Monomiaalinen on lauseke, joka on kahden tai useamman tekijän tulo, joista jokainen on kirjaimella, numeroilla tai potenssilla ilmaistu luku (ei-negatiivinen kokonaislukueksponentti):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Koska identtisten tekijöiden tulo voidaan kirjoittaa asteeksi, niin yksittäinen aste (ei-negatiivisella kokonaislukueksponentilla) on myös monomi:

(-4) 3 , x 5 ,

Koska kirjaimella tai numeroilla ilmaistu luku (koko tai murtoluku) voidaan kirjoittaa tämän luvun tulona yhdellä, niin mitä tahansa yksittäistä lukua voidaan pitää myös monomiina:

x, 16, -a,

Monomiaalin vakiomuoto

Monomiaalin vakiomuoto- tämä on monomi, jolla on vain yksi numeerinen tekijä, joka on ensin kirjoitettava. Kaikki muuttujat ovat aakkosjärjestyksessä ja sisältyvät monomiaaliin vain kerran.

Numerot, muuttujat ja muuttujien asteet viittaavat myös vakiomuotoisiin monomeihin:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - vakiomuotoiset monomit.

Vakiomuotoisen monomin numeerista tekijää kutsutaan monomikerroin. Monomiaalisia kertoimia 1 ja -1 ei yleensä kirjoiteta.

Jos vakiomuodon monomissa ei ole numeerista tekijää, oletetaan, että monomin kerroin on 1:

x 3 = 1 x 3

Jos vakiomuodon monomissa ei ole numeerista tekijää ja sen edessä on miinusmerkki, niin oletetaan, että monomin kerroin on -1:

-x 3 = -1 x 3

Monomiaalin pelkistys vakiomuotoon

Monomiaalin saattamiseksi vakiomuotoon tarvitset:

1. Kerro numeeriset tekijät, jos niitä on useita. Nosta numeerinen tekijä potenssiin, jos sillä on eksponentti. Aseta numerokerroin ensimmäiseksi.
2. Kerro kaikki identtiset muuttujat niin, että jokainen muuttuja esiintyy vain kerran monomiaalisessa.
3. Järjestä muuttujat numeerisen tekijän jälkeen aakkosjärjestykseen.

Esimerkki. Ilmaise monomi vakiomuodossa:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 eaa 0.5 ab 3

Päätös:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 eaa 0.5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Monomiaalin aste

Monomiaalin aste on kaikkien siinä olevien kirjainten eksponentien summa.

Jos monomi on luku, eli se ei sisällä muuttujia, sen asteen katsotaan olevan nolla. Esimerkiksi:

5, -7, 21 - nollan asteen monomiaalit.

Siksi monomialin asteen löytämiseksi sinun on määritettävä kunkin siihen sisältyvän kirjaimen eksponentti ja lisättävä nämä eksponentit. Jos kirjaimen eksponenttia ei ole määritetty, se on yhtä suuri kuin yksi.

Esimerkkejä:

Joten miten voit x eksponenttia ei ole määritelty, mikä tarkoittaa, että se on yhtä kuin 1. Monomiaali ei sisällä muita muuttujia, mikä tarkoittaa, että sen aste on yhtä suuri kuin 1.

Monomiaali sisältää vain yhden muuttujan toisessa asteessa, mikä tarkoittaa, että tämän monomin aste on 2.

3) ab 3 c 2 d

Indikaattori a on yhtä suuri kuin 1, indikaattori b- 3, ilmaisin c- 2, ilmaisin d- 1. Tämän monomin aste on yhtä suuri kuin näiden indikaattoreiden summa.

Monomiaalin aste

Monomiaalille on olemassa sen asteen käsite. Selvitetään mikä se on.

Määritelmä.

Monomiaalin aste vakiomuoto on kaikkien sen tietueeseen sisältyvien muuttujien eksponentien summa; jos monomiaalisyötössä ei ole muuttujia ja se on eri kuin nolla, sen astetta pidetään nollana; lukua nolla pidetään monomiina, jonka astetta ei ole määritelty.

Monomiaalin asteen määritelmä antaa meille mahdollisuuden antaa esimerkkejä. Monomiaalin a aste on yhtä suuri kuin yksi, koska a on a 1 . Monomiaalin 5 aste on nolla, koska se on nollasta poikkeava ja sen merkintätapa ei sisällä muuttujia. Ja tulo 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 on kahdeksannen asteen monomi, koska kaikkien muuttujien a, x ja y eksponentien summa on 2+1+3+2=8.

Muuten, sellaisen monomin aste, jota ei ole kirjoitettu vakiomuotoon, on yhtä suuri kuin vastaavan vakiomuotomonomin aste. Havainnollistaaksemme, mitä on sanottu, laskemme monomiaalin asteen 3 x 2 v 3 x (−2) x 5 v. Tämä vakiomuodossa oleva monomi on muotoa −6·x 8 ·y 4, sen aste on 8+4=12 . Siten alkuperäisen monomin aste on 12 .

Monomiaalinen kerroin

Vakiomuodossa oleva monomi, jonka merkinnöissä on vähintään yksi muuttuja, on tulo, jolla on yksi numeerinen tekijä - numeerinen kerroin. Tätä kerrointa kutsutaan monomiaalikertoimeksi. Formalisoidaan yllä oleva päättely määritelmän muotoon.

Määritelmä.

Monomiaalinen kerroin on vakiomuotoon kirjoitetun monomin numeerinen tekijä.

Nyt voimme antaa esimerkkejä erilaisten monomien kertoimista. Luku 5 on määritelmän mukaan monomin 5 a 3 kerroin, samoin monomin (−2,3) x y z kerroin on −2,3 .

Monomiaalien kertoimet, jotka ovat yhtä suuria kuin 1 ja −1, ansaitsevat erityistä huomiota. Pointti tässä on, että ne eivät yleensä ole nimenomaisesti läsnä tietueessa. Uskotaan, että vakiomuotoisten monomien kerroin, joiden merkinnässä ei ole numeerista tekijää, on yhtä suuri kuin yksi. Esimerkiksi monomiaalit a , x z 3 , a t x jne. niillä on kerroin 1, koska a voidaan pitää arvona 1 a, x z 3 1 x z 3 jne.

Vastaavasti monomiaalien kerrointa, joiden vakiomuodossa olevilla tiedoilla ei ole numeerista kerrointa ja jotka alkavat miinusmerkillä, pidetään miinus yksi. Esimerkiksi monomit −x , −x 3 y z 3 jne. on kerroin −1 , koska −x=(−1) x , −x 3 y z 3 = (−1) x 3 y z 3 jne.

Muuten, monomin kertoimen käsitettä kutsutaan usein vakiomuotoisiksi monomeiksi, jotka ovat numeroita ilman kirjaintekijöitä. Tällaisten monomilukujen kertoimet ovat näitä lukuja. Joten esimerkiksi monomin kertoimen 7 katsotaan olevan 7.

Bibliografia.

• Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. luokka. Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 17. painos, lisäys. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille): Proc. korvaus.- M.; Korkeampi koulu, 1984.-351 s., ill.

Tässä oppitunnissa annamme monominin tiukan määritelmän, tarkastelemme erilaisia ​​esimerkkejä oppikirjasta. Muista säännöt potenssien kertomisesta samalla kantalla. Määritetään monomin standardimuoto, monomin kerroin ja sen kirjaimellinen osa. Tarkastellaan kahta tyypillistä monomioperaatiota, nimittäin pelkistämistä vakiomuotoon ja monomin tietyn numeerisen arvon laskemista siihen sisältyvien kirjaimellisten muuttujien annetuille arvoille. Muotoillaan sääntö monomiaalin pelkistämiseksi vakiomuotoon. Opitaan ratkaisemaan tyypillisiä ongelmia millä tahansa monomialilla.

Aihe:monomiaalit. Aritmeettiset operaatiot monomiaaleille

Oppitunti:Monomiaalin käsite. Monomiaalin vakiomuoto

Harkitse joitain esimerkkejä:

3. ;

Etsitään yhteisiä piirteitä annetuille lausekkeille. Kaikissa kolmessa tapauksessa lauseke on potenssiin korotettujen lukujen ja muuttujien tulo. Tämän perusteella annamme monomin määritelmä : monomi on algebrallinen lauseke, joka koostuu potenssien ja lukujen tulosta.

Annamme nyt esimerkkejä lausekkeista, jotka eivät ole monomialeja:

Selvitetään näiden ja aiempien lausekkeiden välinen ero. Se koostuu siitä, että esimerkeissä 4-7 on yhteen-, vähennys- tai jakooperaatioita, kun taas esimerkeissä 1-3, jotka ovat monomeja, näitä operaatioita ei ole.

Tässä vielä muutama esimerkki:

Lauseke numero 8 on monomi, koska se on potenssin ja luvun tulo, kun taas esimerkki 9 ei ole monomi.

Otetaan nyt selvää toimet monomeilla .

1. Yksinkertaistaminen. Harkitse esimerkkiä 3 ;ja esimerkki #2 /

Toisessa esimerkissä näemme vain yhden kertoimen - , jokainen muuttuja esiintyy vain kerran, eli muuttuja " a” on esitetty yhdessä esiintymässä, kuten ””, samoin muuttujat ”” ja ”” esiintyvät vain kerran.

Esimerkissä nro 3 päinvastoin on kaksi eri kerrointa - ja , näemme muuttujan "" kahdesti - muodossa "" ja muodossa "", samoin muuttuja "" esiintyy kahdesti. Toisin sanoen tätä ilmaisua tulisi yksinkertaistaa, joten tulemme siihen ensimmäinen monomille suoritettava toimenpide on saattaa monomi vakiomuotoon . Tätä varten tuomme lausekkeen esimerkistä 3 vakiomuotoon, sitten määritämme tämän toiminnon ja opimme tuomaan mikä tahansa monomi vakiomuotoon.

Joten harkitse esimerkkiä:

Ensimmäinen vaihe standardointitoiminnassa on aina kertoa kaikki numeeriset tekijät:

;

Tämän toiminnon tulosta kutsutaan monomikerroin .

Seuraavaksi sinun on kerrottava asteet. Kerromme muuttujan asteet " X”samalla kantaluvulla kertovan potenssin säännön mukaan, joka kertoo, että eksponentit laskevat yhteen:

Kerrotaan nyt voimat klo»:

;

Joten tässä on yksinkertaistettu ilmaus:

;

Mikä tahansa monomi voidaan pelkistää vakiomuotoon. Muotoillaan standardointisääntö :

Kerro kaikki numeeriset tekijät;

Aseta tuloksena oleva kerroin ensimmäiselle paikalle;

Kerro kaikki asteet, eli hanki kirjainosa;

Eli jokaiselle monomialle on ominaista kerroin ja kirjainosa. Tulevaisuudessa huomaamme, että monomialeja, joilla on sama kirjainosa, kutsutaan samanlaisiksi.

Nyt sinun täytyy ansaita tekniikka monomien pelkistämiseksi vakiomuotoon . Harkitse esimerkkejä oppikirjasta:

Tehtävä: tuo monomi vakiomuotoon, nimeä kerroin ja kirjainosa.

Tehtävän suorittamiseksi käytämme sääntöä tuoda monomi vakiomuotoon ja asteiden ominaisuuksia.

1. ;

3. ;

Kommentteja ensimmäisestä esimerkistä: Aluksi selvitetään, onko tämä lauseke todella monomi, tätä varten tarkistamme, sisältääkö se lukujen ja potenssien kertolaskuoperaatioita ja sisältääkö se yhteen-, vähennys- tai jakolaskuja. Voimme sanoa, että tämä lauseke on monomi, koska yllä oleva ehto täyttyy. Lisäksi monomin saattamista vakiomuotoon säännön mukaan kerromme numeeriset tekijät:

- olemme löytäneet annetun monomin kertoimen;

; ; ; eli lausekkeen kirjaimellinen osa vastaanotetaan:;

kirjoita vastaus ylös: ;

Kommentteja toisesta esimerkistä: Sääntöä noudattaen suoritamme:

1) kerro numeeriset tekijät:

2) kerro potenssit:

Muuttujat ja esitetään yhtenä kopiona, eli niitä ei voi kertoa millään, ne kirjoitetaan uudelleen ilman muutoksia, aste kerrotaan:

kirjoita vastaus ylös:

;

Tässä esimerkissä monomikerroin on yhtä suuri kuin yksi ja kirjaimellinen osa on .

Kolmannen esimerkin kommentit: a Kuten edellisissä esimerkeissä, suoritamme seuraavat toiminnot:

1) kerro numeeriset tekijät:

;

2) kerro potenssit:

;

kirjoita vastaus: ;

Tässä tapauksessa monomin kerroin on yhtä suuri kuin "", ja kirjaimellinen osa .

Harkitse nyt toinen vakiotoiminto monomeilla . Koska monomi on algebrallinen lauseke, joka koostuu kirjaimellisista muuttujista, jotka voivat saada tiettyjä numeerisia arvoja, meillä on aritmeettinen numeerinen lauseke, joka pitäisi laskea. Eli seuraava polynomien operaatio on laskemalla niiden erityistä numeerista arvoa .

Harkitse esimerkkiä. Monomiaali on annettu:

tämä monomi on jo pelkistetty vakiomuotoon, sen kerroin on yhtä suuri kuin yksi ja kirjaimellinen osa

Aiemmin sanoimme, että algebrallista lauseketta ei aina voida laskea, eli sen syöttävillä muuttujilla ei välttämättä ole arvoa. Monomin tapauksessa siihen sisältyvät muuttujat voivat olla mitä tahansa, tämä on monomin ominaisuus.

Joten annetussa esimerkissä on laskettava monomin arvo kohteelle , , , .

1. Kokonaisluku positiivinen kerroin. Olkoon meillä monomi +5a, koska positiivisen luvun +5 katsotaan olevan sama kuin aritmeettinen luku 5, niin

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Myös +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc ja niin edelleen.

Näiden esimerkkien perusteella voimme todeta, että positiivinen kokonaislukukerroin osoittaa, kuinka monta kertaa monomin literaalitekijä (tai: kirjaimellisten tekijöiden tulo) toistetaan termillä.

Tähän pitäisi tottua siinä määrin, että mielikuvitukseen tulee heti ilmi, että esim. polynomissa

3a + 4a² + 5a³

asia rajoittuu siihen, että ensin a² toistetaan 3 kertaa terminä, sitten a³ toistetaan 4 kertaa terminä ja sitten a toistetaan 5 kertaa terminä.

Myös: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ jne.

2. Positiivinen murtokerroin. Otetaan monomiaali +a. Koska positiivinen luku + on sama kuin aritmeettinen luku, niin +a = a ∙ , mikä tarkoittaa: sinun on otettava kolme neljäsosaa luvusta a, ts.

Siksi: positiivinen murtokerroin näyttää kuinka monta kertaa ja mikä osa monomin kirjaimellisesta kertoimesta termillä toistetaan.

Polynomi tulee helposti esittää seuraavasti:

jne.

3. Negatiivinen kerroin. Kun tiedämme suhteellisten lukujen kertolaskua, voimme helposti todeta, että esimerkiksi (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) tai (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) tai yleensä a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); myös a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) jne.

Siksi, jos otamme monomin negatiivisen kertoimen, esimerkiksi –3a, niin

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a otetaan termiksi 3 kertaa).

Näistä esimerkeistä näemme, että negatiivinen kerroin osoittaa, kuinka monta kertaa monomin kirjainosa tai sen tietty murto-osa miinusmerkillä otettuna termillä toistetaan.

Monomiaalit ovat yksi tärkeimmistä lausekkeiden tyypeistä, joita opitaan osana koulun algebran kurssia. Tässä materiaalissa kerromme, mitä nämä lausekkeet ovat, määrittelemme niiden vakiomuodon ja näytämme esimerkkejä sekä käsittelemme niihin liittyviä käsitteitä, kuten monomin aste ja sen kerroin.

Mikä on monomi

Koulukirjat antavat yleensä seuraavan määritelmän tälle käsitteelle:

Määritelmä 1

Monomeerit sisältävät numerot, muuttujat sekä niiden asteet luonnollisella indikaattorilla ja niistä koostuvat erilaiset tuotteet.

Tämän määritelmän perusteella voimme antaa esimerkkejä tällaisista ilmauksista. Joten kaikki luvut 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 viittaavat monomeihin. Kaikki muuttujat, esimerkiksi x , a , b , p , q , t , y , z ovat myös määritelmän mukaan monomeja. Tämä sisältää myös muuttujien ja lukujen potenssit, esimerkiksi 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 ja t 15, sekä lausekkeet, kuten 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z jne. Huomaa, että monomi voi sisältää joko yhden luvun tai muuttujan tai useita, ja ne voidaan mainita useita kertoja osana yhtä polynomia.

Sellaiset luvut kuin kokonaisluvut, rationaalit ja luonnolliset luvut kuuluvat myös monomeihin. Voit myös sisällyttää tähän reaali- ja kompleksilukuja. Joten lausekkeet, kuten 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3, ovat myös monomialeja.

Mikä on monomin vakiomuoto ja kuinka lauseke muunnetaan siihen

Työn helpottamiseksi kaikki monomiaalit pelkistetään ensin erityismuotoon, jota kutsutaan tavalliseksi. Tarkennetaan, mitä tämä tarkoittaa.

Määritelmä 2

Monomiaalin vakiomuoto he kutsuvat sitä sellaiseksi muodoksi, jossa se on numeerisen tekijän ja eri muuttujien luonnollisten potenssien tulos. Numeerinen kerroin, jota kutsutaan myös monomiaalikertoimeksi, kirjoitetaan yleensä ensin vasemmalta puolelta.

Selvyyden vuoksi valitsemme useita vakiomuotoisia monomialeja: 6 (tämä on monomi ilman muuttujia), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7 . Tämä sisältää myös ilmaisun x v(tässä kerroin on yhtä suuri kuin 1), − x 3(tässä kerroin on -1).

Nyt annamme esimerkkejä monomeista, jotka on saatettava vakiomuotoon: 4 a 2 ja 3(tässä sinun täytyy yhdistää samat muuttujat), 5 x (− 1) 3 v 2(tässä sinun on yhdistettävä vasemmalla olevat numeeriset tekijät).

Yleensä siinä tapauksessa, että monomilla on useita kirjaimin kirjoitettuja muuttujia, kirjaintekijät kirjoitetaan aakkosjärjestyksessä. Esimerkiksi ensisijainen merkintä 6 a b 4 c z 2, Miten b 4 6 a z 2 c. Järjestys voi kuitenkin olla erilainen, jos laskennan tarkoitus sitä vaatii.

Mikä tahansa monomi voidaan pelkistää vakiomuotoon. Tätä varten sinun on suoritettava kaikki tarvittavat identtiset muunnokset.

Monomiaalin asteen käsite

Mukana oleva monomiasteen käsite on erittäin tärkeä. Kirjoitetaanpa tämän käsitteen määritelmä.

Määritelmä 3

Monomiaalin aste, kirjoitettu vakiomuotoon, on kaikkien sen tietueeseen sisältyvien muuttujien eksponentien summa. Jos siinä ei ole yhtä muuttujaa ja itse monomi on eri kuin 0, sen aste on nolla.

Antakaamme esimerkkejä monomian asteista.

Esimerkki 1

Joten monomilla a on aste 1, koska a = a 1 . Jos meillä on monomi 7, sen aste on nolla, koska sillä ei ole muuttujia ja se on eri kuin 0 . Ja tässä on merkintä 7 a 2 x y 3 a 2 on 8. asteen monomi, koska siihen sisältyvien muuttujien kaikkien asteiden eksponentien summa on yhtä suuri kuin 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standardoidulla monomilla ja alkuperäisellä polynomilla on sama aste.

Esimerkki 2

Näytämme kuinka monomiaalin aste lasketaan 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 v. Vakiomuodossa se voidaan kirjoittaa muodossa − 6 x 8 v 4. Laskemme tutkinnon: 8 + 4 = 12 . Näin ollen alkuperäisen polynomin aste on myös 12 .

Monomiaalikertoimen käsite

Jos meillä on standardoitu monomi, joka sisältää vähintään yhden muuttujan, puhumme siitä tuotteena, jolla on yksi numeerinen tekijä. Tätä kerrointa kutsutaan numeeriseksi kertoimeksi tai monomiaalikertoimeksi. Kirjoitetaan määritelmä ylös.

Määritelmä 4

Monomin kerroin on monomin numeerinen tekijä, joka on pelkistetty standardimuotoon.

Otetaan esimerkiksi erilaisten monomien kertoimet.

Esimerkki 3

Eli ilmaisussa 8 ja 3 kerroin on numero 8 ja in (− 2 , 3) ​​× y z he aikovat − 2 , 3 .

Erityistä huomiota tulee kiinnittää kertoimiin, jotka ovat yhtä ja miinus yksi. Niitä ei yleensä ole erikseen ilmoitettu. Uskotaan, että vakiomuotoisessa monomissa, jossa ei ole numeerista tekijää, kerroin on 1, esimerkiksi lausekkeissa a, x z 3, a t x, koska niitä voidaan pitää 1 a, x z 3 - kuten 1 x z 3 jne.

Vastaavasti monomeissa, joissa ei ole numeerista kerrointa ja jotka alkavat miinusmerkillä, voimme tarkastella kerrointa - 1.

Esimerkki 4

Esimerkiksi lausekkeilla − x, − x 3 y z 3 on tällainen kerroin, koska ne voidaan esittää muodossa − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 jne.

Jos monomilla ei ole yhtään kirjaimellista kertojaa, niin tässäkin tapauksessa voidaan puhua kertoimesta. Tällaisten monomilukujen kertoimet ovat itse näitä lukuja. Joten esimerkiksi monomin 9 kerroin on yhtä suuri kuin 9.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter