امروز در مورد آن صحبت خواهیم کرد فرمول های لگاریتمیو نمایش دهد نمونه های راه حل.

آنها به خودی خود الگوهای حل را مطابق با ویژگی های اصلی لگاریتم ها نشان می دهند. قبل از اعمال فرمول‌های لگاریتمی برای حل، ابتدا تمام ویژگی‌ها را برای شما یادآوری می‌کنیم:

حال بر اساس این فرمول ها (خواص) نشان می دهیم نمونه هایی از حل لگاریتم.

نمونه هایی از حل لگاریتم بر اساس فرمول.

لگاریتمیک عدد مثبت b در پایه a (با log a b مشخص می شود) توانی است که a باید به آن افزایش یابد تا b به دست آید، با b> 0، a > 0 و 1.

طبق تعریف log a b = x که معادل x = b است، بنابراین log a a x = x.

لگاریتم ها، مثال ها:

log 2 8 = 3، زیرا 2 3 = 8

log 7 49 = 2 زیرا 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1، زیرا 5 -1 = 1/5

لگاریتم اعشارییک لگاریتم معمولی است که پایه آن 10 است. با lg نشان داده می شود.

log 10 100 = 2 زیرا 10 2 = 100

لگاریتم طبیعی- همچنین لگاریتم لگاریتم معمولی، اما با پایه e (e \u003d 2.71828 ... - یک عدد غیر منطقی). به عنوان ln.

مطلوب است که فرمول ها یا خواص لگاریتم ها را به خاطر بسپاریم، زیرا بعداً هنگام حل لگاریتم، معادلات لگاریتمی و نابرابری ها به آنها نیاز خواهیم داشت. بیایید هر فرمول را دوباره با مثال ها بررسی کنیم.

• هویت لگاریتمی پایه
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لگاریتم حاصلضرب برابر است با مجموع لگاریتم ها
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• لگاریتم ضریب برابر است با اختلاف لگاریتم ها
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 / 9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• ویژگی های درجه یک عدد لگاریتمی و پایه لگاریتم

  توان یک عدد لگاریتمی log a b m = mlog a b

  نماگر پایه لگاریتم log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  اگر m = n، log a n b n = log a b دریافت می کنیم

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• انتقال به یک پایه جدید
  log a b = log c b / log c a,

  اگر c = b، log b b = 1 را دریافت می کنیم

  سپس log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

همانطور که می بینید، فرمول های لگاریتمی آنقدرها که به نظر می رسد پیچیده نیستند. حال با در نظر گرفتن مثال هایی از حل لگاریتم، می توانیم به سراغ معادلات لگاریتمی برویم. نمونه هایی از حل معادلات لگاریتمی را با جزئیات بیشتری در مقاله بررسی خواهیم کرد: "". از دست نده!

اگر هنوز در مورد راه حل سؤالی دارید، آنها را در نظرات مقاله بنویسید.

توجه: تصمیم گرفتم به عنوان یک گزینه، تحصیل در کلاس دیگری را در خارج از کشور دریافت کنم.

با توسعه جامعه، پیچیدگی تولید، ریاضیات نیز توسعه یافت. حرکت از ساده به پیچیده از روش معمول حسابداری جمع و تفریق با تکرار مکرر آنها به مفهوم ضرب و تقسیم رسیدند. کاهش عملیات تکرار شده به مفهوم توان تبدیل شد. اولین جداول وابستگی اعداد به پایه و تعداد توان در قرن هشتم توسط ریاضیدان هندی Varasena گردآوری شد. از روی آنها می توانید زمان وقوع لگاریتم را بشمارید.

طرح کلی تاریخی

احیای اروپا در قرن شانزدهم نیز توسعه مکانیک را تحریک کرد. تی نیاز به محاسبات زیادی داشتمربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی است. میزهای باستانی خدمات بزرگی انجام دادند. آنها امکان جایگزینی عملیات پیچیده را با موارد ساده تر - جمع و تفریق - فراهم کردند. یک قدم بزرگ رو به جلو کار ریاضیدان مایکل استیفل بود که در سال 1544 منتشر شد و در آن او ایده بسیاری از ریاضیدانان را درک کرد. این امر امکان استفاده از جداول را نه تنها برای درجات به شکل اعداد اول، بلکه برای اعداد گویا دلخواه نیز فراهم کرد.

در سال 1614، جان ناپیر اسکاتلندی، با توسعه این ایده ها، برای اولین بار اصطلاح جدید "لگاریتم یک عدد" را معرفی کرد. جداول پیچیده جدیدی برای محاسبه لگاریتم سینوس ها و کسینوس ها و همچنین مماس ها تهیه شد. این کار اخترشناسان را بسیار کاهش داد.

جداول جدیدی ظاهر شد که با موفقیت توسط دانشمندان برای سه قرن استفاده شد. زمان زیادی گذشت تا عملیات جدید در جبر شکل نهایی خود را به دست آورد. لگاریتم تعریف شد و خواص آن بررسی شد.

تنها در قرن بیستم، با ظهور ماشین حساب و کامپیوتر، بشر جدول های باستانی را که در طول قرن سیزدهم با موفقیت کار می کردند، کنار گذاشت.

امروز لگاریتم b را برای مبنای a عدد x که توان a است می نامیم تا عدد b را بدست آوریم. این به عنوان یک فرمول نوشته می شود: x = log a(b).

به عنوان مثال، log 3(9) برابر با 2 خواهد بود. اگر از تعریف پیروی کنید این واضح است. اگر 3 را به توان 2 برسانیم، 9 می شود.

بنابراین، تعریف فرمول بندی شده تنها یک محدودیت را ایجاد می کند، اعداد a و b باید واقعی باشند.

انواع لگاریتم ها

تعریف کلاسیک لگاریتم واقعی نامیده می شود و در واقع حل معادله a x = b است. گزینه a = 1 مرزی است و جالب نیست. توجه: 1 به هر توانی 1 است.

ارزش واقعی لگاریتمتنها در صورتی تعریف می شود که مبنا و آرگومان بزرگتر از 0 باشد و مبنا نباید برابر با 1 باشد.

جایگاه ویژه در رشته ریاضیلگاریتمی را بازی کنید که بسته به مقدار پایه آنها نامگذاری می شود:

قوانین و محدودیت ها

ویژگی اساسی لگاریتم ها این قانون است: لگاریتم یک محصول برابر با مجموع لگاریتمی است. log abp = log a(b) + log a(p).

به عنوان گونه ای از این عبارت، این خواهد بود: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p)، تابع ضریب برابر با تفاوت توابع است.

از دو قانون قبلی به راحتی می توان دریافت که: log a(b p) = p * log a(b).

سایر خواص عبارتند از:

اظهار نظر. یک اشتباه رایج مرتکب نشوید - لگاریتم مجموع با مجموع لگاریتم ها برابر نیست.

برای قرن‌های متمادی، عملیات یافتن لگاریتم یک کار نسبتاً زمان‌بر بود. ریاضیدانان از فرمول معروف نظریه لگاریتمی انبساط به چند جمله ای استفاده کردند:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n)، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است که دقت محاسبه را تعیین می کند.

لگاریتم با پایه های دیگر با استفاده از قضیه انتقال از یک پایه به پایه دیگر و ویژگی لگاریتم حاصلضرب محاسبه شد.

از آنجایی که این روش بسیار پر زحمت است و هنگام حل مسائل عملیپیاده سازی آنها دشوار بود، آنها از جداول لگاریتمی از پیش کامپایل شده استفاده کردند که کل کار را بسیار تسریع کرد.

در برخی موارد، از نمودارهای لگاریتم کامپایل شده مخصوص استفاده شد که دقت کمتری داشت، اما به طور قابل توجهی سرعت جستجوی مقدار مورد نظر را افزایش داد. منحنی تابع y = log a(x) که بر روی چندین نقطه ساخته شده است، امکان استفاده از خط کش معمولی را برای یافتن مقادیر تابع در هر نقطه دیگر فراهم می کند. برای مدت طولانی، مهندسان از کاغذ به اصطلاح گراف برای این اهداف استفاده می کردند.

در قرن هفدهم، اولین شرایط محاسباتی آنالوگ کمکی ظاهر شد که تا قرن نوزدهم شکل کاملی پیدا کرد. موفق ترین دستگاه قانون اسلاید نام داشت. علیرغم سادگی دستگاه، ظاهر آن به طور قابل توجهی روند تمام محاسبات مهندسی را تسریع می کند، و تخمین زدن این امر دشوار است. در حال حاضر افراد کمی با این دستگاه آشنایی دارند.

ظهور ماشین‌حساب‌ها و رایانه‌ها استفاده از هر وسیله دیگری را بی‌معنی کرد.

معادلات و نابرابری ها

از فرمول های زیر برای حل معادلات و نابرابری های مختلف با استفاده از لگاریتم استفاده می شود:

• انتقال از یک پایه به پایه دیگر: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• در نتیجه نسخه قبلی: log a(b) = 1 / log b(a).

برای حل نابرابری ها، دانستن موارد زیر مفید است:

• مقدار لگاریتم تنها زمانی مثبت خواهد بود که هم مبنا و هم آرگومان هر دو بزرگتر یا کمتر از یک باشند. اگر حداقل یک شرط نقض شود، مقدار لگاریتم منفی خواهد بود.
• اگر تابع لگاریتم به سمت راست و چپ نابرابری اعمال شود و پایه لگاریتم بزرگتر از یک باشد، علامت نابرابری حفظ می شود. در غیر این صورت تغییر می کند.

نمونه کارها

چندین گزینه برای استفاده از لگاریتم و خواص آنها در نظر بگیرید. مثال هایی با حل معادلات:

گزینه قرار دادن لگاریتم در درجه را در نظر بگیرید:

• وظیفه 3. محاسبه 25^log 5(3). راه حل: در شرایط مشکل، نماد شبیه به زیر است (5^2)^log5(3) یا 5^(2 * log 5(3)). بیایید آن را متفاوت بنویسیم: 5^log 5(3*2)، یا مربع یک عدد به عنوان آرگومان تابع را می توان به عنوان مربع خود تابع نوشت (5^log 5(3))^2. با استفاده از خواص لگاریتم، این عبارت 3^2 است. پاسخ: در نتیجه محاسبه 9 به دست می آید.

استفاده عملی

از آنجایی که یک ابزار کاملاً ریاضی است، به نظر می رسد که لگاریتم به طور ناگهانی اهمیت زیادی در توصیف اشیاء در دنیای واقعی پیدا کرده است، از زندگی واقعی دور است. یافتن علمی در جایی که از آن استفاده نمی شود دشوار است. این به طور کامل نه تنها در مورد علوم طبیعی، بلکه در زمینه های علوم انسانی نیز صدق می کند.

وابستگی های لگاریتمی

در اینجا چند نمونه از وابستگی های عددی آورده شده است:

مکانیک و فیزیک

از نظر تاریخی، مکانیک و فیزیک همیشه با استفاده از روش های تحقیق ریاضی توسعه یافته اند و در عین حال به عنوان انگیزه ای برای توسعه ریاضیات از جمله لگاریتم عمل کرده اند. نظریه اکثر قوانین فیزیک به زبان ریاضیات نوشته شده است. ما تنها دو مثال از توصیف قوانین فیزیکی با استفاده از لگاریتم ارائه می دهیم.

می توان با استفاده از فرمول Tsiolkovsky، که پایه و اساس نظریه اکتشاف فضایی را ایجاد کرد، مشکل محاسبه کمیت پیچیده مانند سرعت موشک را حل کرد:

V = I * ln(M1/M2)، که در آن

• V سرعت نهایی هواپیما است.
• من تکانه خاص موتور هستم.
• M 1 جرم اولیه موشک است.
• M 2 - جرم نهایی.

مثال مهم دیگر- این استفاده در فرمول دانشمند بزرگ دیگر، ماکس پلانک است که برای ارزیابی حالت تعادل در ترمودینامیک استفاده می شود.

S = k * ln (Ω)، که در آن

• S یک خاصیت ترمودینامیکی است.
• k ثابت بولتزمن است.
• Ω وزن آماری حالت های مختلف است.

علم شیمی

استفاده از فرمول هایی در شیمی حاوی نسبت لگاریتم ها کمتر آشکار است. در اینجا فقط دو نمونه وجود دارد:

• معادله نرنست، شرط پتانسیل ردوکس محیط نسبت به فعالیت مواد و ثابت تعادل.
• محاسبه ثابت هایی مانند شاخص اتوپرولیز و اسیدیته محلول نیز بدون عملکرد ما کامل نیست.

روانشناسی و زیست شناسی

و کاملاً غیرقابل درک است که روانشناسی چه ارتباطی با آن دارد. معلوم می شود که قدرت حس به خوبی با این تابع به عنوان نسبت معکوس مقدار شدت محرک به مقدار شدت کمتر توصیف می شود.

پس از مثال های بالا، دیگر جای تعجب نیست که موضوع لگاریتم ها نیز در زیست شناسی بسیار مورد استفاده قرار می گیرد. مجلدات کامل را می توان در مورد اشکال بیولوژیکی متناظر با مارپیچ های لگاریتمی نوشت.

مناطق دیگر

به نظر می رسد وجود جهان بدون ارتباط با این کارکرد ناممکن است و بر همه قوانین حاکم است. به خصوص زمانی که قوانین طبیعت با یک پیشرفت هندسی مرتبط هستند. مراجعه به وب سایت MatProfi خالی از لطف نیست و نمونه هایی از این دست در زمینه های فعالیت زیر بسیار است:

لیست می تواند بی پایان باشد. با تسلط بر قوانین اساسی این عملکرد، می توانید وارد دنیای خرد بی نهایت شوید.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اخطارها و ارتباطات مهم برای شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

لگاریتم چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

لگاریتم چیست؟ چگونه لگاریتم ها را حل کنیم؟ این سوالات بسیاری از فارغ التحصیلان را سردرگم می کند. به طور سنتی، موضوع لگاریتم پیچیده، غیرقابل درک و ترسناک در نظر گرفته می شود. به خصوص - معادلات با لگاریتم.

این کاملا درست نیست. کاملا! باور نمی کنی؟ خوب اکنون برای حدود 10 تا 20 دقیقه شما:

1. درک کنید لگاریتم چیست.

2. حل یک کلاس کامل از معادلات نمایی را یاد بگیرید. حتی اگر نام آنها را نشنیده باشید.

3. محاسبه لگاریتم های ساده را یاد بگیرید.

علاوه بر این، برای این شما فقط باید جدول ضرب را بدانید و اینکه چگونه یک عدد به توان می رسد ...

من احساس می کنم شما شک دارید ... خوب، زمان را نگه دارید! برو

ابتدا معادله زیر را در ذهن خود حل کنید:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

بیا شروع کنیم با ویژگی های لگاریتم وحدت. فرمول آن به صورت زیر است: لگاریتم وحدت برابر با صفر است، یعنی 1=0 را ثبت کنیدبرای هر a>0، a≠1. اثبات ساده است: از آنجایی که 0 = 1 برای هر a که شرایط فوق را برآورده می کند a>0 و a≠1 است، پس ثبت تساوی اثبات شده a 1=0 بلافاصله از تعریف لگاریتم پیروی می کند.

بیایید مثال هایی از کاربرد ویژگی در نظر گرفته شده را بیاوریم: log 3 1=0، lg1=0 و .

بیایید به ویژگی بعدی برویم: لگاریتم یک عدد مساوی با پایه برابر با یک است، به این معنا که، ورود a=1برای a>0، a≠1. در واقع، از آنجایی که a 1 =a برای هر a، پس با تعریف لگاریتم log a=1 است.

نمونه هایی از استفاده از این خاصیت لگاریتم log 5 5=1، log 5.6 5.6 و lne=1 است.

به عنوان مثال، log 2 2 7 =7، log10 -4 =-4 و .

لگاریتم حاصل ضرب دو عدد مثبت x و y برابر است با حاصل ضرب لگاریتم این اعداد: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . بیایید خاصیت لگاریتم محصول را ثابت کنیم. با توجه به خواص درجه a log a x+log a y =a log a x a log a yو از آنجایی که با هویت لگاریتمی اصلی یک log a x =x و یک log a y =y است، سپس یک log a x a log a y =x y. بنابراین، یک log a x+log a y =x y، که از آنجا تساوی لازم با تعریف لگاریتم دنبال می‌شود.

بیایید مثال هایی از استفاده از خاصیت لگاریتم حاصل را نشان دهیم: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 و .

خاصیت لگاریتم حاصلضرب را می توان به حاصل ضرب عدد محدود n از اعداد مثبت x 1 , x 2 , …, x n تعمیم داد. log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . این برابری به راحتی قابل اثبات است.

به عنوان مثال، لگاریتم طبیعی یک محصول را می توان با مجموع سه لگاریتم طبیعی اعداد 4، e و .

لگاریتم ضریب دو عدد مثبت x و y برابر است با اختلاف لگاریتم این اعداد. ویژگی لگاریتم ضریب مربوط به فرمولی از فرم است که در آن a>0، a≠1، x و y برخی اعداد مثبت هستند. اعتبار این فرمول مانند فرمول لگاریتم حاصلضرب ثابت می شود: از آنجا که ، سپس با تعریف لگاریتم.

در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی لگاریتم آورده شده است: .

بیایید به ادامه مطلب برویم خاصیت لگاریتم درجه. لگاریتم یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم مدول پایه این درجه. این ویژگی لگاریتم درجه را به صورت فرمول می نویسیم: log a b p =p log a |b|، که در آن a>0، a≠1، b و p اعدادی هستند به طوری که درجه b p معنی دارد و b p > 0.

ابتدا این ویژگی را برای b مثبت ثابت می کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما اجازه می‌دهد عدد b را به‌عنوان log a b، سپس b p =(a log a b) p نمایش دهیم، و عبارت حاصل، به دلیل ویژگی توان، برابر با p log a b است. بنابراین به برابری b p =a p log a b می رسیم که از آن با تعریف لگاریتم نتیجه می گیریم که log a b p =p log a b .

باقی می ماند که این ویژگی برای منفی b ثابت شود. در اینجا توجه می کنیم که عبارت log a b p برای منفی b فقط برای توان های زوج p معنی دارد (زیرا مقدار درجه b p باید بزرگتر از صفر باشد، در غیر این صورت لگاریتم معنی نخواهد داشت) و در این مورد b p =|b| پ . سپس b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|، از آنجا log a b p =p log a |b| .

مثلا، و ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

از ملک قبلی بر می آید ویژگی لگاریتم از ریشه: لگاریتم ریشه درجه n برابر است با حاصلضرب کسری 1/n و لگاریتم عبارت ریشه، یعنی ، که در آن a>0، a≠1، n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است، b>0.

اثبات بر اساس برابری است (نگاه کنید به) که برای هر b مثبت معتبر است، و خاصیت لگاریتم درجه: .

در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی آورده شده است: .

حالا بیایید ثابت کنیم فرمول تبدیل به پایه جدید لگاریتمنوع . برای انجام این کار، اثبات اعتبار log برابری c b=log a b log c a کافی است. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b نمایش دهیم، سپس log c b=log c a log a b را نشان دهیم. باقی مانده است که از خاصیت لگاریتم درجه استفاده کنیم: log c a log a b = log a b log c a. بنابراین، log برابری c b=log a b log c a ثابت می شود، به این معنی که فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم نیز ثابت می شود.

بیایید چند مثال از اعمال این ویژگی لگاریتم را نشان دهیم: and .

فرمول انتقال به یک پایه جدید به شما امکان می دهد تا به کار با لگاریتم هایی بروید که پایه "مناسب" دارند. برای مثال می توان از آن برای رفتن به لگاریتم های طبیعی یا اعشاری استفاده کرد تا بتوانید مقدار لگاریتم را از جدول لگاریتم ها محاسبه کنید. فرمول انتقال به یک پایه جدید لگاریتم همچنین در برخی موارد اجازه می دهد تا مقدار لگاریتم معین را پیدا کنید، زمانی که مقادیر برخی از لگاریتم ها با پایه های دیگر شناخته شده باشند.

غالباً مورد خاصی از فرمول برای انتقال به پایه جدید لگاریتم برای c=b شکل استفاده می شود. . این نشان می دهد که log a b و log b a – . مثلا، .

همچنین اغلب از فرمول استفاده می شود ، که برای یافتن مقادیر لگاریتمی مفید است. برای تایید کلمات خود، نشان خواهیم داد که چگونه مقدار لگاریتم فرم با استفاده از آن محاسبه می شود. ما داریم . برای اثبات فرمول کافی است از فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم a استفاده کنید: .

باقی مانده است که خواص مقایسه لگاریتم ها را اثبات کنیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عدد مثبت b 1 و b 2 , b 1 log a b 2، و برای a>1، نابرابری log a b 1

در نهایت، باقی می ماند تا آخرین ویژگی لگاریتم ها را ثابت کنیم. ما خود را به اثبات قسمت اول آن محدود می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که اگر 1 >1، 2 >1 و a 1 1 درست است log a 1 b>log a 2 b . گزاره های باقی مانده از این خاصیت لگاریتم با اصل مشابهی ثابت می شود.

از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید برای 1 > 1، 2 > 1 و 1 1 log a 1 b≤log a 2 b درست است. با ویژگی های لگاریتم، این نابرابری ها را می توان به صورت بازنویسی کرد و به ترتیب، و از آنها چنین است که به ترتیب log b a 1 ≤log b a 2 و log b a 1 ≥log b a 2. سپس، با ویژگی های توان هایی با پایه های یکسان، برابری های b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2 باید برآورده شوند، یعنی a 1 ≥a 2 . بنابراین، به تناقضی با شرط a 1 رسیدیم

کتابشناسی - فهرست کتب.

• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه های 10-11 موسسات آموزشی عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (دستورالعملی برای متقاضیان آموزشکده فنی).