77419.Найдите точку максимума функции у=х 3 –48х+17

Найдем нули производной:

Получим корни:

Определим знаки производной функции подставляя значения из интервалов в полученную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Получили, что в точке –4 производная меняет свой знак в положительного на отрицательный. Таким образом, точка х=–4 это искомая точка максимума.

Ответ: –4

77423. Найдите точку максимума функции у=х 3 –3х 2 +2

Найдём производную заданной функции:

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

В точке х=0 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть точка максимума.

77427. Найдите точку максимума функции у=х 3 +2х 2 +х+3

Найдём производную заданной функции:

При равняем производную к нулю и решим уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке интервалы возрастания и убывания функции подставляя значения из каждого интервала в выражение производной:

В точке х=–1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: –1

77431. Найдите точку максимума функции у=х 3 –5х 2 +7х–5

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 – 10х + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

77435. Найдите точку максимума функции у=7+12х–х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х 2 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

77439. Найдите точку максимума функции у=9х 2 –х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х 2 = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

В точке х=6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

Найдите наибольшее значение функции y=(7x^2-56x+56)e^x на отрезке [-3; 2].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y"= (7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Ответ

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке \left.

Показать решение

Решение

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac{12}{\cos ^2x}= \frac{12\cos ^2x-12}{\cos ^2x}\leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2e^{x+52}.

Показать решение

Решение

Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^\alpha и e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^{x+52}+(x+8)^2\left(e^{x+52}\right)"= 2(x+8)e^{x+52}+(x+8)^2e^{x+52}= (x+8)e^{x+52}(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^{x+52}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^{x+52}>0 при любом x . y"=0 при x=-8, x=-10.

Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^{x+52} имеет единственную точку минимума x=-8.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите точку максимума функции y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Показать решение

Решение

ОДЗ: x \geqslant 0. Найдём производную исходной функции:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Вычислим нули производной:

8-\sqrt x=0;

\sqrt x=8;

x=64.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что точка x=64 является единственной точкой максимума заданной функции.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2\ln x+37 на отрезке \left[\frac35; \frac75\right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y"(x)= 10x-12+\frac{2}{x}= \frac{10x^2-12x+2}{x}.

Определим нули производной: y"(x)=0;

\frac{10x^2-12x+2}{x}=0,

5x^2-6x+1=0,

x_{1,2}= \frac{3\pm\sqrt{3^2-5\cdot1}}{5}= \frac{3\pm2}{5},

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac35; 1\right] исходная функция убывает, а на отрезке \left возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке \left[\frac35; \frac75\right] достигается при x=1 и равно y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=x+\frac{36}{x}+10 на отрезке [-10; -1].

Показать решение

Решение

Исходная функция определена при x \neq 0. y"(x)=1-\frac{36}{x^2}. \frac{36}{x^2}=1,

x^2=36,

x=\pm 6.

Исследуемому промежутку принадлежит только значение x=-6. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

y=x+\frac{36}{x}+10 возрастает на промежутке [-10; -6] и убывает на промежутке [-6; -1]. Наибольшее значение достигается при x=-6 и равно y(-6)=-6+\frac{36}{-6}+10=-2.

Ответ

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=x+\frac{25}{x}+2017 на отрезке .

Показать решение

Решение

y"(x)=1-\frac{25}{x^2}. Найдём нули производной: y"(x)=0 при \frac{25}{x^2}=1,

x^2=25,

x=\pm 5.

Исследуемому промежутку принадлежит только значение x=5. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y=x+\frac{25}{x}+2017 убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Наименьшее значение достигается при x=5 и равно y(5)=5+\frac{25}{5}+2017=2027.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac{x^2+10\,000}{x}.

Показать решение

Решение

Исходная функция определена при x \neq 0, при этом y=-x-\frac{10\,000}{x}. Тогда производная исходной функции y"(x)=-1+\frac{10\,000}{x^2}. Найдём нули производной: y"(x)=0 при \frac{10\,000}{x^2}=1,

x^2=10\,000,

x=\pm 100.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y=-\frac{x^2+10\,000}{x} имеет единственную точку минимума x=-100.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

y=-\frac{x^2+144}{x}.

Показать решение

Решение

Исходная функция определена при x\neq0, при этом y=-x-\frac{144}{x}. Тогда производная исходной функции y"(x)=-1+\frac{144}{x^2}. Найдем нули производной: y"(x)=0 при \frac{144}{x^2}=1, x^2=144, x=\pm12. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y=-\frac{x^2+144}{x} имеет единственную точку максимума x=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=-\frac{x}{x^2+961}.

Показать решение

Решение

Находим производную: y"=-\frac{1\cdot(x^2+961)-x\cdot2x}{(x^2+961)^2}=\frac{x^2-961}{(x^2+961)^2}.

Решаем уравнение \frac{x^2-961}{(x^2+961)^2}=0,

x^2-961=0;

x^2=961,

x=\pm31.

Так как у дроби \frac{x^2-961}{(x^2+961)^2} знаменатель больше нуля, то ее знак совпадает со знаком числителя дроби, являющегося квадратным трехчленом x^2-961.

Таким образом, при y<-31 функция возрастает, а при -3131 опять возрастает:

В точке x=-31 будет максимум.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac{48}{x}+3x+204 .

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y"=-\frac{48}{x^2}+3

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

-\frac{48}{x^2}+3=0

-\frac{48+3x^2}{x^2}=0

48+3x^2=0

x^2=16

x=\pm4

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 4 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 4 - точка минимума функции.