Bibliografinen kuvaus: Maksimenko O. V., pastori V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. Kultaisen leikkeen käsitteestä // Nuori tiedemies. - 2016. - Nro 6.1. - S. 35-39..03.2019).



"Geometrialla on kaksi aarretta:

yksi niistä on Pythagoraan lause,

toinen on segmentin jako keski- ja äärisuhteessa "

Johannes Kepler

Avainsanat: kultainen leikkaus, kultaiset mittasuhteet, tieteellinen ilmiö.

Työmme tarkoituksena on tutkia "Kultaleikkaukseen" liittyviä tietolähteitä eri osaamisaloilla, tunnistaa malleja ja löytää yhteyksiä tieteiden välillä, tunnistaa Kultaleikkauksen käytännön merkitys.

Tämän tutkimuksen relevanssi määrää kultaisen leikkauksen vuosisatoja vanha historia matematiikassa ja taiteessa. Se, mitä muinaiset ihmettelivät, on edelleen ajankohtainen ja herättää aikalaisten kiinnostusta.

Ihmiset ovat aina yrittäneet löytää malleja ympäröivästä maailmasta. He ympäröivät itsensä "oikean" muodon esineillä heidän näkökulmastaan. Vain matematiikan kehittyessä ihmiset onnistuivat mittaamaan "kultaisen suhteen", joka myöhemmin tunnettiin nimellä "kultainen suhde".

kultainen leikkaus- harmoninen suhde

Kultainen leikkaus on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti liittyy suurempaan osaan samalla tavalla kuin suurempi osa itse pienempään; eli toisin sanoen pienempi segmentti liittyy suurempaan, kuten suurempi on kaikkeen (kuva 1).

a: b = b: c

Riisi. 1. Segmentin jako kultaisten mittasuhteiden mukaan

Muistutetaanpa, mikä on kultainen leikkaus. Kultaisen leikkauksen tilavin määritelmä sanoo, että pienempi osa liittyy suurempaan, kun suurempi on kokonaisuuteen. Sen likimääräinen arvo on 1,6180339887. Pyöristetyssä prosentissa kokonaisuuden osien osuudet korreloivat 62 %:sta 38 %:iin. Tämä suhde toimii tilan ja ajan muodoissa.

kultainen kolmio jasuorakulmio

Sen lisäksi, että jaat segmentin epätasaisiin osiin (kultainen leikkaus), harkitse kultaista kolmiota ja kultaista suorakulmiota.

Kultainen suorakulmio on suorakulmio, jonka sivujen pituudet ovat kultaisessa suhteessa (kuva 2).

Viisikulmaisen tähden kumpikin pää on kultainen kolmio. Sen sivut muodostavat ylhäällä 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen suhteessa kultaiseen leikkuun (kuva 3).

Kuva 2. kultainen suorakulmio

Kuva 3 Kultainen kolmio

Pentacle

Tavallisessa viisisakaraisessa tähdessä kukin segmentti on jaettu sen kultaisessa leikkauksessa leikkaavalla segmentillä, eli sinisen segmentin suhde vihreään, punaisen ja sinisen, vihreän ja purppuran suhde on 1,618 (kuva 4).

Kuva 4. pentagrammi-hygienia

Pythagoras väitti, että pentagrammi tai, kuten hän sitä kutsui, hygieia, on matemaattinen täydellisyys, koska se kätkee kultaisen leikkauksen. Sinisen segmentin suhde vihreään, punaisen ja sinisen sekä vihreän ja violetin suhde on kultainen suhde.

Fibonacci sarja

Lukusarjat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen, alkaen kolmannesta, on yhtä suuri kuin kahden edellisen summa, ja sarjan vierekkäisten lukujen suhde lähestyy kultaisen jaon suhdetta.

Joten 21:34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

Kultaisen leikkauksen historia

On yleisesti hyväksyttyä, että kultaisen jaon käsitteen otti tieteelliseen käyttöön Pythagoras, muinainen kreikkalainen filosofi ja matemaatikko (VI vuosisata eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljefien, taloustavaroiden ja Tutankhamonin haudan koristeiden mittasuhteet osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä.

kultaiset mittasuhteetihmiskehon osia

Vuonna 1855 saksalainen kultaleikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi teoksensa Esteettinen tutkimus.

Zeising mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia (kuva 5).

Kuva 5 Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa

kultainen leikkaus sisäänvillieläimiä

On hämmästyttävää, kuinka vain yksi matemaattinen käsite löytyy monista ihmistiedon osista. Se näyttää tunkeutuvan kaikkeen maailmassa yhdistäen harmonian ja kaaoksen, matematiikan ja taiteen.

Biologiset tutkimukset ovat osoittaneet, että viruksista ja kasveista ihmiskehoon asti kaikkialla paljastuu kultainen osuus, joka kuvaa niiden rakenteen suhteellisuutta ja harmoniaa. Kultainen leikkaus tunnustetaan elävien järjestelmien universaaliksi laiksi.

Liskossa vangitaan ensi silmäyksellä silmillemme miellyttävät mittasuhteet - sen hännän pituus on suhteessa muun kehon pituuteen 62-38 (kuva 6).

Kuva 6 Kultaiset mittasuhteet liskon ruumiinosissa

kultainen leikkaus sisäänarkkitehtuuri

"Kultaleikkausta" käsittelevistä kirjoista löytyy huomautus, että arkkitehtuurissa, kuten maalauksessa, kaikki riippuu tarkkailijan asennosta, ja jos rakennuksessa toisaalta jotkin mittasuhteet näyttävät muodostavan "kultaleikkauksen", niin muista näkökulmista ne näyttävät erilaisilta. "Kultainen osa" antaa rennoimman suhteen tiettyjen pituuksien kokoihin.

Yksi antiikin kreikkalaisen arkkitehtuurin kauneimmista teoksista on Parthenon (kuva 7). Rakennuksen korkeuden suhde sen pituuteen on 0,618. Jos jaamme Parthenonin "kultaisen osan" mukaan, saamme julkisivun tiettyjä ulkonemia.

Toinen esimerkki muinaisesta arkkitehtuurista on Cheopsin pyramidi (kuva 8).

Suuren pyramidin mittasuhteet säilyvät "kultaisessa suhteessa"

Muinaiset rakentajat onnistuivat rakentamaan tämän majesteettisen monumentin lähes täydellisellä teknisellä tarkkuudella ja symmetrialla.

Kuva 7. Parthenon

Kuva 8. Cheopsin pyramidi

kultainen leikkaus sisäänveistos

"Kultaisen osan" mittasuhteet luovat vaikutelman kauneuden harmoniasta, joten kuvanveistäjät käyttivät niitä teoksissaan. Joten esimerkiksi kuuluisa Apollo Belvederen patsas koostuu osista, jotka on jaettu kultaisten mittasuhteiden mukaan (kuva 9).

Kuva 9 Apollo Belvederen patsas

kultainen leikkaus sisäänmaalaus

Kääntyen esimerkkeihin maalauksen "kultaisesta leikkauksesta", ei voi muuta kuin pysäyttää huomionsa Leonardo da Vincin työhön. Katsotaanpa tarkemmin maalausta "La Gioconda". Muotokuvan sommittelu on rakennettu kultaisiin kolmioihin (kuva 10).

Kuva 10 Leonardo da Vinci "Gioconda"

Toinen esimerkki maalauksen kultaleikkauksesta on Rafaelin maalaus Viattisten verilöyly (kuva 11). Rafaelin valmistelevassa luonnoksessa punaiset viivat vedetään sävellyksen semanttisesta keskustasta. Jos yhdistät luonnollisesti nämä käyrän osat katkoviivalla, niin saat erittäin suurella tarkkuudella ... kultaisen spiraalin!

Kuva 11. Raphael "Syyttömien verilöyly"

kultainen leikkaus sisäänkirjallisia teoksia

Ajallisen taiteen muodot omalla tavallaan osoittavat meille kultaisen jaon periaatteen. Kultaisen leikkauksen sääntö pätee myös venäläisen klassikon yksittäisissä teoksissa. Joten tarinassa "Patakuningatar" on 853 riviä, ja huipentuma osuu 535. riville (853:535 = 1,6) - tämä on kultaisen leikkauksen piste.

kultainen leikkaus sisäänelokuvat

Elokuvaohjaaja Sergei Eisenstein koordinoi tarkoituksella elokuvansa "Battleship Potemkin" käsikirjoituksen kultaisen leikkauksen säännöllä jakaen nauhan viiteen osaan.

Johtopäätös

Kultainen leikkaus tunnettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, Intiassa ja Kiinassa. Suuri Pythagoras loi salaisen koulun, jossa tutkittiin "kultaisen osan" mystistä olemusta. Euclid sovelsi sitä luoden geometriansa ja Phidias - kuolemattomia veistoksiaan. Platon sanoi, että maailmankaikkeus on järjestetty "kultaisen leikkauksen" mukaan. Ja Aristoteles löysi "kultaisen osan" vastaavuuden eettiseen lakiin. "Kultaleikkeen" korkeinta harmoniaa saarnaavat Leonardo da Vinci ja Michelangelo, koska kauneus ja "kultainen leikkaus" ovat yksi ja sama. Ja kristityt mystikot piirtävät "kultaisen leikkauksen" pentagrammeja luostareidensa seinille pakeneessaan paholaista. Samaan aikaan tiedemiehet - Paciolista Einsteiniin - etsivät, mutta eivät koskaan löydä sen tarkkaa merkitystä. Loputon sarja desimaalipilkun jälkeen - 1.6180339887... Outo, salaperäinen, selittämätön asia: tämä jumalallinen mittasuhde seuraa mystisesti kaikkea elävää. Eloton luonto ei tiedä mitä "kultainen leikkaus" on. Mutta näet varmasti tämän osuuden simpukoiden kaarevissa ja kukkien muodossa ja kovakuoriaisten muodossa ja kauniissa ihmiskehossa. Kaikki elävä ja kaikki kaunis - kaikki noudattaa jumalallista lakia, jonka nimi on "kultainen leikkaus". Joten mikä on "kultainen suhde"? Mikä on tämä täydellinen, jumalallinen yhdistelmä? Ehkä se on kauneuden laki? Vai onko se edelleen mystinen salaisuus? Tieteellinen ilmiö vai eettinen periaate? Vastaus on edelleen tuntematon. Tarkemmin sanottuna - ei, se tiedetään. "Kultainen osa" on sekä se että toinen ja kolmas. Vain ei erikseen, mutta samaan aikaan ... Ja tämä on hänen todellinen mysteerinsä, hänen suuri salaisuutensa.

Kirjallisuus:

1. Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. ja muut. Matematiikka - 6. - M .: Mnemosyne, 2015
2. Korbalan F. Kultainen osa. Kauneuden matemaattinen kieli. (Matematiikan maailma T.1). - M.: DeAgostini, 2014
3. Ajastin G. E. Kultainen leikkaus. - M.: Librokom, 2009

Avainsanat: kultainen leikkaus, kultaiset mittasuhteet, tieteellinen ilmiö.

Huomautus: Kultainen leikkaus on rakenteellisen harmonian universaali ilmentymä. Sitä löytyy luonnosta, tieteestä, taiteesta - kaikesta, minkä kanssa ihminen voi joutua kosketuksiin. Artikkelin kirjoittajat tutkivat kirjallisuutta, löytävät linkkejä kultaleikkaukseen liittyvien tieteiden välillä, paljastavat kultaisten mittasuhteiden käytännön merkityksen.

kultainen leikkaus- tämä on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa pienempi segmentti liittyy isompaan segmenttiin yhtä paljon kuin suurempi kaikkeen.

a:b = b:c tai c: b = b: a.

Tämä osuus on:

Esimerkiksi tavallisessa viisisakaraisessa tähdessä kukin segmentti jaetaan segmentillä, joka leikkaa sen kultaisessa leikkauksessa (eli sinisen segmentin suhde vihreään, punaisen ja sinisen, vihreän ja violetin suhde on 1.618

On yleisesti hyväksyttyä, että Pythagoras otti kultaisen leikkauksen käsitteen tieteelliseen käyttöön. On oletettu, että Pythagoras lainasi tietonsa egyptiläisiltä ja babylonilaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljefien, taloustavaroiden ja Tutankhamonin haudan koristeiden mittasuhteet osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä.

Vuonna 1855 saksalainen kultaleikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi omansa työ "Esteettinen tutkimus".
Zeising mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia.

Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa

Vartalon jakautuminen napapisteen mukaan on kultaisen leikkauksen tärkein indikaattori. Miehen vartalon mittasuhteet vaihtelevat keskimääräisen suhteen 13:8 = 1,625 sisällä ja ovat jonkin verran lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen ruumiin mittasuhteet, joihin nähden osuuden keskiarvo ilmaistaan ​​suhteessa 8: 5 = 1,6.

Vastasyntyneellä suhde on 1:1, 13-vuotiaana se on 1,6 ja 21-vuotiaana sama kuin miehellä.
Kultaisen leikkauksen mittasuhteet ilmenevät myös suhteessa muihin kehon osiin - olkapään, kyynärvarren ja käden pituuteen, käsiin ja sormiin jne.
Zeising testasi teoriansa pätevyyttä kreikkalaisilla patsailla. Hän kehitti Apollo Belvederen mittasuhteet yksityiskohtaisimmin. Kreikan maljakoita, eri aikakausien arkkitehtonisia rakenteita, kasveja, eläimiä, lintujen munia, musiikillisia sävyjä, runollisia mittareita tutkittiin.

Zeising määritteli kultaisen leikkauksen, osoitti kuinka se ilmaistaan ​​viivanosina ja numeroina. Kun osien pituuksia ilmaisevat luvut saatiin, Zeising näki niiden vastaavan Fibonacci sarja.

Numerosarja 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen, alkaen kolmannesta, on yhtä suuri kuin kahden edellisen summa 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 jne., ja sarjan vierekkäisten lukujen suhde lähestyy kultaisen jaon suhdetta.

Joten 21:34 = 0,617 ja 34:55 = 0,618. (tai 1.618 kun suurempi luku jaetaan pienemmällä).

Fibonacci sarja olisi voinut jäädä vain matemaattiseksi tapahtumaksi, elleivät kaikki kasvi- ja eläinmaailman kultaisen jaon tutkijat, taiteesta puhumattakaan, poikkesivat tästä sarjasta kultaisen leikkauksen lain aritmeettisena ilmaisuna.

Kultainen leikkaus taiteessa

Jo vuonna 1925 taidekriitikko L. L. Sabaneev analysoi 42 kirjailijan 1770 musiikkiteosta, ja hän osoitti, että suurin osa merkittävistä teoksista voidaan helposti jakaa osiin joko teeman, intonaation tai modaalijärjestelmän mukaan, jotka ovat suhteessa kuhunkin. muu kultainen suhde.

Lisäksi mitä lahjakkaampi säveltäjä oli, sitä enemmän hänen teoksistaan ​​löytyi kultaisia ​​leikkeitä. Arenskin, Beethovenin, Borodinin, Haydnin, Mozartin, Skrjabinin, Chopinin ja Schubertin teoksissa kultaleikkeitä löytyi 90 prosentista kaikista teoksista. Sabanejevin mukaan kultainen leikkaus johtaa vaikutelmaan musiikillisen sävellyksen erityisestä harmoniasta.

Elokuvateatterissa S. Eisenstein rakensi keinotekoisesti elokuvan Battleship Potemkin "kultaisen osan" sääntöjen mukaisesti. Hän jakoi nauhan viiteen osaan. Kolmessa ensimmäisessä toiminta tapahtuu laivalla. Kahdessa viimeisessä - Odessassa, jossa kapina on kehittymässä. Tämä siirtyminen kaupunkiin tapahtuu täsmälleen kultaisen leikkauksen kohdalla. Kyllä, ja jokaisessa osassa on käännekohta, joka tapahtuu kultaisen leikkauksen lain mukaan.

Kultainen osa arkkitehtuurissa, kuvanveistossa, maalauksessa

Yksi antiikin kreikkalaisen arkkitehtuurin kauneimmista teoksista on Parthenon (V vuosisata eKr.).

Kuvissa näkyy useita kultaiseen leikkaukseen liittyviä kuvioita. Rakennuksen mittasuhteet voidaan ilmaista luvun Ф = 0,618 eri asteiden avulla ...

Parthenonin pohjapiirroksesta näet myös "kultaiset suorakulmiot":

Voimme nähdä kultaisen leikkauksen Notre Damen katedraalin (Notre Dame de Paris) rakennuksessa ja Cheopsin pyramidissa:

Egyptiläiset pyramidit eivät vain rakennettu kultaisen leikkauksen täydellisten mittasuhteiden mukaisesti; Sama ilmiö löytyy Meksikon pyramideista.

Monet muinaiset kuvanveistäjät käyttivät kultaista leikkausta. Apollo Belvederen patsaan kultainen osuus tunnetaan: kuvatun henkilön korkeus on jaettu kultaleikkauksen napaviivalla.

Kääntyen esimerkkeihin maalauksen "kultaisesta leikkauksesta", ei voi muuta kuin pysäyttää huomionsa Leonardo da Vincin työhön. Katsotaanpa tarkasti maalausta "La Gioconda". Muotokuvan sommittelu perustuu "kultaisiin kolmioihin".

Kultainen leikkaus fonteissa ja kodin esineissä

Villieläinten kultainen leikkaus

Biologiset tutkimukset ovat osoittaneet, että viruksista ja kasveista ihmiskehoon asti kaikkialla paljastuu kultainen osuus, joka kuvaa niiden rakenteen suhteellisuutta ja harmoniaa. Kultainen leikkaus tunnustetaan elävien järjestelmien universaaliksi laiksi.

Havaittiin, että Fibonacci-lukujen numeerinen sarja luonnehtii monien elävien järjestelmien rakenteellista organisaatiota. Esimerkiksi kierteinen lehtiasetelma oksalla on Fibonacci-sarjaa vastaava murto-osa (varren kierrosten määrä / lehtien lukumäärä syklissä, esim. 2/5; 3/8; 5/13).

Omenan, päärynän ja monien muiden kasvien viisiterälehtisten kukkien "kultainen" osuus tunnetaan hyvin. Geneettisen koodin kantajilla - DNA- ja RNA-molekyylillä - on kaksoiskierteinen rakenne; sen mitat vastaavat lähes täysin Fibonacci-sarjan numeroita.

Goethe korosti luonnon taipumusta spiraaliksi.

Hämähäkki pyörittää verkkoaan spiraalimaisesti. Hurrikaani kiertelee. Pelästynyt porolauma hajoaa kierteessä.

Goethe kutsui spiraalia "elämän käyräksi". Spiraali nähtiin auringonkukansiementen asettelussa, käpyissä, ananaksissa, kaktuksissa jne.

Auringonkukan kukat ja siemenet, kamomilla, hiutaleet ananashedelmissä, havupuiden käpyjä on "pakattu" logaritmisiksi ("kultaisille") kierteille, jotka kiertyvät toisiaan kohti, ja "oikean" ja "vasemman" spiraalin numerot viittaavat aina toisiinsa , kuten naapurinumerot Fibonacci.

Harkitse sikuriversoa. Päävarresta muodostui haara. Tässä on ensimmäinen lehti. Prosessi tekee voimakkaan irtautumisen avaruuteen, pysähtyy, irrottaa lehden, mutta on lyhyempi kuin ensimmäinen, tekee jälleen heiton avaruuteen, mutta pienemmällä voimalla, vapauttaa vielä pienemmän lehden ja irtoaa jälleen.

Jos ensimmäinen poikkeava arvo on 100 yksikköä, niin toinen on 62 yksikköä, kolmas on 38, neljäs on 24 ja niin edelleen. Terälehtien pituus on myös kultaisen leikkauksen alainen. Kasvussa, avaruuden valloittamisessa kasvi säilytti tietyt mittasuhteet. Sen kasvuimpulssit vähenivät vähitellen suhteessa kultaiseen leikkaukseen.

Monissa perhosissa kehon rintakehän ja vatsan osien koon suhde vastaa kultaista suhdetta. Taitettuaan siipensä yöperhonen muodostaa säännöllisen tasasivuisen kolmion. Mutta kannattaa levittää siivet, ja näet saman periaatteen jakaa kehon 2,3,5,8. Sudenkorento luodaan myös kultaisen leikkauksen lakien mukaan: hännän ja rungon pituuden suhde on yhtä suuri kuin kokonaispituuden suhde hännän pituuteen.

Liskolla hännän pituus on suhteessa muun vartalon pituuteen 62-38. Kultaiset mittasuhteet näet, kun katsot tarkasti linnun munaa.

Viktor Lavrus

Ihminen erottaa ympärillään olevat esineet muodon perusteella. Kiinnostus esineen muotoa kohtaan voi johtua elintärkeästä välttämättömyydestä tai sen voi aiheuttaa muodon kauneus. Muoto, joka perustuu symmetrian ja kultaisen leikkauksen yhdistelmään, edistää parasta visuaalista havaintoa sekä kauneuden ja harmonian tunnetta. Kokonaisuus koostuu aina osista, erikokoiset osat ovat tietyssä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Kultaisen leikkauksen periaate on korkein ilmentymä kokonaisuuden ja sen osien rakenteellisesta ja toiminnallisesta täydellisyydestä taiteessa, tieteessä, tekniikassa ja luonnossa.

Kultainen suhde - Harmoninen osuus

Matematiikassa suhteessa(lat. proportio) kutsuvat kahden suhteen yhtäläisyyttä: a : b = c : d.

Jana AB voidaan jakaa kahteen osaan seuraavilla tavoilla:

kahteen yhtä suureen osaan AB : AC = AB : aurinko;

kahteen epätasaiseen osaan missä tahansa suhteessa (sellaiset osat eivät muodosta mittasuhteita);

joten kun AB : AC = AC : aurinko.

Jälkimmäinen on segmentin kultainen jako tai jako äärimmäisen ja keskiarvon suhteen.

Kultainen leikkaus on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, jossa koko segmentti liittyy suurempaan osaan samalla tavalla kuin suurempi osa itse pienempään; eli toisin sanoen pienempi segmentti liittyy suurempaan, kuten suurempi on kaikkeen

a : b = b : c tai kanssa : b = b : a.

Riisi. yksi. Kultaisen leikkauksen geometrinen esitys

Käytännön tutustuminen kultaiseen leikkaukseen alkaa jakamalla suora jana kultaiseen leikkaukseen kompassin ja viivaimen avulla.

Riisi. 2. Janan jako kultaisen leikkauksen mukaan. eKr = 1/2 AB; CD = eKr

kohdasta AT kohtisuora palautetaan yhtä suureksi kuin puolet AB. Vastaanotettu piste Kanssa yhdistetty viivalla pisteeseen MUTTA. Tuloksena olevalle suoralle piirretään segmentti aurinko, joka päättyy pisteeseen D. Jana ILMOITUS siirretty suoralle viivalle AB. Tuloksena oleva piste E jakaa segmentin AB kultaisessa leikkauksessa.

Kultaisen leikkauksen segmentit ilmaistaan ​​äärettömällä irrationaalisella murtoluvulla AE= 0,618... jos AB ottaa yksikkönä OLLA\u003d 0,382 ... Käytännön tarkoituksiin käytetään usein likimääräisiä arvoja 0,62 ja 0,38. Jos segmentti AB kun otetaan 100 osaa, niin suurin osa segmentistä on 62 ja pienempi on 38 osaa.

Kultaisen leikkauksen ominaisuuksia kuvataan yhtälöllä:

x 2 - x - 1 = 0.

Ratkaisu tähän yhtälöön:

Kultaisen leikkauksen ominaisuudet loivat tämän numeron ympärille romanttisen mysteerin ja lähes mystisen palvonnan auran.

Toinen kultainen leikkaus

Bulgarialainen aikakauslehti "Isänmaa" (nro 10, 1983) julkaisi Tsvetan Tsekov-Karandashin artikkelin "Toisesta kultaleikkauksesta", joka seuraa pääosiosta ja antaa erilaisen suhteen 44:56.

Tällainen osuus löytyy arkkitehtuurista, ja se tapahtuu myös pitkänomaisen vaakamuotoisten kuvien koostumusten rakentamisessa.

Riisi. 3. Toisen kultaisen osan rakentaminen

Jako suoritetaan seuraavasti (katso kuva 3). Jana AB jaetaan kultaisen leikkauksen mukaan. kohdasta Kanssa kohtisuora palautetaan CD. Säde AB on pointtia D, joka on yhdistetty viivalla pisteeseen MUTTA. Oikea kulma ACD on jaettu puoliksi. kohdasta Kanssa viiva vedetään, kunnes se leikkaa suoran ILMOITUS. Piste E jakaa segmentin ILMOITUS suhteessa 56:44:ään.

Riisi. 4. Suorakulmion jako toisen kultaisen leikkauksen viivalla

Kuvassa Kuva 4 esittää toisen kultaleikkauksen viivan sijainnin. Se sijaitsee keskellä kultaisen leikkausviivan ja suorakulmion keskiviivan välissä.

Kultainen kolmio

Voit etsiä nousevan ja laskevan sarjan kultaisen leikkauksen segmenttejä käyttämällä pentagrammi.

Riisi. 5. Säännöllisen viisikulmion ja pentagrammin rakentaminen

Pentagrammin rakentamiseksi sinun on rakennettava tavallinen viisikulmio. Sen valmistusmenetelmän on kehittänyt saksalainen taidemaalari ja graafikko Albrecht Dürer (1471...1528). Anna olla O- ympyrän keskipiste A- piste ympyrässä ja E- segmentin keskellä OA. Kohtisuorassa säteeseen nähden OA, kunnostettu pisteessä O, leikkaa ympyrän pisteessä D. Siirrä halkaisijasta segmentti sivuun kompassin avulla CE = ED. Ympyrään piirretyn säännöllisen viisikulmion sivun pituus on DC. Segmenttien asettaminen ympyrään DC ja saat viisi pistettä piirtääksesi tavallisen viisikulmion. Yhdistämme viisikulmion kulmat yhden diagonaalin läpi ja saamme pentagrammin. Kaikki viisikulmion lävistäjät jakavat toisensa segmenteiksi, jotka on yhdistetty kultaisella leikkauksella.

Viisikulmaisen tähden kumpikin pää on kultainen kolmio. Sen sivut muodostavat yläreunassa 36° kulman, ja sivulle asetettu pohja jakaa sen suhteessa kultaiseen leikkuun.

Riisi. 6. Kultaisen kolmion rakentaminen

Piirrämme suoran viivan AB. pisteestä MUTTA aseta segmentti sen päälle kolme kertaa O mielivaltainen arvo tuloksena olevan pisteen kautta R piirrä kohtisuora viivaan nähden AB, kohtisuorassa pisteen oikealle ja vasemmalle puolelle R syrjään segmentit O. Pisteitä saatu d ja d 1 yhdistä suorilla viivoilla pisteeseen MUTTA. Jana dd 1 sivuun siima Ilmoitus 1, saan pisteen Kanssa. Hän jakoi linjan Ilmoitus 1 suhteessa kultaiseen leikkaukseen. rivit Ilmoitus 1 ja dd 1 käytetään "kultaisen" suorakulmion rakentamiseen.

Kultaisen leikkauksen historia

On yleisesti hyväksyttyä, että kultaisen jaon käsitteen otti tieteelliseen käyttöön Pythagoras, muinainen kreikkalainen filosofi ja matemaatikko (VI vuosisadalla eKr.). Oletetaan, että Pythagoras lainasi tietämyksensä kultaisesta jakautumisesta egyptiläisiltä ja babylonialaisilta. Itse asiassa Cheopsin pyramidin, temppelien, bareljefien, taloustavaroiden ja Tutankhamonin haudan koristeiden mittasuhteet osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä. Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier havaitsi, että Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä kuvioiden mittasuhteet vastaavat kultaisen divisioonan arvoja. Arkkitehti Khesira, joka on kuvattu nimensä haudasta peräisin olevan puulevyn kohokuviolle, pitää käsissään mittalaitteita, joihin kultaisen jaon mittasuhteet on kiinnitetty.

Kreikkalaiset olivat taitavia geometrioita. Jopa aritmetiikkaa opetettiin lapsilleen geometristen kuvioiden avulla. Pythagoraan neliö ja tämän neliön diagonaali olivat perustana dynaamisten suorakulmioiden rakentamiselle.

Riisi. 7. Dynaamiset suorakulmiot

Myös Platon (427...347 eKr.) tiesi kultaisesta jaosta. Hänen dialoginsa "Timaeus" on omistettu Pythagoraan koulukunnan matemaattisille ja esteettisille näkemyksille ja erityisesti kultaisen jaon kysymyksille.

Muinaisen kreikkalaisen Parthenon-temppelin julkisivussa on kultaiset mittasuhteet. Kaivausten aikana löydettiin kompasseja, joita käyttivät muinaisen maailman arkkitehdit ja kuvanveistäjät. Pompeian kompassi (Napolin museo) sisältää myös kultaisen jaon mittasuhteet.

Riisi. kahdeksan. Antiikkiset kultaisen leikkauksen kompassit

Muinaisessa kirjallisuudessa, joka on tullut meille, kultainen jako mainittiin ensimmäisen kerran Eukleideen elementeissä. "Alkujen" 2. kirjassa on esitetty kultaisen jaon geometrinen rakenne. Eukleideen jälkeen kultaista jakoa tutkivat Hypsicles (II vuosisata eKr.), Pappus (III vuosisata jKr.) ja muut. Keskiaikaisessa Euroopassa kultaisen jaon kanssa Tapasimme Eukleideen elementtien arabiankielisten käännösten kautta. Kääntäjä J. Campano Navarrasta (3. vuosisata) kommentoi käännöstä. Kultaisen divisioonan salaisuuksia vartioitiin mustasukkaisesti ja pidettiin tiukasti salassa. He olivat vain vihkivien tiedossa.

Renessanssin aikana kiinnostus kultaista jakoa kohtaan tiedemiesten ja taiteilijoiden keskuudessa lisääntyi sen käytön yhteydessä sekä geometriassa että taiteessa, erityisesti arkkitehtuurissa. Taiteilija ja tiedemies Leonardo da Vinci näki, että italialaisilla taiteilijoilla oli suuri empiirinen kokemus, mutta vähän tietoa. . Hän tuli raskaaksi ja alkoi kirjoittaa kirjaa geometriasta, mutta tuolloin ilmestyi munkki Luca Paciolin kirja, ja Leonardo hylkäsi ideansa. Aikalaisten ja tieteen historioitsijoiden mukaan Luca Pacioli oli todellinen valomies, Italian suurin matemaatikko Fibonaccin ja Galileon välillä. Luca Pacioli oli taiteilija Piero della Francescan oppilas, joka kirjoitti kaksi kirjaa, joista toinen oli nimeltään On Perspective in Painting. Häntä pidetään kuvailevan geometrian luojana.

Luca Pacioli tiesi hyvin tieteen merkityksen taiteelle. Vuonna 1496 hän saapui Moreaun herttuan kutsusta Milanoon, jossa hän luennoi matematiikasta. Leonardo da Vinci työskenteli myös Moron hovissa Milanossa tuolloin. Vuonna 1509 Venetsiassa julkaistiin Luca Paciolin jumalallinen osuus, jossa on nerokkaasti toteutettuja kuvituksia, minkä vuoksi niiden uskotaan olleen Leonardo da Vincin tekemä. Kirja oli innostunut hymni kultaiselle leikkaukselle. Kultaisen leikkauksen monien etujen joukossa munkki Luca Pacioli ei jättänyt nimeämättä sen "jumalallista olemusta" ilmaisuksi Jumala Pojan, Isän Jumalan ja Pyhän Hengen jumalallisesta kolminaisuudesta (ymmärrettiin, että pieni segmentti on Jumalan Pojan personifikaatio, suurempi segmentti on Isän Jumalan personifikaatio ja koko segmentti - pyhän hengen jumala).

Leonardo da Vinci kiinnitti myös paljon huomiota kultaisen divisioonan tutkimukseen. Hän teki osia stereometrisestä kappaleesta, joka muodostui säännöllisistä viisikulmioista, ja joka kerta hän sai suorakulmiot, joiden kuvasuhteet olivat kultaisessa jaossa. Joten hän antoi tälle divisioonalle nimen kultainen leikkaus. Se on siis edelleen suosituin.

Samaan aikaan Pohjois-Euroopassa, Saksassa, Albrecht Dürer työskenteli samojen ongelmien parissa. Hän luonnostelee johdannon mittasuhteita käsittelevän tutkielman ensimmäiseen luonnokseen. Durer kirjoittaa. ”On välttämätöntä, että se, joka tietää jotain, opettaa sitä muille, jotka sitä tarvitsevat. Tämä on se, mitä päätin tehdä."

Yhdestä Dürerin kirjeestä päätellen hän tapasi Luca Paciolin Italiassa oleskelunsa aikana. Albrecht Dürer kehittää yksityiskohtaisesti teoriaa ihmiskehon mittasuhteista. Dürer osoitti kultaiselle leikkaukselle tärkeän paikan suhdejärjestelmässään. Ihmisen korkeus jaetaan kultaisissa mittasuhteissa vyöviivalla sekä viivalla, joka on vedetty laskettujen käsien keskisormien kärkien läpi, kasvojen alaosa - suun kautta jne. Tunnettu suhteellinen kompassi Dürer.

1500-luvun suuri tähtitieteilijä Johannes Kepler kutsui kultaista leikkausta yhdeksi geometrian aarteista. Hän on ensimmäinen, joka kiinnittää huomion kultaisen leikkauksen merkitykseen kasvitieteen (kasvien kasvun ja rakenteen) kannalta.

Kepler kutsui kultaista leikkausta jatkuvaksi itsestään. "Se on järjestetty niin", hän kirjoitti, "että tämän äärettömän osuuden kaksi nuorempaa termiä laskevat yhteen kolmannen termin ja mitkä tahansa kaksi viimeistä termiä, jos ne lasketaan yhteen, antavat seuraavaksi lukukaudeksi, ja sama osuus säilyy äärettömään asti."

Kultaisen leikkauksen segmenttien sarjan rakentaminen voidaan tehdä sekä kasvun suuntaan (kasvava sarja) että laskusuunnassa (laskeva sarja).

Jos olet mielivaltaisen pituisella suoralla, lykkää segmenttiä m, laita sivuun segmentti M. Näiden kahden segmentin perusteella rakennamme nousevan ja laskevan sarjan kultaisen osuuden segmenttien asteikon

Riisi. yhdeksän. Kultaisen leikkauksen segmenttien asteikon rakentaminen

Seuraavina vuosisatoina kultaisen leikkauksen sääntö muuttui akateemiseksi kaanoniksi, ja kun ajan myötä taiteessa alkoi kamppailu akateemisen rutiinin kanssa, taistelun kuumuudessa "he heittivät lapsen veden mukana. ” Kultaleikkaus ”löydettiin” uudelleen 1800-luvun puolivälissä. Vuonna 1855 saksalainen kultaleikkauksen tutkija, professori Zeising, julkaisi teoksensa Esteettinen tutkimus. Zeisingin tapauksessa tapahtui väistämättä tutkijalle, joka pitää ilmiötä sellaisenaan, ilman yhteyttä muihin ilmiöihin. Hän ehdotti kultaisen leikkauksen osuutta ja julisti sen universaaliksi kaikille luonnonilmiöille ja taiteelle. Zeisingillä oli lukuisia seuraajia, mutta oli myös vastustajia, jotka julistivat hänen mittasuhteiden oppinsa "matemaattiseksi estetiikaksi".

Riisi. kymmenen. Kultaiset mittasuhteet ihmiskehon osissa

Zeising teki hienoa työtä. Hän mittasi noin kaksituhatta ihmisruumista ja tuli siihen tulokseen, että kultainen leikkaus kuvaa keskimääräistä tilastollista lakia. Vartalon jakautuminen napapisteen mukaan on kultaisen leikkauksen tärkein indikaattori. Miehen vartalon mittasuhteet vaihtelevat keskimääräisen suhteen 13:8 = 1,625 sisällä ja ovat jonkin verran lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen ruumiin mittasuhteet, joihin nähden osuuden keskiarvo ilmaistaan ​​suhteessa 8: 5 = 1,6. Vastasyntyneellä suhde on 1:1, 13-vuotiaana se on 1,6 ja 21-vuotiaana sama kuin miehellä. Kultaisen leikkauksen mittasuhteet ilmenevät myös suhteessa muihin kehon osiin - olkapään, kyynärvarren ja käden pituuteen, käsiin ja sormiin jne.

Riisi. yksitoista. Kultaiset mittasuhteet ihmishahmossa

Zeising testasi teoriansa pätevyyttä kreikkalaisilla patsailla. Hän kehitti Apollo Belvederen mittasuhteet yksityiskohtaisimmin. Kreikan maljakoita, eri aikakausien arkkitehtonisia rakenteita, kasveja, eläimiä, lintujen munia, musiikillisia sävyjä, runollisia mittareita tutkittiin. Zeising määritteli kultaisen leikkauksen, osoitti kuinka se ilmaistaan ​​viivanosina ja numeroina. Kun segmenttien pituuksia ilmaisevat luvut saatiin, Zeising näki niiden muodostavan Fibonacci-sarjan, jota voitiin jatkaa loputtomiin yhteen ja toiseen suuntaan. Hänen seuraava kirjansa oli nimeltään "Kultainen jako luonnon ja taiteen morfologisena peruslakina". Vuonna 1876 Venäjällä julkaistiin pieni kirja, melkein pamfletti, joka esitteli Zeisingin työtä. Kirjoittaja turvautui nimikirjaimiin Yu.F.V. Tässä painoksessa ei mainita yhtään maalausta.

XIX lopussa - XX vuosisadan alussa. kultaisen leikkauksen käytöstä taideteoksissa ja arkkitehtuurissa ilmestyi paljon puhtaasti formalistisia teorioita. Muotoilun ja teknisen estetiikan kehittyessä kultaisen leikkauksen laki ulottui autojen, huonekalujen jne. suunnitteluun.

Fibonacci sarja

Pisalaisen italialaisen matemaatikkomunkin Leonardon nimi, joka tunnetaan paremmin nimellä Fibonacci (Bonaccin poika), liittyy epäsuorasti kultaisen leikkauksen historiaan. Hän matkusti paljon idässä, esitteli Euroopassa intialaisia ​​(arabialaisia) numeroita. Vuonna 1202 julkaistiin hänen matemaattinen teoksensa The Book of the Abacus (Counting Board), johon koottiin kaikki tuolloin tunnetut ongelmat. Yksi tehtävistä kuului "Kuinka monta paria kania vuodessa yhdestä parista syntyy." Pohdittuaan tätä aihetta Fibonacci rakensi seuraavan numerosarjan:

Numerosarja 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tunnetaan Fibonacci-sarjana. Numerosarjan erikoisuus on, että jokainen sen jäsen kolmannesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden edellisen summa 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 jne., ja sarjan vierekkäisten lukujen suhde lähestyy kultaisen jaon suhdetta. Joten 21:34 = 0,617 ja 34:55 = 0,618. Tämä suhde on symboloitu F. Vain tämä suhde - 0,618: 0,382 - antaa jatkuvan suoran jaon jaon kultaisessa leikkauksessa, sen kasvun tai pienenemisen äärettömyyteen, kun pienempi segmentti liittyy suurempaan, kuten suurempi on kaikkeen.

Fibonacci käsitteli myös kaupan käytännön tarpeita: mikä on pienin painojen lukumäärä, jolla tavara voidaan punnita? Fibonacci todistaa, että seuraava painojärjestelmä on optimaalinen: 1, 2, 4, 8, 16...

Yleistetty kultainen suhde

Fibonacci-sarja olisi voinut jäädä vain matemaattiseksi tapaukseksi, ellei kaikki kasvi- ja eläinmaailman kultaisen jaon tutkijat, taiteesta puhumattakaan, olisivat poikkeuksetta tulleet tähän sarjaan kultaisen jaon lain aritmeettisena ilmaisuna. .

Tiedemiehet jatkoivat aktiivisesti Fibonacci-lukujen ja kultaisen leikkauksen teorian kehittämistä. Yu. Matiyasevitš ratkaisee Hilbertin 10. tehtävän käyttämällä Fibonacci-lukuja. On olemassa tyylikkäitä menetelmiä useiden kyberneettisten ongelmien ratkaisemiseen (hakuteoria, pelit, ohjelmointi) käyttämällä Fibonacci-lukuja ja kultaista leikkausta. Yhdysvaltoihin ollaan perustamassa jopa Mathematical Fibonacci Associationia, joka on julkaissut erikoislehteä vuodesta 1963 lähtien.

Yksi tämän alueen saavutuksista on yleistettyjen Fibonacci-lukujen ja yleistettyjen kultaisten suhteiden löytäminen.

Fibonacci-sarjat (1, 1, 2, 3, 5, 8) ja hänen löytämänsä "binaariset" painosarjat 1, 2, 4, 8, 16... ovat ensi silmäyksellä täysin erilaisia. Mutta niiden rakentamisen algoritmit ovat hyvin samankaltaisia ​​toistensa kanssa: ensimmäisessä tapauksessa jokainen luku on edellisen luvun summa itsensä kanssa 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., toisessa - tämä on kahden edellisen luvun summa 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Onko se mahdollista löytää yleinen matemaattinen kaava mistä " binäärisarjasta ja Fibonacci-sarjasta? Tai ehkä tämä kaava antaa meille uusia numeerisia joukkoja, joilla on uusia ainutlaatuisia ominaisuuksia?

Todellakin, asetetaan numeerinen parametri S, joka voi saada mitä tahansa arvoa: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Tarkastellaan lukusarjaa, S+ 1, jonka ensimmäiset termit ovat yksiköitä, ja jokainen myöhemmistä on yhtä suuri kuin edellisen kahden termin summa ja sen, jonka edellisestä erottaa S askeleet. Jos n merkitsemme tämän sarjan th termiä φ S ( n), niin saadaan yleinen kaava φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

On selvää, että klo S= 0 tästä kaavasta saamme "binaarisen" sarjan, jossa S= 1 - Fibonacci-sarja, jossa S\u003d 2, 3, 4. uusi numerosarja, jota kutsutaan S-Fibonaccin numerot.

Yleensä kultaa S-suhde on kultaisen yhtälön positiivinen juuri S-osuudet x S+1 - x S - 1 = 0.

Se on helppo näyttää milloin S= 0, saamme segmentin jaon puoliksi ja milloin S= 1 - tuttu klassinen kultainen suhde.

Naapurisuhteet S-Fibonacci-luvut absoluuttisella matemaattisella tarkkuudella osuvat rajaan kultaisen kanssa S-suhteet! Tällaisissa tapauksissa matemaatikot sanovat, että kulta S-osat ovat numeerisia invariantteja S-Fibonaccin numerot.

Faktat, jotka vahvistavat kullan olemassaolon S-osioita luonnossa, valkovenäläinen tiedemies E.M. Soroko kirjassa "Järjestelmien rakenteellinen harmonia" (Minsk, "Science and Technology", 1984). Osoittautuu esimerkiksi, että hyvin tutkituilla binääriseoksilla on erityisiä, korostuneita toiminnallisia ominaisuuksia (lämpöstabiileja, kovia, kulutusta kestäviä, hapettumisenkestäviä jne.) vain, jos alkukomponenttien ominaispainot ovat suhteessa toisiinsa. kultaisella S-suhteet. Tämä antoi kirjoittajalle mahdollisuuden esittää hypoteesin, että kulta S-osuudet ovat itseorganisoituvien järjestelmien numeerisia invariantteja. Kokeellisesti varmistettuna tämä hypoteesi voi olla perustavanlaatuinen synergian kehitykselle - uudelle tieteenalalle, joka tutkii itseorganisoituvien järjestelmien prosesseja.

Kultaisilla koodeilla S-suhteet voivat ilmaista minkä tahansa reaaliluvun kultaasteiden summana S-suhteet kokonaislukukertoimilla.

Perimmäinen ero tämän numerokoodausmenetelmän välillä on se, että uusien koodien perusteet, jotka ovat kultaisia S- mittasuhteet, S> 0 ovat irrationaalisia lukuja. Siten uudet lukujärjestelmät, joissa on irrationaalisia perusteita, ikään kuin panivat historiallisesti vakiintuneen rationaalisten ja irrationaalisten lukujen välisten suhteiden hierarkian ”ylösalaisin”. Tosiasia on, että aluksi luonnolliset luvut "löydettiin"; silloin niiden suhteet ovat rationaalilukuja. Ja vasta myöhemmin - sen jälkeen, kun pythagoralaiset löysivät suhteettomia segmenttejä - ilmestyi irrationaalisia lukuja. Esimerkiksi desimaali-, kvinaari-, binääri- ja muissa klassisissa paikkalukujärjestelmissä luonnolliset luvut - 10, 5, 2 - valittiin eräänlaiseksi perusperiaatteeksi, josta kaikki muut luonnolliset luvut sekä rationaaliset ja irrationaaliset luvut valittiin. rakennettu tiettyjen sääntöjen mukaan.

Eräänlainen vaihtoehto olemassa oleville numerointimenetelmille on perusperiaatteena uusi irrationaalinen järjestelmä, jonka alku on valittu irrationaaliluvuksi (joka muistaakseni on kultaisen leikkauksen yhtälön juuri); muut reaaliluvut ilmaistaan ​​jo sen kautta.

Tällaisessa lukujärjestelmässä mikä tahansa luonnollinen luku on aina esitettävissä äärellisenä lukuna - eikä äärettömänä, kuten aiemmin ajateltiin! - minkä tahansa kultaisen asteen summat S-suhteet. Tämä on yksi syy siihen, miksi "irrationaalinen" aritmetiikka, jolla on hämmästyttävä matemaattinen yksinkertaisuus ja tyylikkyys, näyttää imeneen klassisen binääri- ja "Fibonacci"-aritmetiikan parhaat ominaisuudet.

Muotoilun periaatteet luonnossa

Kaikki, mikä sai jonkin muodon, muodostui, kasvoi, pyrki ottamaan paikan avaruudessa ja säilyttämään itsensä. Tämä pyrkimys toteutuu pääasiassa kahdessa versiossa - ylöspäin kasvavana tai maan pinnalle leviämisenä ja kierteessä.

Kuori on kierretty spiraaliksi. Jos avaat sen, saat hieman käärmeen pituutta pienemmän pituuden. Pienessä kymmenen senttimetrin kuoressa on 35 cm pitkä spiraali, joka on luonnossa hyvin yleistä. Kultaisen leikkauksen käsite on epätäydellinen, ellei spiraalista puhuisi.

Riisi. 12. Archimedesin spiraali

Spiraalimaisesti kiertyneen kuoren muoto herätti Archimedesin huomion. Hän tutki sitä ja päätteli spiraalin yhtälön. Tämän yhtälön mukaan piirrettyä spiraalia kutsutaan hänen nimellä. Hänen askeleen nousu on aina tasaista. Tällä hetkellä Archimedes-spiraalia käytetään laajalti tekniikassa.

Jopa Goethe korosti luonnon taipumusta spiraalisuuteen. Lehtien kierre ja spiraaliasetelma puun oksilla huomattiin kauan sitten. Spiraali nähtiin auringonkukansiementen asettelussa, käpyissä, ananaksissa, kaktuksissa jne. Kasvitieteilijöiden ja matemaatikoiden yhteinen työ on tuonut valoa näihin hämmästyttäviin luonnonilmiöihin. Kävi ilmi, että lehtien sijoittelussa oksalle (phylotaxis), auringonkukansiemenissä, käpyissä ilmenee Fibonacci-sarja, ja siksi kultaisen leikkauksen laki ilmenee. Hämähäkki pyörittää verkkoaan spiraalimaisesti. Hurrikaani kiertelee. Pelästynyt porolauma hajoaa kierteessä. DNA-molekyyli on kierretty kaksoiskierteeksi. Goethe kutsui spiraalia "elämän käyräksi".

Tienvarsien yrttien joukossa kasvaa huomaamaton kasvi - sikuri. Katsotaanpa sitä tarkemmin. Päävarresta muodostui haara. Tässä on ensimmäinen lehti.

Riisi. kolmetoista. Sikuri

Prosessi tekee voimakkaan irtautumisen avaruuteen, pysähtyy, irrottaa lehden, mutta on lyhyempi kuin ensimmäinen, tekee jälleen heiton avaruuteen, mutta pienemmällä voimalla, vapauttaa vielä pienemmän lehden ja irtoaa jälleen. Jos ensimmäinen poikkeava arvo on 100 yksikköä, niin toinen on 62 yksikköä, kolmas on 38, neljäs on 24 ja niin edelleen. Terälehtien pituus on myös kultaisen leikkauksen alainen. Kasvussa, avaruuden valloittamisessa kasvi säilytti tietyt mittasuhteet. Sen kasvuimpulssit vähenivät vähitellen suhteessa kultaiseen leikkaukseen.

Riisi. neljätoista. elävä lisko

Liskossa vangitaan ensi silmäyksellä silmillemme miellyttävät mittasuhteet - sen hännän pituus on suhteessa muun kehon pituuteen 62-38.

Sekä kasvi- että eläinmaailmassa luonnon muotoa rakentava taipumus murtautuu jatkuvasti läpi - symmetria kasvu- ja liikesuunnan suhteen. Tässä kultainen suhde näkyy kasvusuuntaan nähden kohtisuorassa olevien osien suhteissa.

Luonto on toteuttanut jaon symmetrisiin osiin ja kultaisiin mittasuhteisiin. Osittain ilmenee kokonaisuuden rakenteen toistoa.

Riisi. viisitoista. linnun muna

Suuri Goethe, runoilija, luonnontieteilijä ja taiteilija (hän ​​piirsi ja maalasi akvarelleilla), haaveili yhtenäisen opin luomisesta orgaanisten ruumiiden muodosta, muodostumisesta ja muuttamisesta. Hän otti termin morfologia käyttöön tieteellisessä käytössä.

Pierre Curie muotoili vuosisadamme alussa joukon syvällisiä ajatuksia symmetriasta. Hän väitti, ettei minkään kappaleen symmetriaa voida tarkastella ottamatta huomioon ympäristön symmetriaa.

"Kultaisen" symmetrian mallit ilmenevät alkuainehiukkasten energiasiirtymissä, joidenkin kemiallisten yhdisteiden rakenteessa, planeetta- ja avaruusjärjestelmissä, elävien organismien geenirakenteissa. Nämä kuviot, kuten edellä mainittiin, ovat ihmisen yksittäisten elinten ja koko kehon rakenteessa, ja ne ilmenevät myös biorytmeissä ja aivojen toiminnassa ja visuaalisessa havainnoissa.

Kultainen suhde ja symmetria

Kultaista leikkausta ei voida tarkastella sellaisenaan, erikseen, ilman yhteyttä symmetriaan. Suuri venäläinen kristallografi G.V. Wulff (1863...1925) piti kultaista leikkausta yhtenä symmetrian ilmentymistä.

Kultainen jako ei ole epäsymmetrian ilmentymä, vaan jotain symmetrian vastakohtaa, vaan nykykäsityksen mukaan kultajako on epäsymmetrinen symmetria. Symmetriatiede sisältää sellaiset käsitteet kuin staattinen ja dynaaminen symmetria. Staattinen symmetria luonnehtii lepoa, tasapainoa ja dynaaminen symmetria liikettä, kasvua. Joten luonnossa staattista symmetriaa edustaa kiteiden rakenne, ja taiteessa se luonnehtii rauhaa, tasapainoa ja liikkumattomuutta. Dynaaminen symmetria ilmaisee aktiivisuutta, luonnehtii liikettä, kehitystä, rytmiä, se on todiste elämästä. Staattiselle symmetrialle on tunnusomaista yhtäläiset segmentit, samat suuruudet. Dynaamiselle symmetrialle on ominaista segmenttien lisääntyminen tai niiden väheneminen, ja se ilmaistaan ​​kasvavan tai laskevan sarjan kultaisen leikkauksen arvoina.

Kultaiset mittasuhteet kirjallisuudessa. Runous ja kultainen leikkaus

Runollisten teosten rakenteessa tämä taidemuoto liittyy paljon musiikkiin. Selkeä rytmi, painotettujen ja painottamattomien tavujen säännöllinen vuorottelu, runojen järjestetty ulottuvuus, tunnerikkaus tekevät runosta musiikkiteosten sisaruksen. Jokaisella säkeellä on oma musiikillinen muotonsa - oma rytminsä ja melodiansa. Voidaan odottaa, että runojen rakenteeseen tulee esiin joitain musiikkiteosten piirteitä, musiikillisen harmonian malleja ja siten kultaista leikkausta.

Aloitetaan runon koosta, eli siinä olevien rivien lukumäärästä. Näyttää siltä, ​​​​että tämä runon parametri voi muuttua mielivaltaisesti. Kävi kuitenkin ilmi, ettei näin ollut. Esimerkiksi A.S.:n runojen analyysi. Pushkin osoitti tästä näkökulmasta, että säkeet jakautuvat hyvin epätasaisesti; kävi ilmi, että Pushkin suosii selvästi 5, 8, 13, 21 ja 34 rivin kokoja (Fibonacci-luvut).

Monet tutkijat ovat huomanneet, että runot ovat kuin musiikkikappaleita; niillä on myös huippupisteitä, jotka jakavat runon suhteessa kultaiseen leikkaukseen. Ajatellaanpa esimerkiksi A.S.:n runoa. Pushkin "Suutari":

Eräs suutari etsi kerran kuvaa
Ja hän osoitti kenkien virheen;
Ottaen siveltimen heti taiteilija korjasi itseään,
Tässä, kekseliäs, suutari jatkoi:
"Mielestäni naama on hieman vinossa...
Eikö se rinta ole liian alasti?
Tässä Apelles keskeytti kärsimättömästi:
"Tuomari, ystäväni, ei saappaan yläpuolella!"

minulla on ystävä pitää silmällä:
En tiedä mikä aihe se on.
Hän oli tuntija, vaikka hän on sanoissaan tiukka,
Mutta paholainen kantaa hänet tuomitsemaan valon:
Kokeile sitä arvioidaksesi saappaat!

Analysoidaan tämä vertaus. Runo koostuu 13 rivistä. Se korostaa kahta semanttista osaa: ensimmäinen 8 rivillä ja toinen (vertauksen moraali) 5 rivillä (13, 8, 5 - Fibonaccin numerot).

Yksi Pushkinin viimeisistä runoista "En arvosta korkean profiilin oikeuksia ..." koostuu 21 rivistä ja siinä erotetaan kaksi semanttista osaa: 13 ja 8 rivillä.

En arvosta korkean profiilin oikeuksia,
Mistä kukaan ei huimaa.
En nurise siitä tosiasiasta, että jumalat kieltäytyivät
Olen haastavien verojen joukossa
Tai estää kuninkaita taistelemasta keskenään;
Ja vähän surua minulle, on lehdistö vapaa
Huijaaminen tai herkkä sensuuri
Lehden suunnitelmissa jokeri on kiusallinen.
Kaikki tämä, näet, sanoja, sanoja, sanoja.
Muut, paremmat, oikeudet ovat minulle tärkeitä:
Toinen, parempi, tarvitsen vapautta:
Luota kuninkaaseen, luota ihmisiin -
Emmekö me kaikki välitä? Jumala on heidän kanssaan.
Ei kukaan
Älä anna raporttia, vain itsellesi
Palvele ja ole hyvä; teholle, värille
Älä taivuta omaatuntoa, ajatuksia tai niskaa;
Sinun mielijohteessasi vaeltaa sinne tänne,
Ihmetellen luonnon jumalallista kauneutta,
Ja ennen taiteen ja inspiraation olentoja
Vapina iloisesti hellyyden iloissa,
Tässä on onnea! Oikein...

On ominaista, että tämän säkeen ensimmäinen osa (13 riviä) on jaettu semanttisen sisällön osalta 8 ja 5 riviin, eli koko runo on rakennettu kultaisen leikkauksen lakien mukaan.

Epäilemättä kiinnostava on N. Vasyutinskiyn tekemä romaanin "Jevgeni Onegin" analyysi. Tämä romaani koostuu 8 luvusta, joissa kussakin on keskimäärin noin 50 säettä. Täydellisin, hienostunein ja tunnerikkain on kahdeksas luku. Siinä on 51 säkettä. Yhdessä Jevgenin kirjeen Tatjanalle (60 riviä) kanssa tämä vastaa täsmälleen Fibonaccin numeroa 55!

N. Vasyutinskiy toteaa:

"Luvun huipentuma on Eugenen selitys rakkaudestaan ​​Tatjanaa kohtaan - rivi "Kale ja haalistu... se on autuus!" Tämä rivi jakaa koko kahdeksannen luvun kahteen osaan - ensimmäisellä 477 rivillä ja toisella - 295 riviä. Niiden suhde on 1,617 "Hienoin vastaavuus kultaisen leikkauksen arvoon! Tämä on suuri harmonian ihme, jonka on tehnyt Pushkinin nero!"

Lermontovin kuuluisa runo "Borodino" on jaettu kahteen osaan: kertojalle osoitettu johdanto, joka sisältää vain yhden säkeen ("Kerro minulle, setä, se ei ole turhaa ..."), ja pääosaan, joka edustaa itsenäistä kokonaisuutta, joka on jaettu kahteen vastaavaan osaan. Ensimmäisessä niistä taistelun odotusta kuvataan kasvavalla jännityksellä, toisessa - jännityksen asteittaisella laskulla runon loppua kohti. Näiden osien välinen raja on teoksen huipentuma ja osuu täsmälleen siihen kohtaan, jossa se jaetaan kultaleikkauksella.

Runon pääosa koostuu 13 seitsemästä rivistä eli 91 rivistä. Jakamalla sen kultaisella leikkauksella (91:1,618 = 56,238), varmistamme, että jakokohta on jakeen 57 alussa, jossa on lyhyt lause: "No, se oli päivä!". Juuri tämä lause edustaa "kiihtyneen odotuksen huipentumakohtaa", joka täydentää runon ensimmäisen osan (taistelun odotus) ja avaa sen toisen osan (taistelun kuvaus).

Siten kultaisella leikkauksella on erittäin merkityksellinen rooli runoudessa, mikä korostaa runon huippukohtaa.

Kultainen leikkaus arkkitehtuurissa, kuvanveistossa, maalauksessa ja valokuvauksessa

Yksi antiikin kreikkalaisen arkkitehtuurin kauneimmista teoksista on Parthenon (V vuosisata eKr.).

Kuvissa näkyy useita kultaiseen leikkaukseen liittyviä kuvioita. Rakennuksen mittasuhteet voidaan ilmaista luvun Ф = 0,618 eri asteiden avulla ...

Parthenonin pohjapiirroksesta näet myös "kultaiset suorakulmiot":

Voimme nähdä kultaisen leikkauksen Notre Damen katedraalin (Notre Dame de Paris) rakennuksessa ja Cheopsin pyramidissa:

Kheopsin pyramidin mittasuhteet, temppelit, bareljeefit, taloustavarat ja koristeet Tutankhamonin haudasta osoittavat, että egyptiläiset käsityöläiset käyttivät kultaisen jaon suhteita luodessaan niitä. Ranskalainen arkkitehti Le Corbusier havaitsi, että Abydoksen farao Seti I:n temppelin kohokuviossa ja farao Ramsesta kuvaavassa reliefissä kuvioiden mittasuhteet vastaavat kultaisen divisioonan arvoja. Arkkitehti Khesira, joka on kuvattu nimensä haudasta peräisin olevan puulevyn kohokuviolle, pitää käsissään mittalaitteita, joihin kultaisen jaon mittasuhteet on kiinnitetty.

Mitä tulee pyramideihin, ei vain egyptiläisiä pyramideja ole rakennettu kultaisen leikkauksen täydellisten mittasuhteiden mukaisesti; Sama ilmiö löytyy Meksikon pyramideista. Pyramidin poikkileikkauksessa näkyy portaikkoa muistuttava muoto, jossa ensimmäisessä kerroksessa on 16, toisessa 42 ja kolmannessa 68 askelmaa.
Nämä luvut perustuvat Fibonacci-suhteeseen seuraavasti:

16 x 1,618 = 26

26 x 1,618 = 42

Pyhän Vasilin katedraalin arkkitehtuurissa on monia kultaisia ​​mittasuhteita:

Monet muinaiset kuvanveistäjät käyttivät kultaista leikkausta. Apollo Belvederen patsaan kultainen osuus tunnetaan: kuvatun henkilön korkeus on jaettu kultaleikkauksen napaviivalla.

Renessanssin aikana taiteilijat huomasivat, että jokaisessa kuvassa on tiettyjä kohtia, jotka tahattomasti kiinnittävät huomiomme, niin sanotut visuaaliset keskukset. Tässä tapauksessa ei ole väliä, missä muodossa kuva on - vaaka- tai pystysuora. Tällaisia ​​pisteitä on vain neljä, ne jakavat kuvan koon vaaka- ja pystysuunnassa kultaisessa leikkauksessa, ts. ne sijaitsevat noin 3/8 ja 5/8 etäisyydellä tason vastaavista reunoista.

Tätä löytöä tuon ajan taiteilijoiden keskuudessa kutsuttiin kuvan "kultaiseksi osaksi". Siksi huomion kiinnittämiseksi valokuvan pääelementtiin on tarpeen yhdistää tämä elementti johonkin visuaalisista keskuksista.

Kuvassa I.I. Shishkin "Ship Grove" -aiheet kultaisesta osasta ovat näkyvissä. Auringon kirkkaasti valaiseva mänty (etualalla) jakaa kuvan pituuden suunnilleen kultaisessa suhteessa. Männyn oikealla puolella on auringon valaisema kukkula. Se jakaa kultaisessa osassa kuvan oikean puolen vaakasuunnassa. Päämännystä vasemmalla on monia mäntyjä - voit halutessasi jatkaa kuvan jakamista kultaisen leikkauksen suhteissa.

Kirkkaiden vertikaalien ja vaakasuuntausten läsnäolo kuvassa, jakaen sen suhteessa kultaiseen leikkuun, antaa sille tasapainon ja rauhallisuuden luonteen taiteilijan tarkoituksen mukaisesti. Kun taiteilija luo kuvan nopeasti kehittyvällä toiminnalla, tällainen geometrinen sommittelukaavio (jossa pääosin pysty- ja horisontaalisuus) tulee mahdottomaksi.

Dynaamisuuden tunne, jännitys ilmenee ehkä vahvimmin toisessa yksinkertaisessa geometrisessa hahmossa - spiraalissa. Rafaelin vuosina 1509 - 1510 tekemä monihahmoinen sävellys, jolloin kuuluisa taidemaalari loi freskojaan Vatikaanissa, erottuu juonen dynaamisuudesta ja dramaattisuudesta. Rafael ei koskaan saanut ideaansa valmiiksi, mutta hänen luonnoksensa kaiversi tuntematon italialainen graafikko Marcantinio Raimondi, joka tämän luonnoksen perusteella loi Viattisten verilöyly -kaiverruksen.

Jos Rafaelin valmistelevassa luonnoksessa piirretään mielessään viivoja, jotka kulkevat sävellyksen semanttisesta keskustasta - kohdasta, jossa soturin sormet sulkivat lapsen nilkan ympärille - pitkin lapsen hahmoja, naista, joka puristaa häntä itseensä, soturia kohotettu miekka ja sitten saman ryhmän hahmoja pitkin luonnoksen oikeilla osilla (kuvassa nämä viivat on piirretty punaisella) ja yhdistä sitten nämä käyrän osat katkoviivalla, sitten kultainen kierre on saatu erittäin suurella tarkkuudella. Tämä voidaan tarkistaa mittaamalla spiraalin leikkaamien segmenttien pituuksien suhde käyrän alun läpi kulkevilla suorilla viivoilla.

Ei tiedetä, maalasiko Rafael kultaisen spiraalin luodessaan sävellyksen "Massacre of the Innocents" vai vain "tuntoiko" sen. Voimme kuitenkin vakuuttavasti sanoa, että kaivertaja Raimondi näki tämän kierteen. Tästä todistavat hänen lisämänsä koostumuksen uudet elementit, jotka korostavat spiraalin kääntymistä niissä paikoissa, joissa se on merkitty vain katkoviivalla. Nämä elementit näkyvät Raimondin lopullisessa kaiverruksessa: naisen päästä ulottuva sillan kaari on teoksen vasemmalla puolella ja sen keskellä on lapsen makaava ruumis.

Kääntyen esimerkkeihin maalauksen "kultaisesta leikkauksesta", ei voi muuta kuin pysäyttää huomionsa Leonardo da Vincin työhön. Katsotaanpa tarkasti maalausta "La Gioconda". Muotokuvan sommittelu perustuu "kultaisiin kolmioihin".

Nykyaikainen mallinnusliiketoiminta käyttää myös ihanteellisia mittasuhteita, koska "kaikki uusi on unohdettua vanhaa":

Tietolähteet:

Kovalev F.V. Kultainen leikkaus maalauksessa. K .: Vyscha-koulu, 1989.

Kepler I. Kuusikulmaisista lumihiutaleista. - M., 1982.

Durer A. Päiväkirjat, kirjeet, tutkielmat - L., M., 1957.

Tsekov-Karandash Ts. Tietoja toisesta kultaleikkauksesta. - Sofia, 1983.

Stakhov A. Kultaisen leikkauksen koodit.

Geometria on tarkka ja melko monimutkainen tiede, joka kaiken tämän kanssa on eräänlaista taidetta. Viivat, tasot, mittasuhteet - kaikki tämä auttaa luomaan paljon todella kauniita asioita. Ja kummallista kyllä, tämä perustuu geometriaan sen mitä erilaisimmissa muodoissaan. Tässä artikkelissa tarkastelemme yhtä hyvin epätavallista asiaa, joka liittyy suoraan tähän. Kultainen leikkaus on juuri se geometrinen lähestymistapa, josta keskustellaan.

Esineen muoto ja sen havainto

Ihmiset keskittyvät useimmiten esineen muotoon tunnistaakseen sen miljoonien muiden joukosta. Se on muodon perusteella, minkälainen asia on edessämme tai kaukana. Tunnistamme ihmiset ennen kaikkea vartalon ja kasvojen muodosta. Siksi voimme varmuudella sanoa, että itse muoto, sen koko ja ulkonäkö ovat yksi tärkeimmistä asioista ihmisen havainnoissa.

Ihmisille minkä tahansa muoto kiinnostaa kahdesta syystä: joko sen sanelee elintärkeä välttämättömyys tai se johtuu kauneuden esteettisestä nautinnosta. Paras visuaalinen havainto sekä harmonian ja kauneuden tunne syntyy useimmiten, kun ihminen tarkkailee muotoa, jonka rakentamisessa käytettiin symmetriaa ja erityistä suhdetta, jota kutsutaan kultaiseksi leikkaukseksi.

Kultaisen leikkauksen käsite

Joten kultainen suhde on kultainen suhde, joka on myös harmoninen jako. Selvittääksesi tämän selkeämmin, harkitse joitain lomakkeen ominaisuuksia. Nimittäin: muoto on jotain kokonaista, mutta kokonaisuus puolestaan ​​koostuu aina joistakin osista. Näillä osilla on todennäköisesti erilaisia ​​ominaisuuksia, ainakin eri kokoisia. No, sellaiset mitat ovat aina tietyssä suhteessa sekä keskenään että suhteessa kokonaisuuteen.

Toisin sanoen voimme sanoa, että kultainen suhde on kahden suuren suhde, jolla on oma kaavansa. Tämän suhteen käyttäminen muodon luomisessa auttaa tekemään siitä mahdollisimman kauniin ja harmonisen ihmissilmälle.

Kultaleikkauksen muinaisesta historiasta

Kultaista leikkausta käytetään usein elämän eri aloilla juuri nyt. Mutta tämän käsitteen historia juontaa juurensa muinaisiin aikoihin, jolloin sellaiset tieteet kuin matematiikka ja filosofia olivat juuri syntymässä. Tieteellisenä käsitteenä kultainen leikkaus otettiin käyttöön Pythagoraan aikana, nimittäin 6. vuosisadalla eKr. Mutta jo ennen sitä tietoa tällaisesta suhteesta käytettiin käytännössä muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa. Hämmästyttävä todiste tästä ovat pyramidit, joiden rakentamiseen he käyttivät juuri tällaista kultaista leikkausta.

uusi aikakausi

Renessanssi oli uusi hengitys harmoniselle jakautumiselle, erityisesti Leonardo da Vincin ansiosta. Tätä suhdetta on käytetty yhä enemmän sekä geometriassa että taiteessa. Tiedemiehet ja taiteilijat alkoivat tutkia kultaista leikkausta syvemmin ja luoda kirjoja, jotka käsittelevät tätä asiaa.

Yksi tärkeimmistä kultaiseen leikkaukseen liittyvistä historiallisista teoksista on Luca Panciolin kirja The Divine Proportion. Historioitsijat epäilevät, että tämän kirjan kuvitukset on tehnyt Leonardo pre-Vinci itse.

kultainen leikkaus

Matematiikka antaa suhteelle erittäin selkeän määritelmän, jonka mukaan se on kahden suhteen yhtäläisyys. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavalla yhtälöllä: a: b \u003d c: d, missä a, b, c, d ovat joitain tiettyjä arvoja.

Jos tarkastellaan kahteen osaan jaetun segmentin osuutta, voimme kohdata vain muutamia tilanteita:

• Jana on jaettu kahteen täysin tasaiseen osaan, mikä tarkoittaa, että AB: AC \u003d AB: BC, jos AB on segmentin tarkka alku ja loppu, ja C on piste, joka jakaa janan kahteen yhtä suureen osaan.
• Segmentti on jaettu kahteen epätasa-arvoiseen osaan, jotka voivat olla hyvinkin eri suhteessa toisiinsa, mikä tarkoittaa, että ne ovat tässä täysin suhteettomia.
• Segmentti jaetaan siten, että AB:AC = AC:BC.

Mitä tulee kultaleikkaukseen, tämä on sellainen segmentin suhteellinen jako epätasaisiin osiin, kun koko segmentti viittaa suurempaan osaan, kuten isompi osa viittaa pienempään. On olemassa toinen muotoilu: pienempi segmentti liittyy suurempaan, samoin kuin suurempi koko segmenttiin. Matemaattisesti se näyttää tältä: a:b = b:c tai c:b = b:a. Tämä on kultaisen leikkauksen kaavan muoto.

Kultainen suhde luonnossa

Kultainen leikkaus, josta nyt tarkastelemme esimerkkejä, viittaa luonnon uskomattomiin ilmiöihin. Nämä ovat erittäin kauniita esimerkkejä siitä, että matematiikka ei ole vain numeroita ja kaavoja, vaan tiedettä, jolla on enemmän kuin todellinen heijastus luonnossa ja elämässämme yleensä.

Eläville organismeille yksi tärkeimmistä elämäntehtävistä on kasvu. Tällainen halu ottaa paikkansa avaruudessa tapahtuu itse asiassa useissa muodoissa - ylöspäin kasvavana, melkein vaakasuorassa leviämisessä maata pitkin tai kierteessä tietyllä tuella. Ja niin uskomatonta kuin se onkin, monet kasvit kasvavat kultaisen leikkauksen mukaan.

Toinen melkein uskomaton tosiasia on liskojen kehon suhteet. Heidän vartalonsa näyttää ihmissilmälle tarpeeksi miellyttävältä, ja tämä on mahdollista saman kultaisen leikkauksen ansiosta. Tarkemmin sanottuna heidän hännän pituus on suhteessa koko kehon pituuteen 62:38.

Mielenkiintoisia faktoja kultaisen leikkauksen säännöistä

Kultainen leikkaus on todella uskomaton käsite, mikä tarkoittaa, että historian aikana voimme löytää paljon todella mielenkiintoisia faktoja tästä suhteesta. Esittelemme sinulle joitain niistä:

Kultainen suhde ihmiskehossa

Tässä osiossa on mainittava erittäin merkittävä henkilö, nimittäin S. Zeising. Tämä on saksalainen tutkija, joka on tehnyt hienoa työtä kultaisen leikkauksen tutkimisen alalla. Hän julkaisi teoksen Esteettinen tutkimus. Hän esitti teoksessaan kultaisen leikkauksen absoluuttisena käsitteenä, joka on universaali kaikille ilmiöille, niin luonnossa kuin taiteessakin. Tässä voimme muistaa pyramidin kultaisen leikkauksen sekä ihmiskehon harmonisen osuuden ja niin edelleen.

Zeising pystyi todistamaan, että kultainen leikkaus on itse asiassa ihmiskehon keskimääräinen tilastollinen laki. Tämä näkyi käytännössä, sillä työnsä aikana hänen piti mitata paljon ihmisruumiita. Historioitsijat uskovat, että tähän kokemukseen osallistui yli kaksi tuhatta ihmistä. Zeisingin tutkimuksen mukaan kultaisen leikkauksen pääindikaattori on kehon jakautuminen navan pisteen mukaan. Siten miehen vartalo, jonka keskimääräinen suhde on 13:8, on hieman lähempänä kultaista leikkausta kuin naisen vartalo, jossa kultasuhde on 8:5. Kultainen leikkaus voidaan havaita myös muissa kehon osissa, kuten esimerkiksi kädessä.

Kultaisen leikkauksen rakentamisesta

Itse asiassa kultaisen leikkauksen rakentaminen on yksinkertainen asia. Kuten näemme, jopa muinaiset ihmiset selviytyivät tästä melko helposti. Mitä voimme sanoa ihmiskunnan nykyaikaisesta tiedosta ja tekniikoista. Tässä artikkelissa emme osoita, kuinka tämä voidaan tehdä yksinkertaisesti paperilla ja kynä kädessä, mutta toteamme luottavaisin mielin, että tämä on itse asiassa mahdollista. Lisäksi tämä voidaan tehdä useammalla kuin yhdellä tavalla.

Koska tämä on melko yksinkertainen geometria, kultainen leikkaus on melko yksinkertainen rakentaa jopa koulussa. Siksi tietoa tästä löytyy helposti erikoiskirjoista. Kultaista leikkausta tutkimalla luokka 6 ymmärtää täysin sen rakentamisen periaatteet, mikä tarkoittaa, että jopa lapset ovat tarpeeksi älykkäitä hallitakseen tällaisen tehtävän.

Kultainen suhde matematiikassa

Ensimmäinen tutustuminen kultaleikkaukseen käytännössä alkaa yksinkertaisella suoran segmentin jakamisella, kaikki samoissa mittasuhteissa. Useimmiten tämä tehdään viivaimella, kompassilla ja tietysti kynällä.

Kultaisen leikkauksen segmentit ilmaistaan ​​äärettömänä irrationaalisena murtolukuna AE \u003d 0,618 ..., jos AB otetaan yksikkönä, BE \u003d 0,382 ... Näiden laskelmien käytännöllisyyden vuoksi käytetään usein epätarkkoja , mutta likimääräiset arvot, nimittäin - 0 ,62 ja 0,38. Jos segmentti AB otetaan 100 osaksi, sen suurempi osa on 62 ja pienempi - 38 osaa.

Kultaisen leikkauksen pääominaisuus voidaan ilmaista yhtälöllä: x 2 -x-1=0. Ratkaisemalla saamme seuraavat juuret: x 1.2 =. Vaikka matematiikka on tarkka ja tiukka tiede, samoin kuin sen osa - geometria, juuri sellaiset ominaisuudet kuin kultaisen leikkauksen kuviot tuovat mysteerin tähän aiheeseen.

Harmoniaa taiteessa kultaisen leikkauksen kautta

Yhteenvetona tarkastelkaamme lyhyesti sitä, mitä on jo sanottu.

Pohjimmiltaan monet taideteokset kuuluvat kultaisen leikkauksen sääntöön, jossa suhde on lähellä 3/8 ja 5/8. Tämä on kultaisen leikkauksen karkea kaava. Artikkelissa on jo mainittu paljon esimerkkejä osion käytöstä, mutta tarkastelemme sitä uudelleen muinaisen ja modernin taiteen prisman kautta. Joten silmiinpistävimmät esimerkit muinaisista ajoista:

Mitä tulee jo tietoiseen suhteellisuuden käyttöön, Leonardo da Vincin ajoista lähtien se on tullut käyttöön lähes kaikilla elämänalueilla - tieteestä taiteeseen. Jopa biologia ja lääketiede ovat osoittaneet, että kultainen leikkaus toimii jopa elävissä järjestelmissä ja organismeissa.

Teknisten tieteiden kandidaatti V. BELYANIN, Venäjän Kurchatov-instituutin tutkimuskeskuksen johtava tutkija, E. ROMANOVA, MADI:n opiskelija

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Tiede ja elämä // Kuvituksia

Kultaista leikkausta ei "läpi" koulussa. Ja kun yksi alla olevan artikkelin kirjoittajista (teknisten tieteiden kandidaatti V. Belyanin) puhui kultaisesta leikkauksesta MADI:hun menevälle hakijalle valmistautuessaan kokeisiin instituutissa, tehtävä heräsi odottamatta. suurta kiinnostusta ja paljon kysymyksiä, joihin "liikkeellä" ei löytynyt vastauksia. Päätimme etsiä niitä yhdessä, ja sitten löydettiin kultaisen leikkauksen hienovaraisuudet, jotka olivat aiemmin jääneet tutkijoiden ulkopuolelle. Yhteinen luovuus on johtanut työhön, joka vahvistaa jälleen kerran nuorten luovia mahdollisuuksia ja herättää toivoa, ettei tieteen kieli katoa.

Matematiikan kuvioiden, kuten taiteilijan tai runoilijan kuvioiden, on oltava kauniita; ideoita, kuten värejä tai sanoja, on yhdistettävä harmonisesti. Kauneus on ensimmäinen kriteeri: rumalle matematiikalle ei ole paikkaa maailmassa.
J. H. Hardy

Matemaattisen ongelman kauneus on yksi tärkeimmistä ärsykkeistä sen loputtomalle kehitykselle ja syy lukuisten sovellusten syntymiselle. Joskus kuluu kymmeniä, satoja ja joskus tuhansia vuosia, mutta ihmiset löytävät yhä uudestaan ​​odottamattomia käänteitä tutusta ratkaisusta ja sen tulkinnasta. Yksi näistä pitkäikäisistä ja kiehtovista ongelmista osoittautui kultaisen leikkauksen (GS) ongelmaksi, joka heijastaa ympärillämme olevan maailman armon ja harmonian elementtejä. On muuten syytä muistaa, että vaikka itse osuus oli tiedossa jopa Euklidille, termin "kultaleikkaus" otti käyttöön Leonardo da Vinci (katso "Tiede ja elämä").

Geometrisesti kultainen leikkaus tarkoittaa segmentin jakamista kahteen epätasaiseen osaan siten, että suurempi osa on keskiarvo verrannollinen koko segmentin ja pienemmän osan välillä (kuva 1).

Algebrallisesti tämä ilmaistaan ​​seuraavasti:

Tämän osuuden tutkiminen jo ennen sen ratkaisua osoittaa, että segmenttien välillä a ja b on ainakin kaksi yllättävää korrelaatiota. Esimerkiksi suhteesta (1) on helppo saada lauseke,

joka määrittää segmenttien välisen suhteen a, b, niiden ero ja summa. Kultaleikkauksesta voidaan siis sanoa toisin: kaksi segmenttiä ovat harmonisessa suhteessa, jos niiden ero liittyy pienempään segmenttiin samalla tavalla kuin suurempi segmentti suhteessa niiden summaan.

Toinen relaatio saadaan, jos aloitussegmentiksi otetaan yksi: a + b= 1, jota käytetään hyvin usein matematiikassa. Tässä tapauksessa

a 2 - b 2 = a - b = ab.

Nämä tulokset viittaavat kahteen yllättävään suhteeseen segmenttien välillä a ja b:

a 2 - b 2 = a - b = ab,(2)

joita tullaan käyttämään jatkossa.

Siirrytään nyt suhteiden (1) ratkaisuun. Käytännössä käytetään kahta vaihtoehtoa.

1. Merkitse suhdetta a/b kautta. Sitten saamme yhtälön

x 2 - x - 1 = 0, (3)

Yleensä vain positiivinen juuri huomioidaan. x 1, joka antaa yksinkertaisen ja visuaalisen segmentin jaon tietyssä suhteessa. Todellakin, jos otamme koko segmentin yhdeksi, niin käyttämällä tämän juuren arvoa x 1, saamme a ≈ 0,618,b≈ 0,382.

Se on positiivinen juuri x 1 yhtälöä (3) kutsutaan useimmiten kultainen leikkaus tai kultaisen leikkauksen osuutta. Vastaavaa segmentin geometrista jakoa kutsutaan kultainen leikkaus(piste Kanssa kuvassa yksi).

Seuraavan selkeyden vuoksi merkitsemme x 1 = D. Kultaleikkaukselle ei edelleenkään ole yleisesti hyväksyttyä nimitystä. Tämä johtuu ilmeisesti siitä, että se joskus ymmärretään toiseksi numeroksi, jota käsitellään jäljempänä.

Yleensä jätetään syrjään negatiivinen juuri x 2 johtaa segmentin vähemmän visuaaliseen jakautumiseen kahteen epätasaiseen osaan. Pointti on, että se antaa jakokohdan Kanssa, joka sijaitsee segmentin ulkopuolella (ns. ulkoinen jako). Todellakin, jos a + b= 1, sitten käyttämällä juuria x 2, saamme a ≈ -1,618, b≈ 2,618. Siksi segmentti a tulee asettaa sivuun negatiiviseen suuntaan (kuva 2).

2. Toinen vaihtoehto osuuden (1) ratkaisemiseksi ei pohjimmiltaan eroa ensimmäisestä. Oletetaan tuntematon suhde b/a ja merkitse sitä y. Sitten saamme yhtälön

y 2 + y -1 = 0 , (4)

jolla on irrationaaliset juuret

Jos a + b= 1, sitten käyttämällä juuria y 1, saamme a = y 1 ≈ 0,618, b≈ 0,382. Juurelle y 2 saa a ≈ -1,618, b≈ 2,618. Janan geometrinen jako suhteessa kultaiseen leikkuun juuria käyttäen y 1 ja y 2 on täysin identtinen edellisen version kanssa ja vastaa kuvaa 2. 1 ja 2.

positiivinen juuri y 1 antaa suoraan halutun ratkaisun ongelmaan, ja sitä kutsutaan myös kultainen leikkaus .

Mukavuuden vuoksi merkitsemme juuren arvoa y 1 = d.

Siten kirjallisuudessa kultainen suhde ilmaistaan ​​matemaattisesti numerolla D 1,618 tai numero d 0,618, joiden välillä on kaksi hämmästyttävää suhdetta:

Dd= 1 ja D - d = 1. (5)

On todistettu, ettei ole olemassa toista samanlaista lukuparia, jolla olisi nämä ominaisuudet.

Käyttämällä molempia kultaisen leikkauksen merkintöjä kirjoitamme yhtälöiden (3) ja (4) ratkaisut symmetriseen muotoon: = D, = -d, = d, = -D.

Kultaleikkauksen epätavallisia ominaisuuksia kuvataan yksityiskohtaisesti kirjallisuudessa. Ne ovat niin uskomattomia, että ne valloittivat monien erinomaisten ajattelijoiden mielet ja loivat heidän ympärilleen mysteerin auran.

Kultainen leikkaus löytyy kasvien ja mineraalien kokoonpanosta, maailmankaikkeuden osien rakenteesta ja musiikillisesta mittakaavasta. Se heijastaa luonnon globaaleja periaatteita ja tunkeutuu kaikkiin elävien ja elottomien esineiden organisaatiotasoihin. Sitä käytetään arkkitehtuurissa, kuvanveistossa, maalauksessa, tieteessä, tietojenkäsittelyssä, taloustavaroiden suunnittelussa. Kultaleikkeen konfiguraatiota kantavat luomukset näyttävät oikeasuhteisilta ja johdonmukaisilta, aina silmää miellyttäviltä, ​​ja itse kultaisen leikkauksen matemaattinen kieli ei ole yhtä tyylikäs ja elegantti.

Tasa-arvojen (5) lisäksi suhteesta (2) voidaan erottaa kolme mielenkiintoista suhdetta, joilla on tietty täydellisyys ja jotka näyttävät melko houkuttelevilta ja esteettisesti miellyttäviltä:

(6)

Luonnon suuruuden ja syvyyden voi tuntea paitsi esimerkiksi tähtiä tai vuorenhuippuja pohdittaessa, myös katsellessa hämmästyttäviä kaavoja, joita matemaatikot arvostavat kauneutensa vuoksi. Näihin kuuluvat elegantit kultasuhteet, Eulerin upea kaava e iπ = -1 (missä i= √-1), kaava, joka määrittää kuuluisan Napier-luvun (luonnollisten logaritmien kanta): e = lim(1 + 1/ n) n = 2,718 at n→ ∞ ja monet muut.

Suhteen (1) ratkaisemisen jälkeen sen idea näyttää varsin yksinkertaiselta, mutta kuten usein monien yksinkertaiselta näyttävien ongelmien kohdalla, siihen on piilotettu monia hienouksia. Yksi näistä upeista hienouksista, jotka tutkijat ovat toistaiseksi ohittaneet, on yhtälöiden (3) ja (4) juurien yhdistäminen kolmen upean kolmion kulmiin.

Tämän näkemiseksi pohditaan, kuinka yksiulotteinen segmentti, joka on jaettu suhteessa kultaiseen leikkaukseen, voidaan helposti muuntaa kaksiulotteiseksi kolmion muotoiseksi kuvaksi. Voit tehdä tämän käyttämällä ensin kuvaa. 1, aseta sivuun segmenttiin AB segmentin pituus a kahdesti - pisteestä MUTTA kohti kohtaa AT ja päinvastoin AT sivulle MUTTA. Saamme kaksi pistettä Kanssa 1 ja Kanssa 2 jakaa segmentin AB eri päistä kultaisen leikkauksen suhteessa (kuva 3). Lasketaan yhtäläiset segmentit AC 1 ja aurinko 2 sädettä ja pistettä MUTTA ja AT ympyröiden keskipisteisiin, piirrä kaksi kaarta, kunnes ne leikkaavat yläpisteessä Kanssa. Yhdistämällä pisteitä MUTTA ja Kanssa, yhtä hyvin kuin AT ja KANSSA, saada tasakylkinen kolmio ABC puolueiden kanssa AB = a + b = 1, AC = = aurinko = a = d≈ 0,618. Huippupisteiden kulmien arvo MUTTA ja AT merkitse α, kärjessä Kanssa- β. Lasketaan nämä kulmat.

Kosinusten lain mukaan

(AB) 2 = 2(AC) 2 (1 - cos β).

Segmenttien numeeristen arvojen korvaaminen AB ja AC tähän kaavaan saamme

Samoin saamme

(8)

Kultaisen leikkauksen tulos kaksiulotteisessa kuvassa mahdollisti yhtälöiden (3) ja (4) juurten yhdistämisen kolmion kulmiin ABC, jota voidaan kutsua kultaisen leikkauksen ensimmäinen kolmio.

Suoritetaan samanlainen rakentaminen käyttämällä kuvaa. 2. Jos segmentin jatkossa AB lykätä pisteestä AT oikealla segmentin kokoinen segmentti a, ja pyöritä keskusten ympäri MUTTA ja AT ylös molemmat segmentit säteinä ennen kuin ne koskettavat, saamme toinen kolmio kultainen leikkaus(Kuva 4) . Tässä tasakylkisessä kolmiossa sivu AB = a + b= 1, sivu AC = aurinko = D≈1,618, ja siksi kosinilauseen kaavalla saadaan

(9)

Huippukulma a Kanssa on yhtä suuri kuin 36 o ja on suhteessa kultaiseen leikkaukseen suhteella (8). Kuten edellisessä tapauksessa, tämän kolmion kulmat liittyvät yhtälöiden (3) ja (4) juuriin.

Kultaisen leikkauksen toinen kolmio toimii säännöllisen kuperan viisikulmion pääelementtinä ja asettaa säännöllisen tähtipentagonin (pentagrammin) mittasuhteet, jonka ominaisuuksia käsitellään yksityiskohtaisesti kirjassa.

Tähti viisikulmio on symmetrinen hahmo, ja samalla sen segmenttien suhteissa ilmenee epäsymmetrinen kultainen suhde. Tällainen vastakohtien yhdistelmä houkuttelee aina syvällä yhtenäisyydellä, jonka tunteminen mahdollistaa tunkeutumisen luonnon piilolakeihin ja ymmärtää niiden poikkeuksellisen syvyyden ja harmonian. Pythagoralaiset, jotka valloittivat tähtiviisikulmion segmenttien yhteensopivuuden, valitsivat sen tiedeyhteisönsä symboliksi.

Tähtitieteilijä I. Keplerin ajoista (XVII vuosisata) lähtien on toisinaan esitetty erilaisia ​​näkemyksiä siitä, mikä on perustavanlaatuisempaa - Pythagoraan lausetta vai kultaista leikkausta. Pythagoraan lause on matematiikan perusta, se on yksi sen kulmakivistä. Kultainen leikkaus on maailmankaikkeuden harmonian ja kauneuden taustalla. Ensi silmäyksellä se on helppo ymmärtää, eikä siinä ole paljon perusteellisuutta. Jotkut sen odottamattomista ja syvällisistä ominaisuuksista on kuitenkin ymmärretty vasta viime aikoina, mikä osoittaa, että sen piilotettua hienovaraisuutta ja mahdollista universaalisuutta on kunnioitettava. Pythagoraan lause ja kultainen leikkaus kietoutuvat tiiviisti toisiinsa sekä geometrisiin ja algebrallisiin ominaisuuksiin. Niiden välillä ei ole kuilua, ei perustavanlaatuisia eroja. He eivät kilpaile, heillä on eri tarkoitukset.

On täysin mahdollista, että molemmat näkökulmat ovat samat, koska on olemassa suorakulmainen kolmio, joka sisältää useita kultaisen leikkauksen piirteitä. Toisin sanoen on olemassa geometrinen kuvio, joka yhdistää melko täysin kaksi hämmästyttävää matemaattista tosiasiaa - Pythagoraan lause ja kultainen leikkaus.

Tällaisen kolmion rakentamiseksi riittää sivun laajentaminen aurinko kolmio ABC(Kuva 4) ennen ylitystä pisteessä E jossa kohtisuora palautetaan pisteeseen MUTTA sivulle AB(Kuva 5).

Sisäisessä tasakylkisessä kolmiossa ÄSSÄ kulma φ (kulma ÄSSÄ) on yhtä suuri kuin 144 o, ja kulma ψ (kulmat EAC ja AES) on yhtä suuri kuin 18 o. Sivu AC = CE = SW = D. Pythagoraan lauseen avulla on helppo saada jalan pituus

Tätä tulosta käyttämällä pääsemme helposti suhteeseen

Joten suora yhteys juureen löytyy y 2 yhtälöä (4) - yhtälöiden (3) ja (4) viimeinen juurista - 144 asteen kulmassa. Tästä syystä kolmio ÄSSÄ voidaan kutsua kultaisen leikkauksen kolmas kolmio.

Jos upeassa suorakulmaisessa kolmiossa AVE piirrä kulman puolittaja OHJAAMO risteykseen sivun kanssa EV pisteessä F, näemme sen sivussa AB kulmia on neljä: 36 o, 72 o, 108 o ja 144 o, joihin kultaisen leikkauksen yhtälöiden juuret ovat suoraan yhteydessä (relaatiot (7) - (10)). Esitetty suorakulmainen kolmio sisältää siis koko galaksin tasasivuisia kolmioita, joilla on kultaisen leikkauksen piirteitä. Lisäksi on erittäin merkittävää, että hypotenuusalla on kaksi segmenttiä EU= D ja CF= 1,0 ovat kultaisessa suhteessa FВ = d. Kulma ψ liittyy juuriin D ja d yhtälöt (3) ja (4) suhteilla

.

Yllä olevat tasakylkisten kolmioiden rakenteet, joiden kulmat liittyvät kultaisen suhteen yhtälöiden juuriin, perustuvat alkuosaan AB ja sen osat a ja b. Kultaisen leikkauksen avulla voit kuitenkin mallintaa yllä kuvattujen kolmioiden lisäksi myös monia muita geometrisia muotoja, jotka sisältävät harmonisten suhteiden elementtejä.

Annamme kaksi esimerkkiä tällaisista rakenteista. Harkitse ensin segmenttiä AB esitetty kuvassa. 1. Antaa asian Kanssa- ympyrän keskipiste, segmentti b- säde. Piirretään säde b ympyrä ja sen tangentit pisteestä MUTTA(Kuva 6). Kosketuspisteiden yhdistäminen E ja F pisteellä Kanssa. Tuloksena on epäsymmetrinen rombi AECF, jossa diagonaali AC jakaa sen kahteen yhtä suureen suorakulmaiseen kolmioon ÄSSÄ ja ACF.

Kiinnitämme huomiota yhteen niistä, esimerkiksi kolmioon ÄSSÄ. Tässä kolmiossa kulma AES- suora, hypotenuusa AC = a, jalka CE = b ja jalka AE = √ab≈ 0,486, mikä seuraa suhteesta (2). Siksi jalka AE on segmenttien välinen geometrinen keskiarvo (suhteellinen). a ja b, eli se ilmaisee numeroiden välisen geometrisen symmetriakeskuksen a≈ 0,618 ja b ≈ 0,382.

Etsitään tämän kolmion kulmien arvot:

Kuten edellisissä tapauksissa, kulmat δ ja ε on yhdistetty kosinin kautta yhtälöiden (3) ja (4) juuriin.

Huomaa, että epäsymmetrinen rombi kuin rombi AECF, joka saadaan vetämällä tangentit pisteestä AT sädeympyrään a ja keskitetty johonkin pisteeseen MUTTA.

Epäsymmetrinen rombi AECF saatu kirjassa eri tavalla villieläinten muotoutumis- ja kasvuilmiöiden analysoinnissa. Suorakulmainen kolmio AES kutsutaan tässä teoksessa "eläväksi" kolmioksi, koska se pystyy luomaan visuaalisia kuvia, jotka vastaavat luonnon erilaisia ​​​​rakenneelementtejä, ja toimivat avaimena rakennettaessa geometrisia kaavioita joidenkin elävien organismien kehityksen alkuun.

Toinen esimerkki liittyy kultaisen leikkauksen ensimmäiseen ja kolmanteen kolmioon. Muodostamme rombin kahdesta ensimmäisestä yhtä suuresta kultaisen leikkauksen kolmiosta, joiden sisäkulmat ovat 72 o ja 108 o. Samalla tavalla yhdistämme kaksi yhtäläistä kolmatta kultaisen leikkauksen kolmiota rombiksi, jonka sisäkulmat ovat 36 o ja 144 o. Jos näiden rommien sivut ovat yhtä suuret, ne voivat täyttää äärettömän tason ilman tyhjiä paikkoja ja päällekkäisyyksiä. Vastaavan algoritmin tason täyttöä varten kehitti 1970-luvun lopulla R. Penrose, teoreettinen fyysikko Oxfordin yliopistosta. Lisäksi kävi ilmi, että tuloksena olevassa mosaiikissa on mahdotonta erottaa alkeissolua, jossa on kokonaislukumäärä kutakin tyyppiä olevia romppeja, joiden kääntäminen mahdollistaisi koko mosaiikin saamisen. Mutta huomattavin asia oli, että äärettömässä Penrose-laatoituksessa "kapeiden" rompujen lukumäärän suhde "leveiden" lukumäärään on täsmälleen yhtä suuri kuin kultaisen leikkauksen arvo. d = 0,61803...!

Tässä esimerkissä kaikki kultaisen leikkauksen juuret, ilmaistuna kulmien kautta, yhdistettiin hämmästyttävällä tavalla yhteen tapauksista, joissa äärettömän tason ei-triviaali täytetään kahdella perushahmolla - rombilla.

Lopuksi toteamme, että yllä annetut erilaiset esimerkit kultaisen leikkauksen yhtälöiden juurien ja kolmioiden kulmien välisestä yhteydestä osoittavat, että kultainen leikkaus on suurempi ongelma kuin aiemmin on ajateltu. Jos ennen kultaisen leikkauksen laajuutta pidettiin viime kädessä segmenttien ja erilaisten sekvenssien suhteena, joka liittyy sen juurien numeerisiin arvoihin (Fibonacci-luvut), nyt on havaittu, että kultainen leikkaus voi tuottaa erilaisia ​​geometrisia esineitä , ja yhtälöiden juurilla on eksplisiittinen trigonometrinen lauseke.

Kirjoittajat ovat tietoisia siitä, että edellä esitetty näkökulma kultaiseen leikkaukseen liittyvästä matemaattisten suhteiden eleganssista heijastelee henkilökohtaisia ​​esteettisiä kokemuksia. Modernissa filosofisessa kirjallisuudessa estetiikan ja kauneuden käsitteitä tulkitaan melko laajasti ja niitä käytetään pikemminkin intuitiivisella tasolla. Nämä käsitteet liittyvät pääasiassa taiteeseen. Tieteellisen luovuuden sisältöä esteettisesti kirjallisuudessa ei käytännössä käsitellä. Ensimmäisessä approksimaatiossa tieteellisen tutkimuksen esteettisiä parametreja ovat niiden vertaileva yksinkertaisuus, niiden luontainen symmetria ja kyky luoda visuaalisia kuvia. Kaikki nämä esteettiset parametrit täyttävät tehtävä, jota kutsutaan "kultaiseksi suhteeksi". Yleisesti ottaen tieteen estetiikan ongelmat ovat kaukana ratkaistua, vaikka ne ovatkin erittäin mielenkiintoisia.

Intuitiivisesti tuntuu, että kultainen leikkaus kätkee edelleen salaisuutensa. Jotkut heistä, aivan mahdollisesti, makaavat pinnalla odottaen uusien tutkijoidensa epätavallista ilmettä. Kultaisen leikkauksen ominaisuuksien tunteminen voi toimia hyvänä perustana luoville ihmisille, antaa heille luottamusta tiede ja sisään elämää.

KIRJALLISUUS

1. Shevelev I. Sh., Marutaev I. A., Shmelev I. P. Kultainen osa: Kolme näkemystä harmonian luonteesta.- M.: Stroyizdat, 1990. - 343 s.

2. Stakhov A.P. Kultaisen suhteen koodit.- M.: Radio ja viestintä, 1984. - 152 s.

3. Vasyutinskiy N. A. kultainen leikkaus.- M.: Nuori vartija, 1990. - 238 s.

4. Korobko V.I. Kultainen osuus: Joitakin harmonian filosofisia puolia.- M. - Orel: 2000. - 204 s.

5. Urmantsev Yu. A. kultainen leikkaus// Luonto, 1968, nro 11.

6. Popkov V. V., Shipitsyn E. V. Kultainen leikkaus Carnot-syklissä// UFN, 2000, v. 170, nro 11.

7. Konstantinov I. Fantasia dodekaedrin kanssa// Tiede ja elämä, 2001, nro 2.

8. Shevelev I. Sh. geometrinen harmonia// Tiede ja elämä, 1965, nro 8.

9. Gardner M. Penrose-laatoinnista suojattuihin salakirjoihin. - M.: Mir, 1993.