Esitetään logaritmin perusominaisuudet, logaritmigraafi, määritelmäalue, arvojoukko, peruskaavat, kasvaminen ja pieneneminen. Tarkastellaan logaritmin derivaatan löytämistä. Sekä integraali, potenssisarjan laajennus ja esitys kompleksilukujen avulla.

Sisältö

Toimialue, arvojoukko, kasvava, laskeva

Logaritmi on monotoninen funktio, joten sillä ei ole ääriarvoja. Logaritmin pääominaisuudet on esitetty taulukossa.

Verkkotunnus	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Arvoalue	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Yksitoikkoinen	lisääntyy monotonisesti	vähenee monotonisesti
Nollat, y = 0	x = 1	x = 1
Leikkauspisteet ordinaattisella akselilla, x = 0	Ei	Ei
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Yksityiset arvot

Logaritmia kantaan 10 kutsutaan desimaalilogaritmi ja se on merkitty seuraavasti:

Logaritmi kantaan e nimeltään luonnollinen logaritmi:

Logaritmien peruskaavat

Käänteisfunktion määritelmästä johtuvat logaritmin ominaisuudet:

Logaritmien pääominaisuus ja sen seuraukset

Peruskorvauskaava

Logaritmi on logaritmin ottamisen matemaattinen operaatio. Logaritmeja otettaessa tekijöiden tulot muunnetaan termien summiksi.
Potentiaatio on logaritmille käänteinen matemaattinen operaatio. Potentioimisen aikana tietty emäs nostetaan ekspressioasteeseen, jolla tehostaminen suoritetaan. Tässä tapauksessa termien summat muunnetaan tekijöiden tuloiksi.

Todistus logaritmien peruskaavoista

Logaritmiin liittyvät kaavat seuraavat eksponenttifunktioiden kaavoista ja käänteisfunktion määritelmästä.

Harkitse eksponentiaalisen funktion ominaisuutta
.
Sitten
.
Sovelletaan eksponentiaalisen funktion ominaisuutta
:
.

Todistetaan peruskorvauskaava.
;
.
Olettaen c = b, meillä on:

Käänteinen funktio

Logaritmin käänteisarvo kantaan a on eksponenttifunktio, jonka eksponentti a.

Jos sitten

Jos sitten

Logaritmin derivaatta

Johdannainen moduulin x logaritmista:
.
N:nnen kertaluvun johdannainen:
.
Johtamiskaavat >>>

Logaritmin derivaatan löytämiseksi se on vähennettävä kantaan e.
;
.

Integraali

Logaritmin integraali lasketaan integroimalla osilla: .
Niin,

Kompleksilukuja käyttävät lausekkeet

Harkitse kompleksilukufunktiota z:
.
Ilmaistaan ​​kompleksiluku z moduulin kautta r ja argumentti φ :
.
Sitten logaritmin ominaisuuksia käyttämällä meillä on:
.
Tai

Argumentti kuitenkin φ ei ole yksiselitteisesti määritelty. Jos laitat
, jossa n on kokonaisluku,
silloin se on sama numero eri n.

Siksi logaritmi kompleksisen muuttujan funktiona ei ole yksiarvoinen funktio.

Power-sarjan laajennus

Kun laajennus tapahtuu:

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.

Katso myös:

Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta

Määritelmä ja ominaisuudet

Kompleksisella nollalla ei ole logaritmia, koska kompleksinen eksponentti ei ota arvoa nolla. Nollasta poikkeava $z$ voidaan esittää demonstratiivisessa muodossa:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Missä $k$- mielivaltainen kokonaisluku

Sitten $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ löytyy kaavalla:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash oikea)$

Tässä $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- todellinen logaritmi. Tästä seuraa:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash pistettä)$

Esimerkkejä kompleksisista logaritmiarvoista

Esitetään logaritmin pääarvo ( $\backslash ln$) ja sen yleinen ilmaus ( $\backslash mathrm(Ln)$) joidenkin argumenttien vuoksi:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Sinun tulee olla varovainen muuntaessasi monimutkaisia ​​logaritmeja ottaen huomioon, että ne ovat moniarvoisia, ja siksi minkä tahansa lausekkeen logaritmien yhtäläisyys ei tarkoita näiden lausekkeiden yhtäläisyyttä. Esimerkki virheellinen perustelut:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- ilmeinen virhe.

Huomaa, että vasemmalla on logaritmin pääarvo ja oikealla taustalla olevan haaran arvo ( $k\; =\; -1$). Virheen syynä on kiinteistön huolimaton käyttö $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, joka yleisesti ottaen tarkoittaa monimutkaisessa tapauksessa logaritmin koko loputonta arvosarjaa, ei vain pääarvoa.

Monimutkainen logaritminen funktio ja Riemannin pinta

Yksinkertaisen kytkeytymisensä ansiosta logaritmin Riemannin pinta on universaali peite kompleksiselle tasolle ilman pistettä $0$.

Analyyttinen jatko

Kompleksiluvun logaritmi voidaan määritellä myös todellisen logaritmin analyyttiseksi jatkoksi koko kompleksitasolle. Anna käyrän $\backslash Gamma$ alkaa yhdestä, ei kulje nollan läpi eikä ylitä todellisen akselin negatiivista osaa. Sitten logaritmin pääarvo loppupisteessä $w$ kiero $\backslash Gamma$ voidaan määrittää kaavalla:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Jos $\backslash Gamma$- yksinkertainen käyrä (ilman itseleikkauksia), sitten siinä makaaville numeroille logaritmisia identiteettejä voidaan käyttää ilman pelkoa, esimerkiksi:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Logaritmisen funktion päähaara on jatkuva ja differentioituva koko kompleksitasolla, paitsi reaaliakselin negatiivinen osa, jolla imaginaariosa muuttuu äkillisesti $2\backslash pi$. Mutta tämä tosiasia on seurausta pääarvon kuvitteellisen osan keinotekoisesta rajoittamisesta intervallin mukaan $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Jos otamme huomioon funktion kaikki haarat, jatkuvuus esiintyy kaikissa pisteissä paitsi nollassa, jossa funktiota ei ole määritelty. Jos ratkaiset käyrän $\backslash Gamma$ ylittää reaaliakselin negatiivinen osa, niin ensimmäinen tällainen leikkauspiste siirtää tuloksen pääarvohaaralta viereiseen haaraan ja jokainen seuraava leikkaus aiheuttaa samanlaisen siirtymän logaritmisen funktion haaroja pitkin (katso kuva).

Analyyttisesta jatkokaavasta seuraa, että millä tahansa logaritmin haaralla:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash z:n\; yläpuolella)$

Mille tahansa piirille $S$, joka kattaa asian $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integraali otetaan positiiviseen suuntaan (vastapäivään). Tämä identiteetti on jäämien teorian taustalla.

Voidaan myös määritellä kompleksisen logaritmin analyyttinen jatko käyttämällä todellisessa tapauksessa tunnettuja sarjoja:

{{{2}}}

(Rivi 1)

{{{2}}}

(Rivi 2)

Näiden sarjojen muodosta kuitenkin seuraa, että yhdellä sarjan summa on yhtä suuri kuin nolla, eli sarja koskee vain kompleksisen logaritmin moniarvofunktion päähaaraa. Molempien sarjojen konvergenssisäde on 1.

Yhteys käänteisten trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden kanssa

$\backslash operaattorinimi(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operaattorinimi(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operaattorinnimi(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operaattorinimi(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operaattorinimi(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operaattorinimi(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operaattorinimi(Arsh)z\; =\; \backslash operaattorinimi(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- käänteinen hyperbolinen sini $\backslash operaattorinimi(Arch)z=\backslash operaattorinimi(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash oikea)$- käänteinen hyperbolinen kosini $\backslash operaattorinimi(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operaattorinimi(Ln)\backslash vasen(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash oikea)$- käänteinen hyperbolinen tangentti $\backslash operaattorinimi(kaari)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operaattorinimi(Ln)\backslash vasen(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash oikea)$- käänteinen hyperbolinen kotangentti

Historiallinen sketsi

Ensimmäiset yritykset laajentaa logaritmia kompleksilukuihin tehtiin 1600-1700-luvun vaihteessa Leibniz ja Johann Bernoullin toimesta, mutta he eivät onnistuneet luomaan kokonaisvaltaista teoriaa pääasiassa siksi, että logaritmin käsitettä ei ollut vielä selkeästi määritelty. Keskustelu tästä aiheesta käytiin ensin Leibnizin ja Bernoullin välillä ja 1700-luvun puolivälissä D’Alembertin ja Eulerin välillä. Bernoulli ja D'Alembert uskoivat, että se olisi päätettävä $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, kun taas Leibniz osoitti, että negatiivisen luvun logaritmi on imaginaariluku. Negatiivisten ja kompleksilukujen logaritmien täydellisen teorian julkaisi Euler vuosina 1747-1751, eikä se pohjimmiltaan eroa nykyisestä. Vaikka keskustelu jatkui (D'Alembert puolusti näkemystään ja perusteli sitä yksityiskohtaisesti artikkelissa Encyclopediassa ja muissa teoksissa), Eulerin lähestymistapa sai yleismaailmallisen tunnustuksen 1700-luvun loppuun mennessä.

Kirjoita arvostelu artikkelista "Monimutkainen logaritmi"

Kirjallisuus

Logaritmien teoria

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Kompleksisen muuttujan funktioteoria. - M.: Nauka, 1967. - 304 s.
• Fikhtengolts G.M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - toim. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 s.

Logaritmien historia

• 1700-luvun matematiikka // / Toimittanut A. P. Yushkevich, kolmessa osassa. - M.: Tiede, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka. Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria. - M.: Tiede, 1981. - T. II.

Huomautuksia

1. Logaritminen funktio. //. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1982. - T. 3.
2. , osa II, s. 520-522.
3. , Kanssa. 623..
4. , Kanssa. 92-94..
5. , Kanssa. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvant Library, numero 21).
7. , osa II, s. 522-526.
8. , Kanssa. 624..
9. , Kanssa. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Matematiikan historia. Kahdessa osassa. - M.: Kustantaja. Moskovan valtionyliopisto, 1963. - T. II. - s. 27, 230-231..
11. , Kanssa. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Tiede, 1987. - T. II. Geometria. - s. 159-161. - 416 s.

Ote, joka kuvaa kompleksista logaritmia

Oli selvää, että tämä vahva, outo mies oli sen vastustamattoman vaikutuksen alaisena, jonka tämä tumma, siro, rakastava tyttö kohdistai häneen.
Rostov huomasi jotain uutta Dolokhovin ja Sonyan välillä; mutta hän ei määritellyt itselleen, millainen uusi suhde tämä oli. "He ovat kaikki rakastuneet johonkin siellä", hän ajatteli Sonyasta ja Natashasta. Mutta hän ei ollut yhtä mukava Sonyan ja Dolokhovin kanssa kuin ennen, ja hän alkoi olla kotona harvemmin.
Syksystä 1806 lähtien kaikki alkoi jälleen puhua sodasta Napoleonin kanssa vielä kiihkeämmin kuin viime vuonna. Ei vain nimitetty värvättyjä, vaan myös 9 muuta soturia tuhannesta. Kaikkialla he kirosivat Bonapartea anateemilla, ja Moskovassa puhuttiin vain tulevasta sodasta. Rostovin perheelle näiden sodan valmistelujen koko kiinnostus liittyi vain siihen, että Nikolushka ei koskaan suostunut jäämään Moskovaan ja odotti vain Denisovin loman loppua mennäkseen hänen kanssaan rykmenttiin lomien jälkeen. Tuleva lähtö ei vain estänyt häntä pitämästä hauskaa, vaan myös rohkaisi häntä tekemään niin. Hän vietti suurimman osan ajastaan ​​talon ulkopuolella illallisilla, iltaisin ja juhlilla.

XI
Kolmantena joulupäivänä Nikolai ruokaili kotona, mitä hänelle oli viime aikoina tapahtunut harvoin. Se oli virallisesti jäähyväiset, koska hän ja Denisov olivat lähdössä rykmenttiin loppiaisen jälkeen. Noin kaksikymmentä ihmistä oli lounaalla, mukaan lukien Dolokhov ja Denisov.
Koskaan Rostovin talossa rakkauden ilma, rakkauden ilmapiiri ei tuntenut itseään niin voimakkaasti kuin näinä lomapäivinä. ”Katso onnen hetkiä, pakota itsesi rakastamaan, rakasta itseäsi! Vain tämä yksi asia on totta maailmassa - kaikki muu on hölynpölyä. Ja se on kaikki, mitä teemme täällä”, ilmapiiri sanoi. Nikolai, kuten aina, kidutettuaan kahta hevosparia eikä ehtinyt vierailla kaikissa paikoissa, joissa hänen piti olla ja joihin häntä kutsuttiin, saapui kotiin juuri ennen lounasta. Heti sisään astuessaan hän huomasi ja tunsi talossa vallitsevan jännittyneen, rakastavan ilmapiirin, mutta hän huomasi myös oudon hämmennyksen joidenkin seuran jäsenten välillä. Sonya, Dolokhov, vanha kreivitär ja pieni Natasha olivat erityisen innoissaan. Nikolai tajusi, että jotain tapahtuisi ennen illallista Sonjan ja Dolokhovin välillä, ja hänelle tyypillisellä sydämen herkkyydellä hän oli erittäin lempeä ja varovainen illallisen aikana heidän molempien kanssa. Samana iltana loman kolmantena päivänä piti olla yksi niistä balleista Yogelissa (tanssiopettaja), jonka hän antoi kaikille opiskelijoilleen ja naisopiskelijoilleen lomilla.
- Nikolenka, menetkö Yogeliin? Ole hyvä ja mene", Natasha sanoi hänelle, "hän erityisesti pyysi sinua, ja Vasily Dmitrich (se oli Denisov) on menossa."
"Minne tahansa menenkin herra Athenan käskystä!" sanoi Denisov, joka asettui leikkimielisesti Rostovin taloon ritari Natašan jalkaan, "pas de chale [tanssi huivin kanssa] on valmis tanssimaan."
- Jos minulla on aikaa! "Lupasin Arharoveille, että se on heidän iltansa", Nikolai sanoi.
"Ja sinä?..." hän kääntyi Dolokhoviin. Ja juuri nyt kysyin tätä, huomasin, että tätä ei olisi pitänyt kysyä.
"Kyllä, ehkä..." Dolokhov vastasi kylmästi ja vihaisesti, katsoen Sonyaan ja rypistyneenä, täsmälleen samalla ilmeellä kuin Pierreen klubiillallisella, hän katsoi jälleen Nikolaihin.
"On jotain", ajatteli Nikolai, ja tätä oletusta vahvisti vielä se tosiasia, että Dolokhov lähti heti päivällisen jälkeen. Hän soitti Natashalle ja kysyi, mikä se oli?
"Etsin sinua", Natasha sanoi ja juoksi hänen luokseen. "Sanoin sinulle, ettet silti halunnut uskoa", hän sanoi voitokkaasti, "hän kosi Sonyaa."
Huolimatta siitä, kuinka vähän Nikolai teki Sonyan kanssa tänä aikana, hänestä tuntui jotain irtoavan, kun hän kuuli tämän. Dolokhov oli kunnollinen ja joissain suhteissa loistava vastine myötäjäisvapaalle orvolle Sonyalle. Vanhan kreivitär ja maailman näkökulmasta oli mahdotonta kieltäytyä hänestä. Ja siksi Nikolain ensimmäinen tunne, kun hän kuuli tämän, oli viha Sonyaa kohtaan. Hän valmistautui sanomaan: "Ja hienoa, tietysti, meidän täytyy unohtaa lapsuuden lupauksemme ja hyväksyä tarjous"; mutta hän ei vielä ehtinyt sanoa sitä...
- Voit kuvitella! Hän kieltäytyi, täysin kieltäytyi! – Natasha puhui. "Hän sanoi rakastavansa jotakuta toista", hän lisäsi lyhyen hiljaisuuden jälkeen.
"Kyllä, Sonyani ei olisi voinut tehdä toisin!" ajatteli Nikolai.
”Vaikka äitini kysyi häneltä kuinka paljon, hän kieltäytyi, ja tiedän, että hän ei muuta sanojaan...
- Ja äiti kysyi häneltä! – Nikolai sanoi moittivasti.
"Kyllä", sanoi Natasha. - Tiedätkö, Nikolenka, älä ole vihainen; mutta tiedän, ettet mene hänen kanssaan naimisiin. Tiedän, Jumala tietää miksi, tiedän varmasti, ettet mene naimisiin.
"No, sinä et tiedä sitä", sanoi Nikolai; – Mutta minun täytyy puhua hänelle. Mikä kaunotar tämä Sonya on! – hän lisäsi hymyillen.
- Tämä on niin ihanaa! Lähetän sen sinulle. - Ja Natasha, suudella veljeään, juoksi karkuun.
Minuuttia myöhemmin Sonya tuli sisään peloissaan, hämmentyneenä ja syyllisenä. Nikolai lähestyi häntä ja suuteli hänen kättään. Tämä oli ensimmäinen kerta tällä vierailulla, kun he puhuivat kasvotusten ja rakkaudestaan.
"Sophie", hän sanoi aluksi arasti ja sitten yhä rohkeammin, "jos haluat kieltäytyä paitsi loistavasta, tuottoisasta ottelusta; mutta hän on ihana, jalo mies... hän on ystäväni...
Sonya keskeytti hänet.
"Olen jo kieltänyt", hän sanoi kiireesti.
- Jos kieltäydyt puolestani, pelkään, että minuun...
Sonya keskeytti hänet uudelleen. Hän katsoi häntä anovin, peloissaan silmin.
"Nicolas, älä kerro minulle sitä", hän sanoi.
- Ei, minun täytyy. Ehkä tämä on riittävää [ylimielisyyttä] minulta, mutta se on parempi sanoa. Jos kieltäydyt puolestani, minun on kerrottava sinulle koko totuus. Rakastan sinua mielestäni enemmän kuin ketään...
"Se riittää minulle", Sonya sanoi punastuen.
- Ei, mutta olen rakastunut tuhat kertaa ja tulen edelleen rakastumaan, vaikka minulla ei ole sellaista ystävyyden, luottamuksen, rakkauden tunnetta ketään kohtaan kuin sinua kohtaan. Sitten olen nuori. Äiti ei halua tätä. No, en vain lupaa mitään. Ja pyydän teitä ajattelemaan Dolokhovin ehdotusta", hän sanoi vaikeuksien lausua ystävänsä sukunimeä.
- Älä kerro sitä. En halua mitään. Rakastan sinua kuin veljeä ja tulen aina rakastamaan sinua, enkä tarvitse enempää.
"Sinä olet enkeli, en ole sinun arvoinen, mutta pelkään vain pettää sinut." – Nikolai suuteli hänen kättään uudelleen.

Yogelilla oli hauskimmat pallot Moskovassa. Näin äidit sanoivat katsoessaan teini-ikäisiä [tyttöjä] suorittamassa vasta oppimiaan askeleita; tämän sanoivat nuoret ja nuoret itse, [tytöt ja pojat], jotka tanssivat putoamiseen asti; nämä aikuiset tytöt ja nuoret miehet, jotka tulivat näihin juhliin ajatuksella alentua niille ja löytää niistä parasta hauskaa. Samana vuonna näissä juhlissa solmittiin kaksi avioliittoa. Gortšakovien kaksi kaunista prinsessaa löysivät kosia ja menivät naimisiin, ja vielä enemmän he heittivät nämä pallot kunniaan. Erikoista näissä palloissa oli se, että siellä ei ollut isäntä eikä emäntä: siellä oli hyväluontoinen Yogel, kuin lentävät höyhenet, sekaisin taiteen sääntöjen mukaan, joka otti oppituntiliput kaikilta vierailtaan; oli, että vain ne, jotka halusivat tanssia ja pitää hauskaa, kuten 13- ja 14-vuotiaat tytöt, jotka pukeutuvat pitkiin mekkoihin ensimmäistä kertaa, haluavat mennä näihin juhliin. Kaikki, harvoja poikkeuksia lukuun ottamatta, olivat tai näyttivät kauniilta: he kaikki hymyilivät niin innostuneesti ja heidän silmänsä loistivat niin paljon. Joskus jopa parhaat opiskelijat tanssivat pas de chalea, joista paras oli Natasha, joka erottui armollaan; mutta tässä viimeisessä ballissa tanssittiin vain ekosaiseja, anglaiseja ja vasta muotiin tulossa olevaa mazurkaa. Yogel vei salin Bezukhovin taloon, ja pallo oli suuri menestys, kuten kaikki sanoivat. Siellä oli paljon kauniita tyttöjä, ja Rostovin naiset olivat parhaiden joukossa. He olivat molemmat erityisen iloisia ja iloisia. Sinä iltana Sonya, joka oli ylpeä Dolokhovin ehdotuksesta, hänen kieltäytymisestä ja selityksestä Nikolain kanssa, pyöri edelleen kotona, eikä antanut tytön viimeistellä punoksiaan, ja nyt hän hehkui läpi ja läpi kiihkeästä ilosta.
Natasha, joka oli yhtä ylpeä siitä, että hänellä oli pitkä mekko yllään ensimmäistä kertaa todellisessa ballissa, oli vielä onnellisempi. Molemmilla oli yllään valkoiset musliinimekot ja vaaleanpunaiset nauhat.
Natasha rakastui siitä hetkestä lähtien, kun hän tuli palloon. Hän ei ollut rakastunut keneenkään erityisesti, mutta hän oli rakastunut kaikkiin. Hän katsoi sillä hetkellä, johon hän katsoi, hän oli rakastunut.
- Voi kuinka hyvää! – hän sanoi jatkuvasti ja juoksi Sonyan luo.
Nikolai ja Denisov kävelivät ympäri halleja katsoen tanssijoita hellästi ja holhoavasti.
"Kuinka suloinen hän tulee olemaan", Denisov sanoi.
- WHO?
"Athena Natasha", vastasi Denisov.
"Ja kuinka hän tanssii, mikä ihme!" lyhyen hiljaisuuden jälkeen hän sanoi uudelleen.
- Kenestä sinä puhut?
"Siskostasi", Denisov huusi vihaisesti.
Rostov virnisti.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", sanoi pieni Jogel lähestyessään Nikolaita. "Voyez combien de jolies demoiselles." [Rakas kreivi, olet yksi parhaista oppilaistani. Sinun täytyy tanssia. Katsokaa kuinka kauniita tyttöjä!] – Hän esitti saman pyynnön Denisoville, myös entiselle oppilalleen.
"Ei, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Ei, kultaseni, istun seinän vieressä", Denisov sanoi. "Etkö muista, kuinka huonosti käytin oppituntejasi?"
- Voi ei! – Jogel sanoi kiireesti lohduttaen häntä. – Olit vain välinpitämätön, mutta sinulla oli kykyjä, kyllä, sinulla oli kykyjä.
Vastikään esiteltyä mazurkaa soitettiin; Nikolai ei voinut kieltäytyä Yogelista ja kutsui Sonyan. Denisov istuutui vanhojen rouvien viereen ja nojasi kyynärpäänsä sapeliinsä, lyö lyöntiään, kertoi jotain iloisesti ja sai vanhat naiset nauramaan katsoen tanssivia nuoria. Yogel, ensimmäisessä parissa, tanssi Natashan, hänen ylpeytensä ja parhaan oppilaansa kanssa. Varovasti, hellästi liikutellen jalkojaan kengissään Yogel lensi ensimmäisenä salin poikki Natashan kanssa, joka oli arka, mutta ahkerasti suoritti askeleita. Denisov ei irrottanut katsettaan hänestä ja naputti lyöntiä sapelillaan ilmeellä, joka sanoi selvästi, ettei hän itse tanssinut vain siksi, ettei hän halunnut, eikä siksi, että hän ei voinut. Kuvan keskellä hän kutsui ohikulkevan Rostovin luokseen.
"Se ei ole ollenkaan sama", hän sanoi. - Onko tämä puolalainen mazurka? Ja hän tanssii erinomaisesti. - Tietäen, että Denisov oli Puolassa jopa kuuluisa taidoistaan ​​tanssia puolalaista mazurkaa, Nikolai juoksi Natashan luo:
- Mene ja valitse Denisov. Täällä hän tanssii! Ihme! - hän sanoi.
Kun Natashan vuoro tuli jälleen, hän nousi seisomaan ja sormien nopeasti kenkiään jousilla, arasti, juoksi yksin käytävän poikki kulmaan, jossa Denisov istui. Hän näki, että kaikki katsoivat häntä ja odottivat. Nikolai näki, että Denisov ja Natasha riitelivät hymyillen ja Denisov kieltäytyi, mutta hymyili iloisesti. Hän juoksi ylös.
"Ole hyvä, Vasili Dmitrich", Natasha sanoi, "mennään, kiitos."
"Kyllä, siinä se, g'athena", Denisov sanoi.
"No, se riittää, Vasja", sanoi Nikolai.
"Ikään kuin he yrittäisivät suostutella kissa Vaskaa", Denisov sanoi vitsailevasti.
"Laulan sinulle koko illan", sanoi Natasha.
- Noita tekee minulle mitä tahansa! - Denisov sanoi ja irrotti sapelinsa. Hän tuli ulos tuolien takaa, otti rouvansa lujasti kädestä, kohotti päätään ja laski jalkansa odottamaan tahdikkuutta. Vain hevosen selässä ja mazurkassa Denisovin lyhytkasvuisuus ei ollut näkyvissä, ja hän näytti olevan sama nuori mies, jonka hän tunsi olevansa. Odotettuaan lyöntiä hän vilkaisi voitokkaasti ja leikkisästi roumaansa sivulta, koputti yhtäkkiä toista jalkaansa ja pomppii pallon tavoin elastisesti lattiasta ja lensi pitkin ympyrää raahaten rouvaa mukanaan. Hän lensi äänettömästi toisella jalalla puoleen väliin käytävää, ja näytti siltä, ​​ettei hän nähnyt edessään seisovia tuoleja, vaan ryntäsi suoraan niitä kohti; mutta yhtäkkiä hän napsauttaa kannujaan ja levittää jalkojaan, pysähtyi kantapäälleen, seisoi siinä hetken kannujen pauhina, löi jalkansa yhteen paikkaan, kääntyi nopeasti ympäri ja napsautti oikeaa jalkaansa vasemmalla jalallaan, lensi taas ympyrässä. Natasha arvasi, mitä hän aikoi tehdä, ja tietämättä kuinka hän seurasi häntä - antautuen hänelle. Nyt hän kiersi häntä, nyt oikealla, nyt vasemmalla kädellä, nyt polvilleen kaatuessaan, hän kiersi häntä ympärillään, ja jälleen hän hyppäsi ylös ja juoksi eteenpäin niin nopeasti, kuin hän aikoi juosta kaikkien huoneiden halki. ilman henkeä; sitten yhtäkkiä hän pysähtyi uudestaan ​​ja uudestaan, ja teki uuden ja odottamattoman polven. Kun hän pyörähti reippaasti rouvaa hänen paikkansa edessä, napsahti kannussansa kumartaen hänen edessään, Natasha ei edes kiihdyttänyt häntä. Hän tuijotti häntä hämmentyneenä, hymyillen kuin ei olisi tunnistanut häntä. - Mikä tämä on? - hän sanoi.
Huolimatta siitä, että Yogel ei tunnustanut tätä mazurkaa todelliseksi, kaikki olivat iloisia Denisovin taidosta, he alkoivat valita häntä lakkaamatta, ja vanhat ihmiset hymyillen alkoivat puhua Puolasta ja vanhoista hyvistä ajoista. Denisov punastui mazurkasta ja pyyhki itseään nenäliinalla, istui Natashan viereen eikä poistunut hänen puoleltaan koko pallon ajan.

Määritelmä ja ominaisuudet

Kompleksisella nollalla ei ole logaritmia, koska kompleksinen eksponentti ei ota arvoa nolla. Nollasta poikkeava texvc voidaan esittää demonstratiivisessa muodossa:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - apua asennuksessa.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Missä Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): k- mielivaltainen kokonaisluku

Sitten Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \mathrm(Ln)\,z löytyy kaavalla:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - ohje asennukseen.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Tässä Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \ln\,r= \ln\,|z|- todellinen logaritmi. Tästä seuraa:

Kaavasta käy selvästi ilmi, että yhdellä ja vain yhdellä arvoista on kuvitteellinen osa välissä Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc . Tätä arvoa kutsutaan tärkein merkitys monimutkainen luonnollinen logaritmi. Vastaava (jo yksiselitteinen) funktio kutsutaan päähaara logaritmi ja on merkitty Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \ln\,z. Joskus läpi Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \ln\, z tarkoittaa myös logaritmin arvoa, joka ei ole päähaaralla. Jos Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): z on reaaliluku, silloin sen logaritmin pääarvo on sama kuin tavallisen reaalilogaritmin.

Yllä olevasta kaavasta seuraa myös, että logaritmin reaaliosa määritetään seuraavasti argumentin komponenttien kautta:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README saadaksesi apua asennuksessa.): \operaattorinnimi(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Kuvasta nähdään, että reaaliosa komponenttien funktiona on keskisymmetrinen ja riippuu vain etäisyydestä origoon. Se saadaan kiertämällä todellisen logaritmin kuvaajaa pystyakselin ympäri. Kun se lähestyy nollaa, funktio pyrkii Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - apua asennuksessa.): -\infty.

Negatiivisen luvun logaritmi löytyy kaavasta:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso asennusohjeet kohdasta math/README.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\pistettä)

Esimerkkejä kompleksisista logaritmiarvoista

Esitetään logaritmin pääarvo ( Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \ln) ja sen yleinen ilmaus ( Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \mathrm(Ln)) joidenkin argumenttien vuoksi:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - apua asennuksessa.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Sinun tulee olla varovainen muuntaessasi monimutkaisia ​​logaritmeja ottaen huomioon, että ne ovat moniarvoisia, ja siksi minkä tahansa lausekkeen logaritmien yhtäläisyys ei tarkoita näiden lausekkeiden yhtäläisyyttä. Esimerkki virheellinen perustelut:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - ohje asennukseen.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- ilmeinen virhe.

Huomaa, että vasemmalla on logaritmin pääarvo ja oikealla taustalla olevan haaran arvo ( Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - apua asennuksessa.): k=-1). Virheen syynä on kiinteistön huolimaton käyttö Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, joka yleisesti ottaen tarkoittaa monimutkaisessa tapauksessa logaritmin koko loputonta arvosarjaa, ei vain pääarvoa.

Monimutkainen logaritminen funktio ja Riemannin pinta

Yksinkertaisen kytkeytymisensä ansiosta logaritmin Riemannin pinta on universaali peite kompleksiselle tasolle ilman pistettä Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc .

Analyyttinen jatko

Kompleksiluvun logaritmi voidaan määritellä myös todellisen logaritmin analyyttiseksi jatkoksi koko kompleksitasolle. Anna käyrän Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc alkaa yhdestä, ei kulje nollan läpi eikä ylitä todellisen akselin negatiivista osaa. Sitten logaritmin pääarvo loppupisteessä Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): w kiero Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \Gamma voidaan määrittää kaavalla:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README saadaksesi apua määritykseen.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Jos Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \Gamma- yksinkertainen käyrä (ilman itseleikkauksia), sitten siinä makaaville numeroille logaritmisia identiteettejä voidaan käyttää ilman pelkoa, esimerkiksi:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README-apua asennukseen.: \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Logaritmisen funktion päähaara on jatkuva ja differentioituva koko kompleksitasolla, paitsi reaaliakselin negatiivinen osa, jolla imaginaariosa muuttuu äkillisesti Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - apua asennuksessa.): 2\pi. Mutta tämä tosiasia on seurausta pääarvon kuvitteellisen osan keinotekoisesta rajoittamisesta intervallin mukaan Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): (-\pi, \pi]. Jos otamme huomioon funktion kaikki haarat, jatkuvuus esiintyy kaikissa pisteissä paitsi nollassa, jossa funktiota ei ole määritelty. Jos ratkaiset käyrän Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \Gamma ylittää reaaliakselin negatiivinen osa, niin ensimmäinen tällainen leikkauspiste siirtää tuloksen pääarvohaaralta viereiseen haaraan ja jokainen seuraava leikkaus aiheuttaa samanlaisen siirtymän logaritmisen funktion haaroja pitkin (katso kuva).

Analyyttisesta jatkokaavasta seuraa, että millä tahansa logaritmin haaralla:

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeet.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\yli z)

Mille tahansa piirille Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): S, joka kattaa asian Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): 0 :

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README saadaksesi apua määritykseen.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integraali otetaan positiiviseen suuntaan (vastapäivään). Tämä identiteetti on jäämien teorian taustalla.

Voidaan myös määritellä kompleksisen logaritmin analyyttinen jatko käyttämällä todellisessa tapauksessa tunnettuja sarjoja:

Näiden sarjojen muodosta kuitenkin seuraa, että yhdellä sarjan summa on yhtä suuri kuin nolla, eli sarja koskee vain kompleksisen logaritmin moniarvofunktion päähaaraa. Molempien sarjojen konvergenssisäde on 1.

Yhteys käänteisten trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden kanssa

Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso asennusohjeet kohdasta math/README.): \operaattorinnimi(Arcsin) z = -i \operaattorinnimi(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso asennusohjeet kohdasta math/README.): \operaattorinnimi(Arccos) z = -i \operaattorinnimi(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - ohje asennusta varten.): \operaattorinimi(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - ohje asennukseen.): \operaattorinimi(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \operaattorinnimi(Arsh)z = \operaattorinnimi(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- käänteinen hyperbolinen sini Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README - ohje asennukseen.): \operaattorinnimi(Arch)z=\operaattorinnimi(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- käänteinen hyperbolinen kosini Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten: \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- käänteinen hyperbolinen tangentti Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.: \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- käänteinen hyperbolinen kotangentti

Historiallinen sketsi

Ensimmäiset yritykset laajentaa logaritmia kompleksilukuihin tehtiin 1600-1700-luvun vaihteessa Leibniz ja Johann Bernoullin toimesta, mutta he eivät onnistuneet luomaan kokonaisvaltaista teoriaa pääasiassa siksi, että logaritmin käsitettä ei ollut vielä selkeästi määritelty. Keskustelu tästä aiheesta käytiin ensin Leibnizin ja Bernoullin välillä ja 1700-luvun puolivälissä D’Alembertin ja Eulerin välillä. Bernoulli ja D'Alembert uskoivat, että se olisi päätettävä Lauseketta ei voi jäsentää (suoritettava tiedosto texvc ei löydetty; Katso matematiikka/README asennusohjeita varten.): \log(-x) = \log(x), kun taas Leibniz osoitti, että negatiivisen luvun logaritmi on imaginaariluku. Negatiivisten ja kompleksilukujen logaritmien täydellisen teorian julkaisi Euler vuosina 1747-1751, eikä se pohjimmiltaan eroa nykyisestä. Vaikka keskustelu jatkui (D'Alembert puolusti näkemystään ja perusteli sitä yksityiskohtaisesti artikkelissa Encyclopediassa ja muissa teoksissa), Eulerin lähestymistapa sai yleismaailmallisen tunnustuksen 1700-luvun loppuun mennessä.

Kirjoita arvostelu artikkelista "Monimutkainen logaritmi"

Kirjallisuus

Logaritmien teoria

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Kompleksisen muuttujan funktioteoria. - M.: Nauka, 1967. - 304 s.
• Fikhtengolts G.M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - toim. 6. - M.: Nauka, 1966. - 680 s.

Logaritmien historia

• 1700-luvun matematiikka // / Toimittanut A. P. Yushkevich, kolmessa osassa. - M.: Tiede, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka. Geometria. Analyyttisten funktioiden teoria. - M.: Tiede, 1981. - T. II.

Huomautuksia

1. Logaritminen funktio. //. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1982. - T. 3.
2. , osa II, s. 520-522.
3. , Kanssa. 623..
4. , Kanssa. 92-94..
5. , Kanssa. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M.: Nauka, 1982. - S. 112. - (Kvant Library, numero 21).
7. , osa II, s. 522-526.
8. , Kanssa. 624..
9. , Kanssa. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Matematiikan historia. Kahdessa osassa. - M.: Kustantaja. Moskovan valtionyliopisto, 1963. - T. II. - s. 27, 230-231..
11. , Kanssa. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Tiede, 1987. - T. II. Geometria. - s. 159-161. - 416 s.

Ote, joka kuvaa kompleksista logaritmia

Meitä tarttuneesta villistä kauhusta ryntäsimme kuin luodit laajan laakson poikki, emme edes ajatelleet, että voisimme nopeasti mennä toiselle "kerrokselle"... Meillä ei yksinkertaisesti ollut aikaa ajatella sitä - olimme liian peloissamme.
Olento lensi aivan meidän yläpuolellamme napsuttaen äänekkäästi ammottavaa hampaasta nokkaansa, ja me ryntäsimme niin nopeasti kuin pystyimme, roiskuen ilkeitä limaisia ​​roiskeita sivuille ja rukoillen mielessään, että jotain muuta yhtäkkiä kiinnostaisi tätä kammottavaa "ihmelintua"... Se Tuntui, että hän oli paljon nopeampi ja meillä ei yksinkertaisesti ollut mahdollisuutta irtautua hänestä. Onneksi lähellä ei kasvanut ainuttakaan puuta, ei ollut pensaita tai edes kiviä, joiden taakse voisi piiloutua, vain pahaenteinen musta kivi näkyi kaukaa.
- Siellä! – Stella huusi osoittaen sormellaan samaa kiveä.
Mutta yhtäkkiä, yllättäen, aivan edessämme jostain ilmestyi olento, jonka näkeminen kirjaimellisesti jäähdytti veremme suonissamme... Se näytti kuin "suoraan tyhjästä" ja oli todella pelottavaa... valtava musta ruho oli kokonaan peitetty pitkillä, karkeilla hiuksilla, mikä sai hänet näyttämään vatsakarhulta, vain tämä "karhu" oli kolmikerroksisen talon korkea... Hirviön möhkälevä pää oli "kruunattu" kahdella valtavalla kaarevalla päällä. sarvet, ja aavemainen suu oli koristeltu parilla uskomattoman pitkällä, terävällä kuin veitsellä olevalla hampaalla, joille vain katsomalla jalkamme kauhistuivat... Ja sitten, meidät uskomattoman yllättäen, hirviö hyppäsi helposti ylös ja. .. poimi lentävän "mukan" yhdestä sen valtavasta hampaasta... Jäädyimme shokissa.
- Juostaan!!! – Stella huudahti. - Juoksemme, kun hän on "kiireinen"! ..
Ja olimme taas valmiit rynnättämään taakseen katsomatta, kun yhtäkkiä selkämme takaa kuului ohut ääni:
- Tytöt, odota!!! Ei tarvitse paeta!... Dean pelasti sinut, hän ei ole vihollinen!
Käännyimme jyrkästi ympäri - pieni, erittäin kaunis mustasilmäinen tyttö seisoi takanamme... ja silitti rauhallisesti häntä lähestyvää hirviötä!.. Silmämme laajeni yllätyksestä... Se oli uskomatonta! Varmasti - se oli yllätysten päivä!.. Meihin katsova tyttö hymyili tervetulleeksi, pelkäämättä ollenkaan vieressämme seisovaa karvaista hirviötä.
- Älä pelkää häntä. Hän on todella kiltti. Näimme, että Ovara jahtaa sinua ja päätimme auttaa. Dean oli loistava, hän selvisi ajoissa. Todellako, kultaseni?
"Hyvä" kehräsi, mikä kuulosti lievältä maanjäristyksellä, ja taivutti päätään, nuoli tytön kasvoja.
– Kuka Owara on ja miksi hän hyökkäsi kimppuumme? - Kysyin.
"Hän hyökkää kaikkien kimppuun, hän on saalistaja." Ja erittäin vaarallinen", tyttö vastasi rauhallisesti. – Saanko kysyä, mitä teet täällä? Ettekö ole kotoisin täältä, tytöt?
- Ei, ei täältä. Kävelimme vain. Mutta sama kysymys sinulle - mitä sinä teet täällä?
"Menen tapaamaan äitiäni..." pikkutyttö tuli surulliseksi. "Kuolimme yhdessä, mutta jostain syystä hän päätyi tänne." Ja nyt asun täällä, mutta en kerro tätä hänelle, koska hän ei koskaan suostu siihen. Hän luulee, että olen juuri tulossa...
– Eikö olisi parempi vain tulla? Täällä on niin kauheaa!.. – Stella kohautti olkapäitään.
"En voi jättää häntä tänne yksin, katson häntä, jotta hänelle ei tapahdu mitään." Ja täällä Dean on kanssani... Hän auttaa minua.
En vain voinut uskoa sitä... Tämä pieni rohkea tyttö jätti vapaaehtoisesti kauniin ja ystävällisen "lattiansa" elääkseen tähän kylmään, kauheaan ja vieraaseen maailmaan suojellen äitiään, joka oli jollain tapaa erittäin "syyllinen"! En usko, että olisi monia niin rohkeita ja epäitsekkäitä ihmisiä (jopa aikuisia!), jotka uskaltaisivat tehdä tällaisen urotyön... Ja ajattelin heti - ehkä hän ei vain ymmärtänyt, mihin hän aikoi tuomita itsensä. ?!
– Kuinka kauan olet ollut täällä, tyttö, jos se ei ole salaisuus?
"Äskettäin..." mustasilmäinen vauva vastasi surullisesti, puristaen sormillaan mustaa kiharat hiuksensa. – Löysin itseni niin kauniista maailmasta kuollessani!.. Hän oli niin kiltti ja valoisa!.. Ja sitten näin, ettei äitini ollut kanssani ja ryntäsin etsimään häntä. Se oli aluksi niin pelottavaa! Jostain syystä häntä ei löytynyt mistään... Ja sitten putosin tähän kauheaan maailmaan... Ja sitten löysin hänet. Olin niin peloissani täällä... Niin yksinäinen... Äiti käski minun lähteä, hän jopa nuhteli minua. Mutta en voi jättää häntä... Nyt minulla on ystävä, hyvä dekaani, ja voin jo jotenkin olla täällä.
Hänen "hyvä ystävänsä" murisi jälleen, mikä sai Stellalle ja minulle valtavat "alempi astraaliset" kananlihat... Kokoonnuttuani yritin hieman rauhoittua ja aloin katsoa tarkemmin tätä karvaista ihmettä... Ja hän, heti kun tunsi, että hänet huomattiin, hän paljasti hampaat hirveästi... Hyppäsin taaksepäin.
- Oi, älä pelkää, ole kiltti! "Hän hymyilee sinulle", tyttö "vakuutti."
Joo... Opit juoksemaan nopeasti sellaisesta hymystä... - ajattelin itsekseni.
- Kuinka tapahtui, että ystävystyit hänen kanssaan? Stella kysyi.
– Kun tulin tänne ensimmäistä kertaa, olin hyvin peloissani, varsinkin kun sellaiset hirviöt kuin sinä hyökkäsivät tänään. Ja sitten eräänä päivänä, kun melkein kuolin, Dean pelasti minut kammottavalta lentäviltä "lintuilta". Minäkin pelkäsin häntä aluksi, mutta sitten tajusin, mikä kultasydän hänellä on... Hän on paras ystävä! Minulla ei ole koskaan ollut mitään tällaista, vaikka asuin maan päällä.
- Miten tottuit siihen niin nopeasti? Hänen ulkonäkönsä ei ole aivan tuttu...
– Ja tässä ymmärsin yhden hyvin yksinkertaisen totuuden, jota en jostain syystä huomannut maan päällä - ulkonäöllä ei ole väliä, onko ihmisellä tai olennolla hyvä sydän... Äitini oli hyvin kaunis, mutta välillä hän oli hyvin vihainen. liian. Ja sitten kaikki hänen kauneutensa katosi jonnekin... Ja Dean, vaikkakin pelottava, on aina hyvin kiltti, ja aina suojelee minua, tunnen hänen ystävällisyytensä enkä pelkää mitään. Mutta ulkonäköön voi tottua...
– Tiedätkö, että tulet olemaan täällä hyvin pitkään, paljon kauemmin kuin ihmiset elävät maan päällä? Haluatko todella jäädä tänne?...
"Äitini on täällä, joten minun täytyy auttaa häntä." Ja kun hän "lähtee" asumaan jälleen maan päälle, minäkin lähden... Sinne missä on enemmän hyvyyttä. Tässä kauheassa maailmassa ihmiset ovat hyvin outoja - ikään kuin he eivät eläisi ollenkaan. Miksi niin? Tiedätkö tästä mitään?
– Kuka sanoi sinulle, että äitisi lähtisi jälleen asumaan? – Stella kiinnostui.
- Dean, tietysti. Hän tietää paljon, hän on asunut täällä hyvin pitkään. Hän sanoi myös, että kun me (äitini ja minä) elämme jälleen, perheemme ovat erilaisia. Ja sitten minulla ei ole enää tätä äitiä... Siksi haluan olla hänen kanssaan nyt.
- Kuinka puhut hänelle, dekaani? Stella kysyi. – Ja miksi et halua kertoa meille nimeäsi?
Mutta se on totta – emme vieläkään tienneet hänen nimeään! Ja he eivät myöskään tienneet, mistä hän tuli...
– Nimeni oli Maria... Mutta onko sillä oikeasti väliä?
- Varmasti! – Stella nauroi. - Kuinka voin kommunikoida kanssasi? Kun lähdet, he antavat sinulle uuden nimen, mutta kun olet täällä, sinun on elettävä vanhan kanssa. Puhuitko täällä kenenkään muun kanssa, tyttö Maria? – Stella kysyi ja hyppäsi tottumuksesta aiheesta toiseen.
"Kyllä, minä puhuin..." pieni tyttö sanoi epäröivästi. "Mutta he ovat niin outoja täällä." Ja niin onnettomia... Miksi he ovat niin onnettomia?
– Onko se, mitä näet täällä, onnea? – Yllätyin hänen kysymyksestään. – Jopa paikallinen ”todellisuus” itse tappaa kaikki toiveet etukäteen!... Miten täällä voi olla onnellinen?
- En tiedä. Kun olen äitini kanssa, minusta tuntuu, että voisin olla onnellinen myös täällä... Totta, täällä on hyvin pelottavaa, eikä hän todellakaan pidä täällä... Kun sanoin, että suostuin jäämään häntä, hän huusi minulle ja sanoi, että olen hänen "aivoton epäonni"... Mutta en ole loukkaantunut... Tiedän, että hän vain pelkää. Aivan kuin minä...
– Ehkä hän vain halusi suojella sinua "äärimmäiseltä" päätökseltäsi ja halusi vain sinun palaavan "lattiallesi"? – Stella kysyi varovasti, ettei loukkaantuisi.
– Ei tietenkään... Mutta kiitos hyvistä sanoista. Äiti kutsui minua usein ei kovin hyvillä nimillä, jopa maan päällä... Mutta tiedän, ettei tämä ollut vihasta. Hän oli yksinkertaisesti tyytymätön syntymääni ja kertoi minulle usein, että pilasin hänen elämänsä. Mutta se ei ollut minun syyni, eihän? Yritin aina tehdä hänet onnelliseksi, mutta jostain syystä en onnistunut kovin... Ja minulla ei ole koskaan ollut isää. – Maria oli hyvin surullinen, ja hänen äänensä vapisi, aivan kuin hän olisi itkemässä.
Katsoimme Stellan kanssa toisiamme ja olin melkein varma, että samanlaiset ajatukset vierailivat hänen luonaan... En jo nyt todellakaan pitänyt tästä hemmoteltu, itsekkäästä "äidistä", joka sen sijaan että olisi huolissaan lapsestaan, ei välittänyt hänen sankarillisen uhrauksensa ollenkaan, ymmärsin ja lisäksi satutin häntä tuskallisesti.
"Mutta Dean sanoo, että olen hyvä ja että teen hänet hyvin onnelliseksi!" – pikkutyttö nyökkäsi iloisemmin. "Ja hän haluaa olla ystäväni kanssani." Ja muut, joita olen täällä tavannut, ovat hyvin kylmiä ja välinpitämättömiä, ja joskus jopa pahoja... Varsinkin ne, joilla on hirviöitä...
"Hirviöt – mitä?..." emme ymmärtäneet.
- No, heillä on kauheita hirviöitä, jotka istuvat selällään ja kertovat heille, mitä heidän täytyy tehdä. Ja jos he eivät kuuntele, hirviöt pilkkaavat heitä kauheasti... Yritin puhua heille, mutta nämä hirviöt eivät salli minua.
Emme ymmärtäneet tästä "selityksestä" mitään, mutta sitä tosiasiaa, että jotkut astraaliolennot kiduttivat ihmisiä, ei voinut jäädä "tutkituksi", joten kysyimme häneltä heti, kuinka voimme nähdä tämän hämmästyttävän ilmiön.
- Kyllä kaikkialla! Varsinkin "mustalla vuorella". Siellä hän on puiden takana. Haluatko meidänkin lähtevän kanssasi?
- Tietysti olemme liian onnellisia! – iloinen Stella vastasi välittömästi.
Ollakseni rehellinen, en myöskään todellakaan hymyillyt mahdollisuudelle seurustella jonkun muun, "karmivan ja käsittämättömän" kanssa, etenkään yksin. Mutta kiinnostus voitti pelon, ja olisimme tietysti menneet, vaikka vähän pelkäsimmekin... Mutta kun sellainen puolustaja kuin Dean käveli kanssamme, siitä tuli heti hauskempaa...
Ja sitten, hetken kuluttua, todellinen Helvetti avautui silmiemme eteen, avautuneena hämmästyksestä... Näky muistutti Boschin (tai Boscin, riippuen kielelle käännät), "hullun" taiteilijan maalauksia. joka kerran järkytti koko maailmaa taidemaailmallaan... Hän ei tietenkään ollut hullu, vaan yksinkertaisesti näkijä, joka jostain syystä näki vain alemman Astralin. Mutta meidän on annettava hänelle ansaitsemansa - hän kuvasi hänet erinomaisesti... Näin hänen maalauksensa kirjassa, joka oli isäni kirjastossa, ja muistin silti sen aavemaisen tunteen, jota suurin osa hänen maalauksistaan ​​kantaa...
"Mikä kauhu!..." kuiskasi järkyttynyt Stella.
Voisi varmaan sanoa, että olemme jo nähneet paljon täällä, "lattioilla"... Mutta me emme edes pystyneet kuvittelemaan tätä kamalimmassa painajaisessamme!... "Mustan kiven" takaa avautui jotain täysin käsittämätöntä. .. Se näytti valtavalta, litteältä kallioon kaiverretulta "katolta", jonka pohjassa kuplii karmiininpunaista "laavaa"... Kuuma ilma "purskahti" kaikkialle omituisin välkkyvin punertavin kuplin, josta purskahti ulos polttavaa höyryä. ja putosivat suurina pisaroina maahan, tai ihmisille, jotka joutuivat sen alle sillä hetkellä... Sydäntäsärkeviä huutoja kuului, mutta ne vaikenivat heti, kun inhottavimmat olennot istuivat samojen ihmisten selässä, jotka tyytyväinen katse "hallitsi" uhrejaan kiinnittämättä pienintäkään huomiota heidän kärsimyksiinsä... Ihmisten paljaiden jalkojen alla kuumat kivet muuttuivat punaisiksi, lämmöstä räjähtänyt karmiininpunainen maa kuplii ja "sulai"... Kuumia roiskeita höyry purskahti valtavien halkeamien läpi ja polttaen kivusta nyyhkivien ihmisten jalkoja, kantoi korkeuksiin, haihtuen kevyen savun mukana... Ja aivan keskellä ”kuoppaa” virtasi kirkkaan punainen, leveä tulinen joki, johon ajoittain samat inhottavat hirviöt heittivät yllättäen yhden tai toisen kiusatun olennon, joka putoaessaan aiheutti vain lyhyen oranssin kipinän roiskeen, ja sitten, mutta muuttuen hetkeksi pörröiseksi valkoiseksi pilveksi, se katosi. .. ikuisesti... Se oli todellinen helvetti, ja Stella ja minä halusimme "kadota" sieltä mahdollisimman pian...
"Mitä me aiomme tehdä?" Stella kuiskasi hiljaa kauhuissaan. - Haluatko mennä sinne? Voimmeko tehdä jotain auttaaksemme heitä? Katso kuinka monta niitä on!...
Seisoimme mustanruskealla, kuumakuivuneella kalliolla ja katselimme alla ulottuvaa kauhun täyttämää kivun, toivottomuuden ja väkivallan "massua" ja tunsimme olomme niin lapsellisesti voimattomiksi, että jopa minun sotaisa Stellani tällä kertaa rypisti ryppyiset "siipensä" .” ”ja oli valmis ensimmäisellä kutsulla kiirehtimään omaan, niin rakkaan ja luotettavaan yläkerrokseen...

Todiste kaavasta .

=

= =

koska sini ja kosini eivät riipu kulman lisäämisestä, joka on kerrannainen

Ja tämä yhtäläisyys on jo ilmeinen, koska tämä on kompleksiluvun trigonometrinen muoto.

Siten logaritmi on olemassa kaikille tason pisteille nollaa lukuun ottamatta. Tosipositiivisen luvun argumentti on 0, joten tällä äärettömällä pistejoukolla on muoto , eli yksi arvoista, nimittäin at , putoaa todelliselle akselille. Jos lasketaan negatiivisen luvun logaritmi, saadaan , eli pistejoukkoa siirretään ylöspäin eikä mikään niistä putoa todelliselle akselille.

Kaavasta käy selvästi ilmi, että vain kun alkuperäisen luvun argumentti on nolla, yksi logaritmiarvoista putoaa todelliselle akselille. Ja tämä vastaa oikeaa puoliakselia, ja siksi koulun matematiikan kurssilla otettiin huomioon vain positiivisten lukujen logaritmit. Negatiivisten ja imaginaarilukujen logaritmeja on myös olemassa, mutta niillä ei ole yhtä arvoa reaaliakselilla.

Seuraava piirros näyttää missä kaikki positiivisen luvun logaritmin arvot sijaitsevat tasossa. Yksi niistä on todellisella akselilla, loput ovat ylä- ja alapuolella , , ja niin edelleen. Negatiivisen tai kompleksiluvun argumentti on nollasta poikkeava, joten tätä pistesarjaa siirretään pystysuunnassa, jolloin todellisella akselilla ei ole pisteitä.

Esimerkki. Laskea.

Ratkaisu. Määritellään luvun moduuli (yhtä kuin 2) ja argumentti 180 0, eli. Siis = .

Liite 1. Todisteita koskevat kysymykset (lippuja varten).

Luento nro 1

1. Todista osien integroinnin kaava.

Luento nro 2

1. Osoita, että korvaus , jossa r = LCM (r 1 ,...,r k) vähentää integraalin rationaalisen murtoluvun integraaliin.

2. Todista, että korvaus pienentää muodon integraalia rationaalisen murtoluvun integraaliin.

3. Johda kaavat sinin ja kosinin muuntamiseksi

Universaaliin trigonometriseen korvaamiseen.

4. Osoita, että siinä tapauksessa, että funktio on pariton kosinin suhteen, korvaus pienentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi.

5. Todista, että siinä tapauksessa, kun

substituutio: vähentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi.

6. Todista, että muodon integraalille

7. Todista kaava

8. Todista, että muodon integraalille korvaus tuottaa integraalin rationaaliseen murto-osaan.

9. Todista, että muodon integraalille korvaus pienentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi.

Luento nro 3

1. Todista, että funktio on funktion antijohdannainen.

2. Todista Newton-Leibnizin kaava: .

3. Todista eksplisiittisesti annetun käyrän pituuden kaava:

.

4. Todista kaava napakoordinaateissa annetun käyrän pituudelle

Luento nro 4

Todista lause: suppenee, konvergoi.

Luento nro 5

1. Johda (todista) kaava eksplisiittisesti annetun pinnan pinta-alalle .

2. Kaavojen johtaminen napakoordinaatteihin siirtymistä varten.

3. Napakoordinaattien Jacobi-determinantin johtaminen.

4. Sylinterimäisiin koordinaatteihin siirtymisen kaavojen johtaminen.

5. Sylinterimäisten koordinaattien Jacobi-determinantin johtaminen.

6. Kaavojen johtaminen pallomaisiin koordinaatteihin siirtymistä varten:

.

Luento nro 6

1. Osoita, että substituutio pelkistää homogeenisen yhtälön yhtälöksi, jossa on erotettavia muuttujia.

2. Johda lineaarisen homogeenisen yhtälön ratkaisun yleinen muoto.

3. Johda lineaarisen epähomogeenisen yhtälön ratkaisun yleinen muoto Lagrangen menetelmällä.

4. Todista, että substituutio pelkistää Bernoullin yhtälön lineaariseksi yhtälöksi.

Luento nro 7.

1. Osoita, että korvaus pienentää yhtälön järjestystä k:llä.

2. Osoita, että korvaus pienentää yhtälön järjestystä yhdellä .

3. Todista lause: Funktio on lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisu ja sillä on ominaisjuuri.

4. Todista lause, että lineaarisen homogeenisen eron ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä. yhtälö on myös sen ratkaisu.

5. Todista lause ratkaisujen asettamisesta: Jos on ratkaisu lineaariseen epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön oikean puolen kanssa ja on ratkaisu samaan differentiaaliyhtälöön, mutta oikealla puolella, niin summa on yhtälön ratkaisu oikealla puolella.

Luento nro 8.

1. Todista lause, että funktiojärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

2. Todista lause, että kertaluvun n lineaariselle homogeeniselle differentiaaliyhtälölle on n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.

3. Todista, että jos 0 on moninkertaisuuden juuri, niin tätä juuria vastaava ratkaisujärjestelmä on muotoa .

Luento nro 9.

1. Osoita eksponentiaalisella muodolla, että kompleksilukuja kerrottaessa moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään.

2. Todista Moivren kaava asteelle n

3. Todista kertaluvun n kompleksiluvun juuren kaava

4. Todista se Ja

ovat sinin ja kosinin yleistyksiä, ts. reaaliluvuille nämä kaavat antavat sinin (kosinin).

5. Todista kompleksiluvun logaritmin kaava:

Liite 2.

Pienet ja suulliset teoriatietokysymykset (kollokvioihin).

Luento nro 1

1. Mitä ovat antiderivaatit ja epämääräiset integraalit, miten ne eroavat toisistaan?

2. Selitä, miksi se on myös antijohdannainen.

3. Kirjoita osien integroinnin kaava.

4. Mitä vaihtoa tarvitaan muotointegraalissa ja miten se eliminoi juuret?

5. Kirjoita ylös rationaalisen murtoluvun integrandin hajotuksen tyyppi yksinkertaisimmiksi siinä tapauksessa, että kaikki juuret ovat erilaisia ​​ja todellisia.

6. Kirjoita muistiin rationaalisen murtoluvun integrandin hajotuksen tyyppi yksinkertaisimmiksi siinä tapauksessa, että kaikki juuret ovat reaalisia ja monikertaisuudella k on yksi monijuuri.

Luento nro 2.

1. Kirjoita mikä on rationaalisen murtoluvun hajoaminen yksinkertaisimmiksi, jos nimittäjällä on kerroin 2 astetta negatiivisen erottimen kanssa.

2. Mikä substituutio vähentää integraalin rationaaliseksi murtoluvuksi?

3. Mitä ovat universaalit trigonometriset substituutiot?

4. Mitä korvauksia tehdään tapauksissa, joissa integraalimerkin alla oleva funktio on pariton sinin (kosinin) suhteen?

5. Mitä korvauksia tehdään, jos integrandi sisältää lausekkeet , tai .

Luento nro 3.

1. Määrätyn integraalin määritelmä.

2. Listaa joitain määrätyn integraalin perusominaisuuksia.

3. Kirjoita Newton-Leibnizin kaava.

4. Kirjoita kiertokappaleen tilavuuden kaava.

5. Kirjoita kaava eksplisiittisesti annetun käyrän pituudelle.

6. Kirjoita parametrisesti määritellyn käyrän pituuden kaava.

Luento nro 4.

1. Väärän integraalin määritelmä (käyttäen rajaa).

2. Mitä eroa on 1. ja 2. tyyppisten virheellisten integraalien välillä?

3. Anna yksinkertaisia ​​esimerkkejä 1. ja 2. tyypin suppenevista integraaleista.

4. Millä arvoilla integraalit (T1) konvergoivat?

5. Miten konvergenssi liittyy antiderivaatin (T2) äärelliseen rajaan?

6. Mikä on konvergenssin välttämätön kriteeri, sen muotoilu.

7. Vertailukoe lopullisessa muodossa

8. Vertailumerkki äärimmäisessä muodossa.

9. Moniintegraalin määritelmä.

Luento nro 5.

1. Integrointijärjestyksen muuttaminen, näytä yksinkertaisella esimerkillä.

2. Kirjoita pinta-alan kaava.

3. Mitä ovat napakoordinaatit, kirjoita siirtymäkaavat.

4. Mikä on napakoordinaatiston jakobinen?

5. Mitä ovat sylinterimäiset ja pallomaiset koordinaatit, mikä on niiden ero.

6. Mikä on sylinterimäisten (pallomaisten) koordinaattien jakobinen?

Luento nro 6.

1. Mikä on 1. asteen differentiaaliyhtälö (yleinen näkymä).

2. Mikä on 1. asteen differentiaaliyhtälö, joka on ratkaistu derivaatan suhteen. Anna joku esimerkki.

3. Mikä on yhtälö, jossa on erotettavia muuttujia.

4. Mikä on yleinen, erityinen ratkaisu, Cauchyn ehdot.

5. Mikä on homogeeninen yhtälö, mikä on yleinen menetelmä sen ratkaisemiseksi.

6. Mikä on lineaarinen yhtälö, mikä on sen ratkaisualgoritmi, mikä on Lagrange-menetelmä.

7. Mikä on Bernoullin yhtälö, algoritmi sen ratkaisemiseksi.

Luento nro 7.

1. Mikä korvaus on tarpeen muodon yhtälölle.

2. Mikä korvaus tarvitaan muotoyhtälölle .

3. Näytä esimerkein, kuinka se voidaan ilmaista muodossa .

4. Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka kertaluku on n.

5. Mikä on karakteristinen polynomi, ominaisyhtälö.

6. Muotoile lause siitä, millä r:llä funktio on ratkaisu lineaariseen homogeeniseen differentiaaliyhtälöön.

7. Muotoile lause, jonka mukaan lineaarisen homogeenisen yhtälön ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä on myös sen ratkaisu.

8. Muotoile lause ratkaisujen asettamisesta ja sen seurauksista.

9. Mitä ovat lineaarisesti riippuvat ja lineaarisesti riippumattomat funktiojärjestelmät, anna esimerkkejä.

10. Mikä on n funktion järjestelmän Wronskin determinantti, anna esimerkki Wronskin determinantista LZS- ja LNS-järjestelmille.

Luento nro 8.

1. Mikä ominaisuus Wronskin determinantilla on, jos järjestelmän funktio on lineaarisesti riippuvainen.

2. Kuinka monta lineaarisesti riippumatonta ratkaisua on olemassa kertaluvun n lineaariselle homogeeniselle differentiaaliyhtälölle.

3. Lineaarisen homogeenisen yhtälön kertalukua n FSR:n (fundamental system of solutions) määritys.

4. Kuinka monta funktiota FSR sisältää?

5. Kirjoita muistiin yhtälöjärjestelmän muoto Lagrange-menetelmällä haettavaksi, kun n=2.

6. Kirjoita muistiin tietyn ratkaisun tyyppi siinä tapauksessa, kun

7. Mikä on lineaarinen differentiaaliyhtälöjärjestelmä, kirjoita esimerkki.

8. Mikä on autonominen differentiaaliyhtälöjärjestelmä.

9. Differentiaaliyhtälöjärjestelmän fyysinen merkitys.

10. Kirjoita ylös, mistä funktioista yhtälöjärjestelmän FSR koostuu, jos tämän järjestelmän päämatriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat tiedossa.

Luento nro 9.

1. Mikä on kuvitteellinen yksikkö.

2. Mikä on konjugaattiluku ja mitä tapahtuu, kun se kerrotaan alkuperäisellä numerolla.

3. Mikä on kompleksiluvun trigonometrinen, eksponentiaalinen muoto.

4. Kirjoita Eulerin kaava.

5. Mikä on kompleksiluvun moduuli, argumentti.

6. mitä tapahtuu moduuleille ja argumenteille kerto- (jako) aikana.

7. Kirjoita Moivren kaava asteelle n.

8. Kirjoita kaava kertaluvun n juurelle.

9. Kirjoita yleistetyt sini- ja kosinikaavat monimutkaiselle argumentille.

10. Kirjoita kompleksiluvun logaritmin kaava.

Liite 3. Tehtäviä luennoista.

Luento nro 1

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki. .

Luento nro 2

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki. .

Esimerkki. . Esimerkki.. , missä, numero.

Esimerkki. Jaa eksponentiaalisesti.

Esimerkki. Etsi käyttämällä Moivren kaavaa.

Esimerkki. Etsi kaikki juuren arvot.

Reaalimuuttujan (positiivisella kantalla) eksponentiaalinen funktio määritetään useassa vaiheessa. Ensinnäkin luonnonarvoille - yhtäläisten tekijöiden tuotteena. Määritelmä laajenee sitten negatiivisiin kokonaislukuihin ja nollasta poikkeaviin arvoihin sääntöjen mukaan. Seuraavaksi tarkastellaan murto-eksponentteja, joissa eksponentiaalisen funktion arvo määritetään juurilla: . Irrationaalisten arvojen osalta määritelmä liittyy jo matemaattisen analyysin peruskäsitteeseen - jatkuvuuden vuoksi rajan ylittämiseen. Kaikki nämä näkökohdat eivät mitenkään sovellu yrityksiin laajentaa eksponentiaalista funktiota indikaattorin monimutkaisiin arvoihin, ja esimerkiksi mikä se on, on täysin epäselvää.

Euler otti ensimmäistä kertaa käyttöön potenssin, jolla on monimutkainen eksponentti ja luonnollinen kanta, perustuen useiden integraalilaskennan konstruktien analyysiin. Joskus hyvin samankaltaiset algebralliset lausekkeet antavat integroituna täysin erilaisia ​​vastauksia:

Samanaikaisesti tässä toinen integraali saadaan muodollisesti ensimmäisestä, kun se korvataan

Tästä voidaan päätellä, että kun määritellään oikein kompleksinen eksponentti sisältävä eksponentiaalinen funktio, käänteiset trigonometriset funktiot liittyvät logaritmeihin ja siten eksponentiaalinen funktio trigonometrisiin.

Eulerilla oli rohkeutta ja mielikuvitusta antaa järkevä määritelmä eksponentiaaliselle funktiolle, jolla on kanta, nimittäin

Tämä on määritelmä, ja siksi tätä kaavaa ei voida todistaa, voidaan vain etsiä argumentteja sellaisen määritelmän järkevyyden ja tarkoituksenmukaisuuden puolesta. Matemaattinen analyysi tarjoaa monia tämän tyyppisiä argumentteja. Rajoitamme itsemme vain yhteen.

Tiedetään, että todellisuudessa on olemassa rajoittava suhde: . Oikealla puolella on polynomi, joka on järkevä myös monimutkaisille arvoille . Kompleksilukusarjan raja määräytyy luonnollisesti. Jonoa pidetään konvergenttina, jos reaali- ja imaginaariosien sekvenssit konvergoivat ja hyväksytään

Etsitään se. Tätä varten siirrytään trigonometriseen muotoon ja argumentille valitsemme arvot intervallista. Tällä valinnalla on selvää, että . Edelleen,

Päästäksesi rajaan, sinun on tarkistettava rajoitusten olemassaolo ja löydettävä nämä rajat. On selvää että

Eli ilmaisussa

todellinen osa pyrkii , kuvitteellinen osa yleensä niin

Tämä yksinkertainen argumentti on yksi argumenteista Eulerin eksponentiaalisen funktion määritelmän puolesta.

Todetaan nyt, että kun eksponentiaalisen funktion arvot kerrotaan, eksponentit laskevat yhteen. Todella:

2. Eulerin kaavat.

Laitetaanpa sisään eksponentiaalisen funktion määritelmä. Saamme:

Korvaa b:lla -b, saamme

Lisäämällä ja vähentämällä nämä yhtäläisyydet termiltä saamme kaavat

kutsutaan Eulerin kaavoiksi. Ne muodostavat yhteyden trigonometristen funktioiden ja eksponentiaalisten funktioiden välille imaginaarisilla eksponenteilla.

3. Kompleksiluvun luonnollinen logaritmi.

Trigonometrisessa muodossa annettu kompleksiluku voidaan kirjoittaa muotoon, jota kutsutaan eksponentiaaliseksi. Se säilyttää kaikki trigonometrisen muodon hyvät ominaisuudet, mutta on vielä ytimekkäämpi. Edelleen on siksi luonnollista olettaa, että kompleksiluvun logaritmin reaaliosa on sen moduulin logaritmi ja imaginaariosa on sen argumentti. Tämä selittää jossain määrin argumentin "logaritmisen" ominaisuuden - tuotteen argumentti on yhtä suuri kuin tekijöiden argumenttien summa.