ضمیمه

انتگرال های آنلاین به سایت برای ادغام مطالب تحت پوشش دانش آموزان و دانش آموزان. و مهارت های عملی خود را تمرین کنید. یک راه حل کامل انتگرال آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید. ، به جز انتگرال جدولی. هر انتگرال جدولی به وضوح از یک مثال مشخص قابل مشاهده نیست، گاهی اوقات برای یافتن ضد مشتق باید تابع اصلی را تغییر دهید. در عمل، حل انتگرال ها به تفسیر مسئله یافتن اصل، یعنی پاد مشتق از یک خانواده نامتناهی از توابع ختم می شود، اما اگر حدود انتگرال داده شود، طبق فرمول نیوتن-لایب نیتس، باقی می ماند. فقط یک تابع واحد که محاسبات برای آن اعمال می شود. انتگرال های آنلاین انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین هستند. انتگرال یک تابع آنلاین مجموع هر عددی است که برای ادغام آنها در نظر گرفته شده است. بنابراین، به طور غیررسمی، انتگرال قطعی آنلاین، ناحیه بین نمودار تابع و محور x در داخل ادغام است. نمونه هایی از حل مسائل با انتگرال. اجازه دهید انتگرال مختلط را روی یک متغیر محاسبه کنیم و پاسخ آن را به حل بعدی مسئله مرتبط کنیم. همانطور که می گویند می توانید مستقیماً انتگرال انتگرال را پیدا کنید. هر انتگرال با دقت بالا مساحت یک شکل را که توسط خطوط محدود شده است تعیین می کند. این یکی از معانی هندسی آن است. این روش کار را برای دانش آموزان آسان می کند. در واقع چندین مرحله تأثیر زیادی بر تحلیل برداری نخواهد داشت. انتگرال تابع آنلاین مفهوم اساسی حساب انتگرال است حل انتگرال های نامعین. بر اساس قضیه اساسی تحلیل، انتگرال گیری، عملیات معکوس تمایز است که به حل معادلات دیفرانسیل کمک می کند. چندین تعاریف مختلف از عملیات یکپارچه سازی وجود دارد که در جزئیات فنی متفاوت است. با این حال، همه آنها سازگار هستند، یعنی هر دو روش ادغام، اگر بتوان آنها را برای یک تابع معین اعمال کرد، نتیجه یکسانی را به همراه خواهد داشت. ساده ترین انتگرال ریمان است - یک انتگرال معین یا یک انتگرال نامعین. به طور غیررسمی، انتگرال یک تابع از یک متغیر را می توان به عنوان مساحت زیر نمودار معرفی کرد (شکل محصور شده بین نمودار تابع و محور x). هر گونه مشکل فرعی می تواند توجیه کند که محاسبه انتگرال در همان ابتدای یک رویکرد مهم بسیار ضروری است. فراموشش نکن! در تلاش برای یافتن این ناحیه، می توان شکل هایی متشکل از تعدادی مستطیل عمودی را در نظر گرفت که پایه های آنها با هم یک قطعه یکپارچه را تشکیل می دهند و از تقسیم قطعه به تعداد مربوطه قطعه کوچک به دست می آیند. حل انتگرال آنلاین انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. حل انتگرال آنلاین: انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. ماشین حساب انتگرال ها را با شرح اقدامات به طور مفصل و رایگان حل می کند! انتگرال نامعین آنلاین برای یک تابع، مجموع همه ضد مشتقات تابع داده شده است. اگر تابعی در یک بازه تعریف شده و پیوسته باشد، یک تابع ضد مشتق (یا خانواده ای از پاد مشتق ها) دارد. انتگرال فقط یک عبارت را تعریف می کند که شرایط آن توسط شما در صورت بروز چنین نیازی تعیین می شود. بهتر است با دقت به این موضوع برخورد کنید و از کار انجام شده رضایت درونی را تجربه کنید. اما محاسبه انتگرال به روشی متفاوت از انتگرال کلاسیک، گاهی به نتایج غیرمنتظره ای منجر می شود و نباید از این موضوع تعجب کرد. خوشحالم از این واقعیت که تأثیر مثبتی بر آنچه در حال وقوع است خواهد داشت. لیست انتگرال های معین و انتگرال های نامعین انتگرال ها با حل کامل گام به گام. همه انتگرال ها با یک راه حل دقیق آنلاین. انتگرال نامعین. یافتن انتگرال نامعین آنلاین یک کار بسیار رایج در ریاضیات عالی و سایر شاخه های فنی علوم است. روش های اساسی یکپارچه سازی تعریف انتگرال، انتگرال معین و نامعین، جدول انتگرال، فرمول نیوتن لایب نیتس. و دوباره، می توانید انتگرال خود را با استفاده از جدول عبارات انتگرال پیدا کنید، اما هنوز باید به این موضوع برسید، زیرا همه چیز به آن سادگی که در نگاه اول به نظر می رسد نیست. قبل از یافتن اشتباهات، به ساختمان های تکمیل شده فکر کنید. انتگرال معین و روش های محاسبه آن. انتگرال قطعی آنلاین با حد بالایی متغیر. حل انتگرال به صورت آنلاین هر مثالی که به محاسبه انتگرال با استفاده از فرمول های جدولی کمک کند، راهنمای مفیدی برای دانش آموزان در هر سطح آموزشی خواهد بود. مهم ترین گام به سوی پاسخ صحیح انتگرال های آنلاین. انتگرال های نامعین حاوی توابع نمایی و لگاریتمی. حل انتگرال ها به صورت آنلاین - یک راه حل دقیق برای آن دریافت خواهید کرد انواع متفاوت انتگرال: نامعین، معین، نامناسب. ماشین حساب انتگرال های معین، انتگرال قطعی آنلاین یک تابع را در یک بازه زمانی با استفاده از یکپارچه سازی عددی محاسبه می کند. انتگرال یک تابع مشابه مجموع یک دنباله است. به طور غیررسمی، یک انتگرال معین مساحت بخشی از نمودار یک تابع است. راه حل انتگرال آنلاین انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. اغلب، چنین انتگرالی تعیین می کند که یک جسم چقدر از جسمی با همان چگالی سنگین تر است، و فرقی نمی کند که چه شکلی باشد، زیرا سطح آب را جذب نمی کند. حل انتگرال آنلاین.. انتگرال آنلاین - انتگرال نامعین آنلاین و انتگرال معین آنلاین. هر دانشجوی مقطع کارشناسی می داند که چگونه انتگرال را به صورت آنلاین پیدا کند. بر اساس برنامه درسی مدرسه، این بخش از ریاضیات نیز مورد مطالعه قرار می گیرد، اما نه به صورت جزئی، بلکه فقط مبانی چنین مبحث پیچیده و مهمی است. در اغلب موارد، دانش آموزان با یک نظریه گسترده شروع به مطالعه انتگرال ها می کنند، که قبل از آن نیز موضوعات مهمی مانند مشتق و مقاطع به حد وجود دارد - آنها نیز حد هستند. حل انتگرال ها به تدریج با ابتدایی ترین مثال ها از توابع ساده شروع می شود و با استفاده از بسیاری از رویکردها و قوانین ارائه شده در قرن گذشته و حتی بسیار قبل از آن به پایان می رسد. حساب انتگرال ماهیت اکتشافی در دبیرستان ها و مدارس، یعنی در موسسات آموزشی متوسطه دارد. سایت ما همیشه به شما کمک می کند و حل انتگرال ها به صورت آنلاین به یک کار معمولی و مهمتر از همه قابل درک برای شما تبدیل می شود. بر اساس این منبع می توانید به راحتی در این بخش ریاضی به برتری دست یابید. با درک گام به گام قوانین مورد مطالعه، به عنوان مثال، مانند یکپارچه سازی، توسط قطعات یا استفاده از روش چبیشف، می توانید به راحتی هر آزمونی را برای حداکثر امتیاز حل کنید. پس چگونه می‌توان با استفاده از جدول انتگرال‌هایی که برای همه شناخته شده است، انتگرال را محاسبه کرد، اما به گونه‌ای که راه‌حل صحیح، صحیح و با دقیق‌ترین پاسخ ممکن باشد؟ چگونه می توان این را یاد گرفت و آیا برای یک دانشجوی سال اول معمولی امکان دارد در کمترین زمان ممکن این کار را انجام دهد؟ ما به این سوال پاسخ مثبت می دهیم - ممکن است! در این صورت شما نه تنها قادر به حل هر مثالی خواهید بود، بلکه به سطح یک مهندس درجه یک خواهید رسید. راز مثل همیشه ساده است - شما باید حداکثر تلاش را انجام دهید، زمان لازم را به آماده سازی خود اختصاص دهید. متأسفانه هنوز هیچ کس راه دیگری را ارائه نکرده است! اما همه چیز آنقدر که در نگاه اول به نظر می رسد ابری نیست. اگر با این سوال به سرویس سایت ما مراجعه کنید، ما زندگی شما را آسان می کنیم، زیرا سایت ما می تواند انتگرال ها را بصورت آنلاین با جزئیات، با سرعت بسیار بالا و با پاسخی بی عیب و نقص محاسبه کند. در هسته خود، انتگرال تعیین نمی کند که چگونه نسبت آرگومان ها بر ثبات سیستم به عنوان یک کل تأثیر می گذارد. اگر فقط همه چیز متعادل بود. در کنار نحوه یادگیری مبانی این مبحث ریاضی، سرویس می تواند انتگرال هر انتگرال را پیدا کند، اگر این انتگرال را بتوان در توابع ابتدایی حل کرد. در غیر این صورت، برای انتگرال هایی که در توابع ابتدایی گرفته نشده اند، در عمل نیازی به یافتن پاسخی به صورت تحلیلی یا به عبارت دیگر به شکل صریح نیست. تمام محاسبات انتگرال ها به تعریف تابع ضد مشتق یک انتگرال معین کاهش می یابد. برای این کار ابتدا انتگرال نامعین را طبق تمام قوانین ریاضی آنلاین محاسبه کنید. سپس، در صورت لزوم، مقادیر بالا و پایین انتگرال را جایگزین کنید. اگر نیازی به تعیین یا محاسبه مقدار عددی انتگرال نامعین نباشد، یک ثابت به تابع ضد مشتق به‌دست‌آمده اضافه می‌شود و در نتیجه خانواده‌ای از توابع ضد مشتق تعریف می‌شود. جایگاه ویژه ای در علم و به طور کلی در هر زمینه مهندسی، از جمله مکانیک پیوسته، ادغام کل سیستم های مکانیکی، حرکات آنها و بسیاری موارد دیگر را توصیف می کند. در بسیاری از موارد، انتگرال کامپایل شده قانون حرکت یک نقطه مادی را تعیین می کند. ابزار بسیار مهمی در مطالعه علوم کاربردی است. بر این اساس، نمی توان در مورد محاسبات در مقیاس بزرگ برای تعیین قوانین وجود و رفتار سیستم های مکانیکی صحبت نکرد. ماشین حساب آنلاین راه حل انتگرال در سایت یک ابزار قدرتمند برای مهندسین حرفه ای است. ما بدون ابهام این را برای شما تضمین می کنیم، اما تنها پس از وارد کردن عبارت صحیح در ناحیه انتگرال، قادر خواهیم بود انتگرال شما را محاسبه کنیم. از اشتباه کردن نترسید، همه چیز در این مورد قابل تعمیر است! معمولاً حل انتگرال ها به استفاده از توابع جدولی از کتاب های درسی یا دایره المعارف های معروف خلاصه می شود. مانند هر انتگرال نامعین دیگری، طبق فرمول استاندارد و بدون هیچ گونه انتقاد خشن محاسبه می شود. دانش آموزان سال اول به راحتی و به طور طبیعی مطالب مورد مطالعه را در پرواز درک می کنند و گاهی اوقات بیش از دو دقیقه طول نمی کشد تا انتگرال را پیدا کنند. و اگر دانش آموزی جدول انتگرال ها را یاد گرفته باشد، به طور کلی می تواند پاسخ ها را در ذهن خود تعیین کند. بسط توابع توسط متغیرها نسبت به سطوح در ابتدا به معنای جهت برداری صحیح در نقطه ای از ابسیسا است. رفتار غیرقابل پیش‌بینی خطوط سطحی، انتگرال‌های خاصی را به عنوان مبنایی در منبع متقابل توابع ریاضی می‌گیرد. اگر به برش در هواپیما نگاه کنید، لبه سمت چپ توپ به استوانه ای که دایره در آن حک شده است، لمس نمی کند. مجموع نواحی کوچک تقسیم شده به صدها تابع پیوسته تکه تکه، انتگرال آنلاین تابع داده شده است. معنای مکانیکی انتگرال در بسیاری از مسائل کاربردی نهفته است، این تعیین حجم اجسام و محاسبه جرم بدن است. انتگرال های سه گانه و دوگانه فقط در این محاسبات دخیل هستند. ما اصرار داریم که انتگرال های آنلاین فقط زیر نظر اساتید مجرب و از طریق بررسی های متعدد حل شود، اغلب از ما در مورد پیشرفت دانش آموزانی که در سخنرانی ها شرکت نمی کنند، بدون دلیل آنها را رد می کنند، می پرسند، چگونه می توانند خود انتگرال را پیدا کنند. ما پاسخ می‌دهیم که دانش‌آموزان افرادی آزاد هستند و ممکن است به خوبی آموزش خارجی ببینند و در شرایط خانه راحت برای آزمون یا امتحان آماده شوند. در عرض چند ثانیه، سرویس ما به هر کسی که بخواهد انتگرال هر تابع معین را با توجه به یک متغیر محاسبه کند، کمک می کند. نتیجه به دست آمده را با گرفتن مشتق تابع ضد مشتق بررسی کنید. در این حالت، ثابت از محلول انتگرال ناپدید می شود. این قانون به وضوح برای همه است. همانطور که عملیات چند جهته اثبات می شود، انتگرال نامعین اغلب به تقسیم منطقه به قطعات کوچک کاهش می یابد. با این حال، برخی از دانش آموزان و دانش آموزان این الزام را نادیده می گیرند. مثل همیشه، انتگرال های آنلاین را می توان با جزئیات توسط سایت خدمات ما حل کرد و محدودیتی در تعداد درخواست ها وجود ندارد، همه چیز رایگان و در دسترس همه است. از این قبیل سایت ها کم نیستند که در عرض چند ثانیه و از همه مهمتر با دقت بالا و به شکلی مناسب پاسخ گام به گام را بدهند. در آخرین مثال، در صفحه پنجم تکلیف، یکی وجود داشت که نیاز به محاسبه انتگرال را به صورت مرحله ای نشان می دهد. اما نباید فراموش کنیم که چگونه می توان انتگرال را با استفاده از یک سرویس آماده، با زمان تست شده و آزمایش شده بر روی هزاران نمونه حل شده آنلاین پیدا کرد. این که چگونه چنین انتگرالی حرکت سیستم را تعیین می کند کاملاً به وضوح و به وضوح توسط ماهیت حرکت یک سیال چسبناک، که توسط این سیستم معادلات توصیف می شود، اثبات می شود.

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای نخبگان. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما اطلاعات کمی در مورد آنها دارند یا چیزی در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟ اگر تنها استفاده از انتگرال که می شناسید این است که با قلابی به شکل یک نماد انتگرال، چیز مفیدی از مکان های صعب العبور دریافت کنید، پس خوش آمدید! یاد بگیرید چگونه انتگرال ها را حل کنید و چرا بدون آن نمی توانید انجام دهید.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در مصر باستان شناخته شده بود. البته نه به شکل مدرن، اما همچنان. از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به ویژه متمایز شده است نیوتن و لایب نیتس اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این موضوع، شما همچنان به دانش اولیه مبانی آنالیز ریاضی نیاز دارید. این اطلاعات اساسی در مورد شما است که در وبلاگ ما پیدا خواهید کرد.

انتگرال نامعین

بیایید یک عملکرد داشته باشیم f(x) .

انتگرال نامعین تابع f(x) چنین تابعی نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .

به عبارت دیگر، انتگرال یک مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، در مورد نحوه خواندن در مقاله ما.

یک پاد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، منطبق هستند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه به طور مداوم ضد مشتقات توابع ابتدایی را محاسبه نکنید، راحت است آنها را در یک جدول خلاصه کنید و از مقادیر آماده استفاده کنید:

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت شکل، جرم یک جسم ناهمگن، مسیر طی شده در هنگام حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید. چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟

با کمک یک انتگرال! بیایید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به قطعات بی نهایت کوچک بشکنیم. بنابراین، شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته می شود:

نقاط a و b را حدود ادغام می گویند.

باری علیباسوف و گروه "اینتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

قوانین محاسبه انتگرال برای Dummies

ویژگی های انتگرال نامعین

چگونه انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا ویژگی های انتگرال نامعین را در نظر خواهیم گرفت که در حل مثال ها مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر است با انتگرال:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. همچنین برای تفاوت صادق است:

ویژگی های انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال تغییر می کند اگر حدود یکپارچگی معکوس شود:

• در هرنکته ها آ, بو از جانب:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد مجموع است. اما چگونه هنگام حل یک مثال یک مقدار خاص بدست آوریم؟ برای این، فرمول نیوتن-لایبنیتس وجود دارد:

نمونه هایی از حل انتگرال ها

در زیر چندین نمونه از یافتن انتگرال های نامعین را در نظر می گیریم. ما از شما دعوت می کنیم تا به طور مستقل پیچیدگی های راه حل را درک کنید و اگر چیزی واضح نیست، در نظرات سؤالات خود را بپرسید.

برای ادغام مطالب، ویدئویی در مورد چگونگی حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد ناامید نشوید. بپرسید و هر آنچه را که در مورد محاسبه انتگرال می دانند به شما خواهند گفت. با کمک ما، هر انتگرال سه گانه یا منحنی بر روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.

یافتن انتگرال نامعین یک مشکل بسیار رایج در ریاضیات عالی و سایر شاخه های فنی علوم است. حتی حل ساده ترین مسائل فیزیکی اغلب بدون محاسبه چندین انتگرال ساده کامل نمی شود. بنابراین، از سنین مدرسه، تکنیک ها و روش های حل انتگرال به ما آموزش داده می شود، جداول متعددی با انتگرال هایی از ساده ترین توابع آورده شده است. با این حال، با گذشت زمان، همه اینها با خیال راحت فراموش می شوند، یا زمان کافی برای محاسبات نداریم یا باید برای انتگرال نامعین راه حل پیدا کنیداز یک تابع بسیار پیچیده برای حل این مشکلات، خدمات ما برای شما ضروری خواهد بود، که به شما امکان می دهد انتگرال نامشخص را به صورت آنلاین پیدا کنید.

انتگرال نامعین را حل کنید

سرویس آنلاین روشن است سایت اینترنتیبه شما امکان می دهد پیدا کنید راه حل جامع آنلاینسریع، رایگان و با کیفیت بالا. می توانید جستجو در جداول انتگرال مورد نیاز را با سرویس ما جایگزین کنید که با وارد کردن سریع توابع مورد نظر، جواب انتگرال نامشخص را به صورت جدولی دریافت کنید. همه سایت های ریاضی قادر به محاسبه سریع و کارآمد انتگرال های نامحدود توابع آنلاین نیستند، به خصوص اگر نیاز به پیدا کردن داشته باشید. انتگرال نامعیناز تابع پیچیده یا توابعی از این قبیل که در درس عمومی ریاضیات عالی گنجانده نشده است. سایت اینترنتی سایت اینترنتیکمک خواهد کرد انتگرال را به صورت آنلاین حل کنید و با وظیفه کنار بیایند. با استفاده از راه حل آنلاین انتگرال در سایت همیشه پاسخ دقیق را خواهید گرفت.

حتی اگر بخواهید به تنهایی انتگرال را محاسبه کنید، به لطف خدمات ما، بررسی پاسخ، یافتن اشتباه یا اشتباه تایپی یا اطمینان از انجام بی عیب و نقص کار برای شما آسان خواهد بود. اگر مشکلی را حل می کنید و باید انتگرال نامعین را به عنوان یک عمل کمکی محاسبه کنید، پس چرا وقت خود را برای این اقدامات که ممکن است هزاران بار انجام داده اید تلف کنید؟ علاوه بر این، محاسبات اضافی انتگرال می تواند علت یک اشتباه تایپی یا یک خطای کوچک باشد که متعاقباً منجر به پاسخ نادرست می شود. فقط از خدمات ما استفاده کنید و پیدا کنید انتگرال نامعین آنلاینبدون هیچ تلاشی برای کارهای عملی پیدا کردن انتگرالکارکرد برخطاین سرور بسیار مفید است. شما باید یک تابع داده شده را وارد کنید، دریافت کنید راه حل انتگرال نامحدود آنلاینو جواب را با راه حل خود مقایسه کنید.

حساب انتگرال.

تابع اولیه

تعریف: تابع F(x) فراخوانی می شود تابع ضد مشتقتوابع f(x) در قطعه، اگر در هر نقطه از این پاره برابری درست باشد:

لازم به ذکر است که می تواند بی نهایت ضد مشتق برای یک تابع وجود داشته باشد. آنها با یک عدد ثابت با یکدیگر متفاوت خواهند بود.

F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

انتگرال نامعین.

تعریف: انتگرال نامعینتوابع f(x) مجموعه ای از توابع ضد مشتق هستند که با رابطه زیر تعریف می شوند:

بنویس:

شرط وجود انتگرال نامعین بر روی یک قطعه معین، تداوم تابع در این قطعه است.

خواص:

1.

2.

3.

4.

مثال:

یافتن مقدار انتگرال نامعین عمدتاً با یافتن تابع ضد مشتق مرتبط است. برای برخی از عملکردها، این یک کار بسیار دشوار است. در زیر روش هایی را برای یافتن انتگرال های نامعین برای کلاس های اصلی توابع - گویا، غیر منطقی، مثلثاتی، نمایی و غیره در نظر خواهیم گرفت.

برای راحتی، مقادیر انتگرال های نامعین اکثر توابع ابتدایی در جداول ویژه انتگرال ها جمع آوری می شوند که گاهی اوقات بسیار حجیم هستند. آنها شامل انواع مختلفی از رایج ترین ترکیبات توابع هستند. اما بیشتر فرمول های ارائه شده در این جداول نتیجه یکدیگر هستند، بنابراین در زیر جدولی از انتگرال های پایه آورده شده است که با استفاده از آن می توانید مقادیر انتگرال نامحدود توابع مختلف را بدست آورید.

انتگرال		معنی	انتگرال		معنی
		lnsinx+C
		لوگاریتم

روش های یکپارچه سازی

بیایید سه روش اساسی ادغام را در نظر بگیریم.

ادغام مستقیم

روش ادغام مستقیم مبتنی بر فرض مقدار ممکن تابع ضد مشتق با تأیید بیشتر این مقدار با تمایز است. به طور کلی، ما متذکر می شویم که تمایز ابزار قدرتمندی برای بررسی نتایج یکپارچه سازی است.

کاربرد این روش را در یک مثال در نظر بگیرید:

برای یافتن مقدار انتگرال لازم است . بر اساس فرمول تمایز شناخته شده
می توان نتیجه گرفت که انتگرال مورد نظر برابر است با
، جایی که C مقداری ثابت است. با این حال، از سوی دیگر
. بنابراین در نهایت می توان نتیجه گرفت:

توجه داشته باشید که برخلاف تمایز که از تکنیک ها و روش های واضح برای یافتن مشتق، قوانین یافتن مشتق و در نهایت تعریف مشتق استفاده می شود، چنین روش هایی برای ادغام در دسترس نیستند. اگر هنگام یافتن مشتق، اصطلاحاً از روش‌های سازنده استفاده می‌کردیم که بر اساس قواعد خاصی به نتیجه می‌رسید، در هنگام یافتن مشتق، عمدتاً باید به دانش جداول مشتقات و ضد مشتقات تکیه کنیم.

در مورد روش ادغام مستقیم، فقط برای برخی از کلاس های بسیار محدودی از توابع قابل استفاده است. توابع بسیار کمی وجود دارد که بتوانید فوراً ضد مشتق برای آنها پیدا کنید. بنابراین در بیشتر موارد از روش هایی که در زیر توضیح داده شده استفاده می شود.

روش جایگزینی (جایگزینی متغیرها).

قضیه: اگر می خواهید انتگرال را پیدا کنید
، اما یافتن ضد مشتق دشوار است، سپس با جایگزینی x=(t) و dx=(t)dt، به دست می آوریم:

اثبات : بیایید برابری پیشنهادی را متمایز کنیم:

با توجه به خاصیت شماره 2 انتگرال نامعین فوق:

f(ایکس) dx = f[  (تی)]  (تی) dt

که با در نظر گرفتن نماد معرفی شده، فرض اولیه است. قضیه ثابت شده است.

مثال.انتگرال نامعین را پیدا کنید
.

بیا جایگزینی بسازیم تی = سینکس, dt = cosxdt.

مثال.

جایگزینی
ما گرفتیم:

در زیر نمونه های دیگری از استفاده از روش جایگزینی برای انواع مختلف توابع را در نظر خواهیم گرفت.

یکپارچه سازی توسط قطعات

این روش بر اساس فرمول شناخته شده برای مشتق یک محصول است:

(uv)=uv+vu

که در آن u و v برخی از توابع x هستند.

به شکل دیفرانسیل: d(uv) =udv+vdu

پس از ادغام، دریافت می کنیم:
و مطابق با خصوصیات فوق انتگرال نامعین:

یا
;

ما یک فرمول ادغام به جزء به دست آورده ایم که به ما امکان می دهد انتگرال های بسیاری از توابع ابتدایی را پیدا کنیم.

مثال.

همانطور که می بینید، استفاده مداوم از فرمول ادغام به بخش به شما این امکان را می دهد که به تدریج عملکرد را ساده کنید و انتگرال را به یک جدول تبدیل کنید.

مثال.

مشاهده می شود که در نتیجه اعمال مکرر ادغام توسط قطعات، تابع را نمی توان به شکل جدولی ساده کرد. با این حال، آخرین انتگرال به دست آمده تفاوتی با انتگرال اصلی ندارد. بنابراین آن را به سمت چپ برابری منتقل می کنیم.

بنابراین، انتگرال اصلاً بدون استفاده از جداول انتگرال پیدا شد.

قبل از بررسی دقیق روش‌های ادغام کلاس‌های مختلف توابع، چند مثال دیگر از یافتن انتگرال‌های نامعین با کاهش آن‌ها به جدولی ارائه می‌کنیم.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

ادغام کسرهای ابتدایی

تعریف: ابتداییکسری از چهار نوع زیر نامیده می شود:

من.
III.

II.
IV.

m,n - اعداد طبیعی (m2,n2) و b 2 - 4ac<0.

دو نوع اول انتگرال کسرهای ابتدایی به سادگی به جانشینی های جدولی t=ax+b تقلیل می یابند.

روشی را برای ادغام کسرهای ابتدایی شکل III در نظر بگیرید.

انتگرال کسری از نوع III را می توان به صورت زیر نشان داد:

در اینجا، به طور کلی، کاهش انتگرال کسری از شکل III به دو انتگرال جدولی نشان داده شده است.

کاربرد فرمول فوق را با مثال در نظر بگیرید.

مثال.

به طور کلی، اگر محور سه جمله ای 2 +bx+cexpressionb 2 – 4ac>0 باشد، آن کسری بنا به تعریف ابتدایی نیست، با این حال، می توان آن را به روش بالا ادغام کرد.

مثال.

مثال.

اکنون روش هایی را برای ادغام ساده ترین کسرهای نوع IV در نظر می گیریم.

ابتدا یک مورد خاص با M = 0، N = 1 در نظر بگیرید.

سپس انتگرال فرم
را می توان با برجسته کردن مربع کامل در مخرج به عنوان نشان داد
. بیایید تبدیل زیر را انجام دهیم:

انتگرال دوم موجود در این برابری توسط قطعات گرفته می شود.

مشخص کن:

برای انتگرال اصلی دریافت می کنیم:

فرمول حاصل نامیده می شود عود کنندهاگر آن را n-1 بار اعمال کنید، یک انتگرال جدول دریافت می کنید
.

اجازه دهید اکنون به انتگرال یک کسری ابتدایی از شکل IV در حالت کلی بازگردیم.

در برابری حاصل، اولین انتگرال با استفاده از جایگزینی تی = تو 2 + سبه جدولی کاهش می یابد و فرمول بازگشتی در نظر گرفته شده در بالا برای انتگرال دوم اعمال می شود.

علیرغم پیچیدگی ظاهری ادغام یک کسر ابتدایی از نوع IV، در عمل استفاده از کسری با درجه کوچک بسیار آسان است. nو جهانی بودن و عمومیت این رویکرد، پیاده سازی این روش را بسیار ساده بر روی کامپیوتر ممکن می سازد.

مثال:

ادغام توابع منطقی

ادغام کسرهای گویا.

برای ادغام یک کسر گویا، لازم است آن را به کسرهای ابتدایی تجزیه کنیم.

قضیه: اگر
کسر گویا مناسبی است که مخرج آن P(x) به صورت حاصل ضرب ضرایب خطی و درجه دوم نمایش داده می شود (توجه داشته باشید که هر چند جمله ای با ضرایب واقعی را می توان به صورت زیر نشان داد: پ(ایکس) = (ایکس - آ)  …(ایکس - ب)  (ایکس 2 + px + q)  …(ایکس 2 + rx + س)  ، سپس این کسر را می توان طبق طرح زیر به کسری های ابتدایی تجزیه کرد:

که در آن A i، B i، M i، N i، R i، S i برخی از مقادیر ثابت هستند.

هنگام ادغام کسرهای گویا، فرد به تجزیه کسر اصلی به کسرهای ابتدایی متوسل می شود. برای یافتن مقدار A i , B i , M i , N i , R i , S از اصطلاح استفاده می کنم روش ضرایب نامشخصکه ماهیت آن این است که برای اینکه دو چند جمله ای به طور یکسان برابر باشند، لازم و کافی است که ضرایب در توان های یکسان x برابر باشند.

ما کاربرد این روش را در یک مثال خاص در نظر خواهیم گرفت.

مثال.

با تقلیل به مخرج مشترک و معادل سازی اعداد مربوطه، به دست می آوریم:

مثال.

زیرا اگر کسر صحیح نیست، ابتدا باید قسمت صحیح را از آن انتخاب کنید:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

مخرج کسر حاصل را به فاکتورها تجزیه می کنیم. مشاهده می شود که در x = 3 مخرج کسر صفر می شود. سپس:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

بنابراین 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3) (3x 2 + 5x– 2) = (x– 3) (x+ 2) (3x– 1). سپس:

به منظور جلوگیری از یافتن ضرایب نامشخص در باز کردن پرانتز، گروه بندی و حل یک سیستم معادلات (که در برخی موارد ممکن است بسیار بزرگ باشد)، به اصطلاح روش ارزش دلخواه. ماهیت روش این است که چندین مقدار x دلخواه (با توجه به تعداد ضرایب نامشخص) در عبارت بدست آمده در بالا جایگزین می شوند. برای ساده کردن محاسبات، مرسوم است که نقاطی را به عنوان مقادیر دلخواه در نظر بگیریم که مخرج کسری برابر با صفر است، یعنی. در مورد ما - 3، -2، 1/3. ما گرفتیم:

در نهایت می رسیم:

=

مثال.

بیایید ضرایب نامشخص را پیدا کنیم:

سپس مقدار انتگرال داده شده:

ادغام برخی از مثلثات

کارکرد.

توابع مثلثاتی می توانند بی نهایت انتگرال وجود داشته باشند. اکثر این انتگرال ها به هیچ وجه نمی توانند به صورت تحلیلی محاسبه شوند، بنابراین بیایید برخی از انواع اصلی توابع را که همیشه می توانند ادغام شوند، در نظر بگیریم.

انتگرال فرم
.

در اینجا R تعیین برخی از تابع های منطقی متغیرهای sinx و cosx است.

انتگرال های این نوع با استفاده از جایگزینی محاسبه می شوند
. این جایگزینی به شما امکان می دهد یک تابع مثلثاتی را به یک تابع منطقی تبدیل کنید.

,

سپس

به این ترتیب:

تبدیل توضیح داده شده در بالا نامیده می شود جایگزینی مثلثاتی جهانی

مثال.

مزیت بدون شک این جایگزینی این است که با کمک آن همیشه می توان یک تابع مثلثاتی را به یک منطقی تبدیل کرد و انتگرال مربوطه را محاسبه کرد. معایب شامل این واقعیت است که تبدیل می تواند منجر به یک عملکرد منطقی نسبتاً پیچیده شود که ادغام آن زمان و تلاش زیادی را می طلبد.

با این حال، اگر اعمال تغییر منطقی‌تر متغیر غیرممکن باشد، این روش تنها روش مؤثر است.

مثال.

انتگرال فرم
اگر

تابعآرcosx.

علیرغم امکان محاسبه چنین انتگرالی با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی، اعمال جایگزینی منطقی تر است. تی = سینکس.

تابع
می تواند حاوی cosx فقط به توان های زوج باشد و بنابراین می تواند با توجه به sinx به یک تابع منطقی تبدیل شود.

مثال.

به طور کلی، برای اعمال این روش، تنها عجیب بودن تابع نسبت به کسینوس ضروری است و درجه سینوس موجود در تابع می تواند هر عدد صحیح و کسری باشد.

انتگرال فرم
اگر

تابعآرنسبت بهسینکس.

با قیاس با مورد در نظر گرفته شده در بالا، جایگزینی تی = cosx.

مثال.

انتگرال فرم

تابعآرحتی نسبتاسینکسوcosx.

برای تبدیل تابع R به یک تابع منطقی، از جایگزینی استفاده می شود

t = tgx.

مثال.

انتگرال حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس ها

استدلال های مختلف

بسته به نوع کار، یکی از سه فرمول اعمال می شود:

مثال.

مثال.

گاهی اوقات، هنگام ادغام توابع مثلثاتی، استفاده از فرمول های مثلثاتی شناخته شده برای کاهش ترتیب توابع راحت است.

مثال.

مثال.

گاهی اوقات از برخی ترفندهای غیر استاندارد استفاده می شود.

مثال.

ادغام برخی از توابع غیرمنطقی

هر تابع غیرمنطقی نمی تواند یک انتگرال داشته باشد که با توابع ابتدایی بیان می شود. برای یافتن انتگرال یک تابع غیرمنطقی، باید جایگزینی را اعمال کرد که به فرد اجازه می دهد تابع را به یک تابع عقلانی تبدیل کند، همانطور که مشخص است انتگرال آن را همیشه می توان یافت.

چند تکنیک برای ادغام انواع مختلف توابع غیر منطقی در نظر بگیرید.

انتگرال فرم
جایی کهn- عدد طبیعی.

با کمک تعویض
تابع منطقی است.

مثال.

اگر تابع غیرمنطقی شامل ریشه هایی با درجات مختلف باشد، منطقی است که ریشه درجه را برابر با کمترین مضرب مشترک توان های ریشه های موجود در عبارت به عنوان یک متغیر جدید در نظر بگیریم.

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال.

ادغام دیفرانسیل های دو جمله ای

تعریف: دیفرانسیل دوجمله ایبیان نامیده می شود

ایکس متر (آ + bx n ) پ dx

جایی که متر, n, و پاعداد گویا هستند

همانطور که توسط آکادمیک چبیشف P.L. (1821-1894)، انتگرال دیفرانسیل دوجمله ای را می توان بر حسب توابع ابتدایی تنها در سه مورد زیر بیان کرد:

اگر آریک عدد صحیح است، سپس انتگرال با استفاده از جایگزینی منطقی می شود

، که در آن  مخرج مشترک است مترو n.

یافتن یک انتگرال نامعین (مجموعه ای از پاد مشتق ها یا "ضد مشتق ها") به معنای بازیابی یک تابع از مشتق شناخته شده این تابع است. مجموعه ای از آنتی مشتقات بازسازی شده اف(ایکس) + از جانب برای عملکرد f(ایکس) ثابت ادغام را در نظر می گیرد سی. با توجه به سرعت حرکت یک نقطه مادی (مشتق)، قانون حرکت این نقطه (اصلی) قابل بازیابی است. با توجه به شتاب حرکت یک نقطه - سرعت آن و قانون حرکت. همانطور که می بینید، ادغام زمینه وسیعی برای فعالیت شرلوک هلمز از فیزیک است. بله، و در اقتصاد، بسیاری از مفاهیم از طریق توابع و مشتقات آنها نمایش داده می شود و بنابراین، به عنوان مثال، می توان حجم محصول تولید شده را در زمان مناسب توسط بهره وری نیروی کار در یک برهه زمانی خاص (مشتق) بازگرداند.

برای یافتن انتگرال نامعین، به تعداد کمی نیاز است تعداد زیادی ازفرمول های ادغام اولیه اما فرآیند یافتن آن بسیار دشوارتر از استفاده صرف از این فرمول ها است. تمام پیچیدگی ها به ادغام مربوط نمی شود، بلکه مربوط به آوردن عبارت انتگرال پذیر به شکلی است که یافتن انتگرال نامعین را با استفاده از فرمول های اساسی ذکر شده در بالا ممکن می سازد. این بدان معنی است که برای شروع تمرین یکپارچه سازی، باید مهارت های تبدیل عبارات به دست آمده در دبیرستان را فعال کنید.

ما یاد خواهیم گرفت که با استفاده از انتگرال ها را پیدا کنیم خواص و جدول انتگرال های نامعیناز درس مفاهیم اساسی این مبحث (در پنجره ای جدید باز می شود).

روش های مختلفی برای یافتن انتگرال وجود دارد که یکی از آنهاست روش جایگزینی متغیرو روش ادغام توسط قطعات- ست آقایان اجباری برای همه کسانی که ریاضیات بالاتر را با موفقیت گذرانده اند. با این حال، شروع یادگیری ادغام با استفاده از روش بسط بر اساس دو قضیه زیر در مورد خواص انتگرال نامعین مفیدتر و خوشایندتر است که برای سهولت در اینجا تکرار می کنیم.

قضیه 3.عامل ثابت در انتگرال را می توان از علامت انتگرال نامعین خارج کرد، یعنی.

قضیه 4.انتگرال نامعین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های نامعین این توابع، یعنی.

(2)

علاوه بر این، قانون زیر ممکن است در ادغام مفید باشد: اگر بیان انتگرال حاوی یک عامل ثابت باشد، آنگاه بیان ضد مشتق در متقابل عامل ثابت ضرب می شود.

(3)

از آنجایی که این درس مقدمه ای برای حل مشکلات یکپارچه سازی است، توجه به دو نکته مهم است که ممکن است در همان ابتدا یا کمی بعد شما را شگفت زده کند. تعجب به این دلیل است که ادغام عمل معکوس تمایز است و انتگرال نامعین را به درستی می توان «ضد مشتق» نامید.

اولین چیزی که هنگام ادغام نباید تعجب کرد.در جدول انتگرال ها در بین فرمول های جدول مشتق فرمول هایی وجود دارند که مشابهی ندارند . اینها فرمول های زیر هستند:

با این حال، می توان تأیید کرد که مشتقات عبارات سمت راست این فرمول ها با انتگرال های مربوطه مطابقت دارند.

دومین چیزی که هنگام ادغام نباید تعجب کرد. اگرچه مشتق هر تابع ابتدایی نیز یک تابع ابتدایی است، انتگرال های نامعین برخی از توابع ابتدایی دیگر توابع ابتدایی نیستند . نمونه هایی از این انتگرال ها عبارتند از:

مهارت های زیر برای توسعه یک تکنیک انتگرال گیری مفید خواهد بود: کاهش کسرها، تقسیم یک چند جمله ای در صورت یک کسر بر یک تک جمله ای در مخرج (برای به دست آوردن مجموع انتگرال های نامشخص)، تبدیل ریشه ها به توان، ضرب یک تک جمله ای در یک چند جمله ای، افزایش به توان. این مهارت ها برای تبدیل انتگرال مورد نیاز است، که باید به مجموع انتگرال های موجود در جدول انتگرال ها منجر شود.

یافتن انتگرال های نامعین با هم

مثال 1انتگرال نامعین را پیدا کنید

.

راه حل. در مخرج انتگرال چند جمله ای را می بینیم که x در آن مجذور می شود. این تقریباً یک علامت مطمئن است که می توان انتگرال جدول 21 (با مماس قوس حاصل) را اعمال کرد. عامل دو را از مخرج خارج می کنیم (چنین خاصیتی از انتگرال وجود دارد - یک عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد، که در بالا به عنوان قضیه 3 ذکر شد). نتیجه همه اینها:

حال مخرج مجموع مربع هاست، یعنی می توانیم انتگرال جدول ذکر شده را اعمال کنیم. در نهایت به جواب می رسیم:

.

مثال 2انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. ما دوباره قضیه 3 را اعمال می کنیم - خاصیت انتگرال که بر اساس آن می توان عامل ثابت را از علامت انتگرال خارج کرد:

ما فرمول 7 را از جدول انتگرال ها (متغیر درجه) به انتگرال اعمال می کنیم:

.

کسرهای حاصل را کاهش می دهیم و جواب نهایی را داریم:

مثال 3انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. با اعمال اول قضیه 4 و سپس قضیه 3 روی خواص، این انتگرال را به صورت مجموع سه انتگرال می یابیم:

هر سه انتگرال به دست آمده به صورت جدولی هستند. ما از فرمول (7) از جدول انتگرال استفاده می کنیم n = 1/2, n= 2 و n= 1/5 و سپس

هر سه ثابت دلخواه را که هنگام یافتن سه انتگرال معرفی شده اند ترکیب می کند. بنابراین، در شرایط مشابه، تنها یک ثابت دلخواه (ثابت) ادغام باید معرفی شود.

مثال 4انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. وقتی در مخرج انتگرال یک تک جمله وجود دارد، می توانیم صورت را بر مخرج ترم بر جمله تقسیم کنیم. انتگرال اصلی به مجموع دو انتگرال تبدیل شد:

.

برای اعمال انتگرال جدول، ریشه ها را به توان تبدیل می کنیم و در اینجا پاسخ نهایی است:

ما به یافتن انتگرال های نامعین با هم ادامه می دهیم

مثال 7انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل. اگر انتگرال را با دوجمله کردن دوجمله ای و تقسیم صورت بر مخرج جمله بر جمله تبدیل کنیم، انتگرال اصلی به مجموع سه انتگرال تبدیل می شود.