Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если сила параллельна оси

Если сила пересекает ось

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

	Значения главного вектора и главного момента	Результат приведения
		Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О).
		Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О.
		Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О.
	, причем векторы ине перпендикулярны	Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.
		Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся.

30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой оси Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О 1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k 0. Имеем, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Момент силы. Момент импульса.

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1)
Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

· Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

· Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рис.3.2

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение или F = ma τ .

Используя соотношение a τ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки ):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ -момент импульса (или момент количества движения), МΔt - импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, .

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц :

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса ):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

где J 1 и ω 1 - момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J 2 и ω 2 – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J - момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

ΔA = ΔE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем

ΔA =MΔφ (3.24)

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции "момент силы". В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

в физике

Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть силы относительно оси записывается следующим образом:

Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯. Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

Скалярная форма записи M¯

На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90 o . В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

M = L * F * sin(Φ)

Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90 o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием "рычага силы". Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F. Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) - это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции "синус"). Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

Физический смысл величины M

Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

Указанные особенности демонстрирует силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

Несколько действующих сил в системе

Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов M i ¯, то есть:

M¯ = ∑ i (M i ¯), где i - номер силы F i

Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII - начала XVIII века - француза Пьера Вариньона. Она гласит: "Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке". Математически теорему можно записать так:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

Совершает ли работу момент силы?

Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M - это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж). На самом деле момент силы - это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M. Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

В этом выражении θ - это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад. Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей. Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

Момент силы и момент импульса

Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название "момент импульса". Его можно вычислить, применяя формулу:

Здесь I - это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω - угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.

Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:

M = I * α, где α = dω / dt - угловое ускорение.

Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

Равновесие нескольких тел

Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:

P = F 1 - F 2 + F 3 = 20 - 10 + 25 = 35 Н

Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.

Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

Задача с движущимся диском

Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Первая часть формулы - это кинетическая энергия диска. Вторая часть - это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r 2 , вычисляем θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад

Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см

Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) - векторная физическая величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело .

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» - внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения

Специальные случаи

Формула момента рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

$\backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash vec\{M\}\_1\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$, где: $\backslash left|\backslash vec\{M\}\_1\backslash right|$ - момент рычага, $\backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$ - величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору $\backslash vec\; r$, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

$\backslash left|\backslash vec\{T\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash vec\; r\backslash right|\; \backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|$

Сила под углом

Если сила $\backslash vec\; F$ направлена под углом $\backslash theta$ к рычагу r, то $M\; =\; r\; F\; \backslash sin\backslash theta$.

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

$\backslash vec\; M\; =\; \backslash frac\{d\backslash vec\; L\}\{dt\}$,

где $\backslash vec\; L$ - момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

$\backslash vec\{L\_o\}\; =\; I\_c\backslash ,\backslash vec\backslash omega\; +$

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если $I$ - постоянная величина во времени, то

$\backslash vec\; M\; =\; I\backslash frac\{d\backslash vec\backslash omega\}\{dt\}\; =\; I\backslash vec\backslash alpha$,

Отношение между моментом силы и работой

$A\; =\; \backslash int\_\{\backslash theta\_1\}^\{\backslash theta\_2\}\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta$

В случае постоянного момента получаем:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash theta$

Обычно известна угловая скорость $\backslash omega$ в радианах в секунду и время действия момента $t$.

Тогда совершённая моментом силы работа рассчитывается как:

$A\; =\; \backslash left|\backslash vec\; M\backslash right|\backslash omega\; t$

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка $O\_F$, к которой приложена сила $\backslash vec\; F$, то момент силы относительно точки $O$ равен векторному произведению радиус-вектора $\backslash vec\; r$, соединяющего точки $O$ и $O\_F$, на вектор силы $\backslash vec\; F$:

$\backslash vec\{M\_O\}\; =\; \backslash left[\backslash vec\; r\; \backslash times\; \backslash vec\; F\backslash right]$.

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси относительно точки пересечения оси с плоскостью, то есть $M\_z(F)\; =\; M\_o(F")\; =\; F"h"$.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах . 1 Н·м - это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки .

См. также

Напишите отзыв о статье "Момент силы"

Отрывок, характеризующий Момент силы

Но хотя уже к концу сражения люди чувствовали весь ужас своего поступка, хотя они и рады бы были перестать, какая то непонятная, таинственная сила еще продолжала руководить ими, и, запотелые, в порохе и крови, оставшиеся по одному на три, артиллеристы, хотя и спотыкаясь и задыхаясь от усталости, приносили заряды, заряжали, наводили, прикладывали фитили; и ядра так же быстро и жестоко перелетали с обеих сторон и расплюскивали человеческое тело, и продолжало совершаться то страшное дело, которое совершается не по воле людей, а по воле того, кто руководит людьми и мирами.
Тот, кто посмотрел бы на расстроенные зады русской армии, сказал бы, что французам стоит сделать еще одно маленькое усилие, и русская армия исчезнет; и тот, кто посмотрел бы на зады французов, сказал бы, что русским стоит сделать еще одно маленькое усилие, и французы погибнут. Но ни французы, ни русские не делали этого усилия, и пламя сражения медленно догорало.
Русские не делали этого усилия, потому что не они атаковали французов. В начале сражения они только стояли по дороге в Москву, загораживая ее, и точно так же они продолжали стоять при конце сражения, как они стояли при начале его. Но ежели бы даже цель русских состояла бы в том, чтобы сбить французов, они не могли сделать это последнее усилие, потому что все войска русских были разбиты, не было ни одной части войск, не пострадавшей в сражении, и русские, оставаясь на своих местах, потеряли половину своего войска.
Французам, с воспоминанием всех прежних пятнадцатилетних побед, с уверенностью в непобедимости Наполеона, с сознанием того, что они завладели частью поля сраженья, что они потеряли только одну четверть людей и что у них еще есть двадцатитысячная нетронутая гвардия, легко было сделать это усилие. Французам, атаковавшим русскую армию с целью сбить ее с позиции, должно было сделать это усилие, потому что до тех пор, пока русские, точно так же как и до сражения, загораживали дорогу в Москву, цель французов не была достигнута и все их усилия и потери пропали даром. Но французы не сделали этого усилия. Некоторые историки говорят, что Наполеону стоило дать свою нетронутую старую гвардию для того, чтобы сражение было выиграно. Говорить о том, что бы было, если бы Наполеон дал свою гвардию, все равно что говорить о том, что бы было, если б осенью сделалась весна. Этого не могло быть. Не Наполеон не дал своей гвардии, потому что он не захотел этого, но этого нельзя было сделать. Все генералы, офицеры, солдаты французской армии знали, что этого нельзя было сделать, потому что упадший дух войска не позволял этого.
Не один Наполеон испытывал то похожее на сновиденье чувство, что страшный размах руки падает бессильно, но все генералы, все участвовавшие и не участвовавшие солдаты французской армии, после всех опытов прежних сражений (где после вдесятеро меньших усилий неприятель бежал), испытывали одинаковое чувство ужаса перед тем врагом, который, потеряв половину войска, стоял так же грозно в конце, как и в начале сражения. Нравственная сила французской, атакующей армии была истощена. Не та победа, которая определяется подхваченными кусками материи на палках, называемых знаменами, и тем пространством, на котором стояли и стоят войска, – а победа нравственная, та, которая убеждает противника в нравственном превосходстве своего врага и в своем бессилии, была одержана русскими под Бородиным. Французское нашествие, как разъяренный зверь, получивший в своем разбеге смертельную рану, чувствовало свою погибель; но оно не могло остановиться, так же как и не могло не отклониться вдвое слабейшее русское войско. После данного толчка французское войско еще могло докатиться до Москвы; но там, без новых усилий со стороны русского войска, оно должно было погибнуть, истекая кровью от смертельной, нанесенной при Бородине, раны. Прямым следствием Бородинского сражения было беспричинное бегство Наполеона из Москвы, возвращение по старой Смоленской дороге, погибель пятисоттысячного нашествия и погибель наполеоновской Франции, на которую в первый раз под Бородиным была наложена рука сильнейшего духом противника.

Для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из этого то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений.
Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса и черепахи совершалось непрерывно.
Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.
Эта новая, неизвестная древним, отрасль математики, при рассмотрении вопросов движения, допуская бесконечно малые величины, то есть такие, при которых восстановляется главное условие движения (абсолютная непрерывность), тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения.
В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же.
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.
Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.
Первые пятнадцать лет XIX столетия в Европе представляют необыкновенное движение миллионов людей. Люди оставляют свои обычные занятия, стремятся с одной стороны Европы в другую, грабят, убивают один другого, торжествуют и отчаиваются, и весь ход жизни на несколько лет изменяется и представляет усиленное движение, которое сначала идет возрастая, потом ослабевая. Какая причина этого движения или по каким законам происходило оно? – спрашивает ум человеческий.
Историки, отвечая на этот вопрос, излагают нам деяния и речи нескольких десятков людей в одном из зданий города Парижа, называя эти деяния и речи словом революция; потом дают подробную биографию Наполеона и некоторых сочувственных и враждебных ему лиц, рассказывают о влиянии одних из этих лиц на другие и говорят: вот отчего произошло это движение, и вот законы его.
Но ум человеческий не только отказывается верить в это объяснение, но прямо говорит, что прием объяснения не верен, потому что при этом объяснении слабейшее явление принимается за причину сильнейшего. Сумма людских произволов сделала и революцию и Наполеона, и только сумма этих произволов терпела их и уничтожила.

Определение 1

Моментом силы представляется крутящий или вращательный момент, являясь при этом векторной физической величиной.

Она определяется как векторное произведение вектора силы, а также радиус-вектора, который проведен от оси вращения к точке приложения указанной силы.

Момент силы выступает характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело. Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты не будут считаться при этом тождественными, поскольку в технике понятие «вращающий» момент рассматривают как внешнее, прикладываемое к объекту, усилие.

В то же время, понятие «крутящий» рассматривается в формате внутреннего усилия, возникающего в объекте под воздействием определенных приложенных нагрузок (подобным понятием оперируют при сопротивлении материалов).

Понятие момента силы

Момент силы в физике может рассматриваться в виде так называемой «вращающей силы». В СИ за единицу измерения принимают ньютон-метр. Момент силы также может называться «моментом пары сил», что отмечено в работах Архимеда над рычагами.

Замечание 1

В простых примерах, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему, момент силы будет определяться в виде произведения величины указанной силы и расстояния до оси вращения рычага.

К примеру, сила в три ньютона, приложенная на двухметровом расстоянии от оси вращения рычага, создает момент, равнозначный силе в один ньютон, приложенной на 6-метровом расстоянии к рычагу. Более точно момент силы частицы определяют в формате векторного произведения:

$\vec {M}=\vec{r}\vec{F}$, где:

• $\vec {F}$ представляет силу, воздействующая на частицу,
• $\vec {r}$ является радиусом вектора частицы.

В физике следует понимать энергию как скалярную величину, в то время как момент силы будет считаться величиной (псевдо) векторной. Совпадение размерностей подобных величин не будет случайным: момент силы в 1 Н м, который приложен через целый оборот, совершая механическую работу, сообщает энергию в 2 $\pi$ джоулей. Математически это выглядит так:

$E = M\theta $, где:

• $E$ представляет энергию;
• $M$ считается вращающимся моментом;
• $\theta $ будет углом в радианах.

Сегодня измерение момента силы осуществляют посредством задействования специальных датчиков нагрузки тензометрического, оптического и индуктивного типа.

Формулы расчета момента силы

Интересным в физике является вычисление момента силы в поле, производимого по формуле:

$\vec{M} = \vec{M_1}\vec{F}$, где:

• $\vec{M_1}$ считается моментом рычага;
• $\vec{F}$ представляет величину действующей силы.

Недостатком такого представления будет считаться тот факт, что оно не определяет направление момента силы, а только лишь его величину. При перпендикулярности силы вектору вектору $\vec{r}$ момент рычага будет равен расстоянию от центра до точки приложенной силы. При этом момент силы окажется максимальным:

$\vec{T}=\vec{r}\vec{F}$

При совершении силой определенного действия на каком-либо расстоянии, она совершит механическую работу. Точно также и момент силы (при выполнении действия через угловое расстояние) совершит работу.

$P = \vec {M}\omega $

В существующей международной системе измерений мощность $P$ будет измеряться в Ваттах, а непосредственно момент силы- в ньютон-метрах. При этом угловая скорость определяется в радианах в секунду.

Момент нескольких сил

Замечание 2

При воздействии на тело двух равных, а также противоположно направленных сил, не лежащих при этом на одной и той же прямой, наблюдается отсутствие пребывания этого тела в состоянии равновесия. Это объясняется тем, что результирующий момент указанных сил относительно любой из осей не имеет нулевого значения, поскольку обе представленные силы имеют направленные в одну сторону моменты (пара сил).

В ситуации, когда тело закрепляется на оси, произойдет его вращение под воздействием пары сил. Если пара сил будет приложенной в отношении свободного тела, оно в таком случае станет вращаться вокруг проходящей сквозь центр тяжести тела оси.

Момент пары сил считается одинаковым в отношении любой оси, которая перпендикулярна плоскости пары. При этом суммарный момент $М$ пары всегда будет равным произведению одной из сил $F$ на расстояние $l$ между силами (плечо пары) в независимости от типов отрезков, на которые оно разделяет положение оси.

$M={FL_1+FL-2} = F{L_1+L_2}=FL$

В ситуации, когда равнодействующая момента нескольких сил равнозначна нулю, он будет считаться одинаковым относительно всех параллельных друг другу осей. По этой причине воздействие на тело всех этих сил возможно заменить действием всего лишь одной пары сил с таким же моментом.