Neliöyhtälön juurien ja kertoimien välillä on juurikaavojen lisäksi muita hyödyllisiä suhteita, jotka antavat Vietan lause. Tässä artikkelissa annamme formulaation ja todisteen Vietan lauseesta toisen asteen yhtälölle. Seuraavaksi tarkastellaan lausetta, joka on päinvastainen Vietan lauseen kanssa. Sen jälkeen analysoimme tyypillisimpien esimerkkien ratkaisuja. Lopuksi kirjoitetaan muistiin Vieta-kaavat, jotka määrittelevät yhteyden todellisten juurien välillä algebrallinen yhtälö aste n ja sen kertoimet.

Sivulla navigointi.

Vietan lause, formulaatio, todistus

Neliöyhtälön a x 2 +b x+c=0 muodon juurien kaavoista , missä D=b 2 −4 a c , suhteet x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Nämä tulokset vahvistetaan Vietan lause:

Lause.

Jos x 1 ja x 2 ovat toisen asteen yhtälön a x 2 +b x+c=0 juuret, jolloin juurien summa on yhtä suuri kuin kertoimien b ja a suhde, jotka on otettu vastakkaisella merkillä ja tulo juuri on yhtä suuri kuin kertoimien c ja a suhde, eli .

Todiste.

Todistamme Vieta-lauseen seuraavan kaavan mukaan: muodostetaan toisen yhtälön juurten summa ja tulo tunnettujen juurikaavojen avulla, jonka jälkeen muunnetaan tuloksena olevat lausekkeet ja varmistetaan, että ne ovat yhtä suuria kuin −b /a ja c/a.

Aloitetaan juurien summasta, laaditaan se. Nyt tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään, meillä on. Tuloksena olevan murtoluvun osoittajassa , jonka jälkeen : . Lopulta 2:n jälkeen saamme . Tämä todistaa Vietan lauseen ensimmäisen suhteen toisen asteen yhtälön juurien summalle. Siirrytään toiseen.

Muodostamme toisen asteen yhtälön juurten tulon:. Murtolukujen kertolaskusäännön mukaan viimeinen tulo voidaan kirjoittaa muodossa. Nyt kerromme hakasulkeen osoittajassa olevalla hakasulkeella, mutta tämä tuote on nopeampaa tiivistää neliöiden erotuskaava, Joten. Sitten muistaen, suoritamme seuraavan siirtymän. Ja koska kaava D=b 2 −4 a·c vastaa toisen asteen yhtälön diskriminanttia, niin b 2 −4·a·c voidaan korvata viimeiseen murto-osaan D:n sijaan, saadaan . Hakasulkeiden avaamisen ja vastaavien termien pienentämisen jälkeen päästään murto-osaan , jonka pienennys 4·a:lla antaa . Tämä todistaa Vietan lauseen toisen suhteen juurien tulolle.

Jos jätämme pois selitykset, niin Vieta-lauseen todistus on ytimekäs:
,
.

On vain huomioitava, että kun diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla, toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri. Jos kuitenkin oletetaan, että yhtälöllä tässä tapauksessa on kaksi identtistä juuria, niin myös Vieta-lauseen yhtäläisyydet pätevät. Todellakin, kun D=0 toisen asteen yhtälön juuri on , silloin ja , ja koska D=0 , eli b 2 −4·a·c=0 , josta b 2 =4·a·c , niin .

Käytännössä Vietan lausetta käytetään useimmiten suhteessa pelkistettyyn toisen asteen yhtälöön (jolla suurin kerroin a on 1) muotoa x 2 +p·x+q=0 . Joskus se muotoillaan juuri tämän tyyppisille toisen asteen yhtälöille, mikä ei rajoita yleisyyttä, koska mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan korvata vastaavalla yhtälöllä jakamalla sen molemmat osat nollasta poikkeavalla luvulla a. Tässä on vastaava Vietan lauseen muotoilu:

Lause.

Vähennetyn toisen asteen yhtälön juurten summa x 2 + p x + q \u003d 0 on yhtä suuri kuin kerroin kohdassa x, otettuna vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on vapaa termi, eli x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Lause käänteinen Vietan lauseelle

Edellisessä kappaleessa esitetty Vieta-lauseen toinen muotoilu osoittaa, että jos x 1 ja x 2 ovat pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +p x+q=0 juuria, niin suhteet x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Toisaalta kirjoitetuista suhteista x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q seuraa, että x 1 ja x 2 ovat toisen asteen yhtälön x 2 +p x+q=0 juuria. Toisin sanoen Vietan lauseen vastainen väite on totta. Muotoilemme sen lauseen muodossa ja todistamme sen.

Lause.

Jos luvut x 1 ja x 2 ovat sellaisia, että x 1 +x 2 =−p ja x 1 x 2 =q, niin x 1 ja x 2 ovat pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +p x+q=0 juuria. .

Todiste.

Kun kertoimet p ja q on korvattu yhtälössä x 2 +p x+q=0 niiden lausekkeessa x 1:n ja x 2:n kautta, se muunnetaan ekvivalentiksi yhtälöksi.

Korvaamme luvun x 1 x:n sijaan tuloksena olevaan yhtälöön, meillä on yhtälö x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, joka mille tahansa x 1:lle ja x 2:lle on oikea numeerinen yhtälö 0=0, koska x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Siksi x 1 on yhtälön juuri x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, mikä tarkoittaa, että x 1 on ekvivalentin yhtälön x 2 +p x+q=0 juuri.

Jos yhtälössä x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 korvaa luku x 2 x:n sijaan, niin saadaan yhtäläisyys x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Tämä on oikea yhtälö, koska x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Siksi x 2 on myös yhtälön juuri x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ja siten yhtälöt x 2 +p x+q=0 .

Tämä täydentää lauseen todistamisen, joka on päinvastainen Vietan lauseen kanssa.

Esimerkkejä Vietan lauseen käytöstä

On aika puhua Vietan lauseen ja sen käänteislauseen käytännön soveltamisesta. Tässä alaosassa analysoimme useiden tyypillisimpien esimerkkien ratkaisuja.

Aloitamme soveltamalla lausetta, joka on käänteinen Vietan lauseelle. Sen avulla on kätevää tarkistaa, ovatko annetut kaksi lukua tietyn toisen asteen yhtälön juuria. Tällöin lasketaan niiden summa ja erotus, jonka jälkeen suhteiden oikeellisuus tarkistetaan. Jos nämä molemmat suhteet täyttyvät, niin Vietan lauseen kanssa käänteisen lauseen perusteella päätellään, että nämä luvut ovat yhtälön juuret. Jos ainakin yksi suhteista ei täyty, nämä luvut eivät ole toisen asteen yhtälön juuria. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä löydettyjen juurien tarkistamiseksi.

Esimerkki.

Mikä lukupareista 1) x 1 =−5, x 2 =3 vai 2) tai 3) on toisen asteen yhtälön 4 x 2 −16 x+9=0 juuripari?

Päätös.

Annetun toisen asteen yhtälön 4 x 2 −16 x+9=0 kertoimet ovat a=4 , b=−16 , c=9 . Vietan lauseen mukaan toisen asteen yhtälön juurien summan on oltava −b/a, eli 16/4=4, ja juurien tulon on oltava yhtä suuri kuin c/a, eli 9 /4.

Lasketaan nyt kunkin kolmen annetun parin lukujen summa ja tulo ja verrataan niitä juuri saatuihin arvoihin.

Ensimmäisessä tapauksessa meillä on x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Tuloksena oleva arvo on eri kuin 4, joten lisävarmennusta ei voida suorittaa, mutta lauseella, Vietan lauseen käänteisellä, voimme heti päätellä, että ensimmäinen lukupari ei ole tietyn toisen asteen yhtälön juuripari. .

Siirrytään toiseen tapaukseen. Tässä siis ensimmäinen ehto täyttyy. Tarkistamme toisen ehdon: , tuloksena oleva arvo on eri kuin 9/4 . Siksi toinen lukupari ei ole toisen asteen yhtälön juuripari.

Viimeinen tapaus jää. Täällä ja. Molemmat ehdot täyttyvät, joten nämä luvut x 1 ja x 2 ovat annetun toisen asteen yhtälön juuret.

Vastaus:

Lauseen, Vietan lauseen käänteisen, voidaan käyttää käytännössä valitsemaan toisen asteen yhtälön juuret. Yleensä valitaan annettujen toisen asteen yhtälöiden kokonaislukujuuret kokonaislukukertoimilla, koska muissa tapauksissa tämä on melko vaikeaa tehdä. Samalla he käyttävät sitä tosiasiaa, että jos kahden luvun summa on yhtä suuri kuin miinusmerkillä otettu toisen asteen yhtälön kerroin ja näiden lukujen tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi, niin nämä luvut ovat tämän toisen asteen yhtälön juuret. Käsitellään tätä esimerkin avulla.

Otetaan toisen asteen yhtälö x 2 −5 x+6=0 . Jotta luvut x 1 ja x 2 olisivat tämän yhtälön juuria, kahden yhtälön x 1 +x 2 \u003d 5 ja x 1 x 2 \u003d 6 on täytettävä. On jäljellä valita tällaiset numerot. Tässä tapauksessa tämä on melko yksinkertaista: tällaiset luvut ovat 2 ja 3, koska 2+3=5 ja 2 3=6 . Siten 2 ja 3 ovat tämän toisen asteen yhtälön juuret.

Vietan lauseen vastainen lause on erityisen kätevä pelkistetyn toisen yhtälön toisen juuren löytämiseen, kun yksi juurista on jo tiedossa tai ilmeinen. Tässä tapauksessa toinen juuri löytyy mistä tahansa suhteesta.

Otetaan esimerkiksi toisen asteen yhtälö 512 x 2 −509 x−3=0 . Tässä on helppo nähdä, että yksikkö on yhtälön juuri, koska tämän toisen asteen yhtälön kertoimien summa on nolla. Joten x 1 = 1. Toinen juuri x 2 löytyy esimerkiksi relaatiosta x 1 x 2 =c/a. Meillä on 1 x 2 = −3/512 , josta x 2 = −3/512 . Olemme siis määrittäneet toisen asteen yhtälön molemmat juuret: 1 ja −3/512.

On selvää, että juurien valinta on tarkoituksenmukaista vain yksinkertaisimmissa tapauksissa. Muissa tapauksissa juurien löytämiseksi voit soveltaa toisen asteen yhtälön juurien kaavoja diskriminantin kautta.

Toinen lauseen käytännön sovellus, Vietan lauseen käänteisversio, on toisen asteen yhtälöiden laatiminen annetuille juurille x 1 ja x 2. Tätä varten riittää, kun lasketaan juurien summa, joka antaa x:n kertoimen annetun toisen asteen yhtälön vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo, joka antaa vapaan termin.

Esimerkki.

Kirjoita toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat luvut −11 ja 23.

Päätös.

Merkitään x 1 =−11 ja x 2 =23 . Laskemme näiden lukujen summan ja tulon: x 1 + x 2 \u003d 12 ja x 1 x 2 \u003d −253. Siksi nämä luvut ovat juuret annetulle toisen asteen yhtälölle toisella kertoimella -12 ja vapaalla termillä -253. Eli x 2 −12·x−253=0 on haluttu yhtälö.

Vastaus:

x 2 −12 x −253=0 .

Vietan lausetta käytetään hyvin usein ratkaistaessa tehtäviä, jotka liittyvät toisen asteen yhtälöiden juurien etumerkkeihin. Miten Vietan lause liittyy pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 +p x+q=0 juurien etumerkkeihin? Tässä on kaksi asiaankuuluvaa lausuntoa:

• Jos leikkauspiste q on positiivinen luku ja jos toisen asteen yhtälöllä on todelliset juuret, joko ne ovat molemmat positiivisia tai molemmat ovat negatiivisia.
• Jos vapaa termi q on negatiivinen luku ja jos toisen asteen yhtälöllä on todelliset juuret, niin niiden etumerkit ovat erilaiset, toisin sanoen yksi juuri on positiivinen ja toinen negatiivinen.

Nämä väitteet johtuvat kaavasta x 1 x 2 =q sekä säännöistä positiivisten, negatiivisten ja eri etumerkillä olevien lukujen kertomiselle. Harkitse esimerkkejä niiden soveltamisesta.

Esimerkki.

R on positiivinen. Diskriminanttikaavan mukaan saadaan D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , lausekkeen r 2 arvo. +8 on positiivinen mille tahansa todelliselle r:lle, joten D>0 mille tahansa todelliselle r:lle. Siksi alkuperäisellä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria kaikille parametrin r todellisille arvoille.

Otetaan nyt selvää, milloin juurilla on erilaisia ​​merkkejä. Jos juurien merkit ovat erilaiset, niin niiden tulo on negatiivinen, ja Vieta-lauseen mukaan annetun toisen asteen yhtälön juurten tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi. Siksi olemme kiinnostuneita niistä r:n arvoista, joille vapaa termi r−1 on negatiivinen. Siten, jotta voimme löytää r:n arvot, jotka kiinnostavat meitä, meidän on tehtävä se ratkaise lineaarinen epäyhtälö r-1<0 , откуда находим r<1 .

Vastaus:

osoitteessa r<1 .

Vieta kaavat

Yllä puhuimme Vietan lauseesta toisen asteen yhtälölle ja analysoimme sen väittämiä suhteita. Mutta on kaavoja, jotka yhdistävät todelliset juuret ja kertoimet paitsi toisen asteen yhtälöiden, myös kuutioyhtälöiden, neliöyhtälöiden ja yleensä, algebralliset yhtälöt tutkinto n. Niitä kutsutaan Vieta kaavat.

Kirjoitamme Vieta-kaavat muodon n-asteen algebralliseen yhtälöön, samalla kun oletamme, että sillä on n todellista juurta x 1, x 2, ..., x n (niiden joukossa voi olla sama):

Hanki Vieta-kaavat sallivat polynomifaktorointilause, sekä yhtäläisten polynomien määrittely kaikkien niitä vastaavien kertoimien yhtäläisyyden kautta. Joten polynomi ja sen laajennus muodon lineaarisiksi tekijöiksi ovat yhtä suuret. Avaamalla hakasulkeet viimeisessä tulossa ja laskemalla vastaavat kertoimet, saadaan Vieta-kaavat.

Erityisesti n=2:lle olemme jo tuttuja Vieta-kaavoja varten toisen asteen yhtälölle.

Kuutioyhtälölle Vieta-kaavoilla on muoto

On vain huomioitava, että Vieta-kaavojen vasemmalla puolella on ns symmetriset polynomit.

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 11. painos, poistettu. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. painos - M.: Enlightenment, 2010.- 368 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Tämän tekniikan ydin on löytää juuret ilman erottelijan apua. Muotoa x2 + bx + c = 0 olevalle yhtälölle, jossa on kaksi erilaista todellista juuria, kaksi lausetta on tosi.

Ensimmäinen lause sanoo, että tämän yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin muuttujan x kertoimen arvo (tässä tapauksessa se on b), mutta päinvastaisella etumerkillä. Visuaalisesti se näyttää tältä: x1 + x2 = −b.

Toinen lause ei enää liity summaan, vaan samojen kahden juuren tuloon. Tämä tuote rinnastetaan vapaaseen kertoimeen, ts. c. Tai x1 * x2 = c. Molemmat esimerkit on ratkaistu järjestelmässä.

Vietan lause yksinkertaistaa suuresti ratkaisua, mutta sillä on yksi rajoitus. Neliöyhtälö, jonka juuret voidaan löytää tällä tekniikalla, on vähennettävä. Yllä olevassa yhtälössä kertoimelle a yksi ennen x2 on yhtä suuri kuin yksi. Mikä tahansa yhtälö voidaan pelkistää samanlaiseen muotoon jakamalla lauseke ensimmäisellä kertoimella, mutta tämä operaatio ei aina ole rationaalinen.

Todistus lauseesta

Aluksi meidän tulee muistaa, kuinka perinteen mukaan on tapana etsiä toisen asteen yhtälön juuria. Ensimmäinen ja toinen juuri löytyy, nimittäin: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Yleensä jaollinen luvulla 2a, mutta kuten jo mainittiin, lausetta voidaan soveltaa vain, kun a=1.

Vietan lauseesta tiedetään, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen miinusmerkkinen kerroin. Tämä tarkoittaa, että x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Sama pätee tuntemattomien juurien tuloon: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. D = b2-4c puolestaan ​​(taas a = 1). Osoittautuu, että tulos on: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Yllä olevasta yksinkertaisesta todistuksesta voidaan tehdä vain yksi johtopäätös: Vietan lause on täysin vahvistettu.

Toinen muotoilu ja todiste

Vietan lauseella on toinen tulkinta. Tarkemmin sanottuna se ei ole tulkinta, vaan sanamuoto. Tosiasia on, että jos samat ehdot täyttyvät kuin ensimmäisessä tapauksessa: on kaksi erilaista todellista juuria, niin lause voidaan kirjoittaa eri kaavalla.

Tämä yhtälö näyttää tältä: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Jos funktio P(x) leikkaa kaksi pistettä x1 ja x2, niin se voidaan kirjoittaa muodossa P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Siinä tapauksessa, että P:llä on toinen aste ja tältä alkuperäinen lauseke näyttää täsmälleen, niin R on alkuluku, nimittäin 1. Tämä väite on totta siitä syystä, että muuten yhtälö ei päde. Kerroin x2 sulkuja avattaessa ei saa olla suurempi kuin yksi, ja lausekkeen tulee pysyä neliön muotoisena.

Vietan lausetta käytetään usein jo löydettyjen juurien testaamiseen. Jos olet löytänyt juuret, voit laskea arvot kaavoilla \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ) ja \(q\ ). Ja jos ne osoittautuvat samoiksi kuin alkuperäisessä yhtälössä, juuret löytyvät oikein.

Esimerkiksi käytetään , ratkaistaan ​​yhtälö \(x^2+x-56=0\) ja hankitaan juuret: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Tarkastetaan, olemmeko tehneet virheen ratkaisuprosessissa. Meidän tapauksessamme \(p=1\) ja \(q=-56\). Vietan lauseen mukaan meillä on:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\nuoli vasen oikealle\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Molemmat lauseet konvergoivat, mikä tarkoittaa, että ratkaisimme yhtälön oikein.

Tämä testi voidaan tehdä suullisesti. Se kestää 5 sekuntia ja säästää tyhmiltä virheiltä.

Käänteinen Vieta-lause

Jos \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), niin \(x_1\) ja \(x_2\) ovat toisen asteen yhtälön juuret \ (x^ 2+px+q=0\).

Tai yksinkertaisella tavalla: jos sinulla on yhtälö muotoa \(x^2+px+q=0\), niin ratkaisemalla järjestelmä \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) löydät sen juuret.

Tämän lauseen ansiosta voit nopeasti löytää toisen asteen yhtälön juuret, varsinkin jos nämä juuret ovat . Tämä taito on tärkeä, sillä se säästää paljon aikaa.

Esimerkki . Ratkaise yhtälö \(x^2-5x+6=0\).

Päätös : Käyttämällä käänteistä Vieta-lausetta saadaan, että juuret täyttävät ehdot: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Katso järjestelmän \(x_1 \cdot x_2=6\) toista yhtälöä. Mihin kahdeksi luku \(6\) voidaan jakaa? \(2\) ja \(3\), \(6\) ja \(1\) tai \(-2\) ja \(-3\) ja \(-6\) ja \(- yksi\). Ja mikä pari valitaan, järjestelmän ensimmäinen yhtälö kertoo: \(x_1+x_2=5\). \(2\) ja \(3\) ovat samanlaisia, koska \(2+3=5\).
Vastaus : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Esimerkkejä . Etsi Vietan lauseen käänteistä toisen asteen yhtälön juuret:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Päätös :
a) \(x^2-15x+14=0\) - mihin tekijöihin \(14\) jakautuu? \(2\) ja \(7\), \(-2\) ja \(-7\), \(-1\) ja \(-14\), \(1\) ja \(14\ ). Mitkä lukuparit muodostavat \(15\)? Vastaus: \(1\) ja \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - mihin tekijöihin \(-4\) jakautuu? \(-2\) ja \(2\), \(4\) ja \(-1\), \(1\) ja \(-4\). Mitkä lukuparit muodostavat \(-3\)? Vastaus: \(1\) ja \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – mihin tekijöihin \(20\) jakautuu? \(4\) ja \(5\), \(-4\) ja \(-5\), \(2\) ja \(10\), \(-2\) ja \(-10\ ), \(-20\) ja \(-1\), \(20\) ja \(1\). Mitkä lukuparit muodostavat \(-9\)? Vastaus: \(-4\) ja \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - mihin tekijöihin \(780\) jakautuu? \(390\) ja \(2\). Onko niiden summa \(88\)? Ei. Mitä muita kertoimia arvolla \(780\) on? \(78\) ja \(10\). Onko niiden summa \(88\)? Joo. Vastaus: \(78\) ja \(10\).

Viimeistä termiä ei tarvitse jakaa kaikkiin mahdollisiin tekijöihin (kuten viimeisessä esimerkissä). Voit heti tarkistaa, antaako niiden summa \(-p\).

Tärkeä! Vietan lause ja käänteinen lause toimivat vain kanssa, eli sellaisen, jonka kerroin \(x^2\) edessä on yksi. Jos meillä on aluksi pelkistämätön yhtälö, voimme tehdä sen pelkistetyksi yksinkertaisesti jakamalla kertoimella \ (x ^ 2 \) edessä.

esimerkiksi, olkoon yhtälö \(2x^2-4x-6=0\) ja haluamme käyttää yhtä Vietan lauseista. Mutta emme voi, koska kerroin ennen \(x^2\) on yhtä suuri kuin \(2\). Päätetään siitä eroon jakamalla koko yhtälö \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Valmis. Nyt voimme käyttää molempia lauseita.

Vastaukset usein kysyttyihin kysymyksiin

Kysymys: Vietan lauseen mukaan voit ratkaista minkä tahansa ?
Vastaus: Valitettavasti ei. Jos yhtälössä ei ole kokonaislukuja tai yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan, niin Vietan lause ei auta. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä syrjivä . Onneksi 80 %:lla koulun matematiikan kurssin yhtälöistä on kokonaislukuratkaisuja.

Neliöllinen toiminto.

Kaavan y = ax2 + bx + c antama funktio, jossa x ja y ovat muuttujia ja a, b, c on annettu lukuja, joiden a ei ole 0 .
nimeltään neliöfunktio

Koko neliön valinta.

Kaavan johtaminen toisen asteen yhtälön juurille, niiden olemassaolon ehdot ja luvut.

on toisen asteen yhtälön diskriminantti.

Vietan suorat ja käänteiset lauseet.

Neliön trinomin hajoaminen lineaarisiksi tekijöiksi.

Lause. Anna olla

x 1 ja x 2 - neliötrinomin juuretx 2 + px + q. Sitten tämä trinomi jaetaan lineaarisiksi tekijöiksi seuraavasti:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).

Todiste. Korvaa sen sijaan

p ja qheidän ilmaisunsa läpix 1 ja x 2 ja käytä ryhmittelymenetelmää:

x 2+ px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Lause on todistettu.

Toisen asteen yhtälö. Neliön trinomiaalinen juoni

Tyyppiyhtälö

kutsutaan toisen asteen yhtälöksi. Luku D = b 2 - 4ac on tämän yhtälön erottaja.
Jos

sitten numerot

ovat toisen asteen yhtälön juuret (tai ratkaisut). Jos D = 0, niin juuret ovat samat:

Jos D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Kelvolliset kaavat:

- Vieta kaavat; a
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
faktorointikaava.
Toisen funktion (neliötrinomi) y \u003d ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli. Paraabelin sijainti kertoimen a ja diskriminantin D etumerkeistä riippuen on esitetty kuvassa.


x-akselilla olevat luvut x 1 ja x 2 ovat toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + + c \u003d 0 juuria; paraabelin kärjen koordinaatit (piste A) kaikissa tapauksissa

paraabelin ja y-akselin leikkauspisteellä on koordinaatit (0; c).
Kuten suora ja ympyrä, paraabeli jakaa tason kahteen osaan. Yhdessä näistä osista kaikkien pisteiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön y > ax 2 + bx + c, ja toisessa päinvastoin. Epäyhtälömerkki valitussa tason osassa määritetään etsimällä se jostain kohdasta tässä tason osassa.
Harkitse paraabelin (tai ympyrän) tangentin käsitettä. Suoraa y - kx + 1 kutsutaan paraabelin (tai ympyrän) tangentiksi, jos sillä on yksi yhteinen piste tämän käyrän kanssa.


Tangenssipisteessä M(x; y) paraabelille yhtälö kx + 1 = ax 2 + bx + c täyttyy (ympyrälle yhtälö (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2). Tasaamalla tuloksena olevan toisen asteen yhtälön diskriminantin nollaan (koska yhtälöllä täytyy olla ainutlaatuinen ratkaisu), päädymme ehtoihin tangentin kertoimien laskemiseksi.

Vietan lause

Olkoot ja merkitsevät pelkistetyn toisen asteen yhtälön juuret
(1) .
Silloin juurien summa on yhtä suuri kuin kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä. Juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi:
;
.

Huomautus useista juurista

Jos yhtälön (1) diskriminantti on nolla, niin tällä yhtälöllä on yksi juuri. Hankaloiden muotoilujen välttämiseksi on kuitenkin yleisesti hyväksyttyä, että tässä tapauksessa yhtälöllä (1) on kaksi monikertaista tai yhtä suurta juurta:
.

Todiste yksi

Etsitään yhtälön (1) juuret. Käytä tätä varten kaavaa toisen asteen yhtälön juurille:
;
;
.

Juurien summan löytäminen:
.

Löytääksemme tuotteen käytämme kaavaa:
.
Sitten

.

Lause on todistettu.

Todiste kaksi

Jos luvut ja ovat toisen asteen yhtälön (1) juuria, niin
.
Avaamme kiinnikkeet.

.
Siten yhtälö (1) saa muodon:
.
Vertaamalla kohtaan (1) löydämme:
;
.

Lause on todistettu.

Käänteinen Vieta-lause

Olkoon mielivaltaisia ​​lukuja. Sitten ja ovat toisen asteen yhtälön juuret
,
missä
(2) ;
(3) .

Todistus Vietan käänteislauseesta

Harkitse toisen asteen yhtälöä
(1) .
Meidän on todistettava, että jos ja , sitten ja ovat yhtälön (1) juuret.

Korvaa (2) ja (3) kohtaan (1):
.
Ryhmittelemme yhtälön vasemman puolen ehdot:
;
;
(4) .

Korvaa kohdassa (4):
;
.

Korvaa kohdassa (4):
;
.
Yhtälö on täyttynyt. Eli luku on yhtälön (1) juuri.

Lause on todistettu.

Vietan lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle

Tarkastellaan nyt täydellistä toisen asteen yhtälöä
(5) ,
missä , ja ovat joitakin numeroita. Ja .

Jaamme yhtälön (5) seuraavalla:
.
Eli olemme saaneet yllä olevan yhtälön
,
missä ; .

Silloin koko toisen asteen yhtälön Vieta-lauseella on seuraava muoto.

Olkoon ja merkitsee täydellisen toisen asteen yhtälön juuret
.
Sitten juurien summa ja tulo määritetään kaavoilla:
;
.

Vietan lause kuutioyhtälölle

Vastaavasti voimme muodostaa yhteyksiä kuutioyhtälön juurien välille. Harkitse kuutioyhtälöä
(6) ,
missä , , , on joitain numeroita. Ja .
Jaetaan tämä yhtälö:
(7) ,
missä , , .
Olkoon , , yhtälön (7) (ja yhtälön (6)) juuret. Sitten

.

Vertaamalla yhtälöön (7) saamme:
;
;
.

Vietan lause n:nnen asteen yhtälölle

Samalla tavalla voit löytää yhteyksiä n:nnen asteen yhtälön juurien , , ... , , välillä
.

Vietan lause n:nnen asteen yhtälölle on seuraavanlainen:
;
;
;

.

Saadaksemme nämä kaavat, kirjoitamme yhtälön seuraavassa muodossa:
.
Sitten samastamme kertoimet kohtaan , , , ... , ja vertaamme vapaata termiä.

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: oppikirja oppilaitosten 8. luokalle, Moskova, Koulutus, 2006.