Jälleen Pythagoraan kolmio :))) Jos pala suuresta lävistäjästä suuresta pohjasta leikkauspisteeseen on merkitty x:llä, niin suorakulmaisten kolmioiden ilmeisestä samankaltaisuudesta seuraa se. x / 64 = 36 / x, joten x = 48; 48/64 = 3 / 4, joten KAIKKI suorakulmaiset kolmiot, jotka muodostuvat kantasta, lävistäjästä ja kantaan kohtisuorasta sivusta, ovat samanlaisia ​​kuin kolmio, jonka sivut ovat 3,4,5. Ainoa poikkeus on kolmio, joka muodostuu diagonaalien kappaleista ja vinosta sivusta, mutta se ei kiinnosta meitä :). (Selvyyden vuoksi kyseinen samankaltaisuus on vain TOINEN NIMINEN kulmien trigonometrinen funktio :) suuren lävistäjän ja suuren kannan välisen kulman tangentin tiedämme jo, se on 3/4, joten sini on 3/5, ja kosini on 4 /5 :)) Voit kirjoittaa heti

Vastaukset. Alempi pohja on 80, puolisuunnikkaan korkeus on 60 ja ylempi 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Aiheeseen liittyviä tehtäviä:

1. Prisman kanta on kolmio, jossa yksi sivu on 2 cm ja kaksi muuta ovat kumpikin 3 cm. Sivureuna on 4 cm ja muodostaa 45 asteen kulman perustason kanssa. yhtäläinen kuutio.

2. Kaltevan prisman kanta on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on a; yksi sivupinnoista on kohtisuorassa kannan tasoon nähden ja on rombi, jonka pienempi lävistäjä on c. Etsi prisman tilavuus.

3. Kaltevassa prismassa kanta on suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yhtä suuri kuin c, yksi terävä kulma on 30, sivureuna on yhtä suuri kuin ja muodostaa kulman 60 perustason kanssa. prisma.

1. Etsi neliön sivu, jos sen lävistäjä on 10 cm

2. Tasakylkisessä puolisuunnikkaan tylppä kulma on 135 astetta pienempi kuin pohja on 4 cm ja korkeus on 2 cm, etsitäänkö puolisuunnikkaan pinta-ala?

3. Puolisuunnikkaan korkeus on 3 kertaa suurempi kuin toinen kanta, mutta puolet toisesta. Etsi puolisuunnikkaan kantat ja korkeus, jos puolisuunnikkaan pinta-ala on 168 cm neliö?

4. Kolmiossa ABC kulma A = kulmassa = 75 astetta. Etsi BC, jos kolmion pinta-ala on 36 cm neliö.

1. Puolisuunnikkaan ABCD, jonka sivut ovat AB ja CD, diagonaalit leikkaavat pisteessä O

a) Vertaa kolmioiden ABD ja ACD alueita

b) Vertaa kolmioiden ABO ja CDO alueita

c) Todista, että OA*OB=OC*OD

2. Tasakylkisen kolmion kanta on suhteessa sivuun 4:3 ja kantaan piirretty korkeus on 30 cm. Etsi janat, joihin tämä korkeus on jaettu kannan kulman puolittajalla.

3. Suora AM -ympyrän tangentti, tämän ympyrän AB-sointu. Osoita, että kulma MAB mitataan puolella kaaresta AB, joka sijaitsee kulman MAB sisällä.

1. Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteet, on yhtä suuri kuin puolet kantojen erosta
2. Kolmiot, jotka muodostavat puolisuunnikkaan kantat ja lävistäjän segmentit niiden leikkauspisteeseen asti ovat samanlaisia
3. Kolmiot, jotka muodostuvat puolisuunnikkaan lävistäjän segmenteistä, joiden sivut ovat puolisuunnikkaan sivuilla - yhtä suuri pinta-ala (samalla alueella)
4. Jos pidennetään puolisuunnikkaan sivuja pienempää kantaa kohti, niin ne leikkaavat yhdessä pisteessä kannan keskipisteitä yhdistävän suoran kanssa
5. Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan kantat ja kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta, jaetaan tällä pisteellä suhteessa puolisuunnikkaan kantajen pituuksien suhteeseen
6. Jana, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa ja piirretty lävistäjien leikkauspisteen kautta, puolitetaan tällä pisteellä ja sen pituus on 2ab / (a ​​+ b), missä a ja b ovat puolisuunnikkaan kantat

Puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteitä yhdistävän janan ominaisuudet

Yhdistä puolisuunnikkaan ABCD diagonaalien keskipisteet, minkä seurauksena meillä on jana LM.
Jana, joka yhdistää puolisuunnikkaan diagonaalien keskipisteet sijaitsee puolisuunnikkaan keskiviivalla.

Tämä segmentti yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kannan kanssa.

Puolisuunnikkaan lävistäjien keskipisteitä yhdistävän janan pituus on yhtä suuri kuin sen kantakohtien eron puolikas.

LM = (AD - BC)/2
tai
LM = (a-b)/2

Puolisuunnikkaan diagonaalien muodostamien kolmioiden ominaisuudet

Kolmiot, jotka muodostuvat puolisuunnikkaan kantasta ja puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteestä - ovat samankaltaisia.
Kolmiot BOC ja AOD ovat samanlaisia. Koska kulmat BOC ja AOD ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret.
Kulmat OCB ja OAD ovat sisäisiä poikkisuunnassa, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla AD ja BC (puolisuunnikkaan kantat ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa) ja sekanttiviivalla AC, joten ne ovat yhtä suuret.
Kulmat OBC ja ODA ovat samat samasta syystä (sisäinen ristikkäisyys).

Koska yhden kolmion kaikki kolme kulmaa ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion vastaavat kulmat, nämä kolmiot ovat samanlaisia.

Mitä tästä seuraa?

Geometrian ongelmien ratkaisemiseksi käytetään kolmioiden samankaltaisuutta seuraavasti. Jos tiedämme samankaltaisten kolmioiden kahden vastaavan alkion pituudet, niin löydämme samankaltaisuuskertoimen (jaamme toisella). Mistä kaikkien muiden elementtien pituudet liittyvät toisiinsa täsmälleen samalla arvolla.

Sivusuunnikkaan sivuilla olevien kolmioiden ja lävistäjien ominaisuudet

Tarkastellaan kahta kolmiota, jotka sijaitsevat puolisuunnikkaan AB ja CD sivuilla. Nämä ovat kolmiot AOB ja COD. Huolimatta siitä, että näiden kolmioiden yksittäisten sivujen koot voivat olla täysin erilaisia, mutta puolisuunnikkaan sivujen ja diagonaalien leikkauspisteen muodostamien kolmioiden pinta-alat ovat, eli kolmiot ovat yhtä suuret.

Jos puolisuunnikkaan sivut pidennetään pienempää pohjaa kohti, niin sivujen leikkauspiste on osuvat yhteen kannan keskipisteiden läpi kulkevan suoran kanssa.

Siten mikä tahansa puolisuunnikasta voidaan laajentaa kolmioksi. Jossa:

• Kolmiot, jotka muodostavat puolisuunnikkaan kantat, joilla on yhteinen kärki laajennettujen sivujen leikkauspisteessä, ovat samanlaisia
• Puolisuunnikkaan kantakohtien keskipisteitä yhdistävä suora on samalla muodostetun kolmion mediaani

Puolisuunnikkaan kantat yhdistävän segmentin ominaisuudet

Jos piirrät janan, jonka päät ovat puolisuunnikkaan pohjissa, joka sijaitsee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteessä (KN), niin sen muodostavien segmenttien suhde pohjan sivulta jalan leikkauspisteeseen diagonaalit (KO / ON) on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan kantaosien suhde(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Tämä ominaisuus johtuu vastaavien kolmioiden samankaltaisuudesta (katso edellä).

Puolisuunnikkaan kantojen kanssa yhdensuuntaisen janan ominaisuudet

Jos piirrät janan, joka on yhdensuuntainen puolisuunnikkaan kantojen kanssa ja kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta, sillä on seuraavat ominaisuudet:

• Esiasetettu etäisyys (KM) puolittaa puolisuunnikkaan diagonaalien leikkauspisteen
• Leikkauspituus, joka kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen läpi ja on yhdensuuntainen kantaan nähden, on yhtä suuri kuin KM = 2ab/(a + b)

Kaavat puolisuunnikkaan diagonaalien löytämiseksi

a, b- puolisuunnikkaan pohjat

c, d- puolisuunnikkaan sivut

d1 d2- puolisuunnikkaan diagonaalit

α β - kulmat, joissa puolisuunnikkaan pohja on suurempi

Kaavat puolisuunnikkaan diagonaalien löytämiseksi kannan, sivujen ja kulmien läpi pohjassa

Ensimmäinen kaavojen ryhmä (1-3) kuvastaa yhtä puolisuunnikkaan diagonaalien pääominaisuuksista:

1. Puolisuunnikkaan diagonaalien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sivujen neliöiden summa plus kaksinkertainen kantansa tulo. Tämä puolisuunnikkaan diagonaalien ominaisuus voidaan todistaa erillisenä lauseena

2 . Tämä kaava saadaan muuntamalla edellinen kaava. Toisen lävistäjän neliö heitetään yhtäläisyysmerkin päälle, minkä jälkeen neliöjuuri erotetaan lausekkeen vasemmalta ja oikealta puolelta.

3 . Tämä kaava puolisuunnikkaan lävistäjän pituuden löytämiseksi on samanlainen kuin edellinen sillä erolla, että lausekkeen vasemmalle puolelle jää toinen diagonaali

Seuraava kaavojen ryhmä (4-5) on merkitykseltään samanlainen ja ilmaisee samanlaisen suhteen.

Kaavojen ryhmästä (6-7) voit löytää puolisuunnikkaan lävistäjän, jos tiedät puolisuunnikkaan suuremman kannan, yhden sivun ja kulman pohjassa.

Kaavat puolisuunnikkaan diagonaalien löytämiseksi korkeuden mukaan

Huomautus. Tällä oppitunnilla annetaan geometrian tehtävien ratkaisu puolisuunnikasista. Jos et ole löytänyt ratkaisua sinua kiinnostavan tyypin geometriaongelmaan - kysy kysymys foorumilla.

Tehtävä.
Puolisuunnikkaan ABCD (AD | | BC) lävistäjät leikkaavat pisteessä O. Selvitä puolisuunnikkaan kannan BC pituus, jos kanta AD = 24 cm, pituus AO = 9 cm, pituus OS = 6 cm.

Päätös.
Tämän tehtävän ratkaisu on ideologisesti täysin identtinen edellisten tehtävien kanssa.

Kolmiot AOD ja BOC ovat samanlaisia ​​kolmessa kulmassa - AOD ja BOC ovat pystysuorat, ja loput kulmat ovat pareittain yhtä suuret, koska ne muodostuvat yhden suoran ja kahden yhdensuuntaisen suoran leikkauspisteestä.

Koska kolmiot ovat samankaltaisia, niin kaikki niiden geometriset mitat liittyvät toisiinsa, kuten tehtävän ehdon perusteella meille tiedossa olevat segmenttien AO ja OC geometriset mitat. Eli

AO/OC=AD/BC
9/6 = 24/B.C.
eKr = 24 * 6 / 9 = 16

Vastaus: 16 cm

Tehtävä.
Puolisuunnikkaan ABCD:ssä tiedetään, että AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala.

Päätös.
Löytääksemme puolisuunnikkaan korkeuden pienemmän kannan B ja C kärjestä laskemme kaksi korkeutta suurempaan kantaan. Koska puolisuunnikkaan muoto on eriarvoinen, merkitsemme pituutta AM = a, pituutta KD = b ( ei pidä sekoittaa kaavan symboleihin puolisuunnikkaan alueen löytäminen). Koska puolisuunnikkaan kantat ovat yhdensuuntaiset ja olemme jättäneet pois kaksi korkeutta, jotka ovat kohtisuorassa suurempaan kantaan nähden, niin MBCK on suorakulmio.

Keinot
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Kolmiot DBM ja ACK ovat suorakulmaisia, joten niiden suorat kulmat muodostuvat puolisuunnikkaan korkeuksista. Merkitään puolisuunnikkaan korkeus h:na. Sitten Pythagoraan lauseella

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
ja
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Oletetaan, että a \u003d 16 - b, sitten ensimmäisessä yhtälössä
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Korvaa korkeuden neliön arvo toiseen yhtälöön, joka saadaan Pythagoraan lauseella. Saamme:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Siten KD = 12
Missä
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Etsi puolisuunnikkaan pinta-ala käyttämällä sen korkeutta ja puolta kantajen summasta
, jossa a b - puolisuunnikkaan kantat, h - puolisuunnikkaan korkeus
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2

Vastaus: puolisuunnikkaan pinta-ala on 80 cm2.

Jos tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit ovat kohtisuorassa, seuraava teoreettinen materiaali on hyödyllinen ongelman ratkaisemisessa.

1. Jos lävistäjät ovat kohtisuorassa tasakylkisessä puolisuunnikasessa, puolisuunnikkaan korkeus on puolet kantojen summasta.

Vedetään linja CF pisteen C läpi yhdensuuntaisesti BD:n kanssa ja jatketaan suoraa AD, kunnes se leikkaa pisteen CF.

Nelisivuinen BCFD on suunnikas (BC∥ DF puolisuunnikkaan kantana, BD∥ CF rakenteellisesti). Joten CF=BD, DF=BC ja AF=AD+BC.

Kolmio ACF on suorakulmainen (jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen suoraan). Koska tasakylkisen puolisuunnikkaan diagonaalit ovat yhtä suuret ja CF=BD, niin CF=AC, eli kolmio ACF on tasakylkinen kanta-AF:n kanssa. Siksi sen korkeus CN on myös mediaani. Ja koska hypotenuusaan vedetyn suorakulmaisen kolmion mediaani on yhtä suuri kuin puolet siitä, niin

joka voidaan kirjoittaa yleisesti nimellä

missä h on puolisuunnikkaan korkeus, a ja b ovat sen kanta.

2. Jos tasakylkisessä puolisuunnikkaan lävistäjät ovat kohtisuorassa, niin sen korkeus on yhtä suuri kuin keskiviiva.

Koska puolisuunnikkaan m keskiviiva on yhtä suuri kuin puolet kantojen summasta, niin

3. Jos lävistäjät ovat kohtisuorassa tasakylkisessä puolisuunnikkaan, niin puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan korkeuden neliö (tai kantojen puolisumman neliö tai keskiviivan neliö ).

Koska puolisuunnikkaan pinta-ala löytyy kaavasta

ja tasakylkisen puolisuunnikkaan, jossa on kohtisuorat lävistäjät, korkeus, puolet kantajen summasta ja keskiviiva ovat keskenään yhtä suuret:

4. Jos tasakylkisessä puolisuunnikkaan lävistäjät ovat kohtisuorassa, niin sen lävistäjän neliö on yhtä suuri kuin puolet kantajen summan neliöstä, samoin kuin kaksi kertaa korkeuden neliö ja kaksi kertaa keskiviivan neliö.

Koska kuperan nelikulmion pinta-ala löytyy sen diagonaalien ja niiden välisen kulman kautta kaavan avulla