.
К примеру, покажем симметричность графика относительно оси :
Если функция не относится ни к одному из указанных видов, то ее называют ни четной ни нечетной или функцией общего вида . У таких функций нет симметрии.
Такой функцией, например, является недавно рассмотренная нами линейная функция с графиком:
3. Особым свойством функций является периодичность.
Дело в том, что периодичными функциями, которые рассматриваются в стандартной школьной программе, являются только тригонометрические функции. Мы уже подробно о них говорили при изучении соответствующей темы.
Периодичная функция – это функция, которая не меняет свои значения при добавлении к аргументу определенного постоянного ненулевого числа.
Такое минимальное число называют периодом функции и обозначают буквой .
Формульная запись этого выглядит следующим образом: 
.
Посмотрим на это свойство на примере графика синуса:
Вспомним, что периодом функций и является , а периодом и – .
Как мы уже знаем, для тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
У них период равен . И о функциях:
У них период равен .
Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.
Ограниченность.
Функцию y=f(x)называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Функцию y=f(x)называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.
Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую у=а, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу.
Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.
Тема: Свойства функций: промежутки возрастания и убывания; наибольшее и наименьшее значения; точки экстремума (локального максимума и минимума), выпуклость функции.
Промежутки возрастания и убывания.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
· если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
· если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
· найти область определения функции;
· найти производную функции;
· решить неравенства и на области определения;
