Tehofunktio, sen ominaisuudet ja kuvaajat. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja perusominaisuudet Ratkaise funktion y x kuvaaja

Valitsemme suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän tasolle ja piirrämme argumentin arvot abskissa-akselille X, ja y-akselilla - funktion arvot y = f(x).

Funktiokaavio y = f(x) kutsutaan kaikkien pisteiden joukkoa, jonka abskissat kuuluvat funktion alueeseen ja ordinaatit ovat yhtä suuria kuin funktion vastaavat arvot.

Toisin sanoen funktion y \u003d f (x) kuvaaja on kaikkien tason pisteiden joukko, koordinaatit X, klo jotka tyydyttävät suhteen y = f(x).

Kuvassa 45 ja 46 ovat funktioiden kuvaajia y = 2x + 1 Ja y \u003d x 2 - 2x.

Tarkkaan ottaen on erotettava toisistaan funktion kaavio (jonka tarkka matemaattinen määritelmä on annettu edellä) ja piirretty käyrä, joka antaa aina vain enemmän tai vähemmän tarkan kaavion (ja silloinkin yleensä ei koko kuvaajaa, vaan vain sen osa, joka sijaitsee tason viimeisissä osissa). Seuraavassa tarkoitamme kuitenkin yleensä "kaaviota" "kaavion luonnoksen" sijaan.

Kuvaajan avulla voit löytää funktion arvon pisteessä. Nimittäin jos kohta x = a kuuluu toiminnon piiriin y = f(x), sitten löytääksesi numeron fa)(eli funktioarvot pisteessä x = a) pitäisi tehdä niin. Tarve pisteen läpi abskissalla x = a piirrä y-akselin suuntainen suora viiva; tämä viiva leikkaa funktion kaavion y = f(x) jossain vaiheessa; tämän pisteen ordinaatta on graafin määritelmän mukaan yhtä suuri kuin fa)(Kuva 47).

Esimerkiksi funktiolle f(x) = x 2 - 2x käyttämällä kuvaajaa (kuva 46) löydämme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 jne.

Funktiograafi havainnollistaa visuaalisesti funktion käyttäytymistä ja ominaisuuksia. Esimerkiksi kuvion 1 tarkastelun perusteella. 46 on selvää, että funktio y \u003d x 2 - 2x ottaa positiivisia arvoja, kun X< 0 ja klo x > 2, negatiivinen - 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x hyväksyy klo x = 1.

Piirrä funktio f(x) sinun on löydettävä tason kaikki pisteet, koordinaatit X,klo jotka täyttävät yhtälön y = f(x). Useimmissa tapauksissa tämä on mahdotonta, koska tällaisia kohtia on äärettömän paljon. Siksi funktion kuvaaja on kuvattu likimääräisesti - suuremmalla tai pienemmällä tarkkuudella. Yksinkertaisin on monipistekuvausmenetelmä. Se koostuu siitä, että argumentti X anna äärellinen määrä arvoja - sano, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k ja tee taulukko, joka sisältää funktion valitut arvot.

Taulukko näyttää tältä:

Kun olet laatinut tällaisen taulukon, voimme hahmotella useita pisteitä funktion kaaviossa y = f(x). Sitten yhdistämällä nämä pisteet tasaisella viivalla, saamme likimääräisen kuvan funktion kaaviosta y = f(x).

On kuitenkin huomattava, että monipistekaavio on erittäin epäluotettava. Itse asiassa graafin käyttäytyminen merkittyjen pisteiden välillä ja sen käyttäytyminen otettujen ääripisteiden välisen segmentin ulkopuolella jää tuntemattomaksi.

Esimerkki 1. Piirrä funktio y = f(x) joku on laatinut taulukon argumenttien ja funktioiden arvoista:

Vastaavat viisi pistettä on esitetty kuvassa. 48.

Näiden pisteiden sijainnin perusteella hän päätteli, että funktion kuvaaja on suora (esitetty kuvassa 48 katkoviivalla). Voidaanko tätä päätelmää pitää luotettavana? Ellei tämän päätelmän tueksi ole muita näkökohtia, sitä tuskin voidaan pitää luotettavana. luotettava.

Harkitse funktiota väitteemme tueksi

Laskelmat osoittavat, että tämän funktion arvot pisteissä -2, -1, 0, 1, 2 on juuri kuvattu yllä olevassa taulukossa. Tämän funktion kuvaaja ei kuitenkaan ole ollenkaan suora (se näkyy kuvassa 49). Toinen esimerkki on funktio y = x + l + sinx; sen merkitykset on myös kuvattu yllä olevassa taulukossa.

Nämä esimerkit osoittavat, että "puhtaassa" muodossaan monipistepiirtomenetelmä on epäluotettava. Siksi, jos haluat piirtää tietyn funktion, toimi yleensä seuraavasti. Ensin tutkitaan tämän funktion ominaisuuksia, joiden avulla on mahdollista rakentaa kaaviokuva. Sitten laskemalla funktion arvot useissa pisteissä (jonka valinta riippuu funktion ominaisuuksista), kaavion vastaavat pisteet löydetään. Ja lopuksi piirretään käyrä konstruoitujen pisteiden läpi käyttämällä tämän funktion ominaisuuksia.

Tarkastellaan myöhemmin joitain (yksinkertaisimpia ja useimmin käytettyjä) funktioiden ominaisuuksia, joita käytetään kaavion luonnoksen löytämiseen, ja nyt analysoimme joitain yleisesti käytettyjä kaavioiden piirtämiseen käytettyjä menetelmiä.

Funktion y = |f(x)| kuvaaja.

Usein on tarpeen piirtää funktio y = |f(x)|, missä f(x) - annettu toiminto. Muista, kuinka tämä tehdään. Luvun itseisarvon määritelmän mukaan voidaan kirjoittaa

Tämä tarkoittaa, että funktion kuvaaja y=|f(x)| voidaan saada kaaviosta, funktioista y = f(x) seuraavasti: funktion kaavion kaikki pisteet y = f(x), jonka ordinaatit eivät ole negatiivisia, on jätettävä ennalleen; lisäksi funktion kaavion pisteiden sijaan y = f(x), jolla on negatiiviset koordinaatit, tulee rakentaa vastaavat pisteet funktion kuvaajasta y = -f(x)(eli osa funktiokaaviota
y = f(x), joka sijaitsee akselin alapuolella X, tulee heijastua symmetrisesti akselin ympäri X).

Esimerkki 2 Piirrä funktio y = |x|.

Otetaan funktion kaavio y = x(Kuva 50, a) ja osa tästä kaaviosta X< 0 (makaa akselin alla X) heijastuu symmetrisesti akselin ympäri X. Tuloksena saamme funktion kaavion y = |x|(Kuva 50, b).

Esimerkki 3. Piirrä funktio y = |x 2 - 2x|.

Ensin piirrämme funktion y = x 2 - 2x. Tämän funktion kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin, paraabelin huipulla on koordinaatit (1; -1), sen kuvaaja leikkaa abskissa-akselin pisteissä 0 ja 2. Välillä (0; 2) ) funktio saa negatiiviset arvot, joten tämä kaavion osa heijastaa symmetrisesti x-akselin ympäri. Kuvassa 51 on funktion kaavio y \u003d |x 2 -2x |, funktion kaavion perusteella y = x 2 - 2x

Funktion y = f(x) + g(x) kuvaaja

Harkitse funktion piirtämisen ongelmaa y = f(x) + g(x). jos funktioiden kuvaajat annetaan y = f(x) Ja y = g(x).

Huomaa, että funktion alue y = |f(x) + g(х)| on joukko x:n kaikki arvot, joille molemmat funktiot y = f(x) ja y = g(x) on määritelty, eli tämä määritelmäalue on määritelmäalueiden, funktioiden f(x) leikkauspiste. ) ja g(x).

Anna pisteet (x 0, y 1) Ja (x 0, y 2) kuuluvat vastaavasti funktiokaavioihin y = f(x) Ja y = g(x), eli y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Tällöin piste (x0;. y1 + y2) kuuluu funktion kuvaajaan y = f(x) + g(x)(for f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. ja mikä tahansa funktion kaavion piste y = f(x) + g(x) voidaan saada tällä tavalla. Siksi funktion kaavio y = f(x) + g(x) voidaan saada funktiokaavioista y = f(x). Ja y = g(x) korvaa jokainen piste ( x n, y 1) funktiografiikka y = f(x) piste (x n, y 1 + y 2), Missä y 2 = g(x n), eli siirtämällä jokaista pistettä ( x n, y 1) funktiokaavio y = f(x) akselia pitkin klo määrän mukaan y 1 \u003d g (x n). Tässä tapauksessa vain sellaiset kohdat otetaan huomioon. X n, jolle molemmat funktiot on määritelty y = f(x) Ja y = g(x).

Tämä menetelmä funktiokaavion piirtämiseen y = f(x) + g(x) kutsutaan funktioiden kuvaajien yhteenlaskuksi y = f(x) Ja y = g(x)

Esimerkki 4. Kuvassa graafien yhteenlaskumenetelmällä muodostetaan funktion kuvaaja
y = x + sinx.

Kun piirretään funktiota y = x + sinx oletimme sen f(x) = x, A g(x) = sinx. Funktiokaavion muodostamiseksi valitsemme pisteet, joiden abskissat ovat -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Arvot f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx laskemme valituissa kohdissa ja laitamme tulokset taulukkoon.

Rakenna toiminto

Tuomme huomionne funktiokaavioiden online-piirtämiseen tarkoitetun palvelun, johon kaikki oikeudet kuuluvat yritykselle Desmos. Käytä vasenta saraketta funktioiden syöttämiseen. Voit kirjoittaa manuaalisesti tai käyttämällä ikkunan alareunassa olevaa virtuaalista näppäimistöä. Voit suurentaa kaavioikkunaa piilottamalla sekä vasemman sarakkeen että virtuaalisen näppäimistön.

Online-kartoituksen edut

Esiteltyjen toimintojen visuaalinen näyttö
Erittäin monimutkaisten kaavioiden rakentaminen
Epäsuorasti määriteltyjen kaavioiden piirtäminen (esim. ellipsi x^2/9+y^2/16=1)
Mahdollisuus tallentaa kaavioita ja saada niihin linkki, joka on kaikkien Internetissä käytettävissä
Skaalaussäätö, viivan väri
Kyky piirtää kuvaajia pisteiden mukaan, vakioiden käyttö
Useiden funktioiden kaavioiden rakentaminen samanaikaisesti
Piirtäminen napakoordinaateissa (käytä r:tä ja θ(\theta))

Meillä on helppo rakentaa monimutkaisia kaavioita verkossa. Rakentaminen valmistuu välittömästi. Palvelulla on kysyntää funktioiden leikkauspisteiden etsimiseen, graafien näyttämiseen niiden siirtämistä varten Word-dokumenttiin havainnollistuksina tehtävien ratkaisuun, funktiokaavioiden käyttäytymisominaisuuksien analysointiin. Paras selain kaavioiden työskentelyyn sivuston tällä sivulla on Google Chrome. Muita selaimia käytettäessä oikeaa toimintaa ei taata.

Yksi tunnetuimmista matematiikan eksponenttifunktioista on eksponentti. Se on Euler-luku korotettuna määritettyyn potenssiin. Excelissä on erillinen operaattori, jonka avulla voit laskea sen. Katsotaan kuinka sitä voidaan käyttää käytännössä.

Eksponentti on Eulerin luku korotettuna annettuun potenssiin. Itse Euler-numero on noin 2,718281828. Joskus sitä kutsutaan myös Napier-numeroksi. Eksponenttifunktio näyttää tältä:

missä e on Eulerin luku ja n on eksponentti.

Tämän indikaattorin laskemiseen Excelissä käytetään erillistä operaattoria - EXP. Lisäksi tämä funktio voidaan näyttää kaaviona. Puhumme näiden työkalujen kanssa työskentelystä lisää.

Tapa 1: eksponentin laskeminen syöttämällä funktio manuaalisesti

EXP(numero)

Toisin sanoen tämä kaava sisältää vain yhden argumentin. Se edustaa vain sitä, kuinka paljon sinun on nostettava Euler-lukua. Tämä argumentti voi olla joko numeerisen arvon muodossa tai viittauksena asteindikaattorin sisältävään soluun.

Tapa 2: Ohjatun toimintotoiminnon käyttäminen

Vaikka eksponentin laskemisen syntaksi on erittäin yksinkertainen, jotkut käyttäjät haluavat käyttää sitä Toimintovelho. Katsotaanpa, miten tämä tehdään esimerkin avulla.

Jos viittausta soluun, joka sisältää eksponentin, käytetään argumenttina, sinun on asetettava kohdistin kenttään "Määrä" ja valitse vain kyseinen solu arkilta. Sen koordinaatit näkyvät välittömästi kentässä. Tämän jälkeen voit laskea tuloksen napsauttamalla painiketta OK.

Tapa 3: piirrä kaavio

Lisäksi Excelissä on mahdollisuus rakentaa kuvaaja eksponentin laskennan tuloksena saatujen tulosten perusteella. Kaavion rakentamiseksi arkille on jo oltava laskettuja eri asteiden eksponentin arvoja. Voit laskea ne jollakin yllä kuvatuista menetelmistä.

Janan pituus koordinaattiakselilla saadaan kaavasta:

Janan pituus koordinaattitasolla haetaan kaavalla:

Janan pituuden selvittämiseksi kolmiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä käytetään seuraavaa kaavaa:

Janan keskikohdan koordinaatit (koordinaattiakselille käytetään vain ensimmäistä kaavaa, koordinaattitasolle - kaksi ensimmäistä kaavaa, kolmiulotteiselle koordinaattijärjestelmälle - kaikki kolme kaavaa) lasketaan kaavoilla:

Toiminto on lomakkeen vastaavuus y= f(x) muuttujien välillä, minkä vuoksi jokainen huomioitu jonkin muuttujan arvo x(argumentti tai riippumaton muuttuja) vastaa jonkin toisen muuttujan tiettyä arvoa, y(riippuva muuttuja, joskus tätä arvoa kutsutaan yksinkertaisesti funktion arvoksi). Huomaa, että funktio olettaa yhden argumentin arvon X riippuvalla muuttujalla voi olla vain yksi arvo klo. Kuitenkin sama arvo klo saa erilaisilla X.

Toiminnan laajuus ovat kaikki riippumattoman muuttujan arvot (yleensä funktion argumentti X), jolle funktio on määritelty, ts. sen merkitys on olemassa. Määritelmäalue on osoitettu D(y). Yleisesti ottaen tämä käsite on sinulle jo tuttu. Toiminnon laajuutta kutsutaan muuten validien arvojen domainiksi eli ODZ:ksi, jonka olet löytänyt jo pitkään.

Toimintoalue ovat tämän funktion riippuvaisen muuttujan kaikki mahdolliset arvot. Merkitty E(klo).

Toiminto nousee väliltä, jolla argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa arvoa. Toiminto vähenee väliltä, jolla argumentin suurempi arvo vastaa funktion pienempää arvoa.

Toimintojen välit ovat riippumattoman muuttujan aikavälit, joilla riippuvainen muuttuja säilyttää positiivisen tai negatiivisen etumerkin.

Toimintojen nollia ovat argumentin arvoja, joille funktion arvo on nolla. Näissä pisteissä funktion kuvaaja leikkaa abskissa-akselin (OX-akseli). Hyvin usein tarve löytää funktion nollia tarkoittaa yksinkertaisesti yhtälön ratkaisemista. Usein tarve löytää vakiomerkkien välit tarkoittaa myös tarvetta yksinkertaisesti ratkaista epäyhtälö.

Toiminto y = f(x) kutsutaan jopa X

Tämä tarkoittaa, että kaikille argumentin vastakkaisille arvoille parillisen funktion arvot ovat yhtä suuret. Parillisen funktion kuvaaja on aina symmetrinen operaatiovahvistimen y-akselin suhteen.

Toiminto y = f(x) kutsutaan outo, jos se on määritelty symmetriselle joukolle ja mille tahansa X määritelmäalueelta yhtäläisyys täyttyy:

Tämä tarkoittaa, että kaikille argumentin vastakkaisille arvoille parittoman funktion arvot ovat myös vastakkaisia. Parittoman funktion kuvaaja on aina symmetrinen origon suhteen.

Parillisten ja parittomien funktioiden (abskissa-akselin OX leikkauspisteet) juurien summa on aina nolla, koska jokaiselle positiiviselle juurelle X on negatiivinen juuri X.

On tärkeää huomata, että joidenkin funktioiden ei tarvitse olla parillisia tai parittomia. On monia toimintoja, jotka eivät ole parillisia eivätkä parittomia. Tällaisia toimintoja kutsutaan yleisiä toimintoja, eikä mikään yllä olevista yhtäläisistä tai ominaisuuksista päde niitä.

Lineaarinen funktio kutsutaan funktioksi, joka voidaan antaa kaavalla:

Lineaarisen funktion kuvaaja on suora viiva ja näyttää yleisessä tapauksessa tältä (annetaan esimerkki tapauksesta, jossa k> 0, tässä tapauksessa funktio kasvaa; tilaisuutta varten k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Neliöfunktion kuvaaja (paraabeli)

Paraabelin kuvaaja saadaan neliöfunktiolla:

Neliöfunktio, kuten mikä tahansa funktio, leikkaa OX-akselin pisteissä, jotka ovat sen juuret: ( x 1; 0) ja ( x 2; 0). Jos juuria ei ole, niin neliöfunktio ei leikkaa OX-akselia, jos on yksi juuri, niin tässä pisteessä ( x 0; 0) neliöfunktio koskettaa vain OX-akselia, mutta ei leikkaa sitä. Neliöfunktio leikkaa aina OY-akselin pisteessä, jonka koordinaatit: (0; c). Neliöfunktion (paraabelin) kaavio voi näyttää tältä (kuvassa on esimerkkejä, jotka eivät kata kaikkia mahdollisia paraabelityyppejä):

Jossa:

jos kerroin a> 0, funktiossa y = kirves 2 + bx + c, silloin paraabelin haarat on suunnattu ylöspäin;
jos a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Paraabelipistekoordinaatit voidaan laskea seuraavilla kaavoilla. X topit (s- yllä olevissa kuvissa) paraabelista (tai pisteestä, jossa neliötrinomi saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa):

Y topit (q- yllä olevissa kuvissa) paraabelin tai maksimi, jos paraabelin haarat ovat alaspäin ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), neliötrinomin arvo:

Kaaviot muista funktioista

tehotoiminto

Tässä on esimerkkejä tehofunktioiden kaavioista:

Käänteisesti verrannollinen riippuvuus kutsukaa kaavan antama funktio:

Riippuen numeron merkistä k Käänteisesti verrannollisella kaaviolla voi olla kaksi perusvaihtoehtoa:

Asymptootti on suora, jota funktion kaavion viiva lähestyy äärettömän lähellä, mutta ei leikkaa. Yllä olevassa kuvassa esitettyjen käänteissuhteellisuuskaavioiden asymptootit ovat koordinaattiakselit, joita funktion kuvaaja lähestyy äärettömän lähellä, mutta ei leikkaa niitä.

eksponentti funktio pohjan kanssa A kutsukaa kaavan antama funktio:

a eksponentiaalisen funktion kaaviossa voi olla kaksi perusvaihtoehtoa (annamme myös esimerkkejä, katso alla):

logaritminen funktio kutsukaa kaavan antama funktio:

Riippuen siitä, onko luku suurempi vai pienempi kuin yksi a Logaritmisen funktion kaaviolla voi olla kaksi perusvaihtoehtoa:

Funktiokaavio y = |x| seuraavasti:

Jaksottaisten (trigonometristen) funktioiden kuvaajat

Toiminto klo = f(x) kutsutaan kausijulkaisu, jos sellainen nollasta poikkeava luku on olemassa T, Mitä f(x + T) = f(x), kenelle tahansa X toimintoalueen ulkopuolella f(x). Jos toiminto f(x) on jaksollinen pisteen kanssa T, sitten funktio:

Missä: A, k, b ovat vakiolukuja ja k ei ole yhtä suuri kuin nolla, myös jaksollinen pisteen kanssa T 1 , joka määritetään kaavalla:

Useimmat esimerkit jaksollisista funktioista ovat trigonometrisiä funktioita. Tässä ovat tärkeimpien trigonometristen funktioiden kaaviot. Seuraavassa kuvassa on osa funktion kaaviosta y= synti x(koko kaavio jatkuu loputtomasti vasemmalle ja oikealle), funktion kuvaaja y= synti x nimeltään sinusoidi:

Funktiokaavio y= cos x nimeltään kosiniaalto. Tämä kaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Sinin kaaviosta lähtien se jatkuu loputtomasti OX-akselia pitkin vasemmalle ja oikealle:

Funktiokaavio y=tg x nimeltään tangentoidi. Tämä kaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Kuten muidenkin jaksollisten funktioiden kuvaajat, tämä kaavio toistuu loputtomasti OX-akselia pitkin vasemmalle ja oikealle.

Ja lopuksi funktion kaavio y=ctg x nimeltään kotangentoidi. Tämä kaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Kuten muidenkin jaksollisten ja trigonometristen funktioiden kuvaajat, tämä kaavio toistuu loputtomasti OX-akselia pitkin vasemmalle ja oikealle.

Takaisin
Eteenpäin

Kuinka valmistautua onnistuneesti fysiikan ja matematiikan CT:hen?

Jotta voit valmistautua onnistuneesti fysiikan ja matematiikan TT:hen, on täytyttävä muun muassa kolme kriittistä ehtoa:

Tutustu kaikkiin aiheisiin ja suorita kaikki tämän sivuston oppimateriaaleissa annetut testit ja tehtävät. Tätä varten et tarvitse mitään, nimittäin: omistaa kolmesta neljään tuntia päivittäin fysiikan ja matematiikan CT: hen valmistautumiseen, teorian opiskeluun ja ongelmien ratkaisemiseen. Tosiasia on, että CT on koe, jossa ei riitä vain fysiikan tai matematiikan tunteminen, vaan sinun on myös pystyttävä ratkaisemaan nopeasti ja ilman epäonnistumisia suuri määrä ongelmia erilaisista aiheista ja vaihtelevasta monimutkaisuudesta. Jälkimmäinen voidaan oppia vain ratkaisemalla tuhansia ongelmia.
Opi kaikki fysiikan kaavat ja lait sekä matematiikan kaavat ja menetelmät. Itse asiassa se on myös hyvin yksinkertaista, fysiikassa on vain noin 200 tarpeellista kaavaa ja matematiikassa jopa hieman vähemmän. Jokaisessa näistä aineista on noin tusina standardimenetelmää perusmonimutkaisuuden ongelmien ratkaisemiseksi, jotka voidaan myös oppia ja siten täysin automaattisesti ja vaivattomasti ratkaista suurin osa digitaalisesta muunnoksesta oikeaan aikaan. Sen jälkeen sinun tarvitsee vain ajatella vaikeimpia tehtäviä.
Osallistu kaikkiin kolmeen fysiikan ja matematiikan harjoitustestin vaiheeseen. Jokaisessa RT:ssä voi käydä kahdesti molempien vaihtoehtojen ratkaisemiseksi. Jälleen, CT:llä, kyvyn nopeasti ja tehokkaasti ratkaista ongelmia sekä kaavojen ja menetelmien tuntemuksen lisäksi on myös osattava suunnitella oikein, jakaa voimat ja ennen kaikkea täyttää vastauslomake oikein , sekoittamatta vastausten ja tehtävien numeroita tai omaa nimeäsi. RT:n aikana on myös tärkeää tottua tehtävien kysymystyyliin, mikä saattaa tuntua hyvin epätavalliselta valmistautumattomalle henkilölle DT:llä.

Näiden kolmen kohdan onnistunut, ahkera ja vastuullinen täyttäminen sekä viimeisten harjoituskokeiden vastuullinen opiskelu mahdollistavat erinomaisen tuloksen TT:ssä, maksimituloksen, mihin pystyt.

Löysitkö virheen?

Jos olet mielestäsi löytänyt virheen koulutusmateriaaleista, kirjoita siitä sähköpostitse (). Ilmoita kirjeessä aihe (fysiikka tai matematiikka), aiheen tai kokeen nimi tai numero, tehtävän numero tai tekstin (sivun) paikka, jossa mielestäsi on virhe. Kerro myös, mikä väitetty virhe on. Kirjeesi ei jää huomaamatta, virhe joko korjataan tai sinulle selitetään, miksi se ei ole virhe.

Yritä ensin selvittää toiminnon laajuus:

Onnistuitko? Verrataanpa vastauksia:

Selvä? Hyvin tehty!

Yritetään nyt löytää funktion alue:

Löytyikö? Vertailla:

Oliko se samaa mieltä? Hyvin tehty!

Työstetään taas kaavioiden kanssa, mutta nyt on vähän vaikeampaa - löytää sekä funktion alue että funktion alue.

Kuinka löytää sekä verkkotunnus että toiminnon alue (edistynyt)

Tässä on mitä tapahtui:

Luulen, että tajusit sen grafiikan avulla. Yritetään nyt löytää funktion verkkoalue kaavojen mukaisesti (jos et tiedä kuinka tehdä tämä, lue osio aiheesta):

Onnistuitko? Tarkistetaan vastauksia:

, koska juurilausekkeen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
, koska on mahdotonta jakaa nollalla ja radikaalilauseke ei voi olla negatiivinen.
, koska vastaavasti kaikille.
koska et voi jakaa nollalla.

Meillä on kuitenkin vielä yksi hetki, jota ei ole selvitetty...

Toistan määritelmän ja keskityn siihen:

Huomasitko? Sana "vain" on erittäin, erittäin tärkeä osa määritelmäämme. Yritän selittää sinulle sormilla.

Oletetaan, että meillä on suoralla viivalla annettu funktio. . Kun, korvaamme tämän arvon "sääntöämme" ja saamme sen. Yksi arvo vastaa yhtä arvoa. Voimme jopa tehdä taulukon eri arvoista ja piirtää tietyn funktion varmistaaksemme tämän.

"Katso! - sanot, - "" tapaa kahdesti!" Joten ehkä paraabeli ei ole funktio? Ei se on!

Se, että "" esiintyy kahdesti, ei suinkaan ole syy syyttää paraabelia moniselitteisyydestä!

Tosiasia on, että laskettaessa saimme yhden pelin. Ja kun laskettiin, saimme yhden pelin. Joten se on oikein, paraabeli on funktio. Katso taulukkoa:

Sain sen? Jos ei, tässä on sinulle esimerkki tosielämästä, kaukana matematiikasta!

Oletetaan, että meillä on joukko hakijoita, jotka tapasivat asiakirjoja jättäessään ja joista jokainen kertoi keskustelussa asuinpaikkansa:

Samaa mieltä, on melko realistista, että useat kaverit asuvat samassa kaupungissa, mutta on mahdotonta, että yksi henkilö asuisi useissa kaupungeissa samanaikaisesti. Tämä on ikään kuin looginen esitys "paraabelistamme" - Useat eri x:t vastaavat samaa y:tä.

Keksitään nyt esimerkki, jossa riippuvuus ei ole funktio. Oletetaan, että nämä samat kaverit kertoivat, mihin erikoisuuksiin he hakivat:

Täällä meillä on täysin erilainen tilanne: yksi henkilö voi helposti hakea yhtä tai useampaa reittiä. Tuo on yksi elementti sarjat laitetaan kirjeenvaihtoon useita elementtejä sarjat. Vastaavasti, se ei ole toiminto.

Testataan tietosi käytännössä.

Päätä kuvista mikä on funktio ja mikä ei:

Sain sen? Ja tässä on vastauksia:

Funktio on - B,E.
Ei funktio - A, B, D, D.

Kysyt miksi? Kyllä, tässä on syy:

Kaikissa luvuissa paitsi SISÄÄN) Ja E) niitä on useita yhdelle!

Olen varma, että nyt voit helposti erottaa funktion ei-funktiosta, sanoa mikä argumentti on ja mikä riippuva muuttuja sekä määrittää argumentin laajuuden ja funktion laajuuden. Siirrytään seuraavaan osaan - kuinka funktio määritellään?

Tapoja asettaa toiminto

Mitä luulet sanojen tarkoittavan "asettaa toiminto"? Aivan oikein, se tarkoittaa, että selitetään kaikille, mistä toiminnasta tässä tapauksessa puhumme. Lisäksi selitä niin, että kaikki ymmärtävät sinut oikein ja ihmisten piirtämät funktioiden kaaviot selityksesi mukaan olivat samat.

Miten voin tehdä sen? Kuinka asettaa toiminto? Helpoin tapa, jota on jo käytetty useammin kuin kerran tässä artikkelissa - käyttämällä kaavaa. Kirjoitamme kaavan, ja korvaamalla siihen arvon, laskemme arvon. Ja kuten muistatte, kaava on laki, sääntö, jonka mukaan meille ja toiselle ihmiselle tulee selväksi, kuinka X muuttuu Y:ksi.

Yleensä he tekevät juuri näin - tehtävissä näemme valmiita funktioita, jotka on määritelty kaavoilla, mutta on olemassa muita tapoja asettaa funktio, jonka kaikki unohtavat, ja siksi kysymys "miten muuten voit asettaa funktion?" hämmentää. Katsotaanpa kaikkea järjestyksessä ja aloitetaan analyyttisestä menetelmästä.

Analyyttinen tapa määritellä funktio

Analyyttinen menetelmä on kaavaa käyttävän funktion tehtävä. Tämä on yleisin, kattavin ja yksiselitteisin tapa. Jos sinulla on kaava, tiedät funktiosta aivan kaiken - voit tehdä siihen arvotaulukon, voit rakentaa kaavion, määrittää missä funktio kasvaa ja missä se vähenee, yleensä tutkia sitä kokonaan.

Tarkastellaan funktiota. Mitä väliä sillä on?

"Mitä se tarkoittaa?" - kysyt. Selitän nyt.

Muistutan, että merkinnöissä suluissa olevaa lauseketta kutsutaan argumentiksi. Ja tämä argumentti voi olla mikä tahansa ilmaus, ei välttämättä yksinkertainen. Näin ollen, riippumatta argumentista (lauseke suluissa), kirjoitamme sen sen sijaan lausekkeeseen.

Esimerkissämme se näyttää tältä:

Harkitse toista tehtävää, joka liittyy kokeessa käytettävän funktion määrittämiseen analyyttiseen menetelmään.

Etsi lausekkeen arvo, at.

Olen varma, että aluksi pelkäsit, kun näit sellaisen ilmaisun, mutta siinä ei ole mitään pelottavaa!

Kaikki on sama kuin edellisessä esimerkissä: mikä tahansa argumentti (lauseke suluissa), kirjoitamme sen sijaan lausekkeeseen. Esimerkiksi funktiolle.

Mitä esimerkissämme pitäisi tehdä? Sen sijaan sinun on kirjoitettava, ja sen sijaan -:

lyhennä tuloksena olevaa lauseketta:

Siinä kaikki!

Itsenäinen työ

Yritä nyt löytää itse seuraavien ilmaisujen merkitys:

, Jos
, Jos

Onnistuitko? Verrataan vastauksiamme: Olemme tottuneet siihen, että funktiolla on muoto

Jopa esimerkeissämme määrittelemme funktion tällä tavalla, mutta analyyttisesti funktio on mahdollista määritellä esimerkiksi implisiittisesti.

Kokeile rakentaa tämä toiminto itse.

Onnistuitko?

Näin rakensin sen.

Mihin yhtälöön päädyimme?

Oikein! Lineaarinen, mikä tarkoittaa, että kuvaaja on suora. Tehdään taulukko määrittääksemme, mitkä pisteet kuuluvat rivillemme:

Juuri siitä puhuimme... Yksi vastaa useita.

Yritetään piirtää mitä tapahtui:

Onko se mitä meillä on funktio?

Aivan oikein, ei! Miksi? Yritä vastata tähän kysymykseen kuvan avulla. Mitä sinä sait?

"Koska yksi arvo vastaa useita arvoja!"

Millaisen johtopäätöksen voimme tästä tehdä?

Aivan oikein, funktiota ei aina voida ilmaista eksplisiittisesti, ja se, mikä on "naamioitu" funktioksi, ei aina ole funktio!

Taulukkomuotoinen tapa määritellä funktio

Kuten nimestä voi päätellä, tämä menetelmä on yksinkertainen levy. Kyllä kyllä. Kuten jo tekemämme. Esimerkiksi:

Täällä huomasit heti kuvion - Y on kolme kertaa suurempi kuin X. Ja nyt "erittäin hyvin ajattelun" tehtävä: onko taulukon muodossa annettu funktio mielestäsi sama kuin funktio?

Älkäämme puhuko pitkään, vaan piirretään!

Niin. Piirrämme molemmilla tavoilla annetun funktion:

Näetkö eron? Kyse ei ole merkityistä pisteistä! Katso tarkemmin:

Oletko nähnyt sen nyt? Kun asetamme funktion taulukkomuodossa, heijastamme kuvaajaan vain ne pisteet, jotka meillä on taulukossa ja viiva (kuten meidän tapauksessamme) kulkee vain niiden läpi. Kun määrittelemme funktion analyyttisesti, voimme ottaa minkä tahansa pisteen, eikä funktiomme rajoitu niihin. Tässä on sellainen ominaisuus. Muistaa!

Graafinen tapa rakentaa funktio

Graafinen tapa muodostaa funktio ei ole yhtä kätevä. Piirrämme funktiomme, ja toinen kiinnostunut voi löytää sen, mikä y on yhtä suuri tietyllä x:llä ja niin edelleen. Graafiset ja analyyttiset menetelmät ovat yleisimpiä.

Tässä sinun on kuitenkin muistettava, mistä puhuimme aivan alussa - ei jokainen koordinaattijärjestelmään piirretty "kiire" ole funktio! Muistatko? Varmuuden vuoksi kopioin tänne määritelmän siitä, mikä funktio on:

Yleensä ihmiset nimeävät tarkalleen ne kolme tapaa määrittää funktio, jotka olemme analysoineet - analyyttinen (kaavan avulla), taulukko ja graafinen, unohtaen kokonaan, että funktiota voidaan kuvata sanallisesti. Kuten tämä? Kyllä, erittäin helppoa!

Toiminnon sanallinen kuvaus

Kuinka kuvailla toimintoa suullisesti? Otetaanpa tuore esimerkkimme - . Tämä funktio voidaan kuvata "jokainen x:n todellinen arvo vastaa kolminkertaista arvoaan". Siinä kaikki. Ei mitään monimutkaista. Tietenkin vastustat - "on niin monimutkaisia toimintoja, joita on yksinkertaisesti mahdotonta asettaa sanallisesti!" Kyllä, joitain on, mutta on toimintoja, joita on helpompi kuvata sanallisesti kuin asettaa kaavalla. Esimerkiksi: "jokainen x:n luonnollinen arvo vastaa eroa niiden numeroiden välillä, joista se koostuu, kun taas numerosyötteen suurin numero on minuutti." Mieti nyt, kuinka funktion sanallinen kuvaus toteutetaan käytännössä:

Tietyn luvun suurin numero - vastaavasti - pienennetään, sitten:

Tärkeimmät toimintotyypit

Siirrytään nyt mielenkiintoisimpaan - tarkastelemme tärkeimpiä funktiotyyppejä, joiden kanssa työskentelit / työskentelet ja työskentelet koulun ja instituutin matematiikan aikana, eli opimme tuntemaan ne niin sanotusti ja anna heille lyhyt kuvaus. Lue lisää kustakin toiminnosta vastaavasta osiosta.

Lineaarinen funktio

Muodon funktio, jossa ovat reaalilukuja.

Tämän funktion kuvaaja on suora, joten lineaarifunktion rakentaminen pelkistyy kahden pisteen koordinaattien löytämiseen.

Suoran sijainti koordinaattitasolla riippuu kaltevuuskulmasta.

Funktioalue (alias argumenttialue) - .

Arvoalue on.

neliöfunktio

Lomakkeen funktio, missä

Funktion kuvaaja on paraabeli, kun paraabelin haarat on suunnattu alaspäin, kun - ylöspäin.

Monet neliöfunktion ominaisuudet riippuvat diskriminantin arvosta. Diskriminantti lasketaan kaavalla

Paraabelin sijainti koordinaattitasolla suhteessa arvoon ja kertoimeen on esitetty kuvassa:

Verkkotunnus

Arvoalue riippuu annetun funktion ääripäästä (paraabelin kärjestä) ja kertoimesta (paraabelin haarojen suunnasta)

Käänteinen suhteellisuus

Kaavan antama funktio, jossa

Lukua kutsutaan käänteissuhteellisuustekijäksi. Arvosta riippuen hyperbelin haarat ovat eri neliöissä:

Verkkotunnus - .