Учитель математики, СОШ № 23, г. Астрахань

Новакова С.А.

ТЕМА УРОКА: РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

9 класс

Цель урока: закрепить и углубить знания учащихся в процессе решения различных упражнений по заданной теме; содействовать развитию взаимовыручки и взаимопомощи, умению вести культурную дискуссию.

Задачи урока :

1. закрепить умение решать рациональные неравенства методом интервалов; рассмотреть различного уровня сложности рациональные неравенства; проверить умение учащихся решать рациональные неравенства;
2. создать условия для развития умений и навыков применять знания в новых ситуациях; для развития качеств мышления: гибкости, целенаправленности, рациональности, критичности с учетом индивидуальных особенностей.

Тип урока : обобщающий урок; закрепления и совершенствования знаний и умений.

Формы организации деятельности на уроке:

1. фронтальная
2. индивидуальная
3. коллективная

Структура урока:

1. организационный момент;
2. мотивационная беседа;
3. актуализация знаний;
4. индивидуальная или коллективная работа с заданиями;
5. подведение итогов.

Методы:

1. словесные;
2. наглядные;
3. практические.

Оборудование:

1. компьютеры;
2. мультимедийный проектор;
3. персональные карточки.

Прогнозируемый результат: закрепление умений и навыков решения рациональных неравенств; формирование умения планировать свою работу; достижение каждым учащимся того уровня умений и навыков, который ему необходим:

I уровень - решать простейшие рациональные неравенства; решать неравенства по заданному алгоритму;

II уровень - решать рациональные неравенства, самостоятельно выбирая метод решения;

III уровень - применять полученные знания в нестандартной ситуации.

ХОД УРОКА.

1. Организация. Постановка задач.
2. Актуализация опорных знаний. Устные упражнения. (Слайд 2-4)

1) Равносильны ли следующие неравенства?

а) и (нет)

б) и (да)

2) Определите метод решения уравнения:

3) Определите ход решения неравенства:

б) ﴾2х 2 +11х+6)﴾2х 2 +11х+13)

1. Повторить алгоритм решения рационального неравенства методом интервалов: (Слайд 5)

1. В каждом множителе коэффициент при старшей степени переменной должен быть положительный, для этого надо вынести минус из всех множителей, в которых коэффициент при старшей степени отрицательный, и если перед выражением все же остался знак минус, то надо все неравенство умножить на (-1).

Получим корни числителя и точки разрыва знаменателя .

1. На числовой прямой отложим все полученные значения и проведем кривую знаков.

1. Решение заданий. (Слайд 6, 7)

1. Решите неравенство .

Ответ:

2. Решите неравенство .
Ответ:

3. Найдите разность между целыми наибольшим и наименьшим решениями неравенства

Ответ: 4.

4. Решите неравенство .
Ответ:

5. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного решения неравенства

Ответ: -42.

6. Найдите наименьшее целое решение неравенства .

7. Сколько простых чисел являются решениями неравенства ?

Ответ: 1.

1. Персональные карточки для проверочных работ.

Карточка № 1.

1. Решить неравенство:

≤ .

а) [-4; -2) ∪ (0;5],

б) (–1, 0] ∪ ,

г) нет решений.

2. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > 1.

а) х ∈ (- ∞ ; -3,5),

Б) –3,

в) –4,

г) нет решений.

Карточка № 2.

1. Найти наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > -.

а)5,

б) –3,

в) 4,

г)нет решений.

2. Решить неравенство:

а) (-9; -5) ∪ (0; 8),

Б) (–8, -7) ∪ (1;3),

В) (- ∞ ; -7) ∪ (1; 3),

Г) нет решений.

Карточка № 3.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3) ∪ (0; 3,

Б) (–3, 0) ∪ (0; ∞ ),

В) (5; 7),

Г) нет решений.

2. Найти целочисленные решения неравенств:

а) 0, 1, 2,

Б) 4, 5,

В) 7,

Г)нет решений.

Карточка № 4.

1. Решить неравенство:

а) (- ∞ ; -3/25) ∪ (0; ∞ ),

б) (–12, 0) ∪ (7;9),

В) (- ∞ ;) ∪ (; 5),

Г) нет решений.

2. Найти сумму целых решений неравенства

а) 2,

б) 4,

в) 0,

г) 1,

д) 3.

1. Подведение итогов.

В ходе урока учащиеся закрепили умение решать рациональные неравенства, рассмотрели решение рациональных неравенств различного уровня сложности. Учащиеся на практике показали умение применять метод интервалов при решении рациональных неравенств. Особое внимание следует уделить решению нестрогих рациональных неравенств.

1. Домашнее задание. (Слайд 8)

1. Найдите наименьшее целое отрицательное решение неравенства

2. Решите неравенство .
3. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства

.

1. Список используемой литературы :

1. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. учрежденпий./ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 255 с.
2. Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся./ Беленкова Е.Ю., Лебединцева Е.А. – М.: Интеллект – центр, 2003. – 176 с.
3. «Малое ЕГЭ» по математике: 9 класс: Подготовка учащихся к итоговой аттестации / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин. – М.: Эксмо, 2008. – 192 с.

Конспект урока алгебры в 9 классе по теме «Решение рациональных неравенств» (УМК С.М. Никольского).

Составила Карачун В.В., учитель математики и информатики МБОУ Кутуликская СОШ

Тип урока : « Открытие» нового знания.

Цели:

Предметные : ввести понятие рационального неравенства с одной переменной; создать условия для формирования представлений об алгоритме решения рациональных неравенств; научить применять метод интервалов к решению рациональных неравенств; способствовать развитию математической речи; воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, работе в группах, индивидуальной работе.

Коммуникативные : уметь договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов, участвовать в коллективном обсуждении проблем.

Регулятивные: различать способ и результат действия, оценивать правильность выполнения действия, умение учиться и способность к организации своей деятельности; создать условия для развития умения анализировать, обобщать изучаемые факты, рефлексии способов и условий действия.

Познавательные : осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий с использованием учебной литературы; владеть общим приемом решения рациональных неравенств,

Личностные : формирование познавательного интереса.

Средства, обеспечивающие учебный процесс на уроке: компьютер, проектор, презентация, карточки с заданиями для групп.

План урока:

1. Организационный момент: приветствие, проверка готовности.

3. Целеполагание.

4. «Открытие» нового знания.

Физминутка (проводит учащийся класса).

5. Фиксация нового алгоритма действия (работа по группам).

6. Самостоятельная работа.

7. Итоги урока. (Рефлексия деятельности).

8. Домашняя работа.

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащегося			УУД
1. Организационный момент. Цель этапа: включение учащихся в деятельность.
Здравствуйте, ребята! Садитесь. Древняя китайская мудрость гласит: «Я слышу - я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - я понимаю». И сегодня я вас призываю следовать этой мудрости. «Я слышу - я вижу - я делаю» Слайд 1.	Приветствуют учителя, подготавливаются к уроку.			Мобилизация внимания, уважение к окружающим (Л)
2. Актуализация знаний учащихся. Создание проблемной ситуации. Цель этапа: Сформировать интерес к процессу учебной деятельности путем создания ситуации «интеллектуального конфликта»
Решить неравенства: 1.(х-1)(х-2)(х-3)>0 2.(х-1)³(х-2)²(х-4)˂0 4. ˂0	Учащиеся решают неравенства №1 и№2. Возникают сложности с решением 3 и 4 неравенств.				Самоопределение, учебная мотивация (Л) Умеют выполнять учебное задание; фиксируют индивидуальное затруднение в пробном учебном действии (Р) Принимают и решают учебные и познавательные задачи (П) Четко выражают свои мысли (К)
3. Целеполагание. Цель этапа: Формулирование темы урока; постановка учебной задачи.
Как вы думаете, называются неравенства №3 и №4? Сформулируйте тему урока. Слайд 2. Чем будем заниматься на уроке?	Данные неравенства называются рациональными. Решение рациональных неравенств. Учиться решать рациональные неравенства.						Определяют и формулируют цель деятельности (Р) Обобщают знания и делают выводы (П) Планирование учебного сотрудничества (К)
4. «Открытие» нового знания. Цель этапа: обеспечение восприятия, осмысления и первичного закрепления учащимися новой темы.
Слайд 3: Определение рационального неравенства с одной неизвестной. Слайд 4: Примеры рациональных неравенств. Слайд 5: Что значит решить неравенство? Слайд 6: Обоснование равносильности неравенств > 0 и А(х)В(х)>0 Ребята, я предлагаю вам выполнить проект «Решение рациональных неравенств. Пособие для учащихся 9-ых классов». Класс разделен на 5 групп по 4 человека. Каждой группе предложена карточка с заданиями: Решить типовой пример №1-№5 стр.46-48 (каждой группе по одному; приложение 1) Определить вид данного неравенства. Записать алгоритм решения неравенства. Выбрать и решить «похожее» неравенство для домашней работы. Выбрать «похожее» неравенство для самостоятельной работы в двух вариантах.	Приводят «свои» примеры рациональных неравенств . Ребята работают с текстом учебника (п.3.2) и дидактическими материалами по алгебре для 9 класса (М.К. Потапов, А.В. Шевкин). Обязанности в группах распределены: решение типового рационального неравенства всеми учащимися группы; объяснение решения неравенства у доски; создание алгоритма решения неравенства; подбор неравенства для домашней работы; формулирование заданий для самостоятельной работы.					Самоопределение (Л) Анализ объектов с целью выделения признаков; подведение под понятие; целеполагание (П) Выполнение пробного учебного действия; фиксирование индивидуального затруднения; саморегуляция в ситуации затруднения (Р) Выражение своих мыслей; аргументация своего мнения; учёт разных мнений (К)
Фиксация нового алгоритма действия. Цель этапа : Создание нового образовательного продукта: алгоритма решения рациональных неравенств .
Защита проекта. Акцентирует внимание учащихся на грамотное оформление решений рациональных неравенств. Отвечает на возникающие вопросы.	Работают все учащиеся группы в соответствии с распределением обязанностей: 1-й учащийся транслирует решение на экран и объясняет его решение; 2-й учащийся записывает алгоритм решения неравенства; 3-й учащийся записывает домашнюю работу; 4-й учащийся записывает задания для самостоятельной работы с обратной стороны доски. Остальные учащиеся записывают решения предложенных неравенств в тетрадь, задают вопросы.							Доброжелательность, трудолюбие, аккуратность (Л) Работа по алгоритму, овладение приемами контроля и самоконтроля усвоения изученного (Р) Применение новых знаний на практике (П) Осуществление взаимоконтроля и взаимопомощи (К)
Вывод работы групп. Слайд 7. Алгоритм решения рациональных неравенств. ( А(х)В(х)>0 >0 >0
Самостоятельная работа. Цель этапа : проверить качество усвоения изученного материала.
С обратной стороны доски записана самостоятельная работа в двух вариантах I вариант II вариант 2.

На этом уроке мы вспомним весь пройденный по теме материал и будем решать примеры с различным типом неравенств. Вначале повторим метод интервалов и операции пересечения и объединения множеств. Далее будем решать примеры с использованием стандартных методик решения.

Тема: Рациональные неравенства и их системы

Урок: Обзорный урок по теме: «Рациональные неравенства и их системы»

Мы дозированно увеличивали сложность систем неравенств: сначала решали линейные системы, потом добавляли квадратные неравенства, рациональные неравенства , сами составляли системы, и, таким образом, у нас выработалась методика решения систем неравенств.

Она включает в себя важные элементы:

1. Метод интервалов как метод решения отдельных неравенств.

2. Операция пересечения и объединения числовых множеств.

Рассмотрим эти элементы. Вспомним метод интервалов на примере:

Рассмотрим функцию

Найдем корни квадратного трехчлена

Найдем корни по теореме Виета

Выделим интервалы знакопостоянства.

При переходе через т.-1 функция не меняет знак, т.к. скобка в четной степени.

Мы допустили ошибку, не указали изолированное решение.

Ответ:

Изобразим эскиз графика функции.

Метод интервалов - важнейший элемент решения рациональных неравенств и систем.

Смысл операций пересечения и объединения множеств, в том числе числовых, помогает уяснить следующая картинка:

Пересечение множеств.

Имеем множество А неких элементов и множество В. Какая-то часть этих элементов одновременно попадает и во множество А, и во множество В, и она называется пересечением А и В (Рис. 3).

Например:

2.

Их пересечение дает следующее множество:

Объединение множеств.

Есть элементы которые входят только во множество А, есть элементы которые входят только в множество В. Есть те, которые входят и туда и туда - эти элементы образуют пересечение множеств.

А все элементы из А и недостающие элементы из В образуют объединение множеств (Рис. 5).

Например:

(Рис. 6).

Решением неравенства является объединение двух множеств:

Еще один пример.

Найти пересечение и объединение множеств.

Пересечение множеств:

Объединение множеств:

Решением является любое число,

5.

Решить систему простейших неравенств.

Ответ:

Мы повторили метод интервалов, операции объединения и пересечения множеств. Теперь рассмотрим обратную задачу, которая позволит глубже понять смысл решения неравенств.

Дано решение неравенства, нужно придумать хотя бы одно неравенство, для которого оно справедливо.

6. Найти неравенство, решением которого является данное объединение множеств.

Это может быть решение квадратного неравенства. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола, проходящая через точки 2 и 4.

Рассмотрим задачи с модулем.

Рассмотри первое неравенство. Что такое ? Это расстояние от точки с координатами x до точки3. А означает, что расстояние между этими точками не больше 2. Изобразим графически:

Решим второе неравенство.

Рассмотрим функцию

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Вернемся к системе.

Ответ:

Сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение. Ответ: Наименьшего решения данной системы не существует.

Найти наибольшее решение. Ответ:

Мы провели обзор решения систем рациональных неравенств. Мы рассмотрели основные элементы, которые обеспечивают успех прохождения методики решения неравенств. Что нужно, чтобы решить неравенство? Метод интервалов. Что нужно, чтобы получить решение типовых систем? Нужно представлять себе операции пересечения и объединения.

Неравенства потребуются нам и в дальнейшем.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естественных Наук ().

2. Портал Естественных Наук ().

3. Портал Естественных Наук ().

4. Портал Естественных Наук ().

5. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

7. Центр образования «Технология обучения» ().

8. Центр образования «Технология обучения» ().

9. Центр образования «Технология обучения» ().

10. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 82 - 84; Домашняя контрольная работа № 1.

Материал данного урока предназначен для повторения решения линейных неравенств; формирования понятия «системы рациональных неравенств», «решение рациональных неравенств»; формирования умений решать системы линейных неравенств любой сложности.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока математики в 9 классе

по теме: «Системы рациональных неравенств»

Цели урока:

• повторить решение линейных неравенств;
• вывести понятия «системы рациональных неравенств», «решение рациональных неравенств»;
• объяснить решение простейших систем линейных неравенств;
• формировать умение решать системы линейных неравенств любой сложности.

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Работа по карточкам

Карточка № 1.

Решите неравенство:

а) 5х+4

Карточка № 2.

Решите неравенство:

а) 8х+9≤ -4х+3 б) х²-2х-24≥0

Карточка № 3.

1. Дано множество {-10,3; -7; 0; 2,6; 3}. Составьте его подмножество, состоящее из неотрицательных чисел.
2. Множество А состоит из делителей числа 12, а множество В – из делителей числа 18. Найдите пересечение и объединение данных множеств.

Карточка № 4.

1. Дано множество {-1,3; 0; 2; 3,8; 6; 11}. Составьте его подмножество, состоящее из натуральных чисел.

2. Множество А состоит из делителей числа 30, а множество В – из делителей числа 45. Найдите пересечение и объединение данных множеств.

(Карточки предлагаются 4 обучающимся, а в это время класс выполняет математический диктант)

Математический диктант. (Слайд 2)

Неравенство	Рисунок	Промежуток
х≤9
		(7;9]

Для проверки приводится следующая таблица (слайд 3):

Неравенство	Рисунок	Промежуток
х>7		(7;+∞)
х≤9		(-∞; 9]
		(7;9]

3. Подготовка к введению нового материала. Определение темы и целей урока.

Учитель задаёт вопросы, обучающиеся отвечают на них.

1. Что такое система уравнений?
2. Что является решением системы уравнений?
3. Что значит решить систему уравнений?

Решите систему уравнений (слайд 4): х-у=5

Х+у=7 (6;1)

4) Что такое рациональное неравенство?

5) Что значит решить неравенство?

Рассмотрим два примера, решение которых, как мы увидим, приведет нас к новой математической модели. В этих примерах нам необходимо найти область определения выражений. (обучающиеся решают самостоятельно и проверяют по ключу) (слайд 5)

Пример 1. √2х-4

Пример 2. √8-х

А теперь рассмотрим выражение √2х-4 + √8-х. (слайд 6)

Как же найти его область определения?

Да она существует тогда, когда существует первый и второй корень одновременно. Что это вам напоминает? (ответы детей)

Вот мы и пришли к новой математической модели – система неравенств.

Какова же тема сегодняшнего нашего урока? (ответы обучающихся)

Да. Тема нашего урока: «Системы рациональных неравенств». (слайд 7)

Как вы думаете, какие вопросы могут возникнуть при изучении данной темы?

Из ваших ответов у нас получились цели урока. (слайд 8)

Что нам поможет в выполнении наших целей?

4. Изучение нового материала.

Вернемся к нашему выражению: √2х-4 + √8-х (слайд 9). Мы с вами сказали, что область определения данного выражения существует тогда, когда существует первый и второй корень одновременно. В этом случае говорят, что нужно решить систему неравенств

2х – 4 ≥ 0

8 – х ≥ 0.

Что же такое система неравенств?

Прочитаем определение в учебнике (стр. 41) и сравним с тем, которое озвучили вы.

Мы решили каждое неравенство отдельно. А теперь, чтобы найти общее решение, поступим следующим образом: на числовой прямой Ох отметим сначала решение первого неравенства х ≥ 2, а затем на этой же прямой отметим решение и второго неравенства – х ≤ 8. Они пересекаются в отрезке . (Запись воспроизводится на доске) Следовательно решением этой системы будет отрезок .

Так что же является решением системы неравенств? И что значит решить систему неравенств? (ответы обучающихся)

Давайте рассмотрим простейшие, но очень важные опорные знания. Решим системы неравенств:

Х > 7 Ответ: х > 10

Х > 10

Х > 7 Ответ: (7; 10]

Х ≤ 10

Х ≤ 7 Ответ: х ≤ 7

Х ≤ 10

Х ≥ 1 Ответ: }