تاریخچه قضیه بزرگ فرمت
یک ماجرای بزرگ

یک بار در شماره فهرست پستی سال نو در مورد نحوه درست کردن نان تست، به طور اتفاقی اشاره کردم که در پایان قرن بیستم یک رویداد بزرگ وجود داشت که بسیاری متوجه آن نشدند - به اصطلاح آخرین قضیه فرما در نهایت ثابت شد. به همین مناسبت، در میان نامه هایی که دریافت کردم، دو پاسخ از دخترانی یافتم (یکی از آنها، تا آنجا که من به یاد دارم، ویکا، دانش آموز کلاس نهم از Zelenograd است) که از این واقعیت شگفت زده شده بودند.

و من از اینکه دختران چقدر به مسائل ریاضیات مدرن علاقه مند هستند شگفت زده شدم. بنابراین، من فکر می کنم که نه تنها دختران، بلکه پسران در تمام سنین - از دانش آموزان دبیرستانی گرفته تا بازنشستگان، نیز علاقه مند به یادگیری تاریخ قضیه بزرگ خواهند بود.

اثبات قضیه فرما یک رویداد بزرگ است. و از معمول نیست که با کلمه "عالی" شوخی کنیم، پس به نظرم می رسد که هر گوینده ای که به خود احترام می گذارد (و همه ما وقتی می گوییم سخنرانان) به سادگی موظف به دانستن تاریخچه قضیه هستیم.

اگر اتفاق افتاده است که شما ریاضیات را آنقدر که من دوستش دارم دوست ندارید، با یک نگاه گذرا به برخی از جزئیات با جزئیات نگاه کنید. با درک اینکه همه خوانندگان لیست پستی ما علاقه ای به سرگردانی در طبیعت ریاضیات ندارند، سعی کردم هیچ فرمولی (به جز معادله قضیه فرما و چند فرضیه) ارائه ندهم و پوشش برخی موضوعات خاص را ساده تر کنم. تا حد امکان

چگونه فرما فرنی را دم می کرد

وکیل فرانسوی و ریاضیدان بزرگ نیمه وقت قرن هفدهم، پیر فرما (1601-1665)، یک جمله کنجکاو از حوزه نظریه اعداد مطرح کرد که بعدها به عنوان قضیه بزرگ (یا بزرگ) فرما شناخته شد. این یکی از معروف ترین و خارق العاده ترین قضایای ریاضی است. احتمالاً اگر در کتاب دیوفانتوس اسکندریه (قرن سوم پس از میلاد) "حساب" که فرما اغلب آن را مطالعه می کرد و در حاشیه های وسیع آن یادداشت می کرد و پسرش ساموئل با مهربانی آن را برای آیندگان حفظ کرد، هیجان اطراف آن چندان قوی نبود. تقریباً ورودی زیر از ریاضیدان بزرگ یافت نشد:

من شواهد بسیار شگفت انگیزی دارم، اما آنقدر بزرگ است که در حاشیه قرار بگیرد.»

این ورودی بود که باعث آشفتگی بزرگ بعدی پیرامون قضیه شد.

بنابراین، دانشمند معروف گفت که او قضیه خود را ثابت کرده است. بیایید این سوال را از خود بپرسیم: آیا او واقعاً آن را ثابت کرده است یا دروغ گفته است؟ یا آیا نسخه های دیگری برای توضیح ظاهر آن ورودی حاشیه ای وجود دارد که به بسیاری از ریاضیدانان نسل های بعدی اجازه نمی داد آرام بخوابند؟

تاریخچه قضیه بزرگ به اندازه یک ماجراجویی در طول زمان جذاب است. فرما در سال 1636 بیان کرد که معادله ای از فرم x n + y n =z nهیچ راه حلی در اعداد صحیح با توان n>2 ندارد. این در واقع آخرین قضیه فرما است. در این فرمول ریاضی به ظاهر ساده، جهان پیچیدگی باورنکردنی را پنهان کرده است. اریک تمپل بل، ریاضیدان آمریکایی اسکاتلندی الاصل، در کتابش به نام «مسئله نهایی» (1961)، حتی پیشنهاد کرد که شاید بشریت قبل از اینکه بتواند آخرین قضیه فرما را اثبات کند، وجود نخواهد داشت.

تا حدودی عجیب است که این قضیه به دلایلی با تولدش تاخیر داشت، زیرا این وضعیت مدت ها به تعویق افتاده بود، زیرا مورد خاص آن برای n = 2 - یکی دیگر از فرمول های ریاضی معروف - قضیه فیثاغورث، بیست و دو قرن زودتر به وجود آمد. بر خلاف قضیه فرما، قضیه فیثاغورث دارای بی نهایت جواب اعداد صحیح است، به عنوان مثال، مثلث های فیثاغورثی: (3،4،5)، (5،12،13)، (7،24،25)، (8،15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

سندرم قضیه بزرگ

کسی که فقط سعی نکرد قضیه فرما را اثبات کند. هر دانش آموز نوپایی این را وظیفه خود می دانست که به قضیه بزرگ بپردازد، اما هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند. در ابتدا صد سال کار نکرد. بعد صد تا دیگه و بیشتر یک سندرم توده ای در بین ریاضیدانان شروع به ایجاد کرد: "چطور است؟ فرما این را ثابت کرد، اما اگر من نتوانم، یا چه؟" - و برخی از آنها بر این اساس به معنای کامل دیوانه شدند.

مهم نیست که چقدر این قضیه آزمایش شده است، همیشه درست است. من یک برنامه نویس پرانرژی را می شناختم که با ایده رد قضیه بزرگ از طریق تلاش برای یافتن حداقل یک راه حل (مثال متقابل) با تکرار روی اعداد صحیح با استفاده از یک رایانه سریع (در آن زمان معمولاً رایانه نامیده می شد) وسواس داشت. او به موفقیت کار خود اعتقاد داشت و دوست داشت بگوید: "کمی بیشتر - و احساسی رخ خواهد داد!" من فکر می کنم که در نقاط مختلف سیاره ما تعداد قابل توجهی از این نوع جویندگان جسور وجود داشت. البته راه حلی پیدا نکرد. و هیچ رایانه‌ای، حتی با سرعت شگفت‌انگیز، هرگز نمی‌توانست قضیه را آزمایش کند، زیرا همه متغیرهای این معادله (از جمله نماها) می‌توانند تا بی نهایت افزایش یابند.

قضیه نیاز به اثبات دارد

ریاضیدانان می‌دانند که اگر قضیه‌ای ثابت نشود، هر چیزی (اعم از درست یا نادرست) می‌تواند از آن نتیجه بگیرد، همان‌طور که در مورد برخی فرضیه‌های دیگر چنین شد. به عنوان مثال، پیر فرما در یکی از نامه های خود پیشنهاد کرد که اعداد به شکل 2 n +1 (اصطلاحاً اعداد فرما) لزوماً اول هستند (یعنی مقسوم علیه عدد صحیح ندارند و فقط بر خود و بر خود قابل تقسیم هستند. یکی بدون باقیمانده)، اگر n توان دو باشد (1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، و غیره). فرضیه فرما بیش از صد سال زنده ماند - تا اینکه لئونارد اویلر در سال 1732 نشان داد که

2 32 + 1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

سپس، تقریباً 150 سال بعد (1880)، فورچون لندری عدد فرما زیر را فاکتور گرفت:

2 64 + 1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

چگونه می توانند مقسوم علیه این اعداد بزرگ را بدون کمک کامپیوتر پیدا کنند - فقط خدا می داند. به نوبه خود، اویلر این فرضیه را مطرح کرد که معادله x 4 + y 4 + z 4 =u 4 هیچ راه حلی در اعداد صحیح ندارد. با این حال، حدود 250 سال بعد، در سال 1988، نائوم الکیس از هاروارد موفق شد (که قبلاً با استفاده از یک برنامه کامپیوتری) کشف کند که

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

بنابراین، آخرین قضیه فرما نیاز به اثبات داشت، در غیر این صورت فقط یک فرضیه بود، و به خوبی می‌توانست جایی در میدان‌های عددی بی‌پایان حل معادله قضیه بزرگ گم شود.

باهوش ترین و پرکارترین ریاضیدان قرن هجدهم، لئونارد اویلر، که آرشیو سوابقش را بشر برای تقریباً یک قرن مرتب می کند، قضیه فرما را برای قدرت های 3 و 4 اثبات کرد (یا بهتر است بگوییم، او شواهد گمشده خود پیر فرما را تکرار کرد). ; پیرو او در نظریه اعداد، لژاندر (و بطور مستقل دیریکله) - برای درجه 5. لنگ - برای درجه 7. اما به طور کلی، قضیه اثبات نشده باقی ماند.

در 1 مارس 1847، در جلسه آکادمی علوم پاریس، دو ریاضیدان برجسته به طور همزمان - گابریل لم و آگوستین کوشی - اعلام کردند که آنها به پایان اثبات قضیه بزرگ رسیده اند و مسابقه ای ترتیب دادند و آنها را منتشر کردند. اثبات در قطعات با این حال، دوئل بین آنها قطع شد زیرا همان خطا در اثبات آنها کشف شد که توسط ریاضیدان آلمانی ارنست کومر به آن اشاره شد.

در آغاز قرن بیستم (1908)، یک کارآفرین، بشردوست و دانشمند ثروتمند آلمانی، پل ولفسکل، صد هزار مارک را به هرکسی که اثبات کامل قضیه فرما را ارائه کند، وصیت کرد. قبلاً در اولین سال پس از انتشار وصیت نامه ولفسکل توسط آکادمی علوم گوتینگن، هزاران دلیل از طرف دوستداران ریاضیات غرق شد و این جریان برای چندین دهه متوقف نشد، اما، همانطور که می توانید تصور کنید، همه آنها حاوی اشتباهاتی بودند. . آنها می گویند که آکادمی فرم هایی با محتوای زیر تهیه کرده است:

عزیز _________________________!
در اثبات قضیه فرما در صفحه ____ صفحه ____ از بالا
خطای زیر در فرمول پیدا شد: __________________________:

که برای متقاضیان بدشانس برای دریافت جایزه ارسال شد.

در آن زمان، یک نام مستعار نیمه تحقیرآمیز در حلقه ریاضیدانان ظاهر شد - فرمیست. این نامی بود که به هر تازه‌کار با اعتماد به نفسی که دانش نداشت، اما بیشتر از آن که می‌خواست عجله‌اش را در اثبات قضیه بزرگ امتحان کند، می‌گذاشتند و سپس، بدون توجه به اشتباهات خود، با غرور به سینه‌اش سیلی زد و با صدای بلند اعلام کرد: «من اولین قضیه فرما را ثابت کرد! هر کشاورز، حتی اگر ده هزارمین تعداد بود، خود را اولین می دانست - این مضحک بود. ظاهر ساده قضیه بزرگ به قدری طعمه های آسان را به یاد فرمیست ها می اندازد که اصلاً از اینکه حتی اویلر و گاوس هم نمی توانند با آن کنار بیایند، خجالت نمی کشند.

(فرمیست ها، به طرز عجیبی، امروزه هنوز هم وجود دارند. اگرچه یکی از آنها معتقد نبود که او این قضیه را مانند یک فرمیست کلاسیک اثبات کرده است، اما تا همین اواخر تلاش هایی انجام داد - وقتی به او گفتم که قضیه فرما قبلاً وجود داشت، از باور من امتناع کرد. ثابت).

قدرتمندترین ریاضیدانان، شاید در خلوت دفاترشان، نیز سعی می کردند با احتیاط به این هالتر سنگین نزدیک شوند، اما با صدای بلند در مورد آن صحبت نکردند تا به عنوان فرمیست شناخته نشوند و در نتیجه به اقتدار بالای آنها آسیبی وارد نشود.

در آن زمان، اثبات قضیه برای توان n ظاهر شد<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

فرضیه عجیب

تا اواسط قرن بیستم، هیچ پیشرفت عمده ای در تاریخ قضیه بزرگ مشاهده نشد. اما به زودی یک اتفاق جالب در زندگی ریاضی رخ داد. در سال 1955، یوتاکا تانیاما، ریاضیدان 28 ساله ژاپنی، بیانیه ای را از حوزه کاملاً متفاوتی از ریاضیات، به نام فرضیه تانیاما (معروف به فرضیه تانیاما-شیمورا-ویل) ارائه کرد که بر خلاف قضیه دیرهنگام فرما، جلوتر از آن بود. وقتشه.

حدس تانیاما می گوید: "به هر منحنی بیضی شکل مدولار خاصی مطابقت دارد." این جمله برای ریاضیدانان آن زمان به همان اندازه پوچ به نظر می رسید که این جمله برای ما به نظر می رسد: "فلز خاصی با هر درخت مطابقت دارد." حدس زدن اینکه چگونه یک فرد عادی می تواند با چنین جمله ای ارتباط برقرار کند دشوار نیست - او به سادگی آن را جدی نمی گیرد، که اتفاق افتاد: ریاضیدانان به اتفاق آرا این فرضیه را نادیده گرفتند.

یه توضیح کوچولو منحنی های بیضوی، که برای مدت طولانی شناخته شده اند، دارای فرم دو بعدی (واقع در یک هواپیما) هستند. توابع مدولار، که در قرن نوزدهم کشف شد، شکلی چهار بعدی دارند، بنابراین ما حتی نمی توانیم آنها را با مغز سه بعدی خود تصور کنیم، اما می توانیم آنها را به صورت ریاضی توصیف کنیم. علاوه بر این، فرم‌های مدولار از این جهت شگفت‌انگیز هستند که حداکثر تقارن ممکن را دارند - می‌توان آنها را به هر جهتی ترجمه کرد (تغییر داد)، آینه کرد، قطعات را می‌توان تعویض کرد، به روش‌های بی‌نهایتی چرخش داد - و ظاهر آنها تغییر نمی‌کند. همانطور که می بینید، منحنی های بیضوی و فرم های مدولار اشتراکات کمی دارند. فرضیه تانیاما بیان می کند که معادلات توصیفی این دو شیء ریاضی کاملاً متفاوت متناظر با یکدیگر را می توان در یک سری ریاضی بسط داد.

فرضیه تانیاما بسیار متناقض بود: مفاهیم کاملاً متفاوت را با هم ترکیب می کرد - منحنی های نسبتاً مسطح ساده و اشکال چهار بعدی غیرقابل تصور. این هرگز به ذهن کسی نمی رسید. هنگامی که در یک سمپوزیوم بین‌المللی ریاضی در توکیو در سپتامبر 1955، تانیاما چندین تناظر بین منحنی‌های بیضوی و اشکال مدولار را نشان داد، همه این را چیزی جز یک تصادف خنده‌دار نمی‌دانستند. به سؤال ساده تانیاما: آیا می توان تابع مدولار مربوطه را برای هر منحنی بیضوی پیدا کرد، آندره ویل فرانسوی که در آن زمان یکی از بهترین متخصصان نظریه اعداد جهان بود، پاسخ کاملاً دیپلماتیک داد. اگر تانیاما کنجکاو شور و شوق را ترک نکند، شاید او خوش شانس باشد و فرضیه باورنکردنی او تایید شود، اما این اتفاق نباید به زودی رخ دهد. به طور کلی، مانند بسیاری از اکتشافات برجسته دیگر، در ابتدا فرضیه تانیاما نادیده گرفته شد، زیرا آنها هنوز به آن رشد نکرده بودند - تقریباً هیچ کس آن را درک نکرد. تنها یکی از همکاران تانیاما، گورو شیمورا، که دوست بسیار با استعداد خود را به خوبی می شناخت، به طور شهودی احساس کرد که فرضیه او درست است.

سه سال بعد (1958)، یوتاکا تانیاما خودکشی کرد (با این حال، سنت های سامورایی در ژاپن قوی است). از نقطه نظر عقل سلیم - یک عمل غیر قابل درک است، به خصوص زمانی که شما در نظر بگیرید که خیلی زود او قرار است ازدواج کند. رهبر ریاضیدانان جوان ژاپنی یادداشت خودکشی خود را اینگونه آغاز کرد: "دیروز به خودکشی فکر نمی کردم. اخیراً بارها از دیگران شنیده ام که از نظر روحی و جسمی خسته هستم. در واقع حتی الان هم نمی فهمم چرا هستم. انجام این کار...» و به همین ترتیب در سه صفحه. البته حیف که این سرنوشت یک فرد جالب بود، اما همه نابغه ها کمی عجیب هستند - به همین دلیل است که آنها نابغه هستند (به دلایلی، سخنان آرتور شوپنهاور به ذهن متبادر شد: "در زندگی عادی، یک استفاده از نبوغ به اندازه تلسکوپ در تئاتر است.» فرضیه رها شده است. هیچ کس نمی دانست چگونه آن را ثابت کند.

به مدت ده سال، فرضیه تانیاما به سختی ذکر شد. اما در اوایل دهه 70 محبوبیت پیدا کرد - به طور مرتب توسط همه کسانی که می توانستند آن را بفهمند بررسی می شد - و همیشه تأیید می شد (در واقع قضیه فرما) اما مانند قبل هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند.

ارتباط شگفت انگیز بین این دو فرضیه

15 سال دیگر گذشت. در سال 1984، یک رویداد کلیدی در زندگی ریاضیات رخ داد که حدسیات عجیب ژاپنی را با آخرین قضیه فرما ترکیب کرد. گرهارد فری آلمانی بیانیه عجیبی شبیه به یک قضیه مطرح کرد: "اگر حدس تانیاما ثابت شود، در نتیجه، آخرین قضیه فرما ثابت خواهد شد." به عبارت دیگر، قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما است. (فری با استفاده از تبدیل های ریاضی مبتکرانه معادله فرما را به شکل یک معادله منحنی بیضوی تقلیل داد (همان معادله ای که در فرضیه تانیاما آمده است) فرض خود را کم و بیش ثابت کرد، اما نتوانست آن را ثابت کند). و تنها یک سال و نیم بعد (1986)، استاد دانشگاه کالیفرنیا، کنت ریبت، به وضوح قضیه فری را اثبات کرد.

الان چه اتفاقی افتاد؟ اکنون معلوم شد که، از آنجایی که قضیه فرما دقیقاً نتیجه حدس تانیاما است، تنها چیزی که لازم است اثبات دومی است تا غافلگیری های فاتح قضیه افسانه ای فرما را بشکند. اما این فرضیه دشوار بود. علاوه بر این، در طول قرن ها، ریاضیدانان به قضیه فرما حساسیت پیدا کردند و بسیاری از آنها به این نتیجه رسیدند که کنار آمدن با حدس تانیاما نیز تقریبا غیرممکن است.

مرگ فرضیه فرما. تولد یک قضیه

8 سال دیگر گذشت. به نظر یکی از استادان انگلیسی مترقی ریاضیات از دانشگاه پرینستون (نیوجرسی، ایالات متحده آمریکا)، اندرو وایلز، اثباتی برای حدس تانیاما پیدا کرده است. اگر نابغه طاس نباشد، معمولاً ژولیده است. وایلز ژولیده است، بنابراین مانند یک نابغه به نظر می رسد. البته ورود به تاریخ وسوسه‌انگیز و بسیار مطلوب است، اما وایلز، مانند یک دانشمند واقعی، خود را تملق نکرد و متوجه شد که هزاران فرمیست قبل از او نیز رویای شواهد شبح‌آلود را دیده‌اند. بنابراین، قبل از ارائه مدرک خود به دنیا، خودش آن را به دقت بررسی می کرد، اما متوجه می شد که می تواند سوگیری ذهنی داشته باشد، دیگران را نیز درگیر بررسی ها می کرد، مثلاً در پوشش کارهای معمولی ریاضی، گاهی اوقات تکه های مختلفی را می انداخت. اثبات خود را به دانشجویان تحصیلات تکمیلی هوشمند. وایلز بعداً اعتراف کرد که هیچکس جز همسرش نمی‌دانست که او روی اثبات قضیه بزرگ کار می‌کند.

و بنابراین، پس از بررسی های طولانی و تأملات دردناک، سرانجام ویلز جسارت یا شاید همانطور که خود فکر می کرد، غرور کرد و در 23 ژوئن 1993 در یک کنفرانس ریاضی در مورد نظریه اعداد در کمبریج، دستاورد بزرگ خود را اعلام کرد.

البته این یک احساس بود. هیچ کس انتظار چنین چابکی را از یک ریاضیدان کمتر شناخته شده نداشت. سپس مطبوعات آمدند. همه در عذاب علاقه سوزان بودند. فرمول های ظریف مانند ضربات یک عکس زیبا در برابر چشمان کنجکاو حاضران ظاهر می شد. ریاضیدانان واقعی، به هر حال، آنها چنین هستند - آنها به انواع معادلات نگاه می کنند و در آنها اعداد، ثابت ها و متغیرها را نمی بینند، بلکه موسیقی می شنوند، مانند موتزارت که به یک گروه موسیقی نگاه می کند. درست مانند زمانی که کتابی را می خوانیم، به حروف نگاه می کنیم، اما به نظر نمی رسد که متوجه آنها شویم، اما بلافاصله معنای متن را درک می کنیم.

ارائه اثبات موفقیت آمیز به نظر می رسید - هیچ خطایی در آن یافت نشد - هیچ کس حتی یک یادداشت نادرست را نشنید (اگرچه بیشتر ریاضیدانان به سادگی مانند دانش آموزان کلاس اولی به یک انتگرال به او خیره شده بودند و چیزی نمی فهمیدند). همه به این نتیجه رسیدند که یک رویداد بزرگ رخ داده است: فرضیه تانیاما و در نتیجه آخرین قضیه فرما ثابت شد. اما حدود دو ماه بعد، چند روز قبل از اینکه نسخه خطی اثبات وایلز به گردش درآید، مشخص شد که متناقض است (کاتز، یکی از همکاران وایلز، خاطرنشان کرد که یک بخش از استدلال متکی بر «سیستم اویلر» است، اما آنچه ساخته شده توسط Wiles، چنین سیستمی نبود)، اگرچه، به طور کلی، تکنیک های Wiles جالب، ظریف و نوآورانه در نظر گرفته می شد.

وایلز وضعیت را تجزیه و تحلیل کرد و به این نتیجه رسید که شکست خورده است. می توان تصور کرد که با تمام وجود چه احساسی داشته است که معنی آن "از بزرگ تا مسخره یک قدم" چیست. "من می خواستم وارد تاریخ شوم، اما در عوض به تیم دلقک ها و کمدین ها - کشاورزان مغرور " پیوستم - تقریباً چنین افکاری او را در آن دوره دردناک زندگی اش خسته کرد. برای او، یک ریاضیدان جدی، این یک تراژدی بود، و او مدرک خود را در پشت مشعل انداخت.

اما کمی بیش از یک سال بعد، در سپتامبر 1994، در حالی که به همراه همکارش تیلور از آکسفورد به آن گلوگاه اثبات فکر می‌کردند، تیلور ناگهان به این فکر افتاد که «سیستم اویلر» را می‌توان به نظریه ایواساوا تغییر داد (بخش نظریه اعداد). سپس آنها سعی کردند از نظریه Iwasawa استفاده کنند، بدون "سیستم اویلر"، و همه آنها گرد هم آمدند. نسخه تصحیح شده اثبات برای تأیید ارائه شد و یک سال بعد اعلام شد که همه چیز در آن کاملاً واضح است، بدون یک اشتباه. در تابستان 1995، در یکی از مجلات ریاضی برجسته - "Annals of Mathematics" - یک اثبات کامل از حدس تانیاما (از این رو، قضیه بزرگ (بزرگ) فرما) منتشر شد که کل شماره را اشغال کرد - بیش از صد برگ. این اثبات آنقدر پیچیده است که تنها چند ده نفر در سراسر جهان می توانند آن را به طور کامل درک کنند.

بنابراین، در پایان قرن بیستم، تمام جهان دریافتند که در سیصد و شصتمین سال زندگی خود، آخرین قضیه فرما، که در واقع در تمام این مدت یک فرضیه بود، به یک قضیه اثبات شده تبدیل شده بود. اندرو وایلز قضیه بزرگ (بزرگ) فرما را اثبات کرد و وارد تاریخ شد.

فکر کن یه قضیه رو ثابت کردی...

خوشبختی کاشف همیشه به تنهایی نصیب کسی می شود - اوست که با آخرین ضربه چکش مهره سخت دانش را می شکافد. اما نمی توان ضربات متعدد قبلی را نادیده گرفت که قرن ها شکافی را در قضیه بزرگ ایجاد کرده است: اویلر و گاوس (پادشاهان ریاضیات زمان خود)، اواریست گالوا (که توانست نظریه گروه ها و میدان ها را در کوتاه 21 خود ایجاد کند. -زندگی سالی که آثارش تنها پس از مرگش درخشان شناخته شد، هانری پوانکاره (بنیانگذار نه تنها اشکال مدولار عجیب، بلکه قراردادگرایی - یک گرایش فلسفی)، دیوید گیلبرت (یکی از قوی ترین ریاضیدانان قرن بیستم) ، یوتاکو تانیاما، گورو شیمورا، موردل، فالتینگز، ارنست کومر، بری مازور، گرهارد فری، کن ریبت، ریچارد تیلور و دیگران دانشمندان واقعی(از این حرف ها نمی ترسم).

اثبات آخرین قضیه فرما را می توان با دستاوردهای قرن بیستم مانند اختراع کامپیوتر، بمب هسته ای و پرواز فضایی همتراز کرد. اگرچه چندان شناخته شده در مورد آن نیست، اما به دلیل اینکه به منطقه علایق لحظه ای ما، مانند تلویزیون یا لامپ برق حمله نمی کند، درخشش یک ابرنواختر بود که مانند همه حقایق تغییر ناپذیر، همیشه بر آن خواهد درخشید. بشریت.

می توانید بگویید: "فقط فکر کن، نوعی قضیه را ثابت کردی، چه کسی به آن نیاز دارد؟". یک سوال منصفانه. پاسخ دیوید گیلبرت دقیقاً در اینجا مناسب است. چه زمانی در پاسخ به این سوال: "اکنون مهمترین وظیفه علم چیست؟"، او پاسخ داد: "مگس گرفتن در سمت دور ماه". منطقی از او پرسیده شد: «اما چه کسی به آن نیاز دارد؟او چنین پاسخ داد: هیچکس به آن نیاز ندارد. اما به این فکر کنید که برای دستیابی به این مهم، چند مسئله مهم و دشوار باید حل شوند. "به این فکر کنید که بشریت توانسته است در 360 سال قبل از اثبات قضیه فرما، چند مشکل را حل کند. تقریباً نیمی از ریاضیات مدرن در جستجوی اثبات آن هستند. ما همچنین باید در نظر بگیریم که ریاضیات آوانگارد علم است (و اتفاقاً تنها علومی است که بدون یک اشتباه ساخته شده است) و هرگونه دستاورد و اختراع علمی از اینجا شروع می شود. .

* * *

و حالا بیایید به ابتدای داستان خود برگردیم، مدخل پیر فرما در حاشیه کتاب درسی دیوفانتوس را به خاطر بیاوریم و یک بار دیگر این سوال را از خود بپرسیم: آیا فرما واقعا قضیه خود را ثابت کرده است؟ البته، ما نمی توانیم این را به طور قطع بدانیم، و مانند هر صورت، نسخه های مختلفی در اینجا به وجود می آیند:

نسخه 1:فرما قضیه خود را ثابت کرد. (در پاسخ به این سوال: "آیا فرما دقیقاً همان اثبات قضیه خود را داشت؟" ، اندرو وایلز گفت: "فرمت نمی توانست داشته باشد". بنابرایناثبات این اثبات قرن بیستم است. «ما می‌دانیم که در قرن هفدهم ریاضیات، البته مانند پایان قرن بیستم نبود - در آن دوره، آرتاگنان، ملکه علوم، چنین نبود. با این حال، آن اکتشافات (اشکال مدولار، قضایای تانیاما، فریا، و غیره) را دارند که فقط اثبات آخرین قضیه فرما را ممکن می‌سازد. این نسخه، اگرچه محتمل است، اما از نظر اکثر ریاضیدانان عملا غیرممکن است).
نسخه 2:به نظر پیر دو فرما می رسید که قضیه خود را ثابت کرده است، اما در اثبات او اشتباهاتی وجود داشت. (یعنی خود فرما نیز اولین فرمائیست بوده است);
نسخه 3:فرما قضیه خود را اثبات نکرد، بلکه به سادگی در حاشیه دروغ گفت.

اگر یکی از دو نسخه آخر درست باشد، که به احتمال زیاد، یک نتیجه ساده می توان گرفت: افراد بزرگ، اگرچه عالی هستند، اما ممکن است اشتباه کنند یا گاهی اوقات بدشان نمی آید که دروغ بگویند(اساساً این نتیجه گیری برای کسانی که تمایل به اعتماد کامل به بت های خود و سایر حاکمان افکار دارند مفید خواهد بود). بنابراین، هنگام خواندن آثار فرزندان معتبر بشر یا گوش دادن به سخنان رقت انگیز آنها، حق دارید در اظهارات آنها تردید کنید. (لطفا توجه داشته باشید که شک کردن یعنی رد نکردن).

چاپ مجدد مطالب مقاله فقط با لینک های اجباری به سایت امکان پذیر است (در اینترنت - هایپرلینک) و به نویسنده

از آنجایی که تعداد کمی از مردم تفکر ریاضی را می دانند، من در مورد بزرگترین کشف علمی - اثبات ابتدایی آخرین قضیه فرما - به قابل درک ترین زبان مدرسه صحبت خواهم کرد.

اثبات برای یک مورد خاص (برای یک توان اول n>2) یافت شد که (و مورد n=4) همه موارد با n مرکب را می توان به راحتی به آن تقلیل داد.

بنابراین، باید ثابت کنیم که معادله A^n=C^n-B^n هیچ جوابی در اعداد صحیح ندارد. (در اینجا علامت ^ به معنای درجه است.)

اثبات در یک سیستم اعداد با پایه ساده n انجام می شود. در این صورت در هر جدول ضرب، آخرین رقم تکرار نمی شود. در سیستم اعشاری معمول، وضعیت متفاوت است. به عنوان مثال، هنگام ضرب عدد 2 در 1 و 6، هر دو حاصل - 2 و 12 - به یک عدد ختم می شوند (2). و به عنوان مثال، در سیستم هفتگی برای عدد 2، تمام ارقام آخر متفاوت هستند: 0x2=...0، 1x2=...2، 2x2=...4، 3x2=...6، 4x2. =...1، 5x2=...3، 6x2=...5، با مجموعه ای از رقم های آخر 0، 2، 4، 6، 1، 3، 5.

با تشکر از این خاصیت، برای هر عدد A که به صفر ختم نمی شود (و در تساوی فرما، آخرین رقم اعداد A، خوب یا B، پس از تقسیم تساوی بر مقسوم علیه مشترک اعداد A، B، C است. مساوی با صفر نیست)، می توانید یک عامل g را طوری انتخاب کنید که عدد Ag یک پایان دلخواه مانند 000...001 داشته باشد. در چنین عددی g است که همه اعداد پایه A، B، C را در برابری فرما ضرب می کنیم. در همان زمان، یک انتهای منفرد را به اندازه کافی طولانی می کنیم، یعنی دو رقم طولانی تر از عدد (k) صفرهای انتهای عدد U=A+B-C.

عدد U برابر با صفر نیست - در غیر این صورت C \u003d A + B و A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

این، در واقع، تمام آماده سازی برابری فرما برای یک مطالعه مختصر و نهایی است. تنها کاری که هنوز باید انجام دهیم: سمت راست برابری فرما را بازنویسی می کنیم - C ^ n-B ^ n - با استفاده از فرمول گسترش مدرسه: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P یا aP. و از آنجایی که در ادامه ما فقط با ارقام انتهای رقم های (k + 2) رقم A, B, C عمل می کنیم (ضرب و جمع می کنیم) پس می توانیم قسمت های سر آنها را نادیده بگیریم و آنها را به سادگی کنار بگذاریم (فقط یک واقعیت باقی می ماند. در حافظه: سمت چپ برابری فرما یک POWER است).

تنها چیزی که قابل ذکر است آخرین ارقام اعداد a و P است. در برابری اصلی فرما، عدد P به عدد 1 ختم می‌شود. و بعد از ضرب برابری فرما در عدد g ^ n عدد P در عدد g ضرب می شود به توان n-1 که طبق قضیه کوچک فرما نیز به عدد 1 ختم می شود. بنابراین در فرما جدید تساوی معادل، عدد P به 1 ختم می شود. و اگر A به 1 ختم شود، A^n نیز به 1 ختم می شود و بنابراین عدد a نیز به 1 ختم می شود.

بنابراین، ما یک وضعیت شروع داریم: آخرین رقم های A، a، P" از اعداد A، a، P به عدد 1 ختم می شوند.

خوب، سپس یک عملیات شیرین و جذاب شروع می شود که ترجیحاً «آسیاب» نامیده می شود: با در نظر گرفتن ارقام بعدی a «»، a «» و غیره، اعداد a، ما منحصراً «به راحتی» محاسبه می کنیم که آنها نیز هستند. برابر صفر! «آسان» را در گیومه قرار دادم، زیرا بشریت نتوانست کلید این «آسان» را برای 350 سال پیدا کند! = q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) در این مجموع ارزش توجه به جمله دوم را ندارد - بالاخره در اثبات بعدی ما همه اعداد بعد از (k + 2) را کنار گذاشتیم. در اعداد (و این تجزیه و تحلیل را به شدت ساده می کند) بنابراین پس از کنار گذاشتن اعداد قسمت های سر، تساوی فرما به شکل زیر در می آید: ...1=aq^(n-1)، که در آن a و q اعداد نیستند، بلکه فقط اعداد هستند. انتهای اعداد a و q! (من نماد جدیدی معرفی نمی کنم، زیرا این کار خواندن را دشوار می کند.)

آخرین سوال فلسفی باقی می ماند: چرا عدد P را می توان به صورت P=q^(n-1)+Qn^(k+2) نشان داد؟ پاسخ ساده است: زیرا هر عدد صحیح P با 1 در انتها می تواند به این شکل و به طور یکسان نمایش داده شود. (شما می توانید به روش های بسیار دیگری به آن فکر کنید، اما ما نیازی به این کار نداریم.) در واقع، برای P=1، پاسخ واضح است: P=1^(n-1). برای P=hn+1 عدد q=(n-h)n+1 که با حل معادله [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 با دو مقدار به راحتی قابل بررسی است. پایان ها و به همین ترتیب (اما ما نیازی به محاسبات بیشتر نداریم، زیرا فقط به نمایش اعداد به شکل P=1+Qn^t نیاز داریم).

اوف-ف-ف-ف! خوب، فلسفه تمام شده است، شما می توانید به محاسبات در سطح کلاس دوم بروید، مگر اینکه فقط یک بار دیگر فرمول دو جمله ای نیوتن را به خاطر بسپارید.

پس بیایید عدد a"" را معرفی کنیم (در عدد a=a""n+1) و از آن برای محاسبه عدد q"" (در عدد q=q""n+1) استفاده کنیم.
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1)، یا...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ]، از آنجا q""=a"".

و اکنون سمت راست برابری فرما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2)، که در آن مقدار عدد D برای ما جالب نیست.

و اکنون به نتیجه قاطع می رسیم. عدد a "" n + 1 یک پایان دو رقمی از عدد A است و بنابراین، طبق یک لم ساده، رقم سوم درجه A ^ n را به طور یکتا تعیین می کند. و علاوه بر این، از بسط دوجمله ای نیوتن
(a "" n + 1) ^ n، با توجه به اینکه هر عبارت بسط (به جز مورد اول که دیگر آب و هوا نمی تواند تغییر کند!) با یک عامل SIMPLE n (مبنای عدد!) به هم می پیوندد. واضح است که این رقم سوم برابر با "" است. اما با ضرب برابری فرما در g ^ n، رقم k + 1 قبل از 1 آخر عدد A را به 0 تبدیل کردیم. و بنابراین یک "" \u003d 0 !!!

بنابراین، چرخه را تکمیل کردیم: با معرفی a"، متوجه شدیم که q""=a"، و در نهایت a""=0!

خوب، باید گفت که پس از انجام محاسبات کاملاً مشابه و k ارقام بعدی، برابری نهایی را به دست می آوریم: (k + 2) - پایان رقم a یا C-B، - درست مانند عدد A، برابر 1. اما پس از آن رقم (k+2)-امین C-A-B برابر با صفر است در حالی که برابر با صفر نیست!!!

در واقع، تمام شواهد اینجاست. برای درک آن، نیازی به داشتن تحصیلات عالی و علاوه بر این، ریاضیدان حرفه ای بودن ندارید. با این حال، حرفه ای ها سکوت می کنند ...

متن قابل خواندن اثبات کامل در اینجا قرار دارد:

بررسی ها

سلام ویکتور من از رزومه شما خوشم آمد البته "نگذار قبل از مرگ بمیری" عالی به نظر می رسد. از ملاقات در نثر با قضیه فرما، راستش من مات و مبهوت شدم! آیا او به اینجا تعلق دارد؟ سایت های علمی، عامه پسند و قوری وجود دارد. در غیر این صورت ممنون از کار ادبی شما.
با احترام، آنیا.

آنیا عزیز، با وجود سانسور نسبتاً شدید، نثر به شما اجازه می دهد در مورد همه چیز بنویسید. با قضیه فرما، وضعیت به این صورت است: انجمن‌های بزرگ ریاضی با فرماتیست‌ها به شکلی کج و بی‌رحمانه رفتار می‌کنند و در مجموع با آنها به بهترین شکل ممکن رفتار می‌کنند. با این حال، در انجمن های کوچک روسی، انگلیسی و فرانسوی، آخرین نسخه اثبات را ارائه کردم. هیچ کس هنوز هیچ استدلال متقابلی ارائه نکرده است و مطمئنم هیچ کس هم نخواهد آورد (اثبات با دقت بررسی شده است). روز شنبه یک یادداشت فلسفی در مورد قضیه منتشر خواهم کرد.
در نثر تقریباً هیچ خرواری وجود ندارد، و اگر با آنها سر و کار نداشته باشید، خیلی زود از بین می روند.
تقریباً تمام آثار من به صورت نثر ارائه شده است، بنابراین اثبات را نیز در اینجا قرار دادم.
بعدا میبینمت،

فایل FERMA-KDVar © N. M. Koziy، 2008

گواهینامه اوکراین به شماره 27312

اثبات مختصری از قضیه بزرگ فرمت

آخرین قضیه فرما به صورت زیر فرموله شده است: معادله دیوفانتین (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

ولی n + V n = سی n * /1/

جایی که n- عدد صحیح مثبت بزرگتر از دو هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد آ , ب ، از جانب .

اثبات

از فرمول آخرین قضیه فرما چنین می شود: اگر nیک عدد صحیح مثبت بزرگتر از دو است، پس به شرطی که دو عدد از سه عدد باشد ولی , ATیا از جانباعداد صحیح مثبت هستند، یکی از این اعداد یک عدد صحیح مثبت نیست.

ما برهان را بر اساس قضیه اساسی حساب می‌سازیم که به آن «قضیه منحصر به فرد بودن عامل‌سازی» یا «قضیه منحصربه‌فرد بودن عامل‌سازی اعداد مرکب اعداد صحیح» می‌گویند. نماهای فرد و زوج ممکن است n . بیایید هر دو مورد را در نظر بگیریم.

1. مورد اول: توان n - عدد فرد.

در این حالت عبارت /1/ طبق فرمول های شناخته شده به صورت زیر تبدیل می شود:

ولی n + AT n = از جانب n /2/

ما معتقدیم که آو باعداد صحیح مثبت هستند

شماره ولی , ATو از جانبباید اعداد نسبتا اول باشند.

از معادله /2/ نتیجه می شود که برای مقادیر داده شده اعداد آو بعامل ( آ + ب ) n , از جانب.

بیایید عدد را بگوییم از جانب -یک عدد صحیح مثبت با در نظر گرفتن شرایط پذیرفته شده و قضیه اساسی حساب، شرط :

از جانب n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

ضریب کجاست D n دی

از معادله /3/ چنین می شود:

معادله /3/ همچنین بیانگر این است که عدد [ C n = A n + B n ] مشروط بر اینکه شماره از جانب ( آ + ب ) n. با این حال، مشخص است که:

A n + B n < ( آ + ب ) n /5/

در نتیجه:

یک عدد کسری کوچکتر از یک است. /6/

عدد کسری

n

برای نماهای فرد n >2 عدد:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

از تحلیل معادله /2/ چنین بر می آید که با توان فرد nعدد:

از جانب n = ولی n + AT n = (A+B)

از دو عامل جبری معین و برای هر مقدار توان تشکیل شده است nعامل جبری بدون تغییر باقی می ماند ( آ + ب ).

بنابراین، آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت برای یک توان فرد ندارد. n >2.

2. مورد دوم: توان n - عدد زوج .

اگر معادله /1/ به صورت زیر بازنویسی شود، ماهیت آخرین قضیه فرما تغییر نخواهد کرد:

A n = C n - B n /7/

در این حالت معادله /7/ به صورت زیر تبدیل می شود:

A n = C n - B n = ( از جانب +B)∙(C n-1 + C n-2 B + C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ B n -2 + B n -1 ). /8/

ما این را قبول داریم از جانبو AT- تمام اعداد.

از معادله /8/ نتیجه می شود که برای مقادیر داده شده اعداد بو سیعامل (C+ ب ) برای هر مقدار توان یک مقدار دارد n , از این رو مقسوم علیه یک عدد است آ .

بیایید عدد را بگوییم ولییک عدد صحیح است با در نظر گرفتن شرایط پذیرفته شده و قضیه اساسی حساب، شرط :

ولی n = سی n - B n =(C+ ب ) n ∙ D n , / 9/

ضریب کجاست D nباید یک عدد صحیح و بنابراین یک عدد باشد دیهمچنین باید یک عدد صحیح باشد.

از معادله /9/ چنین می شود:

/10/

معادله /9/ همچنین نشان می دهد که عدد [ ولی n = از جانب n - B n ] مشروط بر اینکه شماره ولی- یک عدد صحیح، باید بر یک عدد بخش پذیر باشد (C+ ب ) n. با این حال، مشخص است که:

از جانب n - B n < (С+ ب ) n /11/

در نتیجه:

یک عدد کسری کوچکتر از یک است. /12/

عدد کسری

نتیجه این است که برای یک مقدار فرد از توان nمعادله /1/ آخرین قضیه فرما هیچ جوابی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

با نماهای زوج n >2 عدد:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

بنابراین، آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت و برای یک توان زوج ندارد n >2.

یک نتیجه کلی از موارد فوق حاصل می شود: معادله /1/ آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد. الف، بو از جانبمشروط بر اینکه توان n>2 باشد.

دلایل اضافی

در حالتی که توان n – عدد زوج، عبارت جبری ( C n - B n ) به عوامل جبری تجزیه می شود:

C 2 - B 2 \u003d(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 - B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2)؛/14/

C 6 - B 6 =(C-B) ∙ (C + B) (C 2 -CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2) ; /15/

ج 8 - ب 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

بیایید به صورت اعداد مثال بزنیم.

مثال 1: B=11; C=35.

سی 2 – ب 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

سی 4 – ب 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

سی 6 – ب 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (31 2) (3 577) =2 ∙ 3 ​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

سی 8 – ب 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

مثال 2: B=16; C=25.

سی 2 – ب 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

سی 4 – ب 4 = (3 2) ∙ (41) (881) =3 2 ∙ 41 881;

سی 6 – ب 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

سی 8 – ب 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

از تجزیه و تحلیل معادلات /13/، /14/، /15/ و /16/ و مثال های عددی متناظر آنها چنین می شود:

برای یک توان معین n , اگر یک عدد زوج است، یک عدد ولی n = سی n - B nبه تعداد مشخصی از عوامل جبری کاملاً تعریف شده تجزیه می شود.

برای هر مدرکی n , اگر عدد زوج باشد در عبارت جبری ( C n - B n ) همیشه چند برابر وجود دارد ( سی - ب ) و ( سی + ب ) ;

هر عامل جبری مربوط به یک عامل عددی کاملاً تعریف شده است.

برای مقادیر داده شده اعداد ATو از جانبعوامل عددی می توانند اعداد اول یا ضرایب عددی مرکب باشند.

هر عامل عددی مرکب حاصل ضرب اعداد اول است که به طور جزئی یا کامل از سایر عوامل عددی مرکب غایب هستند.

ارزش اعداد اول در ترکیب عوامل عددی مرکب با افزایش این عوامل افزایش می یابد.

ترکیب بزرگترین ضریب عددی مرکب مربوط به بزرگترین ضریب جبری شامل بزرگترین عدد اول در توانی کمتر از توان است. n(اغلب در درجه اول).

نتیجه گیری: توجیهات اضافی این نتیجه را تأیید می کند که آخرین قضیه فرما هیچ راه حلی در اعداد صحیح مثبت ندارد.

مهندس مکانیک

با قضاوت بر اساس محبوبیت پرس و جو "قضیه فرمات - اثبات کوتاه،این مسئله ریاضی واقعاً برای بسیاری جالب است. این قضیه برای اولین بار توسط پیر دو فرما در سال 1637 در لبه نسخه ای از حساب بیان شد، جایی که او ادعا کرد که راه حلی دارد که آنقدر بزرگ است که در لبه قرار نمی گیرد.

اولین اثبات موفق در سال 1995 منتشر شد، اثبات کامل قضیه فرما توسط اندرو وایلز. این به عنوان "پیشرفت خیره کننده" توصیف شده است و باعث شد وایلز در سال 2016 جایزه آبل را دریافت کند. اگرچه به طور نسبتاً مختصر توضیح داده شد، اثبات قضیه فرما نیز بسیاری از قضیه مدولاریته را ثابت کرد و رویکردهای جدیدی را برای مشکلات متعدد دیگر و روش‌های مؤثر برای رفع مدولاریت گشود. این دستاوردها ریاضیات را 100 سال آینده پیشرفت کرده است. اثبات قضیه کوچک فرما امروز چیزی غیرعادی نیست.

این مشکل حل نشده باعث توسعه نظریه اعداد جبری در قرن نوزدهم و جستجو برای اثبات قضیه مدولاریت در قرن بیستم شد. این یکی از قابل توجه ترین قضایا در تاریخ ریاضیات است و تا زمان اثبات کامل آخرین قضیه فرما از طریق تقسیم، در کتاب رکوردهای گینس به عنوان "سخت ترین مسئله ریاضی" قرار داشت که یکی از ویژگی های آن است. که بیشترین تعداد براهین ناموفق را دارد.

مرجع تاریخ

معادله فیثاغورث x 2 + y 2 = z 2 دارای بی نهایت جواب اعداد صحیح مثبت برای x، y و z است. این راه حل ها به عنوان سه گانه فیثاغورثی شناخته می شوند. در حوالی سال 1637، فرما در لبه کتاب نوشت که معادله عمومی تر a n + b n = c n هیچ راه حلی در اعداد طبیعی ندارد اگر n یک عدد صحیح بزرگتر از 2 باشد. اگرچه خود فرما ادعا می کرد که برای مسئله خود راه حلی دارد، اما او چنین کرد. هیچ جزئیاتی در مورد اثبات آن باقی نماند. اثبات ابتدایی قضیه فرما که توسط خالق آن ادعا شده بود، اختراع لاف زننده او بود. کتاب این ریاضیدان بزرگ فرانسوی 30 سال پس از مرگ او کشف شد. این معادله که آخرین قضیه فرما نام داشت، برای سه قرن و نیم در ریاضیات حل نشده باقی ماند.

این قضیه در نهایت به یکی از قابل توجه ترین مسائل حل نشده در ریاضیات تبدیل شد. تلاش برای اثبات این امر باعث پیشرفت قابل توجهی در نظریه اعداد شد و با گذشت زمان آخرین قضیه فرما به عنوان یک مسئله حل نشده در ریاضیات شناخته شد.

تاریخچه مختصری از شواهد

اگر n = 4، همانطور که توسط خود فرما ثابت شده است، برای اثبات قضیه برای شاخص های n که اعداد اول هستند، کافی است. در طول دو قرن بعدی (1637-1839) این حدس فقط برای اعداد اول 3، 5 و 7 ثابت شد، اگرچه سوفی ژرمن رویکردی را به روز کرد و ثابت کرد که برای کل کلاس اعداد اول کاربرد دارد. در اواسط قرن نوزدهم، ارنست کومر این را گسترش داد و قضیه را برای همه اعداد اول منظم ثابت کرد، به موجب آن اعداد اول نامنظم به صورت جداگانه تجزیه و تحلیل شدند. بر اساس کار کومر و با استفاده از تحقیقات کامپیوتری پیچیده، ریاضی دانان دیگر توانستند حل قضیه را با هدف پوشش دادن تمام توان های اصلی تا چهار میلیون گسترش دهند، اما اثبات همه توان ها هنوز در دسترس نبود (یعنی ریاضیدانان معمولاً حل این قضیه را با دانش فعلی غیرممکن، بسیار دشوار یا دست نیافتنی می‌دانستند).

کار شیمورا و تانیاما

در سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی مشکوک شدند که بین منحنی های بیضوی و اشکال مدولار، دو شاخه بسیار متفاوت از ریاضیات، ارتباط وجود دارد. در آن زمان به عنوان حدس تانیاما-شیمورا-ویل و (در نهایت) به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می شد، به تنهایی وجود داشت، بدون هیچ ارتباط ظاهری با آخرین قضیه فرما. خود به طور گسترده ای به عنوان یک قضیه ریاضی مهم در نظر گرفته می شد، اما اثبات آن (مانند قضیه فرما) غیرممکن تلقی می شد. در همان زمان، اثبات آخرین قضیه فرما (با تقسیم و اعمال فرمول های پیچیده ریاضی) تا نیم قرن بعد کامل نشد.

در سال 1984، گرهارد فری متوجه ارتباط آشکاری بین این دو مشکل نامرتبط و حل نشده قبلی شد. تأیید کاملی مبنی بر اینکه این دو قضیه ارتباط نزدیکی با هم دارند در سال 1986 توسط کن ریبت منتشر شد، که بر اساس اثبات جزئی توسط ژان پیر سرا، که همه جز یک بخش را ثابت کرد، معروف به "فرضیه اپسیلون" بود. به بیان ساده، این آثار فری، سرا و ریبه نشان دادند که اگر قضیه مدولاریت حداقل برای یک کلاس نیمه‌پایدار از منحنی‌های بیضوی قابل اثبات باشد، آن‌گاه اثبات آخرین قضیه فرما نیز دیر یا زود کشف می‌شود. هر راه حلی که بتواند با آخرین قضیه فرما در تضاد باشد، می تواند برای تناقض با قضیه مدولاریت نیز استفاده شود. بنابراین، اگر قضیه مدولاریت درست باشد، طبق تعریف نمی‌توان راه‌حلی وجود داشت که با قضیه آخر فرما در تضاد باشد، به این معنی که باید به زودی ثابت می‌شد.

اگرچه هر دو قضیه مسائل دشواری در ریاضیات بودند و غیرقابل حل در نظر گرفته می‌شدند، کار دو ژاپنی اولین پیشنهادی بود که چگونه می‌توان آخرین قضیه فرما را برای همه اعداد، نه فقط برای برخی، بسط و اثبات کرد. برای محققینی که موضوع تحقیق را انتخاب کردند این واقعیت مهم بود که بر خلاف آخرین قضیه فرما، قضیه مدولاریته اصلی ترین حوزه فعال پژوهشی بود که اثبات برای آن ایجاد شد، و نه صرفاً یک امر عجیب و غریب تاریخی، بنابراین زمان صرف شد کار آن را می توان از نقطه نظر حرفه ای توجیه کرد. با این حال، اجماع عمومی بر این بود که حل فرضیه تانیاما-شیمورا نامناسب بود.

آخرین قضیه فرما: اثبات وایلز

اندرو وایلز ریاضیدان انگلیسی که از دوران کودکی به آخرین قضیه فرما علاقه مند بود و تجربه منحنی های بیضوی و حوزه های مجاور را داشت، پس از اینکه ریبت صحت نظریه فری را اثبات کرده بود، تصمیم گرفت تا حدس تانیاما-شیمورا را به عنوان راهی برای اثبات اثبات کند. آخرین قضیه فرما. در سال 1993، شش سال پس از اعلام هدفش، وایلز در حالی که مخفیانه روی مسئله حل قضیه کار می کرد، موفق شد حدسی مربوط به آن را اثبات کند که به نوبه خود به او کمک می کرد آخرین قضیه فرما را اثبات کند. سند وایلز از نظر اندازه و وسعت بسیار زیاد بود.

نقصی در بخشی از مقاله اصلی او در طی بررسی همتایان کشف شد و به یک سال دیگر همکاری با ریچارد تیلور برای حل مشترک قضیه نیاز داشت. در نتیجه، اثبات نهایی وایلز برای آخرین قضیه فرما دیری نپایید. در سال 1995، آن را در مقیاس بسیار کوچکتر از کار ریاضی قبلی وایلز منتشر شد، که نشان می دهد او در نتیجه گیری های قبلی خود در مورد امکان اثبات قضیه اشتباه نکرده است. دستاورد وایلز به طور گسترده در مطبوعات عمومی منتشر شد و در کتاب ها و برنامه های تلویزیونی رایج شد. بخش‌های باقی‌مانده از حدس تانیاما-شیمورا-ویل، که اکنون ثابت شده‌اند و به عنوان قضیه مدولاریته شناخته می‌شوند، متعاقباً توسط ریاضیدانان دیگری که بر اساس کار وایلز بین سال‌های 1996 و 2001 ساخته شده‌اند، اثبات شدند. وایلز برای موفقیت خود مورد تجلیل قرار گرفت و جوایز متعددی از جمله جایزه آبل 2016 دریافت کرد.

اثبات آخرین قضیه فرما توسط وایلز یک مورد خاص از حل قضیه مدولاریت برای منحنی های بیضوی است. با این حال، این معروف ترین مورد از چنین عملیات ریاضی در مقیاس بزرگ است. این ریاضیدان انگلیسی همراه با حل قضیه ریب، به اثبات آخرین قضیه فرما نیز دست یافت. آخرین قضیه فرما و قضیه مدولاریته تقریباً به طور کلی توسط ریاضیدانان مدرن غیرقابل اثبات تلقی می شد، اما اندرو وایلز توانست به دنیای علمی ثابت کند که حتی صاحب نظران نیز می توانند اشتباه کنند.

وایلز برای اولین بار کشف خود را در چهارشنبه 23 ژوئن 1993 در یک سخنرانی کمبریج با عنوان "فرم های مدولار، منحنی های بیضوی و بازنمایی های گالوا" اعلام کرد. اما در سپتامبر 1993 مشخص شد که محاسبات وی دارای خطا بوده است. یک سال بعد، در 19 سپتامبر 1994، در آنچه که او آن را "مهم ترین لحظه زندگی کاری خود" می نامید، وایلز به طور تصادفی به مکاشفه ای برخورد کرد که به او اجازه داد تا راه حل مسئله را تا جایی حل کند که بتواند مسائل ریاضی را برآورده کند. انجمن.

شرح شغل

اثبات قضیه فرما توسط اندرو وایلز از روش‌های زیادی از هندسه جبری و نظریه اعداد استفاده می‌کند و در این زمینه‌ها از ریاضیات دارای انشعابات زیادی است. او همچنین از ساختارهای استاندارد هندسه جبری مدرن، مانند مقوله طرح‌ها و نظریه ایواساوا، و نیز سایر روش‌های قرن بیستم که در دسترس پیر دو فرما نبود، استفاده می‌کند.

دو مقاله حاوی شواهد 129 صفحه است و در طول هفت سال نوشته شده است. جان کوتس این کشف را یکی از بزرگترین دستاوردهای نظریه اعداد توصیف کرد و جان کانوی آن را بزرگترین دستاورد ریاضی قرن بیستم خواند. وایلز برای اثبات آخرین قضیه فرما با اثبات قضیه مدولاریت برای حالت خاص منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، روش‌های قدرتمندی را برای بالا بردن مدولاریت توسعه داد و رویکردهای جدیدی را برای مسائل متعدد دیگر گشود. برای حل آخرین قضیه فرما، او شوالیه شد و جوایز دیگری دریافت کرد. هنگامی که مشخص شد وایلز جایزه آبل را برده است، آکادمی علوم نروژ دستاورد او را به عنوان "اثباتی لذت بخش و ابتدایی برای آخرین قضیه فرما" توصیف کرد.

چطور بود

یکی از افرادی که نسخه خطی اصلی وایلز را با حل قضیه بررسی کرد، نیک کاتز بود. در جریان بررسی خود، او از بریتانیایی تعدادی سؤال روشن‌کننده پرسید که وایلز را وادار کرد تا بپذیرد که کار او به وضوح حاوی یک شکاف است. در یکی از بخش‌های مهم اثبات، خطایی صورت گرفت که تخمینی را برای ترتیب یک گروه خاص ارائه می‌کرد: سیستم اویلر که برای گسترش روش کولی‌واژین و فلاش استفاده می‌شد، ناقص بود. با این حال، این اشتباه کار او را بیهوده نکرد - هر بخش از کار وایلز به خودی خود بسیار مهم و مبتکرانه بود، همانطور که بسیاری از پیشرفت ها و روش هایی که او در طول کار خود ایجاد کرد و تنها بر بخشی از کارش تأثیر گذاشت. نسخه خطی با این حال، این اثر اصلی که در سال 1993 منتشر شد، واقعاً اثباتی برای آخرین قضیه فرما نداشت.

وایلز تقریباً یک سال در تلاش برای کشف مجدد راه‌حلی برای قضیه بود، ابتدا به تنهایی و سپس با همکاری شاگرد سابق خود ریچارد تیلور، اما به نظر می‌رسید که همه چیز بیهوده بود. در پایان سال 1993، شایعاتی مبنی بر اینکه اثبات وایلز در آزمایش شکست خورده بود، منتشر شد، اما مشخص نبود که این شکست چقدر جدی است. ریاضیدانان شروع به اعمال فشار بر ویلز کردند تا جزئیات کارش را فاش کند، چه انجام شده باشد یا نه، تا جامعه وسیع‌تری از ریاضیدانان بتوانند هر آنچه را که او می‌توانست به دست آورد، کشف و استفاده کنند. وایلز به جای تصحیح سریع اشتباه خود، فقط جنبه های دشوار دیگری را در اثبات آخرین قضیه فرما کشف کرد و در نهایت متوجه شد که چقدر دشوار است.

وایلز بیان می کند که در صبح روز 19 سپتامبر 1994 در آستانه تسلیم شدن و تسلیم شدن قرار داشت و تقریباً به شکست تسلیم شده بود. او آماده بود تا کار ناتمام خود را منتشر کند تا دیگران بتوانند روی آن کار کنند و بفهمند کجا اشتباه کرده است. ریاضیدان انگلیسی تصمیم گرفت آخرین فرصت را به خود بدهد و این قضیه را برای آخرین بار تجزیه و تحلیل کرد تا دلایل اصلی کار نکردن رویکرد خود را بفهمد، وقتی ناگهان متوجه شد که رویکرد Kolyvagin-Flac تا زمانی که بیشتر وصل نشود کار نخواهد کرد. بیشتر به فرآیند اثبات نظریه ایواساوا با عملی کردن آن.

در 6 اکتبر، وایلز از سه همکار (از جمله Fultins) خواست تا کار جدید خود را بررسی کنند و در 24 اکتبر 1994، دو نسخه خطی - "منحنی های بیضوی مدولار و آخرین قضیه فرما" و "ویژگی های نظری حلقه برخی از جبرهای هکی" را ارائه کرد. "، دومی که وایلز با تیلور نوشت و ثابت کرد که شرایط خاصی برای توجیه مرحله اصلاح شده در مقاله اصلی وجود دارد.

این دو مقاله بررسی و در نهایت به عنوان یک نسخه متن کامل در سالنامه ریاضیات می 1995 منتشر شد. محاسبات جدید اندرو به طور گسترده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و در نهایت توسط جامعه علمی پذیرفته شد. در این آثار، قضیه مدولاریت برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار ایجاد شد - آخرین گام برای اثبات آخرین قضیه فرما، 358 سال پس از ایجاد آن.

تاریخچه مشکل بزرگ

حل این قضیه برای قرن های متمادی بزرگترین مشکل در ریاضیات در نظر گرفته شده است. در سال 1816 و در 1850 آکادمی علوم فرانسه جایزه ای برای اثبات کلی آخرین قضیه فرما ارائه کرد. در سال 1857، آکادمی 3000 فرانک و یک مدال طلا به کومر برای تحقیقاتش در مورد اعداد ایده آل اعطا کرد، اگرچه او برای این جایزه درخواست نکرد. جایزه دیگری در سال 1883 توسط آکادمی بروکسل به او پیشنهاد شد.

جایزه ولفسکل

در سال 1908، پل ولفسکهل، صنعتگر و ریاضیدان آماتور آلمانی، 100000 مارک طلا (مقدار زیادی برای آن زمان) به آکادمی علوم گوتینگن وصیت کرد تا جایزه اثبات کامل آخرین قضیه فرما باشد. در 27 ژوئن 1908، آکادمی نه قانون جایزه را منتشر کرد. از جمله، این قوانین مستلزم این بود که اثبات در یک مجله معتبر منتشر شود. قرار بود این جایزه تنها دو سال پس از انتشار اعطا شود. این رقابت قرار بود در 13 سپتامبر 2007 - حدود یک قرن پس از شروع آن - منقضی شود. در 27 ژوئن 1997، ویلز جایزه ولفشل و سپس 50000 دلار دیگر را دریافت کرد. در مارس 2016، او 600000 یورو از دولت نروژ به عنوان بخشی از جایزه آبل برای «اثبات شگفت‌انگیز آخرین قضیه فرما با کمک حدس مدولاریت برای منحنی‌های بیضوی نیمه‌پایدار، که عصر جدیدی را در نظریه اعداد باز می‌کند» دریافت کرد. این پیروزی جهانی مرد متواضع انگلیسی بود.

قبل از اثبات وایلز، قضیه فرما، همانطور که قبلاً ذکر شد، برای قرن ها مطلقاً غیرقابل حل تلقی می شد. هزاران مدرک نادرست در زمان‌های مختلف به کمیته Wolfskell ارائه شد که به اندازه تقریبی 10 فوت (3 متر) مکاتبات بود. تنها در سال اول وجود جایزه (1907-1908) 621 درخواست برای حل قضیه ارائه شد، اگرچه در دهه 1970 تعداد آنها به حدود 3-4 برنامه در ماه کاهش یافت. به گفته F. Schlichting، بازبین Wolfschel، بیشتر شواهد مبتنی بر روش های ابتدایی تدریس شده در مدارس بوده و اغلب به عنوان "افراد با پیشینه فنی اما حرفه ای ناموفق" ارائه شده است. به گفته مورخ ریاضیات هاوارد ایوز، آخرین قضیه فرما نوعی رکورد را ثبت کرد - این قضیه با بیشترین اثبات نادرست است.

جایزه فرما به ژاپنی ها رسید

همانطور که قبلاً بحث شد، در حدود سال 1955، گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما، ریاضیدانان ژاپنی، ارتباط احتمالی بین دو شاخه ظاهراً کاملاً متفاوت از ریاضیات - منحنی های بیضوی و اشکال مدولار - را کشف کردند. قضیه مدولاریت حاصل (که در آن زمان حدس تانیاما-شیمورا نامیده می شد) بیان می کند که هر منحنی بیضوی مدولار است، به این معنی که می تواند با یک شکل مدولار منحصر به فرد مرتبط باشد.

این نظریه در ابتدا به عنوان بعید یا بسیار گمانه‌زنی رد شد، اما زمانی که نظریه‌پرداز اعداد آندره ویل شواهدی برای حمایت از نتیجه‌گیری ژاپنی یافت، جدی‌تر تلقی شد. در نتیجه، این فرضیه اغلب به عنوان فرضیه تانیاما-شیمورا-ویل نامیده می شود. بخشی از برنامه Langlands شد، که فهرستی از فرضیه های مهمی است که باید در آینده ثابت شوند.

حتی پس از بررسی جدی، این حدس توسط ریاضیدانان مدرن به عنوان اثبات بسیار دشوار و یا شاید غیرقابل دسترس شناخته شده است. اکنون این قضیه است که منتظر اندرو وایلز خود است که می تواند با حل خود کل جهان را شگفت زده کند.

قضیه فرما: اثبات پرلمن

علیرغم افسانه رایج، گریگوری پرلمن، ریاضیدان روسی، با همه نبوغ خود، هیچ ارتباطی با قضیه فرما ندارد. با این حال، این از شایستگی های متعدد او برای جامعه علمی کم نمی کند.

اخبار علم و فناوری

UDC 51:37; 517.958

A.V. کونوکو، دکتری.

آکادمی خدمات آتش نشانی ایالتی EMERCOM روسیه مزرعه قضیه بزرگ اثبات شده است. یا نه؟

برای چندین قرن، نمی توان ثابت کرد که معادله xn+yn=zn برای n>2 در اعداد گویا و در نتیجه اعداد صحیح غیرقابل حل است. این مشکل تحت نویسندگی وکیل فرانسوی پیر فرما، که در همان زمان به طور حرفه ای در ریاضیات مشغول بود، متولد شد. راه حل او به معلم ریاضی آمریکایی اندرو وایلز نسبت داده شده است. این شناخت از سال 1993 تا 1995 ادامه داشت.

قضیه فرمای بزرگ اثبات شده است یا خیر؟

تاریخچه نمایشی اثبات آخرین قضیه فرما در نظر گرفته شده است. تقریباً چهارصد سال طول کشید. پیر فرما کمی نوشت. او به سبک فشرده نوشت. علاوه بر این او تحقیقات خود را منتشر نکرد. این جمله که معادله xn+yn=zn بر روی مجموعه ها غیرقابل حل است. اعداد گویا و اعداد صحیح اگر n>2 با تفسیر فرما همراه بود که او واقعاً اثبات قابل توجهی برای این جمله یافته است. با این اثبات به اولاد نمی رسید. بعداً این بیانیه آخرین قضیه فرما نامیده شد.بهترین ریاضیدانان جهان این قضیه را بدون نتیجه شکستند.در دهه هفتاد ریاضیدان فرانسوی عضو آکادمی علوم پاریس آندره ویل رویکردهای جدیدی برای حل ارائه کرد.در 23 ژوئن 1993. در کنفرانس تئوری اعداد در کمبریج، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، اندرو درحالیکه اعلام کرد که آخرین قضیه فرما اثبات شده است. با این حال، برای پیروزی زود بود.

در سال 1621، نویسنده و ریاضیدان فرانسوی کلود گاسپارد باشه دو مزریاک، رساله یونانی حساب دیوفانتوس را با ترجمه و تفسیر لاتین منتشر کرد. مجلل، با حاشیه های غیرمعمول گسترده، «حساب» به دست فرما بیست ساله افتاد و سال ها کتاب مرجع او شد. وی در حاشیه آن، 48 اظهار نظر حاوی حقایق کشف شده توسط وی در مورد خواص اعداد به جای گذاشت. در اینجا، در حاشیه حساب، قضیه بزرگ فرما فرموله شد: «تجزیه یک مکعب به دو مکعب، یا یک دوتایی به دو دوتایی، یا به طور کلی توانی بیشتر از دو، به دو توان با یک توان غیرممکن است. من این را یک مدرک واقعاً شگفت انگیز یافتم که به دلیل کمبود فضا نمی تواند در این زمینه ها جا شود. به هر حال، در لاتین به این صورت است: «Cubum autem in duos cubos, auto-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

ریاضیدان بزرگ فرانسوی پیر فرما (1601-1665) روشی را برای تعیین مساحت ها و حجم ها ایجاد کرد و روش جدیدی از مماس ها و مادون ها ایجاد کرد. او همراه با دکارت خالق هندسه تحلیلی شد، همراه با پاسکال در مبدأ نظریه احتمال ایستاد، در زمینه روش بینهایت کوچک یک قاعده کلی برای تمایز ارائه کرد و به طور کلی قاعده ادغام یک تابع توان را ثابت کرد. ... اما، مهمتر از همه، یکی از مهم ترین داستان های اسرارآمیز و دراماتیک که ریاضیات را شوکه کرد - داستان اثبات آخرین قضیه فرما. حال این قضیه به شکل یک جمله ساده بیان می‌شود: معادله xn + yn = zn برای n>2 در گویا و بنابراین در اعداد صحیح غیرقابل حل است. به هر حال، برای مورد n = 3، ریاضیدان آسیای مرکزی الخجندی سعی کرد این قضیه را در قرن دهم ثابت کند، اما اثبات او حفظ نشده است.

پیر فرما که اهل جنوب فرانسه بود، مدرک حقوق گرفت و از سال 1631 مشاور پارلمان شهر تولوز (یعنی بالاترین دادگاه) بود. پس از یک روز کاری در داخل دیوارهای پارلمان، او ریاضیات را در پیش گرفت و بلافاصله در دنیایی کاملاً متفاوت فرو رفت. پول، اعتبار، شناخت عمومی - همه اینها برای او مهم نبود. علم هرگز برای او درآمدی نداشت، به یک هنر تبدیل نشد، همیشه فقط یک بازی هیجان انگیز ذهن باقی ماند که فقط برای عده کمی قابل درک است. با آنها مکاتبات خود را ادامه داد.

فرما هرگز مقالات علمی به معنای معمول ما ننوشت. و در مکاتبات او با دوستان همیشه چالشی وجود دارد، حتی نوعی تحریک، و به هیچ وجه ارائه آکادمیک مشکل و راه حل آن نیست. بنابراین، بسیاری از نامه های او متعاقباً به عنوان: یک چالش شناخته شد.

شاید به همین دلیل است که او هرگز به قصد خود برای نوشتن مقاله ای خاص در مورد نظریه اعداد پی نبرد. و در عین حال این رشته مورد علاقه او در ریاضیات بود. فرما الهام‌بخش‌ترین خطوط نامه‌هایش را به او اختصاص داد. او نوشت: «حساب حوزه خاص خود را دارد، نظریه اعداد کامل. اقلیدس این نظریه را اندکی لمس کرد و به اندازه کافی توسط پیروان او توسعه نیافته بود (مگر اینکه در آن آثار دیوفانتوس که ما داریم وجود داشته باشد. در اثر تلفات زمان از آن محروم شده است).

چرا خود فرما از گزند زمان نمی ترسید؟ او کم و همیشه بسیار مختصر می نوشت. اما مهمتر از همه، او کار خود را منتشر نکرد. در طول زندگی او، آنها فقط به صورت دستنوشته منتشر می شدند. بنابراین تعجب آور نیست که نتایج فرما در مورد نظریه اعداد به صورت تکه تکه به دست ما رسیده است. اما احتمالاً بولگاکف درست می گفت: دست نوشته های بزرگ نمی سوزند! کار فرما ماند. آنها در نامه های او به دوستانش باقی ماندند: معلم ریاضیات لیون، ژاک دو بیلی، کارمند ضرابخانه برنارد فرنیکل د بسی، مارسنیس، دکارت، بلز پاسکال... "حساب" دیوفانتوس با اظهارات او در حاشیه باقی ماند، که پس از مرگ فرما، پس از مرگ فرما، ، همراه با نظرات باشه در ویرایش جدید دیوفانتوس که توسط پسر ارشد ساموئل در سال 1670 منتشر شد وارد شد. فقط خود مدرک حفظ نشده است.

فرما دو سال قبل از مرگش وصیت نامه ای برای دوستش کرکاوی فرستاد که با عنوان «خلاصه نتایج جدید در علم اعداد» وارد تاریخ ریاضیات شد. در این نامه، فرما اظهار معروف خود را برای مورد n=4 ثابت کرد. اما پس از آن به احتمال زیاد نه به خود بیانیه، بلکه به روش اثبات کشف شده توسط خود، که توسط خود فرما به نام تبار نامحدود یا نامعین نامیده می شود، علاقه مند بود.

دست نوشته ها نمی سوزند. اما اگر وقف ساموئل نبود که پس از مرگ پدرش تمام طرح‌های ریاضی و رساله‌های کوچک خود را جمع‌آوری کرد و سپس آنها را در سال 1679 تحت عنوان «آثار ریاضی متفرقه» منتشر کرد، ریاضی‌دانان فرهیخته باید کشف می‌کردند. و خیلی چیزها را دوباره کشف کنید اما حتی پس از انتشار آنها، مشکلات مطرح شده توسط ریاضیدان بزرگ برای بیش از هفتاد سال خاموش بود. و این تعجب آور نیست. نتایج نظری اعداد پی. فرما به شکلی که در مطبوعات ظاهر شد، به شکل مشکلات جدی در برابر متخصصان ظاهر شد که برای معاصران همیشه روشن نبود، تقریباً هیچ مدرکی نداشت، و نشانه هایی از ارتباطات منطقی داخلی بین آنها وجود داشت. شاید در غیاب یک تئوری منسجم و سنجیده، پاسخ این سوال نهفته باشد که چرا خود فرما قصد نداشت کتابی در باب نظریه اعداد منتشر کند. هفتاد سال بعد ال اویلر به این آثار علاقه مند شد و این واقعا دومین تولد آنها بود...

ریاضیات هزینه های گزافی را برای شیوه عجیب فرما در ارائه نتایج خود پرداخته است، گویی که به طور عمدی از اثبات آنها حذف شده است. اما، اگر فرما قبلاً ادعا می کرد که این یا آن قضیه را ثابت کرده است، بعداً این قضیه لزوماً اثبات شد. با این حال، مشکلی با قضیه بزرگ وجود داشت.

رمز و راز همیشه تخیل را تحریک می کند. تمام قاره ها توسط لبخند مرموز مونالیزا فتح شدند. نظریه نسبیت، به عنوان کلید معمای ارتباطات فضا-زمان، به محبوب ترین نظریه فیزیکی قرن تبدیل شده است. و به جرات می توان گفت که هیچ مشکل ریاضی دیگری وجود نداشت که به اندازه آنها محبوب باشد __93

مشکلات علمی و آموزشی حفاظت مدنی

که قضیه فرما. تلاش ها برای اثبات آن منجر به ایجاد شاخه گسترده ای از ریاضیات - نظریه اعداد جبری شد، اما (افسوس!) خود این قضیه اثبات نشده باقی ماند. در سال 1908، ولفسکل، ریاضیدان آلمانی، 100000 مارک به هر کسی که بتواند قضیه فرما را اثبات کند، وصیت کرد. برای آن زمان ها مبلغ هنگفتی بود! در یک لحظه ممکن بود نه تنها مشهور، بلکه به طرز شگفت انگیزی ثروتمند شوید! بنابراین تعجب آور نیست که دانش آموزان حتی روسیه، دور از آلمان، در حال رقابت با یکدیگر برای اثبات قضیه بزرگ عجله کردند. در مورد ریاضیدانان حرفه ای چه بگوییم! اما بیهوده! پس از جنگ جهانی اول، ارزش پول کاهش یافت و جریان نامه ها با شواهد شبه شروع به خشک شدن کرد، هرچند که البته هرگز به طور کامل متوقف نشد. گفته می شود که ادموند لاندو، ریاضیدان معروف آلمانی، فرم های چاپی را برای توزیع به نویسندگان اثبات قضیه فرما آماده کرد: "در صفحه ...، در خط ... یک خطا وجود دارد." (پیدا کردن خطا به دانشیار سپرده شد.) آنقدر کنجکاوها و حکایات مربوط به اثبات این قضیه بود که می شد از آنها کتاب ساخت. آخرین حکایت شبیه "تصادف" کارآگاه A. Marinina است که در ژانویه 2000 فیلمبرداری شده و از صفحه تلویزیون کشور پخش شد. در آن، هموطن ما قضیه ای را ثابت می کند که همه پیشینیان بزرگ آن را اثبات نکرده اند و برای آن مدعی جایزه نوبل می شود. همانطور که می دانید، مخترع دینامیت ریاضیدانان را در وصیت نامه خود نادیده گرفت، بنابراین نویسنده مدرک تنها توانست مدال طلای فیلدز، بالاترین جایزه بین المللی را که توسط خود ریاضیدانان در سال 1936 تایید شده بود، دریافت کند.

در کار کلاسیک ریاضیدان برجسته روسی A.Ya. خینچین، که به قضیه بزرگ فرما اختصاص داده شده است، اطلاعاتی در مورد تاریخچه این مسئله ارائه می دهد و به روشی که فرما می تواند در اثبات قضیه خود استفاده کند، توجه می کند. اثباتی برای مورد n = 4 و بررسی مختصری از نتایج مهم دیگر ارائه شده است.

اما زمانی که داستان کارآگاهی نوشته شد، و حتی بیشتر از آن، در زمان فیلمبرداری آن، اثبات کلی قضیه قبلاً پیدا شده بود. در 23 ژوئن 1993، در کنفرانسی در مورد نظریه اعداد در کمبریج، اندرو وایلز ریاضیدان پرینستون اعلام کرد که اثبات آخرین قضیه فرما به دست آمده است. اما نه آنطور که خود فرما «قول داده بود». مسیری که اندرو وایلز طی کرد به هیچ وجه مبتنی بر روش های ریاضیات ابتدایی نبود. او در به اصطلاح نظریه منحنی های بیضوی مشغول بود.

برای درک منحنی های بیضوی، لازم است منحنی صفحه ای را که با معادله درجه سوم به دست می آید در نظر بگیرید.

Y(x، y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

تمام این منحنی ها به دو دسته تقسیم می شوند. دسته اول شامل آن دسته از منحنی هایی است که دارای نقاط اوج هستند (مانند سهمی نیمه مکعبی y2 = a2-X با نقطه اوج (0; 0))، نقاط خود تقاطع (مانند ورق دکارتی x3 + y3-3axy = 0، در نقطه (0; 0)) و همچنین منحنی هایی که چند جمله ای Ax، y) به شکل نشان داده شده است.

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

که در آن ^(x، y) و ^(x، y) چند جمله ای با درجات کوچکتر هستند. منحنی های این طبقه را منحنی های منحط درجه سوم می نامند. دسته دوم منحنی ها توسط منحنی های غیر انحطاط تشکیل می شوند. ما آنها را بیضوی می نامیم. اینها شامل، برای مثال، Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0 است. اگر ضرایب چند جمله ای (1) اعداد گویا باشند، منحنی بیضوی را می توان به شکل به اصطلاح متعارف تبدیل کرد.

y2 = x3 + تبر + b. (2)

در سال 1955، ریاضیدان ژاپنی Y.Taniyama (1927-1958)، در چارچوب نظریه منحنی های بیضوی، موفق به فرموله کردن حدسی شد که راه را برای اثبات قضیه فرما هموار کرد. اما پس از آن نه تانیاما و نه همکارانش به این موضوع مشکوک نشدند. برای تقریباً بیست سال این فرضیه توجه جدی را به خود جلب نکرد و تنها در اواسط دهه 1970 رایج شد. طبق حدس تانیاما، هر بیضوی

منحنی با ضرایب منطقی مدولار است. با این حال، تا کنون، فرمول بندی فرضیه چیز کمی برای خواننده دقیق توضیح می دهد. بنابراین، تعاریفی لازم است.

هر منحنی بیضی را می توان با یک مشخصه عددی مهم مرتبط دانست - متمایز کننده آن. برای یک منحنی که به شکل متعارف (2) داده شده است، متمایز A با فرمول تعیین می شود

A \u003d - (4a + 27b2).

فرض کنید E مقداری منحنی بیضوی باشد که با معادله (2)، که در آن a و b اعداد صحیح هستند.

برای عدد اول p، مقایسه را در نظر بگیرید

y2 = x3 + تبر + b(mod p)، (3)

که در آن a و b باقیمانده های پس از تقسیم اعداد صحیح a و b بر p هستند و تعداد راه حل های این همخوانی را با np نشان می دهند. اعداد pr در بررسی مسئله حل پذیری معادلات شکل (2) در اعداد صحیح بسیار مفید هستند: اگر مقداری pr برابر با صفر باشد، معادله (2) هیچ جواب عدد صحیحی ندارد. با این حال، محاسبه اعداد pr فقط در موارد نادر امکان پذیر است. (در عین حال مشخص است که p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).

آن اعداد اول p را در نظر بگیرید که A ممیز منحنی بیضی (2) را تقسیم می کنند. می توان ثابت کرد که برای چنین p چند جمله ای x3 + ax + b را می توان به یکی از دو روش نوشت:

x3 + تبر + b = (x + a)2 (x + ß) (mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p)،

که در آن a، ß، y تعدادی باقیمانده پس از تقسیم بر p هستند. اگر برای تمام p های اول که تفکیک کننده منحنی را تقسیم می کنند، اولین مورد از دو احتمال مشخص شده محقق شود، منحنی بیضوی را نیمه مستحکم می گویند.

اعداد اول تقسیم کننده تفکیک کننده را می توان در یک هادی منحنی بیضوی ترکیب کرد. اگر E یک منحنی نیمه پایدار باشد، رسانای آن N با فرمول داده می شود

که در آن برای تمام اعداد اول p > 5 تقسیم A، توان eP برابر با 1 است. توان 82 و 83 با استفاده از یک الگوریتم خاص محاسبه می شوند.

در اصل، این تنها چیزی است که برای درک اصل برهان لازم است. با این حال، حدس تانیاما حاوی مفهوم دشوار و، در مورد ما، کلیدی مدولار بودن است. بنابراین، بیایید برای مدتی منحنی های بیضوی را فراموش کنیم و یک تابع تحلیلی f (یعنی تابعی که می تواند با یک سری توانی نمایش داده شود) از یک آرگومان مختلط z که در نیم صفحه فوقانی داده شده است را در نظر بگیریم.

نیم صفحه مختلط بالایی را با H نشان دهید. فرض کنید N یک عدد طبیعی و k یک عدد صحیح باشد. یک شکل سهمی مدولار وزن k سطح N یک تابع تحلیلی f(z) است که در نیمه صفحه بالایی تعریف شده و رابطه را برآورده می کند.

f = (cz + d)kf (z) (5)

برای هر اعداد صحیح a، b، c، d به طوری که ae - bc = 1 و c بر N بخش پذیر باشد. علاوه بر این، فرض می شود که

lim f (r + it) = 0،

که در آن r یک عدد گویا است، و آن

فضای شکل های کاسپ مدولار وزن k سطح N با Sk(N) نشان داده می شود. می توان نشان داد که دارای یک بعد محدود است.

در ادامه، ما به‌ویژه به شکل‌های کاسپ مدولار وزن 2 علاقه مند خواهیم بود. برای N کوچک، بعد فضای S2(N) در جدول 1 ارائه شده است. 1. به طور خاص،

ابعاد فضای S2(N)

میز 1

ن<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

از شرط (5) نتیجه می شود که % + 1) = برای هر شکل f ∈ S2(N). بنابراین، f تابع تناوبی است. چنین تابعی را می توان به صورت نمایش داد

اگر ضرایب آن اعداد صحیحی باشند که روابط را برآورده می کنند، یک فرم کاسپ مدولار را A^) در S2(N) مناسب می نامیم:

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 برای p ساده ای که عدد N را تقسیم نمی کند. (هشت)

(ap) برای p اول تقسیم N.

atp = در یک if (m, n) = 1.

اکنون تعریفی را تدوین می کنیم که نقشی کلیدی در اثبات قضیه فرما دارد. منحنی بیضوی با ضرایب گویا و هادی N در صورت وجود چنین شکل ویژه ای مدولار نامیده می شود.

f(z) = ^anq" g S2(N)،

که ap = p - pr تقریباً برای همه اعداد اول p. در اینجا np تعداد راه حل های مقایسه است (3).

باور به وجود حداقل یکی از این منحنی ها دشوار است. تصور اینکه تابع A(r) وجود داشته باشد که محدودیت‌های سخت (5) و (8) را برآورده می‌کند، که به یک سری (7) گسترش می‌یابد، که ضرایب آن با اعداد عملا غیرقابل محاسبه Pr مرتبط است، بسیار دشوار است. بسیار دشوار است اما فرضیه جسورانه تانیاما به هیچ وجه واقعیت وجود آنها را زیر سؤال نمی برد و مطالب تجربی انباشته شده توسط زمان به طرز درخشانی اعتبار آن را تأیید می کرد. پس از دو دهه فراموشی تقریباً کامل، فرضیه تانیاما باد دومی را در آثار ریاضیدان فرانسوی، عضو آکادمی علوم پاریس، آندره ویل دریافت کرد.

A. Weyl در سال 1906 متولد شد و سرانجام یکی از بنیانگذاران گروهی از ریاضیدانان شد که با نام مستعار N. Bourbaki فعالیت می کردند. از سال 1958، A. Weil استاد موسسه مطالعات پیشرفته پرینستون است. و پیدایش علاقه او به هندسه جبری انتزاعی متعلق به همین دوره است. در دهه هفتاد به توابع بیضوی و حدس تانیاما روی آورد. تک نگاری اختصاص داده شده به توابع بیضوی در اینجا در روسیه ترجمه شد. او در اشتیاق خود تنها نیست. در سال 1985، گرهارد فری، ریاضیدان آلمانی، پیشنهاد کرد که اگر قضیه فرما نادرست است، یعنی اگر سه اعداد صحیح a، b، c وجود داشته باشد به طوری که a "+ bn = c" (n > 3)، آنگاه منحنی بیضوی وجود دارد.

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

نمی تواند مدولار باشد، که با حدس تانیاما در تضاد است. خود فری نتوانست این گفته را ثابت کند، اما این مدرک به زودی توسط ریاضیدان آمریکایی کنت ریبت به دست آمد. به عبارت دیگر، ریبت نشان داد که قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما است.

او قضیه زیر را فرموله و اثبات کرد:

قضیه 1 (Ribet). فرض کنید E یک منحنی بیضوی با ضرایب گویا دارای ممیز باشد

و هادی

فرض کنید E مدولار است و اجازه دهید

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

شکل ویژه سطح مربوطه N است. یک عدد اول £ را ثابت می کنیم و

p: eP \u003d 1؛ - "8 p

سپس یک فرم سهموی وجود دارد

/(r) = 2 dnqn e N)

با ضرایب صحیح که تفاوت های an - dn بر I برای همه 1 بخش پذیر است< п<ад.

واضح است که اگر این قضیه برای برخی از توان‌ها ثابت شود، آنگاه برای همه توان‌هایی که مضرب n هستند ثابت می‌شود. از آنجایی که هر عدد صحیح n > 2 بر 4 یا بر عدد اول فرد بخش پذیر است، بنابراین می‌توانیم خود را به عدد محدود کنیم. حالتی که توان 4 یا یک عدد اول فرد باشد. برای n = 4، یک اثبات ابتدایی قضیه فرما ابتدا توسط خود فرما و سپس توسط اویلر به دست آمد. بنابراین، مطالعه معادله کافی است

a1 + b1 = c1، (12)

که در آن توان I یک عدد اول فرد است.

حال با محاسبات ساده می توان قضیه فرما را به دست آورد (2).

قضیه 2. حدس تانیاما برای منحنی های بیضوی نیمه استوار، بر آخرین قضیه فرما دلالت دارد.

اثبات فرض کنید که قضیه فرما نادرست است، و اجازه دهید یک مثال متضاد وجود داشته باشد (مانند بالا، در اینجا I یک عدد اول فرد است). اجازه دهید قضیه 1 را برای منحنی بیضوی اعمال کنیم

y2 = x (x - ae) (x - c1).

محاسبات ساده نشان می دهد که هادی این منحنی با فرمول به دست می آید

با مقایسه فرمول های (11) و (13)، می بینیم که N = 2. بنابراین، با قضیه 1، یک شکل سهمی وجود دارد.

خوابیده در فضای 82 (2). اما به دلیل رابطه (6) این فاصله صفر است. بنابراین، dn = 0 برای همه n. در همان زمان، a^ = 1. بنابراین، تفاوت ar - dl = 1 بر I قابل تقسیم نیست و به یک تضاد می رسیم. بنابراین، قضیه ثابت می شود.

این قضیه کلید اثبات آخرین قضیه فرما را ارائه کرد. و با این حال خود این فرضیه هنوز اثبات نشده باقی مانده است.

اندرو وایلز با اعلام در 23 ژوئن 1993، اثبات حدس تانیاما را برای منحنی های بیضوی نیمه مستقر، که شامل منحنی های شکل (8) می شود، عجله کرد. برای ریاضیدانان خیلی زود بود که پیروزی را جشن بگیرند.

تابستان گرم به سرعت به پایان رسید، پاییز بارانی پشت سر گذاشت، زمستان آمد. وایلز نسخه نهایی اثبات خود را نوشت و بازنویسی کرد، اما همکاران دقیق‌تر نادرستی‌های بیشتری در کار او یافتند. و به این ترتیب، در اوایل دسامبر 1993، چند روز قبل از انتشار نسخه خطی وایلز، باز هم شکاف های جدی در اثبات او پیدا شد. و سپس وایلز متوجه شد که در یک یا دو روز دیگر نمی تواند چیزی را اصلاح کند. این نیاز به یک بازنگری اساسی داشت. انتشار اثر باید به تعویق می افتاد. وایلز برای کمک به تیلور مراجعه کرد. "کار بر روی اشکالات" بیش از یک سال طول کشید. نسخه نهایی اثبات حدس تانیاما، که توسط وایلز با همکاری تیلور نوشته شده بود، تا تابستان 1995 ظاهر نشد.

برخلاف قهرمان A. Marinina، وایلز مدعی جایزه نوبل نبود، اما، با این وجود ... باید با نوعی جایزه مورد توجه قرار می گرفت. این فقط چیه؟ وایلز در آن زمان در پنجاه سالگی خود بود و مدال های طلای فیلدز به شدت تا سن چهل سالگی اعطا می شود، در حالی که اوج فعالیت خلاقانه هنوز سپری نشده است. و سپس آنها تصمیم گرفتند یک جایزه ویژه برای Wiles ایجاد کنند - نشان نقره ای کمیته فیلدز. این نشان در کنگره بعدی ریاضیات در برلین به او ارائه شد.

از بین تمام مشکلاتی که کم و بیش احتمال دارد جای آخرین قضیه فرما را بگیرد، مشکل نزدیکترین بسته بندی توپ ها بیشترین شانس را دارد. مشکل نزدیک‌ترین بسته‌بندی توپ‌ها را می‌توان به‌عنوان مشکل چگونگی چیدمان اقتصادی هرم پرتقال‌ها در نظر گرفت. ریاضیدانان جوان این مسئله را از یوهانس کپلر به ارث برده اند. این مشکل در سال 1611 متولد شد، زمانی که کپلر مقاله کوتاهی با عنوان "درباره دانه های برف شش ضلعی" نوشت. علاقه کپلر به ترتیب و خود سازماندهی ذرات ماده، او را به بحث در مورد موضوع دیگری سوق داد - متراکم ترین بسته بندی ذرات، که در آن کمترین حجم را اشغال می کنند. اگر فرض کنیم که ذرات به شکل کره باشند، واضح است که هر طور که در فضا قرار گیرند، به ناچار شکاف هایی بین آنها باقی می ماند و سوال این است که حجم شکاف ها را به حداقل برسانیم. به عنوان مثال، در کار بیان شده است (اما ثابت نشده است) که چنین شکلی یک چهار وجهی است، محورهای مختصاتی که در داخل آن زاویه تعامد پایه 109o28" را تعیین می کند و نه 90o. این مشکل برای ذرات بنیادی اهمیت زیادی دارد. فیزیک، کریستالوگرافی و سایر بخش های علوم طبیعی.

ادبیات

1. Weil A. توابع بیضوی طبق آیزنشتاین و کرونکر. - م.، 1978.

2. Solovyov Yu.P. حدس تانیاما و آخرین قضیه فرما // مجله آموزشی سوروس. - شماره 2. - 1998. - S. 78-95.

3. آخرین قضیه سینگ اس فرما. داستان معمایی که 358 سال بهترین ذهن های جهان را به خود مشغول کرده است / پر. از انگلیسی. یو.آ. دانیلوا. مسکو: MTsNMO. 2000. - 260 ص.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. جبر کواترنیون ها و چرخش های سه بعدی // مجله حاضر شماره 1(1)، 2008. - ص 75-80.