Suurin yhteinen jakaja ja pienin yhteinen kerrannainen ovat keskeisiä aritmeettisia käsitteitä, joiden avulla voit helposti käyttää tavallisia murtolukuja. LCM ja niitä käytetään useimmiten useiden murtolukujen yhteisen nimittäjän löytämiseen.
Peruskonseptit
Kokonaisluvun X jakaja on toinen kokonaisluku Y, jolla X on jaollinen ilman jäännöstä. Esimerkiksi luvun 4 jakaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Kokonaisluvun X kerrannainen on luku Y, joka on jaollinen X:llä ilman jäännöstä. Esimerkiksi 3 on 15:n kerrannainen ja 6 on 12:n kerrannainen.
Jokaiselle lukuparille voimme löytää niiden yhteiset jakajat ja kerrannaiset. Esimerkiksi 6:lle ja 9:lle yhteinen kerrannainen on 18 ja yhteinen jakaja on 3. On selvää, että pareilla voi olla useita jakajia ja kerrannaisia, joten laskelmissa käytetään GCD:n suurinta jakajaa ja LCM:n pienintä kerrannaista. .
Pienimmällä jakajalla ei ole järkeä, koska mille tahansa numerolle se on aina yksi. Suurin kerrannainen on myös merkityksetön, koska kerrannaisjonoilla on taipumus äärettömään.
GCD:n löytäminen
Suurimman yhteisen jakajan löytämiseen on monia menetelmiä, joista tunnetuimmat ovat:
- jakajien peräkkäinen luettelointi, yhteisten valitseminen parille ja suurimman etsiminen;
- lukujen hajottaminen jakamattomiksi tekijöiksi;
- Eukleideen algoritmi;
- binäärialgoritmi.
Nykyään oppilaitoksissa suosituimmat menetelmät hajottaa alkutekijöiksi ja euklidinen algoritmi. Jälkimmäistä puolestaan käytetään diofantiiniyhtälöiden ratkaisemisessa: GCD-haku vaaditaan, jotta voidaan tarkistaa yhtälön mahdollisuus ratkaista se kokonaislukuina.
NOC:n löytäminen
Pienin yhteinen kerrannainen määräytyy myös täsmällisesti iteratiivisella numeraatiolla tai jakamattomiksi tekijöiksi jakamalla. Lisäksi LCM on helppo löytää, jos suurin jakaja on jo määritetty. Lukuille X ja Y LCM ja GCD liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Esimerkiksi jos gcd(15,18) = 3, niin LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM:n ilmeisin käyttötapa on löytää yhteinen nimittäjä, joka on annettuja murtolukuja.
Koprime-luvut
Jos lukuparilla ei ole yhteisiä jakajia, niin tällaista paria kutsutaan koprimeksi. Tällaisten parien GCM on aina yhtä suuri kuin yksi, ja jakajien ja kerrannaisten yhdistämisen perusteella koprime:n GCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Esimerkiksi luvut 25 ja 28 ovat koprime, koska niillä ei ole yhteisiä jakajia, ja LCM(25, 28) = 700, mikä vastaa niiden tuloa. Mikä tahansa kaksi jakamatonta lukua on aina väliluku.
Yhteinen jakaja ja monilaskin
Laskimellamme voit laskea GCD:n ja LCM:n mille tahansa numeromäärälle. Tehtäviä yhteisten jakajien ja kerrannaisten laskentaan löytyy luokkien 5 ja 6 aritmetiikasta, mutta GCD ja LCM ovat matematiikan avainkäsitteitä ja niitä käytetään lukuteoriassa, planimetriassa ja kommunikatiivisessa algebrassa.
Esimerkkejä tosielämästä
Murtolukujen yhteinen nimittäjä
Pienintä yhteiskertaa käytetään etsittäessä useiden murtolukujen yhteinen nimittäjä. Oletetaan, että aritmeettisessa tehtävässä on summattava 5 murtolukua:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Murtolukujen lisäämiseksi lauseke on vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi, mikä vähentää LCM:n löytämisen ongelmaa. Voit tehdä tämän valitsemalla 5 numeroa laskimessa ja syöttämällä nimittäjän arvot asianmukaisiin soluihin. Ohjelma laskee LCM:n (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nyt sinun on laskettava lisäkertoimet jokaiselle murto-osalle, jotka määritellään LCM:n suhteeksi nimittäjään. Joten ylimääräiset kertoimet näyttäisivät tältä:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Sen jälkeen kerromme kaikki murtoluvut vastaavalla lisäkertoimella ja saamme:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Voimme helposti lisätä tällaiset murtoluvut ja saada tuloksen muodossa 159/360. Vähennämme murtolukua kolmella ja näemme lopullisen vastauksen - 53/120.
Lineaaristen diofantiiniyhtälöiden ratkaisu
Lineaariset diofantiiniyhtälöt ovat muotoa ax + by = d olevia lausekkeita. Jos suhde d / gcd(a, b) on kokonaisluku, yhtälö on ratkaistavissa kokonaislukuina. Tarkastetaan pari yhtälöä kokonaislukuratkaisun mahdollisuudesta. Tarkista ensin yhtälö 150x + 8y = 37. Laskimen avulla löydämme gcd (150.8) = 2. Jako 37/2 = 18.5. Luku ei ole kokonaisluku, joten yhtälöllä ei ole kokonaislukujuuria.
Tarkistetaan yhtälö 1320x + 1760y = 10120. Etsi laskimella gcd(1320, 1760) = 440. Jako 10120/440 = 23. Tuloksena saadaan kokonaisluku, joten Diofantiinikertoimen ratkaistava inkvoottiluku .
Johtopäätös
GCD:llä ja LCM:llä on tärkeä rooli lukuteoriassa, ja itse käsitteitä käytetään laajasti matematiikan eri alueilla. Laskemme avulla minkä tahansa lukumäärän suurimmat jakajat ja pienimmät kerrannaiset.
Määritelmä. Kutsutaan suurinta luonnollista lukua, jolla luvut a ja b ovat jaollisia ilman jäännöstä suurin yhteinen jakaja (gcd) nämä numerot.
Etsitään lukujen 24 ja 35 suurin yhteinen jakaja.
24:n jakajat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, ja luvun 35 jakajat ovat luvut 1, 5, 7, 35.
Näemme, että luvuilla 24 ja 35 on vain yksi yhteinen jakaja - numero 1. Tällaisia lukuja kutsutaan koprime.
Määritelmä. Luonnollisia lukuja kutsutaan koprime jos niiden suurin yhteinen jakaja (gcd) on 1.
Suurin yhteinen jakaja (GCD) löytyy kirjoittamatta kaikkia annettujen lukujen jakajia.
Laskemalla luvut 48 ja 36 saamme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvistä tekijöistä poistetaan ne, jotka eivät sisälly toisen luvun laajennukseen (eli kaksi kakkosta).
Jäljelle jää kertoimet 2 * 2 * 3. Niiden tulo on 12. Tämä luku on lukujen 48 ja 36 suurin yhteinen jakaja. Myös kolmen tai useamman luvun suurin yhteinen jakaja löytyy.
Löytää suurin yhteinen jakaja
2) yliviivaa yhden näistä luvuista laajennukseen sisältyvistä tekijöistä ne, jotka eivät sisälly muiden lukujen laajennukseen;
3) etsi muiden tekijöiden tulo.
Jos kaikki annetut luvut ovat jaollisia yhdellä niistä, tämä luku on suurin yhteinen jakaja annettuja numeroita.
Esimerkiksi lukujen 15, 45, 75 ja 180 suurin yhteinen jakaja on 15, koska se jakaa kaikki muut luvut: 45, 75 ja 180.
Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM)
Määritelmä. Vähiten yhteinen kerrannainen (LCM) luonnolliset luvut a ja b ovat pienin luonnollinen luku, joka on sekä a:n että b:n kerrannainen. Lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen (LCM) löytyy kirjoittamatta näiden lukujen kerrannaisia peräkkäin. Tätä varten jaamme 75 ja 60 yksinkertaisiksi tekijöiksi: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjoitetaan näistä ensimmäisen luvun laajennukseen sisältyvät tekijät ja lisätään niihin toisen luvun laajennuksesta puuttuvat tekijät 2 ja 2 (eli yhdistämme tekijät).
Saamme viisi tekijää 2 * 2 * 3 * 5 * 5, joiden tulo on 300. Tämä luku on lukujen 75 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen.
Etsi myös kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen.
Vastaanottaja löytää pienin yhteinen kerrannainen useita luonnollisia lukuja, tarvitset:
1) hajottaa ne alkutekijöiksi;
2) kirjoita yhden luvun laajennukseen sisältyvät tekijät;
3) lisää niihin puuttuvat tekijät jäljellä olevien lukujen laajennuksista;
4) löytää tuloksena olevien tekijöiden tulo.
Huomaa, että jos jokin näistä luvuista on jaollinen kaikilla muilla luvuilla, tämä luku on näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen.
Esimerkiksi lukujen 12, 15, 20 ja 60 pienin yhteinen kerrannainen olisi 60, koska se on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla.
Pythagoras (VI vuosisata eaa.) opiskelijoineen tutki lukujen jaollisuutta. Lukua, joka on yhtä suuri kuin kaikkien sen jakajien summa (ilman itse numeroa), he kutsuivat täydelliseksi luvuksi. Esimerkiksi luvut 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ovat täydellisiä. Seuraavat täydelliset luvut ovat 496, 8128, 33 550 336. Pythagoralaiset tiesivät vain kolme ensimmäistä täydellistä lukua. Neljäs - 8128 - tuli tunnetuksi 1. vuosisadalla. n. e. Viides - 33 550 336 - löydettiin 1400-luvulla. Vuoteen 1983 mennessä tiedettiin jo 27 täydellistä numeroa. Mutta toistaiseksi tiedemiehet eivät tiedä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, onko olemassa suurinta täydellistä lukua.
Muinaisten matemaatikoiden kiinnostus alkulukuja kohtaan johtuu siitä, että mikä tahansa luku on joko alkuluku tai se voidaan esittää alkulukujen tulona, eli alkuluvut ovat kuin tiiliä, joista loput luonnolliset luvut rakennetaan.
Olet luultavasti huomannut, että luonnollisten lukujen sarjassa alkuluvut esiintyvät epätasaisesti - joissakin osissa sarjaa niitä on enemmän, toisissa - vähemmän. Mutta mitä pidemmälle siirrymme numerosarjassa, sitä harvinaisempia alkuluvut ovat. Herää kysymys: onko viimeinen (suurin) alkuluku olemassa? Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid (3. vuosisata eKr.) osoitti kirjassaan "Alku", joka oli matematiikan pääoppikirja kaksituhatta vuotta, että alkulukuja on äärettömän monta, eli jokaisen alkuluvun takana on parillinen. suurempi alkuluku.
Alkulukujen löytämiseksi toinen saman ajan kreikkalainen matemaatikko Eratosthenes keksi tällaisen menetelmän. Hän kirjoitti muistiin kaikki luvut yhdestä johonkin numeroon ja ylitti sitten yksikön, joka ei ole alku- eikä yhdistelmäluku, ja sitten ylitti yhden kautta kaikki luvun 2 jälkeen (luvut, jotka ovat 2:n kerrannaisia, eli 4, 6, 8 jne.). Ensimmäinen jäljellä oleva luku 2:n jälkeen oli 3. Sitten kahden jälkeen kaikki numerot 3:n jälkeen yliviivattiin (luvut, jotka ovat 3:n kerrannaisia, eli 6, 9, 12 jne.). lopulta vain alkuluvut jäivät yliviivaamatta.
Matemaattiset lausekkeet ja tehtävät vaativat paljon lisätietoa. NOC on yksi tärkeimmistä, aiheessa erityisen usein käytetty aihe.Aihetta opiskellaan lukiossa, vaikka materiaalin ymmärtäminen ei ole erityisen vaikeaa, ei valtuuksia ja kertotaulua tuntevan ihmisen ole vaikea valita. tarvittavat numerot ja etsi tulos.
Määritelmä
Yhteinen kerrannainen on luku, joka voidaan jakaa kokonaan kahdeksi luvuksi samanaikaisesti (a ja b). Useimmiten tämä luku saadaan kertomalla alkuperäiset luvut a ja b. Numeron on oltava jaollinen molemmilla luvuilla kerralla ilman poikkeamia.
NOC on lyhyt nimi, joka on otettu ensimmäisistä kirjaimista.
Tapoja saada numero
LCM:n löytämiseksi lukujen kertomismenetelmä ei aina sovellu, se sopii paljon paremmin yksinkertaisille yksi- tai kaksinumeroisille numeroille. On tapana jakaa tekijöihin, mitä suurempi luku, sitä enemmän tekijöitä on.
Esimerkki #1
Yksinkertaisimmassa esimerkissä koulut käyttävät yleensä yksinkertaisia, yksi- tai kaksinumeroisia lukuja. Esimerkiksi, sinun on ratkaistava seuraava tehtävä, löydettävä lukujen 7 ja 3 pienin yhteinen kerrannainen, ratkaisu on melko yksinkertainen, vain kerro ne. Tuloksena on numero 21, pienempää numeroa ei yksinkertaisesti ole.
Esimerkki #2
Toinen vaihtoehto on paljon vaikeampi. Numerot 300 ja 1260 on annettu, LCM:n löytäminen on pakollista. Tehtävän ratkaisemiseksi oletetaan seuraavat toimet:
Ensimmäisen ja toisen luvun hajottaminen yksinkertaisimpiin tekijöihin. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Ensimmäinen vaihe on saatu päätökseen.
Toisessa vaiheessa työskennellään jo saatujen tietojen kanssa. Jokaisen vastaanotetun numeron on osallistuttava lopputuloksen laskemiseen. Kullekin tekijälle suurin määrä esiintymiä otetaan alkuperäisistä luvuista. LCM on yleinen luku, joten numeroiden tekijät on toistettava siinä viimeiseen, myös ne, jotka ovat yhdessä kopiossa. Molempien alkulukujen koostumuksessa on luvut 2, 3 ja 5, eri asteilla, 7 on vain yhdessä tapauksessa.
Laskeaksesi lopullisen tuloksen, sinun on otettava yhtälöön jokainen luku niiden edustamien potenssien suurimmalla luvulla. Jää vain kertoa ja saada vastaus, oikealla täytöllä tehtävä sopii kahteen vaiheeseen ilman selitystä:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Se on koko tehtävä, jos yrität laskea halutun luvun kertomalla, vastaus ei todellakaan ole oikea, koska 300 * 1260 = 378 000.
Tutkimus:
6300 / 300 = 21 - totta;
6300 / 1260 = 5 on oikein.
Tuloksen oikeellisuus määritetään tarkistamalla - jakamalla LCM molemmilla alkuperäisillä luvuilla, jos luku on molemmissa tapauksissa kokonaisluku, niin vastaus on oikea.
Mitä NOC tarkoittaa matematiikassa
Kuten tiedät, matematiikassa ei ole yhtään hyödytöntä funktiota, tämä ei ole poikkeus. Tämän luvun yleisin tarkoitus on tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Mitä yleensä opiskellaan lukion 5-6 luokilla. Se on lisäksi yhteinen jakaja kaikille kerrannaisille, jos tällaiset ehdot ovat ongelmassa. Tällainen lauseke voi löytää paitsi kahden luvun, myös paljon suuremman luvun jakson - kolme, viisi ja niin edelleen. Mitä enemmän numeroita - sitä enemmän toimintoja tehtävässä, mutta tämän monimutkaisuus ei kasva.
Esimerkiksi, kun otetaan huomioon luvut 250, 600 ja 1500, sinun on löydettävä niiden kokonais-LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - tämä esimerkki kuvaa tekijöiden jakamisen yksityiskohtaisesti ilman vähentämistä.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Lausekkeen muodostamiseksi on mainittava kaikki tekijät, tässä tapauksessa annetaan 2, 5, 3 - kaikille näille luvuille on määritettävä enimmäisaste.
Huomio: kaikki kertoimet on yksinkertaistettava täysin, jos mahdollista, hajottamalla yksinumerotasolle.
Tutkimus:
1) 3000 / 250 = 12 - totta;
2) 3000 / 600 = 5 - tosi;
3) 3000 / 1500 = 2 on oikein.
Tämä menetelmä ei vaadi temppuja tai nerotason kykyjä, kaikki on yksinkertaista ja selkeää.
Toinen tapa
Matematiikassa paljon liittyy toisiinsa, paljon voidaan ratkaista kahdella tai useammalla tavalla, sama pätee pienimmän yhteiskerran, LCM:n löytämiseen. Seuraavaa menetelmää voidaan käyttää yksinkertaisten kaksinumeroisten ja yksinumeroisten lukujen tapauksessa. Kootaan taulukko, johon kerroin syötetään pystysuunnassa, kerroin vaakasuunnassa ja tulo merkitään sarakkeen leikkaaviin soluihin. Voit heijastaa taulukkoa viivan avulla, numero otetaan ja tulokset kertomalla tämä luku kokonaisluvuilla kirjoitetaan riville, 1:stä äärettömään, joskus 3-5 pistettä riittää, toinen ja sitä seuraavat luvut alistetaan samaan laskentaprosessiin. Kaikkea tapahtuu, kunnes yhteinen moninkertainen löytyy.
Kun otetaan huomioon luvut 30, 35, 42, sinun on löydettävä LCM, joka yhdistää kaikki luvut:
1) 30:n kertoimet: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 jne.
2) 35:n kertoimet: 70, 105, 140, 175, 210, 245 jne.
3) 42:n kertoimet: 84, 126, 168, 210, 252 jne.
On huomattava, että kaikki luvut ovat melko erilaisia, ainoa yhteinen luku niiden joukossa on 210, joten se on LCM. Tähän laskelmaan liittyvien prosessien joukossa on myös suurin yhteinen jakaja, joka lasketaan vastaavien periaatteiden mukaan ja jota usein kohdataan viereisissä ongelmissa. Ero on pieni, mutta riittävän merkittävä, LCM sisältää luvun, joka on jaollinen kaikilla annetuilla alkuarvoilla, ja GCD olettaa laskevan suurimman arvon, jolla alkuluvut jaetaan.
Suurin yhteinen jakaja
Määritelmä 2
Jos luonnollinen luku a on jaollinen luonnollisella luvulla $b$, niin $b$ kutsutaan luvun $a$ jakajaksi ja lukua $a$ luvun $b$ kerrannaiseksi.
Olkoot $a$ ja $b$ luonnollisia lukuja. Lukua $c$ kutsutaan sekä $a$:n että $b$:n yhteiseksi jakajaksi.
Lukujen $a$ ja $b$ yhteisten jakajien joukko on äärellinen, koska mikään näistä jakajista ei voi olla suurempi kuin $a$. Tämä tarkoittaa, että näiden jakajien joukossa on suurin, jota kutsutaan lukujen $a$ ja $b$ suurimmaksi yhteiseksi jakajaksi, ja sitä merkitään merkinnällä:
$gcd \ (a;b) \ tai \ D \ (a;b)$
Kahden luvun suurimman yhteisen jakajan löytäminen:
- Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.
Esimerkki 1
Etsi lukujen $121$ ja $132.$ gcd
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Valitse numerot, jotka sisältyvät näiden numeroiden laajennukseen
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.
$gcd=2\cdot 11=22$
Esimerkki 2
Etsi monomioiden GCD $63$ ja $81$.
Löydämme esitetyn algoritmin mukaan. Tätä varten:
Jaetaan luvut alkutekijöiksi
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Valitsemme numerot, jotka sisältyvät näiden numeroiden laajennukseen
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Etsitään vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu suurin yhteinen jakaja.
$gcd=3\cdot 3=9$
Voit löytää kahden luvun GCD:n toisella tavalla käyttämällä numeroiden jakajien joukkoa.
Esimerkki 3
Etsi gcd numeroista $48$ ja $60$.
Päätös:
Etsi $48$:n jakajajoukko: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Etsitään nyt $60$:n jakajajoukko:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Etsitään näiden joukkojen leikkauspiste: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tämä joukko määrittää lukujen $48$ ja $60 yhteisten jakajien joukon $. Tämän sarjan suurin elementti on numero $12$. Joten suurin yhteinen jakaja $48$ ja $60$ on 12$.
Määritelmä NOC
Määritelmä 3
luonnollisten lukujen yhteinen monikerta$a$ ja $b$ on luonnollinen luku, joka on lukujen $a$ ja $b$ kerrannainen.
Yhteiset lukukerrat ovat lukuja, jotka ovat jaollisia alkuperäisellä ilman jäännöstä. Esimerkiksi lukujen $25$ ja $50$ yhteiset kerrannaiset ovat luvut $50,100,150,200$ jne.
Pienin yhteinen kerrannainen kutsutaan pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi ja sitä merkitään LCM$(a;b)$ tai K$(a;b).$
Kahden luvun LCM:n löytämiseksi tarvitset:
- Jaa luvut alkutekijöiksi
- Kirjoita ensimmäiseen numeroon kuuluvat tekijät ja lisää niihin tekijät, jotka ovat osa toista ja eivät mene ensimmäiseen
Esimerkki 4
Etsi LCM numeroista $99$ ja $77$.
Löydämme esitetyn algoritmin mukaan. Tätä varten
Jaa luvut alkutekijöiksi
99 dollaria = 3\cdot 3\cdot 11 dollaria
Kirjoita muistiin ensimmäiseen sisältyvät tekijät
lisää niihin tekijöitä, jotka ovat osa toista äläkä mene ensimmäiseen
Etsi vaiheessa 2 löydettyjen lukujen tulo. Tuloksena oleva luku on haluttu pienin yhteinen kerrannainen
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Lukujen jakajien luetteloiden laatiminen on usein hyvin aikaa vievää. On olemassa tapa löytää GCD, nimeltään Euklidesin algoritmi.
Lausumat, joihin Euklidesin algoritmi perustuu:
Jos $a$ ja $b$ ovat luonnollisia lukuja ja $a\vdots b$, niin $D(a;b)=b$
Jos $a$ ja $b$ ovat luonnollisia lukuja, niin että $b
Käyttämällä $D(a;b)= D(a-b;b)$ voimme pienentää tarkasteltavia lukuja peräkkäin, kunnes saavutamme sellaisen lukuparin, että toinen niistä on jaollinen toisella. Tällöin pienempi näistä luvuista on haluttu suurin yhteinen jakaja luvuille $a$ ja $b$.
GCD:n ja LCM:n ominaisuudet
- Mikä tahansa kohteiden $a$ ja $b$ yhteinen kerrannainen on jaollinen K$(a;b)$:lla
- Jos $a\vdots b$ , niin K$(a;b)=a$
Jos K$(a;b)=k$ ja $m$-luonnollinen luku, niin K$(am;bm)=km$
Jos $d$ on yhteinen jakaja arvoille $a$ ja $b$, niin K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jos $a\vdots c$ ja $b\vdots c$ , niin $\frac(ab)(c)$ on $a$:n ja $b$:n yhteinen kerrannainen
Kaikille luonnollisille luvuille $a$ ja $b$ yhtälö
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Mikä tahansa $a$:n ja $b$:n yhteinen jakaja on $D(a;b)$:n jakaja
Kahden luvun pienin yhteinen kerrannainen liittyy suoraan näiden lukujen suurimpaan yhteiseen jakajaan. Tämä yhteys GCD:n ja NOC:n välillä määritellään seuraavalla lauseella.
Lause.
Kahden positiivisen kokonaisluvun a ja b pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin a:n ja b:n tulo jaettuna a:n ja b:n suurimmalla yhteisellä jakajalla, eli LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).
Todiste.
Anna olla M on jokin lukujen a ja b monikerta. Eli M on jaollinen a:lla, ja jaollisuuden määritelmän mukaan on olemassa jokin kokonaisluku k, jolla yhtälö M=a·k on tosi. Mutta M on myös jaollinen b:llä, silloin a k on jaollinen b:llä.
Merkitse gcd(a, b) muodossa d . Sitten voidaan kirjoittaa yhtälöt a=a 1 ·d ja b=b 1 ·d, ja a 1 =a:d ja b 1 =b:d ovat koprime-lukuja. Siksi edellisessä kappaleessa saatu ehto, että a k on jaollinen b:llä, voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: a 1 d k on jaollinen b 1 d:llä, ja tämä on jaollisuuden ominaisuuksien vuoksi ekvivalentti ehdon kanssa, että a 1 k on jaollinen b:llä yhdellä.
Meidän on myös kirjoitettava kaksi tärkeää seurausta tarkastelusta lauseesta.
Kahden luvun yhteiset kerrannaiset ovat samat kuin niiden pienimmän yhteisen kerrannaiset.
Tämä on totta, koska mikä tahansa M luvun a ja b yhteinen kerrannainen määritellään yhtälöllä M=LCM(a, b) t jollekin kokonaislukuarvolle t .
Positiivisten koprime-lukujen a ja b pienin yhteinen kerrannainen on yhtä suuri kuin niiden tulo.
Syy tälle tosiasialle on varsin ilmeinen. Koska a ja b ovat koprime, niin gcd(a, b)=1, joten LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Kolmen tai useamman luvun pienin yhteinen kerrannainen
Kolmen tai useamman luvun pienimmän yhteisen kerrannaisen löytäminen voidaan vähentää kahden luvun LCM:n peräkkäiseen löytämiseen. Kuinka tämä tehdään, on osoitettu seuraavassa lauseessa: a 1 , a 2 , …, a k ovat yhtäpitäviä lukujen m k-1 yhteisten kerrannaisten kanssa ja a k ovat siis yhtäpitäviä luvun m k kerrannaisten kanssa. Ja koska luvun m k pienin positiivinen kerrannainen on itse luku m k, niin lukujen a 1 , a 2 , …, a k pienin yhteinen kerrannainen on m k .
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. jne. Matematiikka. Luokka 6: oppikirja oppilaitoksille.
- Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet.
- Mikhelovich Sh.Kh. Numeroteoria.
- Kulikov L.Ya. ja muut Algebran ja lukuteorian tehtäväkokoelma: Oppikirja fiz.-matin opiskelijoille. pedagogisten laitosten erikoisaloja.
