Введение

В математике и её приложениях к естествознанию и технике находят широкое применение показательные функции. Это, в частности, объясняется тем, что многие изучаемые в естествознании явления относятся к числу так называемых процессов органического роста, в которых скорости изменения участвующих в них функций пропорциональны величинам самих функций.

Если обозначить через функцию, а через аргумент, то дифференциальный закон процесса органического роста может быть записан в виде где некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.

Интегрирование этого уравнения приводит к общему решению в виде показательной функции

Если задать начальное условие при, то можно определить произвольную постоянную и, таким образом, найти частное решение которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса.

К процессам органического роста относятся при некоторых упрощающих предположениях такие явления, как, например, изменение атмосферного давления в зависимости от высоты над поверхностью Земли, радиоактивный распад, охлаждение или нагревание тела в окружающей среде постоянной температуры, унимолекулярная химическая реакция (например, растворение вещества в воде), при которой имеет место закон действия масс (скорость реакции пропорциональна наличному количеству реагирующего вещества), размножение микроорганизмов и многие другие.

Возрастание денежной суммы вследствие начисления на неё сложных процентов (проценты на проценты) также представляет собой процесс органического роста.

Эти примеры можно было бы продолжать.

Наряду с отдельными показательными функциями в математике и её приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций и так называемые гиперболические функции. Этих функций шесть, для них введены следующие специальные наименования и обозначения:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус),

(гиперболический тангенс),

(гиперболический котангенс),

(гиперболический секанс),

(гиперболический секанс).

Возникает вопрос, почему даны именно такие названия, причём здесь гипербола и известные из тригонометрии названия функций: синус, косинус, и т. д.? Оказывается, что соотношения, связывающие тригонометрические функции с координатами точек окружности единичного радиуса, аналогичны соотношениям, связывающим гиперболические функции с координатами точек равносторонней гиперболы с единичной полуосью. Этим как раз и оправдывается наименование гиперболических функций.

Гиперболические функции

Функции, заданные формулами называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Эти функции определены и непрерывны на, причем - четная функция, а - нечетная функция.

Рисунок 1.1 - Графики функций

Из определения гиперболических функций и следует, что:

По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

Функция определена и непрерывна на, а функция определена и непрерывна на множестве с выколотой точкой; обе функции - нечетные, их графики представлены на рисунках ниже.

Рисунок 1.2 - График функции

Рисунок 1.3 - График функции

Можно показать, что функции и - строго возрастающие, а функция - строго убывающая. Поэтому указанные функции обратимы. Обозначим обратные к ним функции соответственно через.

Рассмотрим функцию, обратную к функции, т.е. функцию. Выразим ее через элементарные. Решая уравнение относительно, получаем Так как, то, откуда

Заменяя на, а на, находим формулу для функции, обратной для гиперболического синуса.

Наряду с обнаруженной нами в комплексной области связью между тригонометрическими и показательной функциями (формулы Эйлера)

в комплексной области имеется такное очень простая связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Напомним, что, согласно определению:

Если в тождестве (3) произвести замену на то в правой части получится то самое выражение, которое стоит в правой части тождества откуда вытекает равенство левых частей. То же самое имеет место для тождеств (4) и (2).

Путем деления обеих частей тождества (6) на соответствующие части тождества (5) и, наоборот, (5) на (6) получим:

Аналогичная замена в тождествах (1) и (2) и сравнение С тождествами (3) и (4) дают:

Наконец, из тождеств (9) и (10) находим:

Если в тождествах (5)-(12) положить где х - действительное число, т. е. считать аргумент чисто мнимым, то получим еще восемь тождеств между тригонометрическими функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими гиперболическими функциями действительного аргумента, а также между гиперболическими функциями чисто мнимого Аргумента и соответствующими тригонометрическими функциями действительного аргумента:

Полученные соотношения дают возможность переходить от тригонометрических функций к гиперболическим и от

гиперболических функций к тригонометрическим с заменой мнимого аргумента действительным. Они могут быть сформулированы в виде следующего правила:

Для перехода от тригонометрических функций мнимого аргумента к гиперболическим или, наоборот, от гиперболических функций мнимого аргумента к тригонометрическим следует у синуса и тангенса мнимую единицу вынести за знак функции, а у косинуса отбросить ее вовсе.

Установленная связь замечательна, в частности, тем, что позволяет получить все соотношения между гиперболическими функциями из известных соотношений между тригономет рическими функциями путем замены последних гипербёли ческими функциями

Покажем, как это. делается.

Возьмем для примера основное тригонометрическое тож дество

и положим в нем где х - действительное число; получим:

Если в этом тождестве заменить синус и косинус гипербо лическими синусом и косинусом по формулам то получим или а это и есть основное тождество между выведенное ранее другим путем.

Аналогичным образом можно вывести все остальные формулы, в том числе формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов и т. , таким образом, из обычной тригонометрии получить «гиперболическую тригонометрию».

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — Гиперболические синус (sh x) и косинус (сh x) определяются следующими равенствами:

Гиперболические тангенс и котангенс определяются по аналогии с тригонометрическими тангенсом и котангенсом:

Аналогично определяются гиперболические секанс и косеканс:

Имеют место формулы:

Свойства гиперболических функций во многом аналогичны свойствам (см.). Уравнения х=соs t, у=sin t определяют окружность х²+у² = 1; уравнения х=сh t, у=sh t определяют гиперболу х² - у²=1. Как тригонометрические функции определяются из окружности единичного радиуса, так и гиперболические функции определяются из равнобочной гиперболы х² - у²=1. Аргумент t есть двойная площадь заштрихованного криволинейного треугольника ОМЕ (рис. 48), аналогично тому как для круговых (тригонометрических) функций аргумент t численно равен удвоенной площади криволинейного треугольника ОКЕ (рис. 49):

для круга

для гиперболы

Теоремы сложения для гиперболических функций аналогичны теоремам сложения для тригонометрических функций:

Эти аналогии легко усматриваются, если за аргумент х принять комплексное переменное г. Гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями следующими формулами: sh x = — i sin ix, ch x = cos ix,где i - одно из значений корня √-1 . Гиперболические функции sh х, а также и сh x: могут принимать сколько, угодно большие значения (отсюда, естественно, и большие единицы) в отличие от тригонометрических функций sin х, соs х, которые для действительных значений не могут быть по модулю больше единицы.
Гиперболические функции играют роль в геометрии Лобачевского (см. ), используются при изучении сопротивления материалов, в электротехнике и других отраслях знаний. Встречаются в литературе также обозначения гиперболических функций такие sinh x; соsh х; tgh x.