Olkoon funktio $z=f(x,y)$ määritelty ja jatkuva jossain rajoitetussa suljetussa verkkotunnuksessa $D$. Olkoon annetulla funktiolla tällä alueella äärelliset ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat (lukuun ottamatta mahdollisesti äärellistä määrää pisteitä). Kahden muuttujan funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi tietyllä suljetulla alueella tarvitaan yksinkertaisen algoritmin kolme vaihetta.
Algoritmi funktion $z=f(x,y)$ suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi suljetussa verkkotunnuksessa $D$.
- Etsi funktion $z=f(x,y)$ kriittiset pisteet, jotka kuuluvat alueeseen $D$. Laske funktioarvot kriittisissä pisteissä.
- Tutki funktion $z=f(x,y)$ käyttäytymistä alueen $D$ rajalla etsimällä mahdollisten maksimi- ja minimiarvojen pisteet. Laske funktioarvot saaduissa pisteissä.
- Valitse kahdessa edellisessä kappaleessa saaduista funktioarvoista suurin ja pienin.
Mitkä ovat kriittiset kohdat? näytä piilota
Alla kriittiset kohdat tarkoittaa pisteitä, joissa molemmat ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla (eli $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) tai ainakin yhtä osittaista johdannaista ei ole olemassa.
Usein kutsutaan pisteitä, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat yhtä kuin nolla kiinteitä pisteitä. Siten kiinteät pisteet ovat kriittisten pisteiden osajoukko.
Esimerkki #1
Etsi funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ enimmäis- ja minimiarvo suljetulla alueella, jota rajoittavat rivit $x=3$, $y=0$ ja $y=x +1 $.
Noudatamme yllä olevaa, mutta ensin käsittelemme tietyn alueen piirtämistä, jota merkitään kirjaimella $D$. Meille annetaan kolmen suoran yhtälöt, jotka rajoittavat tätä aluetta. Suora $x=3$ kulkee y-akselin suuntaisen pisteen $(3;0)$ kautta (akseli Oy). Suora $y=0$ on abskissa-akselin (Ox-akselin) yhtälö. No, rakentaaksesi suoran $y=x+1$ etsitään kaksi pistettä, joiden kautta piirretään tämä suora. Voit tietysti korvata pari mielivaltaista arvoa $x$:n sijasta. Esimerkiksi korvaamalla $x=10$, saamme: $y=x+1=10+1=11$. Olemme löytäneet pisteen $(10;11)$, joka sijaitsee viivalla $y=x+1$. On kuitenkin parempi löytää pisteet, joissa suora $y=x+1$ leikkaa suorien $x=3$ ja $y=0$. Miksi se on parempi? Koska laskemme pari lintua yhdellä iskulla: saamme kaksi pistettä suoran $y=x+1$ muodostamisesta ja samalla selvitämme missä pisteissä tämä suora leikkaa muita viivoja, jotka rajoittavat annettua alueella. Suora $y=x+1$ leikkaa suoran $x=3$ pisteessä $(3;4)$ ja suoran $y=0$ - pisteessä $(-1;0)$. Jotta ratkaisun kulku ei sotkeutuisi apuselityksillä, laitan kysymyksen näiden kahden pisteen saamisesta muistiinpanoon.
Miten pisteet $(3;4)$ ja $(-1;0)$ saatiin? näytä piilota
Aloitetaan suorien $y=x+1$ ja $x=3$ leikkauspisteestä. Halutun pisteen koordinaatit kuuluvat sekä ensimmäiselle että toiselle riville, joten tuntemattomien koordinaattien löytämiseksi sinun on ratkaistava yhtälöjärjestelmä:
$$ \vasen \( \begin(tasattu) & y=x+1;\\ & x=3. \end(tasattu) \oikea. $$
Tällaisen järjestelmän ratkaisu on triviaali: korvaamalla $x=3$ ensimmäiseen yhtälöön saadaan: $y=3+1=4$. Piste $(3;4)$ on viivojen $y=x+1$ ja $x=3$ haluttu leikkauspiste.
Etsitään nyt suorien $y=x+1$ ja $y=0$ leikkauspiste. Jälleen laadimme ja ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:
$$ \vasen \( \begin(tasattu) & y=x+1;\\ & y=0. \end(tasattu) \oikea. $$
Korvaamalla $y=0$ ensimmäiseen yhtälöön saadaan: $0=x+1$, $x=-1$. Piste $(-1;0)$ on viivojen $y=x+1$ ja $y=0$ (abskissa-akseli) haluttu leikkauspiste.
Kaikki on valmis rakentamaan piirustuksen, joka näyttää tältä:
Setelin kysymys näyttää ilmeiseltä, koska kuvasta näkyy kaikki. On kuitenkin syytä muistaa, että piirustus ei voi toimia todisteena. Kuva on vain havainnollistava selvyyden vuoksi.
Alueemme asetettiin käyttämällä sitä rajoittavia suorayhtälöitä. On selvää, että nämä viivat määrittelevät kolmion, eikö niin? Vai eikö se ole aivan ilmeistä? Tai ehkä meille annetaan eri alue, jota rajoittavat samat viivat:
Tietysti ehto sanoo, että alue on suljettu, joten esitetty kuva on väärä. Mutta tällaisten epäselvyyksien välttämiseksi on parempi määritellä alueet eriarvoisuuksilla. Olemme kiinnostuneita linjan $y=x+1$ alla olevasta koneen osasta? Ok, joten $y ≤ x+1$. Alueemme pitäisi sijaita viivan $y=0$ yläpuolella? Hienoa, joten $y ≥ 0$. Muuten, kaksi viimeistä epäyhtälöä on helppo yhdistää yhdeksi: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(tasattu) \oikea. $$
Nämä epäyhtälöt määrittelevät verkkotunnuksen $D$ ja määrittelevät sen yksiselitteisesti ilman epäselvyyksiä. Mutta kuinka tämä auttaa meitä alaviitteen alussa olevassa kysymyksessä? Se auttaa myös :) Meidän on tarkistettava, kuuluuko piste $M_1(1;1)$ alueeseen $D$. Korvataan $x=1$ ja $y=1$ tätä aluetta määrittelevään epäyhtälöjärjestelmään. Jos molemmat epäyhtälöt täyttyvät, piste on alueen sisällä. Jos ainakin yksi epäyhtälöistä ei täyty, piste ei kuulu alueelle. Niin:
$$ \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(tasattu) \oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(tasattu) \oikea.$$
Molemmat eriarvoisuudet ovat totta. Piste $M_1(1;1)$ kuuluu alueeseen $D$.
Nyt on vuoro tutkia funktion käyttäytymistä toimialueen rajalla, ts. mene. Aloitetaan suoralla $y=0$.
Suora $y=0$ (abskissa-akseli) rajoittaa aluetta $D$ ehdolla $-1 ≤ x ≤ 3$. Korvaa $y=0$ annettuun funktioon $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Tuloksena oleva yhden muuttujan $x$ korvausfunktio merkitään $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Nyt funktiolle $f_1(x)$ meidän on löydettävä suurimmat ja pienimmät arvot välillä $-1 ≤ x ≤ 3$. Etsi tämän funktion derivaatta ja vertaa se nollaan:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Arvo $x=2$ kuuluu segmenttiin $-1 ≤ x ≤ 3$, joten lisäämme pisteluetteloon myös $M_2(2;0)$. Lisäksi laskemme funktion $z$ arvot segmentin $-1 ≤ x ≤ 3$ päissä, ts. pisteissä $M_3(-1;0)$ ja $M_4(3;0)$. Muuten, jos piste $M_2$ ei kuuluisi tarkasteltavaan segmenttiin, silloin ei tietenkään tarvitsisi laskea funktion $z$ arvoa siinä.
Lasketaan siis funktion $z$ arvot pisteissä $M_2$, $M_3$, $M_4$. Voit tietysti korvata näiden pisteiden koordinaatit alkuperäisessä lausekkeessa $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Esimerkiksi pisteelle $M_2$ saamme:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Laskelmia voidaan kuitenkin hieman yksinkertaistaa. Tätä varten on syytä muistaa, että segmentillä $M_3M_4$ meillä on $z(x,y)=f_1(x)$. Selitän sen yksityiskohtaisesti:
\begin(tasattu) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(tasattu)
Tietenkään ei yleensä tarvita tällaisia yksityiskohtaisia tietueita, ja tulevaisuudessa alamme kirjoittaa kaikki laskelmat lyhyemmällä tavalla:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Käännytään nyt suoralle $x=3$. Tämä viiva rajoittaa verkkotunnusta $D$ ehdolla $0 ≤ y ≤ 4$. Korvaa $x=3$ annettuun funktioon $z$. Tällaisen korvauksen seurauksena saamme funktion $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Funktiolle $f_2(y)$ on löydettävä suurin ja pienin arvo väliltä $0 ≤ y ≤ 4$. Etsi tämän funktion derivaatta ja vertaa se nollaan:
$$ f_(2)^(")(y)=-2v+6;\\ -2v+6=0; \; y=3. $$
Arvo $y=3$ kuuluu segmenttiin $0 ≤ y ≤ 4$, joten lisäämme $M_5(3;3)$ aiemmin löydettyihin pisteisiin. Lisäksi on tarpeen laskea funktion $z$ arvo janan $0 ≤ y ≤ 4$ päissä olevista pisteistä, ts. pisteissä $M_4(3;0)$ ja $M_6(3;4)$. Pisteessä $M_4(3;0)$ olemme jo laskeneet $z$:n arvon. Lasketaan funktion $z$ arvo pisteissä $M_5$ ja $M_6$. Haluan muistuttaa, että segmentillä $M_4M_6$ meillä on $z(x,y)=f_2(y)$, joten:
\begin(tasattu) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(tasattu)
Ja lopuksi harkitse $D$:n viimeistä rajaa, ts. rivi $y=x+1$. Tämä viiva rajaa alueen $D$ ehdolla $-1 ≤ x ≤ 3$. Korvaamalla $y=x+1$ funktioon $z$, saamme:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Jälleen kerran meillä on yhden muuttujan $x$ funktio. Ja jälleen, sinun on löydettävä tämän funktion suurin ja pienin arvo segmentiltä $-1 ≤ x ≤ 3 $. Etsi funktion $f_(3)(x)$ derivaatta ja vertaa se nollaan:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Arvo $x=1$ kuuluu väliin $-1 ≤ x ≤ 3$. Jos $x=1$, niin $y=x+1=2$. Lisätään pisteluetteloon $M_7(1;2)$ ja selvitetään mikä on funktion $z$ arvo tässä vaiheessa. Janan $-1 päissä olevat pisteet ≤ x ≤ 3$, ts. Pisteitä $M_3(-1;0)$ ja $M_6(3;4)$ tarkasteltiin aiemmin, olemme jo löytäneet niistä funktion arvon.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Ratkaisun toinen vaihe on valmis. Meillä on seitsemän arvoa:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Käännytään. Valitsemalla suurimmat ja pienimmät arvot niistä numeroista, jotka saatiin kolmannessa kappaleessa, meillä on:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$
Ongelma on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.
Vastaus: $z_(min) = -4; \; z_(max)=6$.
Esimerkki #2
Etsi funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ suurin ja pienin arvo alueelta $x^2+y^2 ≤ 25$.
Rakennetaan ensin piirustus. Yhtälö $x^2+y^2=25$ (tämä on annetun alueen rajaviiva) määrittelee ympyrän, jonka keskipiste on origossa (eli pisteessä $(0;0)$) ja säde 5. Epäyhtälö $x^2 +y^2 ≤ 25$ toteuttaa kaikki mainitun ympyrän sisällä ja päällä olevat pisteet.
Toimimme eteenpäin. Etsitään osittaiset derivaatat ja selvitetään kriittiset pisteet.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2v+16. $$
Ei ole pisteitä, joissa löydettyjä osittaisia derivaattoja ei olisi olemassa. Selvitetään missä kohdissa molemmat osittaiset derivaatat ovat yhtä aikaa nolla, ts. löytää paikallaan olevia pisteitä.
$$ \left \( \begin(tasattu) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(tasattu) \oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & x =6;\\ & y=-8.\end(tasattu) \oikea.$$
Saimme kiinteän pisteen $(6;-8)$. Löytynyt piste ei kuitenkaan kuulu alueeseen $D$. Tämä on helppo näyttää ilman, että edes turvaudutaan piirtämiseen. Tarkastetaan, päteekö epäyhtälö $x^2+y^2 ≤ 25$, joka määrittelee verkkotunnuksemme $D$. Jos $x=6$, $y=-8$, niin $x^2+y^2=36+64=100$, ts. epäyhtälö $x^2+y^2 ≤ 25$ ei täyty. Johtopäätös: piste $(6;-8)$ ei kuulu alueeseen $D$.
Siten $D$:n sisällä ei ole kriittisiä pisteitä. Jatketaan, kohti. Meidän on tutkittava funktion käyttäytymistä tietyn alueen rajalla, ts. ympyrässä $x^2+y^2=25$. Voit tietysti ilmaista $y$:lla $x$ ja korvata tuloksena olevan lausekkeen funktiollamme $z$. Ympyräyhtälöstä saamme: $y=\sqrt(25-x^2)$ tai $y=-\sqrt(25-x^2)$. Korvaamalla esimerkiksi $y=\sqrt(25-x^2)$ annettuun funktioon, saamme:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Lisäratkaisu on täysin identtinen edellisen esimerkin nro 1 funktion käyttäytymisen tutkimuksen kanssa alueen rajalla. Tässä tilanteessa mielestäni on kuitenkin järkevämpää käyttää Lagrangen menetelmää. Olemme kiinnostuneita vain tämän menetelmän ensimmäisestä osasta. Lagrange-menetelmän ensimmäisen osan soveltamisen jälkeen saamme kohdat, joissa tarkastelemme funktiota $z$ minimi- ja maksimiarvoille.
Kokoamme Lagrange-funktion:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Etsimme Lagrange-funktion osittaiset derivaatat ja muodostamme vastaavan yhtälöjärjestelmän:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2v+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (tasattu) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(tasattu) \ oikea. \;\; \left \( \begin(tasattu) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( tasattu)\right.$$
Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi osoitetaan heti, että $\lambda\neq -1$. Miksi $\lambda\neq -1$? Yritetään korvata $\lambda=-1$ ensimmäisessä yhtälössä:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x = 6; \; 0=6. $$
Tuloksena oleva ristiriita $0=6$ sanoo, että arvo $\lambda=-1$ on virheellinen. Lähtö: $\lambda\neq -1$. Ilmaistaan $x$ ja $y$ muodossa $\lambda$:
\begin(tasattu) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(tasattu)
Uskon, että tässä käy ilmi, miksi määritimme erityisesti $\lambda\neq -1$ -ehdon. Tämä tehtiin lausekkeen $1+\lambda$ sovittamiseksi nimittäjiin ilman häiriöitä. Toisin sanoen on varmistettava, että nimittäjä on $1+\lambda\neq 0$.
Korvataan $x$ ja $y$ saadut lausekkeet järjestelmän kolmanteen yhtälöön, ts. $x^2+y^2=25$:ssa:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Tuloksena olevasta yhtälöstä seuraa, että $1+\lambda=2$ tai $1+\lambda=-2$. Siksi meillä on kaksi parametrin $\lambda$ arvoa, nimittäin: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Vastaavasti saamme kaksi arvoparia $x$ ja $y$:
\begin(tasattu) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(tasattu)
Saimme siis kaksi pistettä mahdollisesta ehdollisesta ääripäästä, ts. $M_1(3;-4)$ ja $M_2(-3;4)$. Etsi funktion $z$ arvot pisteistä $M_1$ ja $M_2$:
\begin(tasattu) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(tasattu)
Meidän tulee valita suurimmat ja pienimmät arvot niistä, jotka saimme ensimmäisessä ja toisessa vaiheessa. Mutta tässä tapauksessa valinta on pieni :) Meillä on:
$$z_(min) = -75; \; z_(max)=125. $$
Vastaus: $z_(min) = -75; \; z_(max) = 125 $.
Vakioalgoritmi tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi sisältää funktion nollien löytämisen jälkeen derivaatan etumerkkien määrittämisen intervalleilla. Sitten arvojen laskeminen löydetyistä maksimin (tai minimin) pisteistä ja välin rajalta riippuen siitä, mikä kysymys on kunnossa.
Suosittelen tekemään asiat hieman eri tavalla. Miksi? Kirjoitti siitä.
Ehdotan tällaisten tehtävien ratkaisemista seuraavasti:
1. Etsi derivaatta.
2. Etsi derivaatan nollat.
3. Selvitä, mitkä niistä kuuluvat annettuun väliin.
4. Laskemme funktion arvot kohdan 3 välin ja pisteiden rajoilla.
5. Teemme johtopäätöksen (vastaamme esitettyyn kysymykseen).
Esitettyjen esimerkkien ratkaisemisen aikana toisen asteen yhtälöiden ratkaisua ei käsitellä yksityiskohtaisesti, sinun pitäisi pystyä tekemään tämä. Heidänkin pitäisi tietää.
Harkitse esimerkkejä:
77422. Etsi funktion y=x suurin arvo 3 –3x+4 segmentillä [–2;0].
Etsitään derivaatan nollat:
Piste x = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Laskemme funktioarvot pisteissä –2, –1 ja 0:
Funktion suurin arvo on 6.
Vastaus: 6
77425. Etsi janan funktion y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pienin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsitään derivaatan nollat:
Piste x = 2 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Laskemme funktioarvot pisteissä 1, 2 ja 4:
Funktion pienin arvo on -2.
Vastaus: -2
77426. Etsi janan [-3; 3] funktion y \u003d x 3 - 6x 2 suurin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsitään derivaatan nollat:
Piste x = 0 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Laskemme funktioarvot pisteissä –3, 0 ja 3:
Funktion pienin arvo on 0.
Vastaus: 0
77429. Etsi janan funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pienin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Saamme juuret: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Vain x = 1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Etsi funktioarvot kohdista 1 ja 4:
Huomasimme, että funktion pienin arvo on 3.
Vastaus: 3
77430. Etsi janan [- 4; -yksi].
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Otetaan juuret:
Juuri х = –1 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Etsi funktioarvot pisteistä –4, –1, –1/3 ja 1:
Huomasimme, että funktion suurin arvo on 3.
Vastaus: 3
77433. Etsi segmentin funktion y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pienin arvo.
Etsi annetun funktion derivaatta:
Etsi derivaatan nollat, ratkaise toisen asteen yhtälö:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Otetaan juuret:
Juuri x = 4 kuuluu ehdossa määritettyyn väliin.
Löydämme funktion arvot pisteistä 0 ja 4:
Huomasimme, että funktion pienin arvo on -109.
Vastaus: -109
Harkitse menetelmää funktioiden suurimman ja pienimmän arvon määrittämiseksi ilman derivaatta. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää, jos sinulla on suuria ongelmia johdannaisen määrittelyssä. Periaate on yksinkertainen - korvaamme kaikki kokonaislukuarvot intervallista funktioon (totuus on, että kaikissa tällaisissa prototyypeissä vastaus on kokonaisluku).
77437. Etsi janan [-2; 2] funktion y \u003d 7 + 12x - x 3 pienin arvo.
Korvaamme pisteet -2:sta 2:een: Näytä ratkaisu
77434. Etsi janan [-2; 0] funktion y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 suurin arvo.
Siinä kaikki. Onnea sinulle!
Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.
P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.
Ja sen ratkaisemiseksi tarvitset vain vähän tietoa aiheesta. Seuraava lukuvuosi on loppumassa, kaikki haluavat lähteä lomalle, ja tämän hetken tuomiseksi lähemmäksi ryhdyn heti hommiin:
Aloitetaan alueesta. Ehdossa mainittu alue on rajoitettu suljettu pisteiden joukko tasossa. Esimerkiksi joukko pisteitä, joita rajoittaa kolmio, mukaan lukien KOKO kolmio (jos alkaen rajoja"Työtä ulos" vähintään yksi piste, niin aluetta ei enää suljeta). Käytännössä on myös suorakaiteen muotoisia, pyöreitä ja hieman monimutkaisempia alueita. On huomattava, että matemaattisen analyysin teoriassa annetaan tiukat määritelmät rajoitukset, eristyneisyys, rajat jne., mutta luulen, että kaikki ovat tietoisia näistä käsitteistä intuitiivisella tasolla, eikä enempää nyt tarvita.
Tasaista aluetta merkitään tavallisesti kirjaimella , ja se annetaan yleensä analyyttisesti - useilla yhtälöillä (ei välttämättä lineaarinen); harvemmin eriarvoisuutta. Tyypillinen sanallinen vaihtuvuus: "suljettu alue, jota rajoittavat rivit".
Olennainen osa käsiteltävää tehtävää on alueen rakentaminen piirustukseen. Kuinka tehdä se? On tarpeen piirtää kaikki luetellut viivat (tässä tapauksessa 3 suoraan) ja analysoida mitä tapahtui. Haluttu alue on yleensä varjostettu kevyesti ja sen reuna on korostettu lihavoidulla viivalla: 
Sama alue voidaan asettaa lineaariset epätasa-arvot: , jotka jostain syystä kirjoitetaan useammin luettelona, mutta eivät järjestelmä.
Koska raja kuuluu alueelle, kaikki epätasa-arvot tietysti ei-tiukka.
Ja nyt asian ydin. Kuvittele, että akseli menee suoraan sinulle koordinaattien origosta. Harkitse toimintoa, joka jatkuva jokaisessa alueen piste. Tämän funktion kaavio on pinta-, ja pieni onni on se, että tämän päivän ongelman ratkaisemiseksi meidän ei tarvitse tietää miltä tämä pinta näyttää ollenkaan. Se voi sijaita yläpuolella, alapuolella, ylittää tason - kaikki tämä ei ole tärkeää. Ja seuraava on tärkeää: mukaan Weierstrassin lauseet, jatkuva sisään rajoitetusti suljettu alueella, toiminto saavuttaa maksiminsa ("korkeimmasta") ja vähiten ("alhaisimmista") arvot löytyvät. Nämä arvot saavutetaan tai sisään kiinteitä pisteitä, alueelle kuuluviaD , tai pisteissä, jotka sijaitsevat tämän alueen rajalla. Tästä seuraa yksinkertainen ja läpinäkyvä ratkaisualgoritmi:
Esimerkki 1
Rajoitetulla suljetulla alueella
Päätös: Ensinnäkin sinun on kuvattava alue piirustuksessa. Valitettavasti minun on teknisesti vaikeaa tehdä vuorovaikutteista mallia ongelmasta, ja siksi annan välittömästi lopullisen kuvauksen, joka näyttää kaikki tutkimuksen aikana löydetyt "epäilyttävät" kohdat. Yleensä ne laitetaan alas yksi toisensa jälkeen, kun niitä löydetään: 
Johdanto-osan perusteella päätös voidaan kätevästi jakaa kahteen kohtaan:
I) Etsitään kiinteät pisteet. Tämä on vakiotoiminto, jonka olemme suorittaneet toistuvasti oppitunnilla. useiden muuttujien ääripäistä:
Löytyi paikallaan oleva piste kuuluu alueet: (merkitse piirustukseen), mikä tarkoittaa, että meidän pitäisi laskea funktion arvo tietyssä pisteessä:
- kuten artikkelissa Segmentin funktion suurin ja pienin arvo, Korostan tärkeät tulokset lihavoituna. Muistikirjassa niitä on kätevää ympyröidä lyijykynällä.
Kiinnitä huomiota toiseen onneemme - ei ole mitään järkeä tarkistaa riittävä kunto ääripäälle. Miksi? Vaikka siinä kohdassa funktio saavuttaa esim. paikallinen minimi, tämä EI TARKOITA, että tuloksena oleva arvo on minimaalinen koko alueella (katso oppitunnin alku ehdottomista ääripäistä) .
Entä jos paikallaan oleva piste EI kuulu alueelle? Melkein ei mitään! On huomattava, että ja siirry seuraavaan kappaleeseen.
II) Tutkimme alueen rajaa.
Koska reunus koostuu kolmion sivuista, tutkimus on kätevää jakaa kolmeen alakohtaan. Mutta parempi on olla tekemättä sitä mitenkään. Minun näkökulmastani on aluksi edullisempaa ottaa huomioon koordinaattiakseleiden suuntaiset segmentit ja ennen kaikkea itse akseleilla sijaitsevat segmentit. Ymmärtääksesi koko toimien järjestyksen ja logiikan, yritä tutkia loppua "yhdessä hengityksessä":
1) Käsitellään kolmion alasivua. Tätä varten korvaamme suoraan funktioon:
Vaihtoehtoisesti voit tehdä sen seuraavasti: 
Geometrisesti tämä tarkoittaa, että koordinaattitaso (joka saadaan myös yhtälöstä)"leikata" pois pinnat"tilallinen" paraabeli, jonka huippu joutuu välittömästi epäilyyn. Otetaan selvää missä hän on:
- tuloksena oleva arvo "osui" alueella, ja se voi hyvinkin olla siinä kohdassa (merkki piirustukseen) funktio saavuttaa suurimman tai pienimmän arvon koko alueella. Joka tapauksessa, tehdään laskelmat:
Muut "ehdokkaat" ovat tietysti segmentin päätteitä. Laske funktion arvot pisteissä 
(merkki piirustukseen):
Täällä muuten voit suorittaa suullisen minitarkistuksen "riisoidulle" versiolle: 
2) Kolmion oikean puolen tutkimiseksi korvaamme sen funktiolla ja "saamme asiat siellä järjestykseen":
Täällä suoritamme välittömästi karkean tarkistuksen "soittamalla" segmentin jo käsiteltyä loppua:
, täydellinen.
Geometrinen tilanne liittyy edelliseen kohtaan:
- tuloksena oleva arvo "pääsi myös etujemme piiriin", mikä tarkoittaa, että meidän on laskettava, mikä funktio on yhtä suuri ilmestyneessä kohdassa:
Tarkastellaan segmentin toista päätä:
Toiminnon käyttäminen 
, tarkistetaan: 
3) Kaikki luultavasti tietävät kuinka tutkia jäljellä olevaa puolta. Korvaamme toimintoon ja teemme yksinkertaistuksia:
Linja päättyy 
on jo tutkittu, mutta luonnoksesta tarkistamme silti, löysimmekö toiminnon oikein 
:
– osui yhteen ensimmäisen alakohdan tuloksen kanssa;
– osui yhteen toisen alakohdan tuloksen kanssa.
On vielä selvitettävä, onko segmentissä jotain mielenkiintoista:
- on! Korvaamalla yhtälöön suoran, saamme tämän "mielenkiintoisuuden" ordinaatin:
Merkitsemme piirustukseen pisteen ja löydämme funktion vastaavan arvon:
Ohjataan laskelmia "budjetti"-version mukaan 
:
, Tilaus.
Ja viimeinen vaihe: Selaa huolellisesti kaikki "rasvat" numerot, suosittelen jopa aloittelijoille yhden luettelon tekemistä: 
joista valitsemme suurimmat ja pienimmät arvot. Vastaus Kirjoita etsimisongelman tyyliin segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot:
Varmuuden vuoksi kommentoin vielä kerran tuloksen geometrista merkitystä:
– tässä on alueen korkein kohta;
- Tässä on pinnan alin kohta alueella.
Analysoidusta ongelmasta löytyi 7 ”epäilyttävää” pistettä, mutta niiden määrä vaihtelee tehtävästä toiseen. Kolmionmuotoisen alueen vähimmäis "tutkimusjoukko" koostuu kolmesta pisteestä. Tämä tapahtuu, kun toiminto esimerkiksi asetetaan kone- on melko selvää, että paikallaan olevia pisteitä ei ole, ja funktio voi saavuttaa maksimi- / minimiarvot vain kolmion kärjessä. Mutta sellaisia esimerkkejä ei ole kerran, kahdesti - yleensä sinun täytyy käsitellä jonkinlaista toisen asteen pinta.
Jos ratkaiset tällaisia tehtäviä vähän, kolmiot voivat saada pääsi pyörimään, ja siksi olen valmistellut sinulle epätavallisia esimerkkejä, jotta siitä tulee neliön :))
Esimerkki 2
Etsi funktion suurin ja pienin arvo 
suljetulla alueella, jota rajaavat viivat
Esimerkki 3
Etsi funktion suurin ja pienin arvo rajoitetulla suljetulla alueella.
Kiinnitä erityistä huomiota alueen rajan tutkimisen järkevään järjestykseen ja tekniikkaan sekä välitarkastusten ketjuun, joka välttää lähes kokonaan laskentavirheet. Yleisesti ottaen voit ratkaista sen haluamallasi tavalla, mutta joissakin ongelmissa, esimerkiksi samassa esimerkissä 2, on kaikki mahdollisuudet vaikeuttaa elämääsi merkittävästi. Likimääräinen esimerkki tehtävien viimeistelystä oppitunnin lopussa.
Systematisoimme ratkaisualgoritmin, muuten se hämähäkin ahkeruudellani jotenkin eksyi 1. esimerkin pitkään kommenttiketjuun:
- Ensimmäisessä vaiheessa rakennamme alueen, se on toivottavaa varjostaa ja korostaa reunaa lihavoitulla viivalla. Ratkaisun aikana ilmestyy pisteitä, jotka on laitettava piirustukseen.
– Etsi kiinteät pisteet ja laske funktion arvot vain niissä, jotka kuuluvat alueelle . Saadut arvot on korostettu tekstissä (esimerkiksi ympyröity kynällä). Jos paikallaan oleva piste EI kuulu alueelle, merkitsemme tämän tosiasian kuvakkeella tai suullisesti. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole ollenkaan, teemme kirjallisen johtopäätöksen, että ne puuttuvat. Joka tapauksessa tätä kohtaa ei voi ohittaa!
– Raja-alueen tutkiminen. Ensinnäkin on edullista käsitellä suoria viivoja, jotka ovat yhdensuuntaisia koordinaattiakseleiden kanssa (jos sellaisia on). Myös "epäilyttävissä" kohdissa lasketut funktioarvot korostetaan. Yllä olevasta ratkaisutekniikasta on puhuttu paljon ja jotain muuta sanotaan alla - lue, lue uudelleen, syvenny!
- Valitse valituista numeroista suurin ja pienin arvo ja anna vastaus. Joskus käy niin, että toiminto saavuttaa tällaiset arvot useissa kohdissa kerralla - tässä tapauksessa kaikkien näiden pisteiden tulisi näkyä vastauksessa. Olkoon esim. 
ja kävi ilmi, että tämä on pienin arvo. Sitten kirjoitamme sen
Viimeiset esimerkit on omistettu muille hyödyllisille ideoille, joista on hyötyä käytännössä:
Esimerkki 4
Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella 
.
Muistutan sinua siitä epälineaarinen kohtasimme eriarvoisuuksia ja jos et ymmärrä merkinnän geometrista merkitystä, älä viivyttele ja selvennä tilannetta heti ;-)
Päätös, kuten aina, alkaa alueen rakentamisesta, joka on eräänlainen "pohja": 
Hmm, joskus joudut närästämään tieteen graniitin lisäksi...
I) Etsi kiinteät pisteet: 
Idiootin unelmajärjestelmä :) 
Kiinteä piste kuuluu alueelle, eli sijaitsee sen rajalla.
Ja niin, ei se mitään... hauska oppitunti meni - sitähän se oikean teen juominen tarkoittaa =)
II) Tutkimme alueen rajaa. Aloitetaan ilman pitkiä puheita x-akselista:
1) Jos , niin
Selvitä, missä paraabelin huippu on:
- Arvosta sellaisia hetkiä - "lyö" suoraan siihen pisteeseen, josta kaikki on jo selvää. Mutta älä unohda tarkistaa: 
Lasketaan funktion arvot segmentin päissä: 
2) Käsittelemme "pohjan" alaosaa "yhdellä istumalla" - korvaamme sen toimintoon ilman komplekseja, ja lisäksi olemme kiinnostuneita vain segmentistä:
Kontrolli:
Nyt tämä tuo jo piristystä yksitoikkoiseen ajoon uurretulla radalla. Etsitään kriittiset kohdat:
Me päätämme toisen asteen yhtälö muistatko tämän? ... Muista kuitenkin, että muuten et olisi lukenut näitä rivejä =) Jos kahdessa edellisessä esimerkissä desimaalimurtolaskutoimitus oli kätevää (mikä on muuten harvinaista), niin tässä odotellaan tavallisia tavallisia murtolukuja. Löydämme "x"-juuret ja määritämme yhtälön avulla "ehdokas"-pisteiden vastaavat "pelin" koordinaatit: 
Lasketaan funktion arvot löydetyistä pisteistä: 
Tarkista toiminto itse.
Nyt tutkimme huolellisesti voitetut pokaalit ja kirjoitamme ylös vastaus:
Tässä ovat "ehdokkaat", joten "ehdokkaat"!
Itsenäinen ratkaisu:
Esimerkki 5
Etsi funktion pienin ja suurin arvo 
suljetulla alueella 
Merkintä, jossa on kiharat aaltosulkeet, kuuluu näin: "joukko pisteitä, niin että".
Joskus he käyttävät tällaisissa esimerkeissä Lagrangen kerroinmenetelmä, mutta todellista tarvetta käyttää sitä ei todennäköisesti esiinny. Joten esimerkiksi, jos annetaan funktio, jolla on sama verkkotunnus "de", niin sen korvaamisen jälkeen - johdannaisella, jolla ei ole vaikeuksia; Lisäksi kaikki on piirretty "yhdelle riville" (kylteillä) ilman, että ylempää ja alempaa puoliympyrää tarvitsee tarkastella erikseen. Mutta tietysti on monimutkaisempia tapauksia, joissa ei ole Lagrange-toimintoa (jossa esimerkiksi on sama ympyräyhtälö) siitä on vaikea selviytyä - kuinka vaikeaa onkaan tulla toimeen ilman hyvää lepoa!
Kaikkea hyvää istunnon läpäisemiseen ja nähdään pian ensi kaudella!
Ratkaisut ja vastaukset:
Esimerkki 2: Päätös: piirrä alue piirustukseen:
Ongelmalause 2:
Annettu funktio, joka on määritelty ja jatkuva jollain aikavälillä . On löydettävä funktion suurin (pienin) arvo tällä aikavälillä.
Teoreettinen perusta.
Lause (toinen Weierstrassin lause):
Jos funktio on määritelty ja jatkuva suljetulla aikavälillä, se saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa tällä välillä.
Funktio voi saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa joko intervallin sisäisissä pisteissä tai sen rajoilla. Havainnollistetaan kaikki mahdolliset vaihtoehdot. 
Selitys:
1) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa intervallin vasemmalla reunalla pisteessä ja minimiarvonsa intervallin oikealla reunalla pisteessä .
2) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä (tämä on maksimipiste) ja minimiarvonsa intervallin oikealla rajalla pisteessä.
3) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa intervallin vasemmalla reunalla pisteessä ja minimiarvonsa pisteessä (tämä on minimipiste).
4) Funktio on vakio välissä, ts. se saavuttaa minimi- ja maksimiarvonsa missä tahansa välin kohdassa, ja minimi- ja maksimiarvot ovat samat.
5) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä ja minimiarvonsa pisteessä (huolimatta siitä, että funktiolla on sekä maksimi että minimi tällä välillä).
6) Funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä (tämä on maksimipiste) ja minimiarvonsa pisteessä (tämä on minimipiste).
Kommentti:
"Maksimi" ja "maksimiarvo" ovat eri asioita. Tämä seuraa maksimin määritelmästä ja lauseen "maksimiarvo" intuitiivisesta ymmärtämisestä.
Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi 2.
4) Valitse saaduista arvoista suurin (pienin) ja kirjoita vastaus muistiin.
Esimerkki 4:
Määritä funktion suurin ja pienin arvo 
segmentillä.
Päätös:
1) Etsi funktion derivaatta. 
2) Etsi stationaariset pisteet (ja pisteet, jotka epäilevät ääripäätä) ratkaisemalla yhtälö . Kiinnitä huomiota pisteisiin, joissa ei ole kaksipuolista äärellistä derivaatta. 
3) Laske funktion arvot kiinteissä pisteissä ja intervallin rajoilla.
4) Valitse saaduista arvoista suurin (pienin) ja kirjoita vastaus muistiin.
Tämän janan funktio saavuttaa maksimiarvonsa pisteessä, jossa on koordinaatit.
Tämän janan funktio saavuttaa minimiarvonsa pisteessä, jossa on koordinaatit.
Voit tarkistaa laskelmien oikeellisuuden katsomalla tutkittavan funktion kaaviota. 
Kommentti: Funktio saavuttaa maksimiarvonsa maksimipisteessä ja minimiarvon janan rajalla.
Erikoistapaus.
Oletetaan, että haluat löytää jonkin segmentin funktion enimmäis- ja vähimmäisarvon. Algoritmin ensimmäisen kappaleen suorittamisen jälkeen, ts. johdannaista laskettaessa käy selväksi, että esimerkiksi se ottaa vain negatiiviset arvot koko tarkasteltavasta segmentistä. Muista, että jos derivaatta on negatiivinen, funktio on laskeva. Huomasimme, että funktio pienenee koko aikavälillä. Tämä tilanne on esitetty artikkelin alussa olevassa kaaviossa nro 1.
Toiminto pienenee intervalliin, ts. sillä ei ole ääripisteitä. Kuvasta näkyy, että funktio ottaa pienimmän arvon segmentin oikealta reunalta ja suurimman arvon vasemmalta. jos intervallin derivaatta on kaikkialla positiivinen, funktio kasvaa. Pienin arvo on segmentin vasemmalla reunalla, suurin on oikealla.
