Yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä on menetelmä, joka perustuu determinanttien ( Cramerin sääntö). Sen etuna on, että sen avulla voit tallentaa ratkaisun välittömästi, se on erityisen kätevä tapauksissa, joissa järjestelmän kertoimet eivät ole numeroita, vaan jonkinlaisia ​​parametreja. Sen haittapuolena on laskutoimitusten vaikeus, kun yhtälöitä on paljon, eikä Cramerin sääntöä voida myöskään soveltaa suoraan järjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Tällaisissa tapauksissa sitä käytetään yleensä Gaussin menetelmä.

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaava. On selvää, että lineaarisen järjestelmän ratkaisujoukko ei muutu, jos yhtälöitä vaihdetaan keskenään tai jos yksi yhtälöistä kerrotaan jollain nollasta poikkeavalla luvulla tai jos yhtälö lisätään toiseen.

Gaussin menetelmä (Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin) perustuu siihen, että alkeismuunnosten avulla järjestelmä pelkistetään vastaavaksi porrastetuksi järjestelmäksi. Ensinnäkin 1. yhtälön avulla x 1 kaikista järjestelmän myöhemmistä yhtälöistä. Sitten eliminoimme toisen yhtälön avulla x 2/3 ja kaikki sitä seuraavat yhtälöt. Tämä prosessi ns suora Gaussin menetelmä, jatkuu, kunnes vain yksi tuntematon on jäljellä viimeisen yhtälön vasemmalla puolella x n. Sen jälkeen se tehdään Gaussin käänteinen– ratkaisemme viimeisen yhtälön x n; sen jälkeen tätä arvoa käyttäen laskemme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 jne. Viimeisenä löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä.

On kätevää suorittaa Gaussin muunnoksia tekemällä muunnoksia ei itse yhtälöillä, vaan niiden kertoimien matriiseilla. Harkitse matriisia:

nimeltään laajennettu matriisijärjestelmä, koska järjestelmän päämatriisin lisäksi se sisältää sarakkeen vapaita jäseniä. Gaussin menetelmä perustuu järjestelmän päämatriisin saattamiseen kolmiomaiseen muotoon (tai ei-neliömäisten järjestelmien tapauksessa puolisuunnikkaan muotoon) käyttämällä järjestelmän laajennetun matriisin perusrivimuunnoksia (!).

Esimerkki 5.1. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Päätös. Kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi ja ensimmäisen rivin avulla nollataan loput elementit:

saamme nollat ​​ensimmäisen sarakkeen 2., 3. ja 4. riville:

Nyt tarvitsemme kaikkien toisen sarakkeen 2. rivin alapuolella olevien elementtien olevan nolla. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin -4/7:lla ja lisäämällä kolmanteen riviin. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, luomme yksikön toisen sarakkeen 2. riville ja vain

Nyt kolmiomatriisin saamiseksi sinun on nollattava kolmannen sarakkeen neljännen rivin elementti, jotta voit kertoa kolmannen rivin 8/54: llä ja lisätä sen neljänteen. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, vaihdamme 3. ja 4. rivin sekä 3. ja 4. sarakkeen, ja vasta sen jälkeen nollaamme määritetyn elementin. Huomaa, että kun sarakkeet järjestetään uudelleen, vastaavat muuttujat vaihtuvat, ja tämä on muistettava; muita perusmuunnoksia sarakkeilla (yhteenlasku ja kertominen luvulla) ei voida suorittaa!

Viimeinen yksinkertaistettu matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää, joka vastaa alkuperäistä:

Täältä, käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä kurssia, löydämme neljännestä yhtälöstä x 3 = -1; kolmannesta alkaen x 4 = -2, toisesta x 2 = 2 ja ensimmäisestä yhtälöstä x 1 = 1. Matriisimuodossa vastaus kirjoitetaan muodossa

Olemme tarkastelleet tapausta, jossa järjestelmä on määrätty, ts. kun on vain yksi ratkaisu. Katsotaan mitä tapahtuu, jos järjestelmä on epäjohdonmukainen tai epämääräinen.

Esimerkki 5.2. Tutustu järjestelmään Gaussin menetelmällä:

Päätös. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän lisätyn matriisin

Kirjoitamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

Tässä viimeisessä yhtälössä kävi ilmi, että 0=4, ts. ristiriita. Siksi järjestelmällä ei ole ratkaisua, ts. hän on yhteensopimaton. à

Esimerkki 5.3. Tutki ja ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Päätös. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Muutosten seurauksena viimeiselle riville saatiin vain nollia. Tämä tarkoittaa, että yhtälöiden määrä on vähentynyt yhdellä:

Näin ollen jäljelle jää yksinkertaistamisen jälkeen kaksi yhtälöä ja neljä tuntematonta, ts. kaksi tuntematonta "lisää". Olkoon "tarpeeton" tai, kuten sanotaan, vapaat muuttujat, tulee x 3 ja x 4. Sitten

Olettaen x 3 = 2a ja x 4 = b, saamme x 2 = 1–a ja x 1 = 2b–a; tai matriisimuodossa

Tällä tavalla kirjoitettua ratkaisua kutsutaan yleistä, koska antamalla parametrit a ja b eri arvoilla on mahdollista kuvata järjestelmän kaikki mahdolliset ratkaisut. a

Gaussin menetelmä sopii erinomaisesti lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) järjestelmien ratkaisemiseen. Sillä on useita etuja muihin menetelmiin verrattuna:

• Ensinnäkin yhtälöjärjestelmän yhteensopivuutta ei tarvitse etukäteen tutkia;
• toiseksi Gaussin menetelmää voidaan käyttää paitsi SLAE:n ratkaisemiseen, jossa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisi on ei-degeneroitunut, vaan myös yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai päämatriisin determinantti on nolla;
• Kolmanneksi Gaussin menetelmä johtaa tulokseen suhteellisen pienellä määrällä laskennallisia operaatioita.

Lyhyt katsaus artikkeliin.

Ensin annamme tarvittavat määritelmät ja lisäämme joitain merkintöjä.

Seuraavaksi kuvataan Gaussin menetelmän algoritmi yksinkertaisimmalle tapaukselle, eli lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmille yhtälöiden lukumäärä, joissa on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti, ei ole yhtä suuri kuin nolla. Tällaisia ​​yhtälöjärjestelmiä ratkottaessa tulee selvimmin esiin Gaussin menetelmän ydin, joka koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä eliminoinnista. Siksi Gaussin menetelmää kutsutaan myös tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmäksi. Näytämme yksityiskohtaiset ratkaisut useista esimerkeistä.

Lopuksi tarkastelemme Gaussin ratkaisua lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmistä, joiden päämatriisi on joko suorakulmainen tai rappeutunut. Tällaisten järjestelmien ratkaisulla on joitain ominaisuuksia, joita analysoimme yksityiskohtaisesti esimerkkien avulla.

Sivulla navigointi.

Perusmääritelmät ja merkinnät.

Tarkastellaan p lineaarista yhtälöjärjestelmää, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n):

Missä ovat tuntemattomat muuttujat, ovat numerot (todelliset tai kompleksi), ovat vapaita jäseniä.

Jos , niin lineaarista algebrallista yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Tuntemattomien muuttujien arvojoukko, jossa kaikki järjestelmän yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi, on ns. SLAU:n päätös.

Jos lineaarisille algebrallisille yhtälöille on olemassa ainakin yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos, muuten - yhteensopimaton.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma. Jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, järjestelmä kutsutaan epävarma.

Järjestelmän sanotaan olevan sisäänkirjoitettu koordinaattimuoto jos sillä on muoto
.

Tämä järjestelmä sisään matriisimuoto tietueilla on muoto , missä - SLAE:n päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien sarakkeen matriisi, - vapaiden jäsenten matriisi.

Jos lisäämme matriisiin A sarakkeena (n + 1) vapaiden termien matriisisarakkeen, niin saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Yleensä laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden jäsenten sarake on erotettu pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Neliömatriisia A kutsutaan rappeutunut jos sen determinantti on nolla. Jos , niin matriisia A kutsutaan ei-degeneroitunut.

Seuraava kohta on huomioitava.

Jos seuraavat toiminnot suoritetaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmällä

• vaihtaa kaksi yhtälöä,
• kerro minkä tahansa yhtälön molemmat puolet mielivaltaisella ja nollasta poikkeavalla reaali- (tai kompleksi) luvulla k,
• lisää minkä tahansa yhtälön molempiin osiin toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna mielivaltaisella luvulla k,

niin saadaan vastaava järjestelmä, jolla on samat ratkaisut (tai, kuten alkuperäisessä, ei ole ratkaisuja).

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden laajennetussa matriisissa nämä toimet tarkoittavat alkeismuunnoksia riveillä:

• vaihtamalla kaksi merkkijonoa
• matriisin T minkä tahansa rivin kaikkien alkioiden kertominen nollasta poikkeavalla luvulla k,
• lisäämällä matriisin minkä tahansa rivin alkioihin toisen rivin vastaavat elementit kerrottuna mielivaltaisella luvulla k .

Nyt voimme siirtyä Gaussin menetelmän kuvaukseen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisi on ei-degeneroitunut, ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Mitä me tekisimme koulussa, jos meille annettaisiin tehtävänä löytää ratkaisu yhtälöjärjestelmään .

Jotkut tekisivät niin.

Huomaa, että lisäämällä ensimmäisen yhtälön vasemman puolen toisen yhtälön vasempaan puolelle ja oikean puolen oikeaan puolelle, voit päästä eroon tuntemattomista muuttujista x 2 ja x 3 ja löytää heti x 1:n:

Korvaamme löydetyn arvon x 1 \u003d 1 järjestelmän ensimmäiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Jos kerromme järjestelmän kolmannen yhtälön molemmat osat -1:llä ja lisäämme ne ensimmäisen yhtälön vastaaviin osiin, pääsemme eroon tuntemattomasta muuttujasta x 3 ja löydämme x 2:

Korvaamme saadun arvon x 2 \u003d 2 kolmanteen yhtälöön ja löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan x 3:

Muut olisivat tehneet toisin.

Ratkaistaan ​​järjestelmän ensimmäinen yhtälö suhteessa tuntemattomaan muuttujaan x 1 ja korvataan tuloksena oleva lauseke järjestelmän toiseen ja kolmanteen yhtälöön, jotta tämä muuttuja jätetään niistä pois:

Ratkaistaan ​​nyt järjestelmän toinen yhtälö suhteessa x 2:een ja korvataan saatu tulos kolmanteen yhtälöön, jotta tuntematon muuttuja x 2 jätetään siitä pois:

Järjestelmän kolmannesta yhtälöstä voidaan nähdä, että x 3 =3. Toisesta yhtälöstä löydämme , ja ensimmäisestä yhtälöstä saamme .

Tuttuja ratkaisuja, eikö?

Mielenkiintoisinta tässä on, että toinen ratkaisumenetelmä on olennaisesti tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä, eli Gaussin menetelmä. Kun ilmaisimme tuntemattomia muuttujia (ensimmäinen x 1, seuraava x 2) ja substituoimme ne järjestelmän muihin yhtälöihin, jätimme ne siten pois. Totesimme poikkeuksen siihen hetkeen asti, jolloin viimeinen yhtälö jätti vain yhden tuntemattoman muuttujan. Tuntemattomien peräkkäistä eliminointia kutsutaan prosessiksi suora Gaussin menetelmä. Kun eteenpäinsiirto on suoritettu, meillä on mahdollisuus laskea tuntematon muuttuja viimeisessä yhtälössä. Sen avulla löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä seuraavan tuntemattoman muuttujan ja niin edelleen. Kutsutaan prosessia, jossa peräkkäin etsitään tuntemattomia muuttujia siirryttäessä viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen käänteinen Gaussin menetelmä.

On huomattava, että kun ilmaisemme x 1:n x 2:n ja x 3:n suhteen ensimmäisessä yhtälössä ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen toisella ja kolmannella yhtälöllä, seuraavat toimet johtavat samaan tulokseen:

Todellakin, tällainen menettely mahdollistaa myös tuntemattoman muuttujan x 1 jättämisen järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä:

Vivahteita tuntemattomien muuttujien eliminoinnissa Gaussin menetelmällä syntyy, kun järjestelmän yhtälöt eivät sisällä joitain muuttujia.

Esimerkiksi SLAU:ssa ensimmäisessä yhtälössä ei ole tuntematonta muuttujaa x 1 (eli sen edessä oleva kerroin on nolla). Siksi emme voi ratkaista järjestelmän ensimmäistä yhtälöä suhteessa x 1:een sulkeaksemme tämän tuntemattoman muuttujan pois muista yhtälöistä. Pääsy tästä tilanteesta on vaihtaa järjestelmän yhtälöitä. Koska tarkastelemme lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisien determinantit poikkeavat nollasta, on aina olemassa yhtälö, jossa tarvitsemamme muuttuja on läsnä, ja voimme järjestää tämän yhtälön uudelleen tarvitsemamme paikkaan. Esimerkissämme riittää järjestelmän ensimmäisen ja toisen yhtälön vaihtaminen , voit ratkaista ensimmäisen yhtälön x 1:lle ja jättää sen pois järjestelmän muista yhtälöistä (vaikka x 1 puuttuu jo toisesta yhtälöstä).

Toivomme, että ymmärrät asian.

Kuvataanpa Gaussin menetelmän algoritmi.

Meidän on ratkaistava n lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmä, joissa on n muotoista tuntematonta muuttujaa , ja olkoon sen päämatriisin determinantti nollasta poikkeava.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta. Tee tämä lisäämällä ensimmäinen yhtälö kerrottuna järjestelmän toiseen yhtälöön, lisäämällä ensimmäinen kerrottuna kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä ensimmäinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä .

Pääsisimme samaan tulokseen, jos ilmaisimme x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja vaihtaisimme tuloksena olevan lausekkeen kaikkiin muihin yhtälöihin. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi toimimme samalla tavalla, mutta vain osan kanssa tuloksena olevasta järjestelmästä, joka on merkitty kuvaan

Tee tämä lisäämällä toinen yhtälö kerrottuna järjestelmän kolmanteen yhtälöön, lisäämällä toinen kerrottuna neljänteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä toinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi siirrytään tuntemattoman x 3 eliminointiin samalla tavalla toimien kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa kulkua, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen kulkun: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua arvoa x n löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälö.

Analysoidaan algoritmia esimerkin avulla.

Esimerkki.

Gaussin menetelmä.

Päätös.

Kerroin a 11 eroaa nollasta, joten edetään Gaussin menetelmän suoraan kulkuun eli tuntemattoman muuttujan x 1 eliminoimiseen kaikista järjestelmän yhtälöistä paitsi ensimmäistä. Voit tehdä tämän lisäämällä toisen, kolmannen ja neljännen yhtälön vasempaan ja oikeaan osaan ensimmäisen yhtälön vasen ja oikea osa, kerrottuna vastaavasti, ja:

Tuntematon muuttuja x 1 on eliminoitu, siirrytään poissulkemiseen x 2 . Järjestelmän kolmannen ja neljännen yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle lisäämme toisen yhtälön vasemman ja oikean osan kerrottuna ja :

Gaussin menetelmän eteenpäin viemiseksi meidän on suljettava pois tuntematon muuttuja x 3 järjestelmän viimeisestä yhtälöstä. Lisää neljännen yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle vastaavasti kolmannen yhtälön vasen ja oikea puoli kerrottuna :

Voit aloittaa Gaussin menetelmän käänteisen kurssin.

Viimeisestä yhtälöstämme ,
kolmannesta yhtälöstä saamme ,
toisesta
ensimmäisestä.

Tarkistaaksesi voit korvata tuntemattomien muuttujien saadut arvot alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään. Kaikki yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi, mikä tarkoittaa, että ratkaisu Gaussin menetelmällä löydettiin oikein.

Vastaus:

Ja nyt annamme saman esimerkin ratkaisun Gaussin menetelmällä matriisimuodossa.

Esimerkki.

Etsi ratkaisu yhtälöjärjestelmään Gaussin menetelmä.

Päätös.

Järjestelmän laajennetulla matriisilla on muoto . Jokaisen sarakkeen yläpuolelle kirjoitetaan tuntemattomat muuttujat, jotka vastaavat matriisin elementtejä.

Gaussin menetelmän suora kulku tässä käsittää järjestelmän laajennetun matriisin saattamisen puolisuunnikkaan muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Tämä prosessi on samanlainen kuin tuntemattomien muuttujien poissulkeminen, jonka teimme järjestelmän kanssa koordinaattimuodossa. Nyt olet vakuuttunut siitä.

Muunnetaan matriisi niin, että kaikki ensimmäisen sarakkeen elementit toisesta alkaen muuttuvat nolliksi. Voit tehdä tämän lisäämällä toisen, kolmannen ja neljännen rivin elementteihin ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , ja vastaavasti:

Seuraavaksi muunnamme tuloksena olevan matriisin siten, että toisessa sarakkeessa kaikki elementit kolmannesta alkaen muuttuvat nolliksi. Tämä vastaisi tuntemattoman muuttujan x 2 poissulkemista. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannen ja neljännen rivin elementteihin matriisin ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna ja :

Jäljelle jää tuntematon muuttuja x 3 poissulkeminen järjestelmän viimeisestä yhtälöstä. Tätä varten tuloksena olevan matriisin viimeisen rivin elementteihin lisätään vastaavat toiseksi viimeisen rivin elementit kerrottuna :

On huomattava, että tämä matriisi vastaa lineaarista yhtälöjärjestelmää

joka saatiin aikaisemmin suoran muuton jälkeen.

On aika kääntyä takaisin. Merkinnän matriisimuodossa Gaussin menetelmän käänteinen kulku käsittää tuloksena olevan matriisin muunnoksen siten, että kuvioon merkitty matriisi

muuttui diagonaaliseksi, eli otti muodon

missä on numeroita.

Nämä muunnokset ovat samanlaisia ​​kuin Gaussin menetelmässä, mutta niitä ei suoriteta ensimmäisestä rivistä viimeiseen, vaan viimeisestä ensimmäiseen.

Lisää kolmannen, toisen ja ensimmäisen rivin elementteihin viimeisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , jatkuu ja jatkuu vastaavasti:

Lisätään nyt toisen ja ensimmäisen rivin elementteihin vastaavat kolmannen rivin elementit kerrottuna ja vastaavasti:

Gaussin menetelmän käänteisen liikkeen viimeisessä vaiheessa lisäämme toisen rivin vastaavat elementit kerrottuna ensimmäisen rivin elementteihin:

Tuloksena oleva matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää , josta löydämme tuntemattomat muuttujat.

Vastaus:

HUOMAUTUS.

Käytettäessä Gaussin menetelmää lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen tulee välttää likimääräisiä laskelmia, koska se voi johtaa täysin vääriin tuloksiin. Suosittelemme, että et pyöristä desimaalilukuja. On parempi siirtyä desimaalimurtoluvuista tavallisiin murtolukuihin.

Esimerkki.

Ratkaise kolmen yhtälön järjestelmä Gaussin menetelmällä .

Päätös.

Huomaa, että tässä esimerkissä tuntemattomilla muuttujilla on eri nimitys (ei x 1 , x 2 , x 3 , vaan x, y, z ). Siirrytään tavallisiin murtolukuihin:

Eliminoi tuntematon x järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä:

Tuloksena olevassa järjestelmässä toisessa yhtälössä ei ole tuntematonta muuttujaa y, ja y on läsnä kolmannessa yhtälössä, joten vaihdamme toisen ja kolmannen yhtälön:

Tässä vaiheessa Gaussin menetelmän suora kulku on ohi (sinun ei tarvitse sulkea y:tä pois kolmannesta yhtälöstä, koska tätä tuntematonta muuttujaa ei enää ole).

Mennään takaisin.

Viimeisestä yhtälöstä löydämme ,
toiseksi viimeiseltä


ensimmäisestä yhtälöstämme

Vastaus:

X = 10, y = 5, z = -20.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisu, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on degeneroitunut, Gaussin menetelmällä.

Yhtälöjärjestelmillä, joiden päämatriisi on suorakulmainen tai neliömäinen degeneroitunut, ei välttämättä ole ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla ääretön määrä ratkaisuja.

Nyt ymmärrämme, kuinka Gauss-menetelmän avulla voit määrittää lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden tai epäjohdonmukaisuuden, ja sen yhteensopivuuden tapauksessa määrittää kaikki ratkaisut (tai yksittäinen ratkaisu).

Periaatteessa prosessi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi tällaisten SLAE:iden tapauksessa pysyy samana. On kuitenkin syytä pohtia yksityiskohtaisesti joitain tilanteita, joita saattaa syntyä.

Siirrytään tärkeimpään vaiheeseen.

Oletetaan siis, että lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä Gaussin menetelmän eteenpäinajon jälkeen saa muodon eikä mikään yhtälöistä pelkistetty arvoon (tässä tapauksessa päättelemme, että järjestelmä on epäjohdonmukainen). Herää looginen kysymys: "Mitä tehdä seuraavaksi"?

Kirjoitamme tuntemattomat muuttujat, jotka ovat tuloksena olevan järjestelmän kaikkien yhtälöiden ensimmäisellä paikalla:

Esimerkissämme nämä ovat x 1 , x 4 ja x 5 . Järjestelmän yhtälöiden vasempaan osioon jätetään vain ne termit, jotka sisältävät kirjoitetut tuntemattomat muuttujat x 1, x 4 ja x 5, loput termit siirretään yhtälöiden oikealle puolelle päinvastaisella merkillä:

Annetaan mielivaltaiset arvot tuntemattomille muuttujille, jotka ovat yhtälöiden oikealla puolella, missä - mielivaltaiset numerot:

Sen jälkeen luvut löytyvät kaikkien SLAE-yhtälöiden oikeista osista ja voimme edetä Gaussin menetelmän käänteiseen suuntaan.

Järjestelmän viimeisestä yhtälöstä saamme , toiseksi viimeisestä löytämämme yhtälöstä , ensimmäisestä yhtälöstä saamme

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on tuntemattomien muuttujien arvojen joukko

Numeroiden antaminen eri arvoja, saamme erilaisia ​​ratkaisuja yhtälöjärjestelmään. Toisin sanoen yhtälöjärjestelmällämme on äärettömän monta ratkaisua.

Vastaus:

missä - mielivaltaiset numerot.

Aineiston vahvistamiseksi analysoimme yksityiskohtaisesti useiden muiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Ratkaise homogeeninen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä Gaussin menetelmä.

Päätös.

Jätetään tuntematon muuttuja x pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä ensimmäisen yhtälön vasen ja oikea osa toisen yhtälön vasempaan ja oikeaan osaan kerrottuna luvulla ja kolmannen yhtälön vasempaan ja oikeaan osaan ensimmäinen yhtälö, kerrottuna:

Nyt suljemme pois y:n tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän kolmannesta yhtälöstä:

Tuloksena oleva SLAE vastaa järjestelmää .

Jätetään vain tuntemattomat muuttujat x ja y sisältävät termit järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirretään termit tuntemattomalla muuttujalla z oikealle:

Tänään käsittelemme Gaussin menetelmää lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Voit lukea siitä, mitä nämä järjestelmät ovat, edellisestä artikkelista, joka on omistettu saman SLAE:n ratkaisemiseen Cramer-menetelmällä. Gaussin menetelmä ei vaadi erityistä tietoa, tarvitaan vain huolellisuutta ja johdonmukaisuutta. Huolimatta siitä, että matematiikan näkökulmasta kouluvalmistelu riittää sen soveltamiseen, tämän menetelmän hallitseminen aiheuttaa usein vaikeuksia opiskelijoille. Tässä artikkelissa yritämme vähentää ne tyhjäksi!

Gaussin menetelmä

M Gaussin menetelmä on yleisin tapa ratkaista SLAE (lukuun ottamatta erittäin suuria järjestelmiä). Toisin kuin aiemmin käsitelty, se ei sovellu vain järjestelmiin, joissa on ainutlaatuinen ratkaisu, vaan myös järjestelmiin, joissa on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä on kolme vaihtoehtoa.

1. Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla);
2. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja;
3. Ratkaisuja ei ole, järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Joten meillä on järjestelmä (olkoon sillä yksi ratkaisu), ja aiomme ratkaista sen Gaussin menetelmällä. Kuinka se toimii?

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta - suorasta ja käänteisestä.

Suora Gaussin menetelmä

Ensin kirjoitetaan järjestelmän lisätty matriisi. Tätä varten lisäämme päämatriisiin vapaan jäsenen sarakkeen.

Gaussin menetelmän koko olemus on pelkistää tämä matriisi porrastettuun (tai kuten sanotaan kolmiomaiseen) muotoon alkeismuunnosten avulla. Tässä muodossa matriisin päädiagonaalin alla (tai sen yläpuolella) pitäisi olla vain nollia.

Mitä voidaan tehdä:

1. Voit järjestää matriisin rivit uudelleen;
2. Jos matriisissa on identtisiä (tai suhteellisia) rivejä, voit poistaa ne kaikki yhtä lukuun ottamatta.
3. Voit kertoa tai jakaa merkkijonon millä tahansa luvulla (paitsi nollalla);
4. Nollaviivat poistetaan;
5. Voit lisätä merkkijonoon nollasta poikkeavalla luvulla kerrotun merkkijonon.

Käänteinen Gaussin menetelmä

Kun olemme muuttaneet järjestelmän tällä tavalla, yksi tuntematon xn tulee tunnetuksi, ja on mahdollista löytää kaikki jäljellä olevat tuntemattomat käänteisessä järjestyksessä korvaamalla jo tunnetut x:t järjestelmän yhtälöihin ensimmäiseen saakka.

Kun Internet on aina käsillä, voit ratkaista yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä verkossa. Sinun tarvitsee vain syöttää kertoimet online-laskuriin. Mutta täytyy myöntää, että on paljon miellyttävämpää huomata, että esimerkkiä ei ratkaissut tietokoneohjelma, vaan omat aivosi.

Esimerkki yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Ja nyt - esimerkki, jotta kaikki tulee selväksi ja ymmärrettäväksi. Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä annettu, ja se on ratkaistava Gaussin menetelmällä:

Ensin kirjoitetaan lisätty matriisi:

Katsotaanpa nyt muunnoksia. Muista, että meidän on saavutettava matriisin kolmiomuoto. Kerro 1. rivi (3). Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen ja saadaan:

Kerro sitten 3. rivi arvolla (-1). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro ensimmäinen rivi (6). Kerro toinen rivi arvolla (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Voila - järjestelmä saatetaan sopivaan muotoon. Vielä on löydettävä tuntemattomat:

Tämän esimerkin järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Käsittelemme erillisessä artikkelissa ratkaisua järjestelmiin, joissa on loputon joukko ratkaisuja. Ehkä aluksi et tiedä mistä aloittaa matriisimuunnokset, mutta sopivan harjoittelun jälkeen saat sen käsiisi ja napsaat Gaussin SLAE:tä kuin pähkinät. Ja jos kohtaat yhtäkkiä SLAU:n, joka osoittautuu liian kovaksi pähkinäksi, ota yhteyttä kirjoittajiimme! voit jättää hakemuksen kirjeenvaihtoon. Yhdessä ratkaisemme kaikki ongelmat!

Annetaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, joka on ratkaistava (etsi sellaiset tuntemattomien хi arvot, jotka muuttavat järjestelmän jokaisen yhtälön yhtälöksi).

Tiedämme, että lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Ei ratkaisuja (olkoon yhteensopimaton).
2) On äärettömän monta ratkaisua.
3) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.

Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Gaussin menetelmä – tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisujen löytämiseen mihin tahansa lineaariyhtälöjärjestelmään, mikä joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Menetelmän algoritmi toimii kaikissa kolmessa tapauksessa samalla tavalla. Jos Cramer- ja matriisimenetelmät edellyttävät determinanttien tuntemusta, niin Gaussin menetelmän soveltaminen edellyttää vain aritmeettisten operaatioiden tuntemusta, jolloin se on myös peruskoulun oppilaiden käytettävissä.

Laajennetut matriisimuunnokset ( tämä on järjestelmän matriisi - matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista sekä vapaiden termien sarakkeesta) Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät Gaussin menetelmässä:

1) kanssa troky matriiseja voi järjestää uudelleen paikoissa.

2) jos matriisissa on (tai on) suhteellisia (erikoistapauksena identtisiä) rivejä, siitä seuraa poistaa matriisista kaikki nämä rivit yhtä lukuun ottamatta.

3) jos matriisiin ilmaantui muunnosten aikana nollarivi, niin se myös seuraa poistaa.

4) matriisin rivi voi kertoa (jakaa) mihin tahansa muuhun numeroon kuin nollaan.

5) matriisin riville, voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta.

Gaussin menetelmässä alkeismuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua.

Gaussin menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta:

1. "Suora siirto" - käyttämällä alkeismuunnoksia, tuo lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän laajennettu matriisi "kolmiomuotoiseen" porrastettuun muotoon: laajennetun matriisin elementit, jotka sijaitsevat päädiagonaalin alapuolella, ovat yhtä suuria kuin nolla (ylhäältä alas liike ). Esimerkiksi tähän lajiin:

Voit tehdä tämän suorittamalla seuraavat vaiheet:

1) Tarkastellaan lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja kerroin kohdassa x 1 on yhtä suuri kuin K. Toinen, kolmas jne. muunnamme yhtälöt seuraavasti: jaamme jokaisen yhtälön (tuntemattomien kertoimet mukaan lukien vapaat termit) tuntemattoman x 1 kertoimella, joka on jokaisessa yhtälössä, ja kerromme K:lla. Sen jälkeen vähennämme ensimmäinen toisesta yhtälöstä ( tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet). Saamme kohdassa x 1 toisessa yhtälössä kertoimen 0. Kolmannesta muunnetusta yhtälöstä vähennämme ensimmäisen yhtälön, joten ennen kuin kaikilla yhtälöillä, paitsi ensimmäistä, joilla on tuntematon x 1, ei ole kerrointa 0.

2) Siirry seuraavaan yhtälöön. Olkoon tämä toinen yhtälö ja kerroin kohdassa x 2 on yhtä suuri kuin M. Kaikilla "ala-yhtälöillä" edetään edellä kuvatulla tavalla. Siten tuntemattoman x 2 "alla" kaikissa yhtälöissä on nollia.

3) Siirrymme seuraavaan yhtälöön ja niin edelleen, kunnes jäljellä on viimeinen tuntematon ja muunnettu vapaa termi.

1. Gaussin menetelmän "käänteinen liike" on saada ratkaisu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään ("alhaalta ylös" -liike). Viimeisestä "alemmasta" yhtälöstä saadaan yksi ensimmäinen ratkaisu - tuntematon x n. Tätä varten ratkaisemme perusyhtälön A * x n \u003d B. Yllä olevassa esimerkissä x 3 \u003d 4. Korvaamme löydetyn arvon "ylemmässä" seuraavassa yhtälössä ja ratkaisemme sen suhteessa seuraavaan tuntemattomaan. Esimerkiksi x 2 - 4 \u003d 1, ts. x 2 \u003d 5. Ja niin edelleen, kunnes löydämme kaikki tuntemattomat.

Esimerkki.

Ratkaisemme lineaarisen yhtälöjärjestelmän Gaussin menetelmällä, kuten jotkut kirjoittajat neuvovat:

Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja saatamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Siellä meillä pitäisi olla yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole ketään, joten rivien uudelleenjärjestelyllä ei voida ratkaista mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tehdään näin:
1 askel . Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Toisin sanoen kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa "miinus yksi", joka sopii meille täydellisesti. Se, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisätoiminnon: kerro ensimmäinen rivi -1:llä (muuta sen etumerkkiä).

2 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

3 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja siirrettiin toiselle paikalle, joten toisessa ”askelessa meillä oli haluttu yksikkö.

4 askelta . Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 2:lla.

5 askelta . Kolmas rivi on jaettu kolmella.

Laskelmavirheestä (harvemmin kirjoitusvirheestä) kertova merkki on "huono" tulos. Eli jos saamme alle jotain kuten (0 0 11 | 23) ja vastaavasti 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, niin suurella todennäköisyydellä voidaan sanoa, että alkeisopetuksen aikana tehtiin virhe. muunnoksia.

Suoritamme käänteisen liikkeen, esimerkkien suunnittelussa itse järjestelmää ei usein kirjoiteta uudelleen, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Käänteinen liike, muistutan teitä, toimii "alhaalta ylöspäin". Tässä esimerkissä lahja osoittautui:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, siis x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Vastaus:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ratkaistaan ​​sama järjestelmä ehdotetulla algoritmilla. Saamme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jaa toinen yhtälö 5:llä ja kolmas 3:lla.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kerro toinen ja kolmas yhtälö 4:llä, saamme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta ja kolmannesta yhtälöstä, meillä on:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jaa kolmas yhtälö 0,64:llä:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kerro kolmas yhtälö 0,4:llä

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Vähennä toinen yhtälö kolmannesta yhtälöstä, saamme "porrastetun" lisätyn matriisin:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Näin ollen, koska laskuprosessissa kertyi virhe, saamme x 3 \u003d 0,96 tai noin 1.

x 2 \u003d 3 ja x 1 \u003d -1.

Ratkaisemalla tällä tavalla et koskaan hämmentyi laskelmissa ja laskuvirheistä huolimatta saat tuloksen.

Tämä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisumenetelmä on helposti ohjelmoitavissa eikä se ota huomioon tuntemattomien kertoimien erityispiirteitä, koska käytännössä (taloudellisissa ja teknisissä laskelmissa) on käsiteltävä ei-kokonaislukukertoimia.

Toivottaa sinulle onnea! Nähdään luokassa! Tutor.

blog.site, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Olkoon järjestelmä annettu, ∆≠0. (yksi)
Gaussin menetelmä on menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin.

Gaussin menetelmän ydin on muuttaa (1) systeemiksi, jossa on kolmiomatriisi, josta kaikkien tuntemattomien arvot saadaan sitten peräkkäin (käänteisesti). Tarkastellaan yhtä laskennallisista kaavioista. Tätä piiriä kutsutaan yksijakoiseksi piiriksi. Joten katsotaanpa tätä kaaviota. Olkoon 11 ≠0 (pääalkio) jakaa 11:llä ensimmäinen yhtälö. Saada
(2)
Yhtälön (2) avulla on helppo jättää pois tuntemattomat x 1 järjestelmän jäljellä olevista yhtälöistä (tätä varten riittää, että jokaisesta yhtälöstä vähennetään yhtälö (2) alustavasti kertomalla vastaavalla kertoimella kohdassa x 1), että on, ensimmäisessä vaiheessa saamme
.
Toisin sanoen vaiheessa 1 seuraavien rivien jokainen elementti toisesta alkaen on yhtä suuri kuin alkuperäisen elementin ja sen ensimmäisen sarakkeen ja ensimmäisen (muunnetun) rivin "projektion" välinen erotus.
Sen jälkeen, jättäen ensimmäisen yhtälön rauhaan, suoritetaan ensimmäisessä vaiheessa saatujen järjestelmän muiden yhtälöiden päälle samanlainen muunnos: valitsemme niiden joukosta yhtälön, jossa on johtava alkio ja käytämme sitä sulkemaan pois x 2:sta. loput yhtälöt (vaihe 2).
N:n vaiheen jälkeen (1):n tilalle saadaan vastaava järjestelmä
(3)
Siten ensimmäisessä vaiheessa saamme kolmiojärjestelmän (3). Tätä vaihetta kutsutaan eteenpäin.
Toisessa vaiheessa (käänteinen liike) löydämme peräkkäin arvot x n , x n -1 , …, x 1 .
Merkitään saatu ratkaisu x 0 . Sitten ero ε=b-A x 0 kutsutaan jäännösarvoksi.
Jos ε=0, niin löydetty ratkaisu x 0 on oikea.

Gauss-menetelmän laskelmat suoritetaan kahdessa vaiheessa:

1. Ensimmäistä vaihetta kutsutaan menetelmän suoraksi kurssiksi. Ensimmäisessä vaiheessa alkuperäinen järjestelmä muunnetaan kolmion muotoiseksi.
2. Toista vaihetta kutsutaan käänteiseksi. Toisessa vaiheessa ratkaistaan ​​alkuperäistä vastaava kolmiojärjestelmä.

Kertoimia a 11 , a 22 , ... kutsutaan johtavaksi elementiksi.
Jokaisessa vaiheessa oletettiin, että johtava elementti on eri kuin nolla. Jos näin ei ole, mitä tahansa muuta elementtiä voidaan käyttää johtajana, ikään kuin järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen.

Gaussin menetelmän tarkoitus

Gaussin menetelmä on tarkoitettu lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Viittaa suoriin ratkaisumenetelmiin.

Gaussin menetelmän tyypit

1. Klassinen Gaussin menetelmä;
2. Gaussin menetelmän muunnelmia. Yksi Gaussin menetelmän muunnelmista on piiri pääelementin valinnalla. Gaussin menetelmän ominaisuus pääelementin valinnassa on sellainen yhtälöiden permutaatio, että k:nnessä vaiheessa johtava alkio on k:nnen sarakkeen suurin alkio.
3. Jordan-Gaussin menetelmä;

Ero Jordan-Gaussin menetelmän ja klassisen menetelmän välillä Gaussin menetelmä koostuu suorakaidesäännön soveltamisesta, kun ratkaisun etsinnän suunta on päädiagonaalia pitkin (muunnos identiteettimatriisiin). Gaussin menetelmässä ratkaisun etsinnän suunta tapahtuu sarakkeita pitkin (muunnos kolmiomatriisilla systeemiksi).
Kuvaa ero Jordan-Gaussin menetelmä Gaussin menetelmästä esimerkeissä.

Esimerkki Gaussin ratkaisusta
Ratkaistaan ​​järjestelmä:

Laskelmien helpottamiseksi vaihdamme rivit:

Kerro toinen rivi arvolla (2). Lisää 3. rivi toiseen

Kerro 2. rivi arvolla (-1). Lisää 2. rivi ensimmäiseen

Ensimmäiseltä riviltä ilmaisemme x 3:
Toiselta riviltä ilmaisemme x 2:
Kolmannelta riviltä ilmaisemme x 1:

Esimerkki ratkaisusta Jordan-Gaussin menetelmällä
Ratkaisemme saman SLAE:n Jordano-Gaussin menetelmällä.

Valitsemme peräkkäin RE:n ratkaisevan elementin, joka sijaitsee matriisin päädiagonaalissa.
Aktivoiva elementti on yhtä suuri kuin (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - mahdollistava elementti (1), A ja B - matriisielementit, jotka muodostavat suorakulmion STE:n ja RE:n elementeistä.
Esitetään kunkin elementin laskelma taulukon muodossa:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Aktivoiva elementti on yhtä suuri kuin (3).
Ratkaisuelementin tilalle saamme 1, ja itse sarakkeeseen kirjoitamme nollia.
Kaikki muut matriisin elementit, mukaan lukien sarakkeen B elementit, määräytyvät suorakaiteen säännön mukaan.
Voit tehdä tämän valitsemalla neljä numeroa, jotka sijaitsevat suorakulmion kärjessä ja sisältävät aina RE:n aktivointielementin.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Aktivointielementti on (-4).
Ratkaisuelementin tilalle saamme 1, ja itse sarakkeeseen kirjoitamme nollia.
Kaikki muut matriisin elementit, mukaan lukien sarakkeen B elementit, määräytyvät suorakaiteen säännön mukaan.
Voit tehdä tämän valitsemalla neljä numeroa, jotka sijaitsevat suorakulmion kärjessä ja sisältävät aina RE:n aktivointielementin.
Esitetään kunkin elementin laskelma taulukon muodossa:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Vastaus: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gaussin menetelmän toteutus

Gauss-menetelmä on toteutettu monilla ohjelmointikielillä, erityisesti: Pascal, C ++, php, Delphi, ja Gauss-menetelmästä on myös online-toteutus.

Käyttämällä Gaussin menetelmää

Gaussin menetelmän soveltaminen peliteoriassa

Peliteoriassa pelaajan maksimioptimaalista strategiaa löydettäessä laaditaan yhtälöjärjestelmä, joka ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmän soveltaminen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun

Jos haluat etsiä tiettyä ratkaisua differentiaaliyhtälöön, etsi ensin kirjoitetun tietyn ratkaisun (y=f(A,B,C,D)) vastaavan asteen derivaatat, jotka korvataan alkuperäisellä yhtälöllä. Lisäksi muuttujien A, B, C, D löytämiseksi laaditaan yhtälöjärjestelmä, joka ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä.

Jordano-Gaussin menetelmän soveltaminen lineaariseen ohjelmointiin

Lineaarisessa ohjelmoinnissa, erityisesti simpleksimenetelmässä, simpleksitaulukon muuntamiseen jokaisessa iteraatiossa käytetään suorakulmion sääntöä, joka käyttää Jordan-Gauss-menetelmää.