Tällä oppitunnilla käydään läpi perustiedot rationaalisista lausekkeista ja niiden muunnoksista sekä esimerkkejä rationaalisten lausekkeiden muunnoksista. Tämä aihe tiivistää aiheet, joita olemme tähän mennessä tutkineet. Rationaalisten lausekkeiden muunnokset sisältävät yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku-, nostamisen algebrallisten murtolukujen potenssiin, vähentämisen, tekijöiden jakamisen jne. Osana oppituntia tarkastellaan, mitä rationaalinen lauseke on, ja analysoimme myös esimerkkejä niiden muunnoksesta .

Aihe:Algebralliset murtoluvut. Algebrallisten murtolukujen aritmeettiset operaatiot

Oppitunti:Perustietoa rationaalisista lausekkeista ja niiden muunnoksista

Määritelmä

rationaalinen ilmaisu on lauseke, joka koostuu luvuista, muuttujista, aritmeettisista operaatioista ja eksponentiosta.

Harkitse esimerkkiä rationaalisesta lausekkeesta:

Rationaalisten ilmaisujen erikoistapaukset:

1. aste: ;

2. monomiaalinen: ;

3. murto-osa: .

Rational Expression Transformation on rationaalisen lausekkeen yksinkertaistus. Toimintojen järjestys rationaalisia lausekkeita muunnettaessa: ensin on toiminnot suluissa, sitten kertolasku (jako) ja sitten yhteenlasku (vähennys).

Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä rationaalisten lausekkeiden muuntamisesta.

Esimerkki 1

Päätös:

Ratkaistaan ​​tämä esimerkki vaihe vaiheelta. Suluissa oleva toiminto suoritetaan ensin.

Vastaus:

Esimerkki 2

Päätös:

Vastaus:

Esimerkki 3

Päätös:

Vastaus: .

Huomautus: ehkä tämän esimerkin nähdessäsi mieleesi tuli ajatus: pienennä murtolukua ennen kuin pelkistää yhteiseksi nimittäjäksi. Todellakin, se on täysin oikein: ensinnäkin on toivottavaa yksinkertaistaa lauseke mahdollisimman paljon ja sitten muuttaa se. Yritetään ratkaista sama esimerkki toisella tavalla.

Kuten näette, vastaus osoittautui täysin samanlaiseksi, mutta ratkaisu osoittautui hieman yksinkertaisemmiksi.

Tällä oppitunnilla tarkastelimme rationaaliset lausekkeet ja niiden muunnokset, sekä useita konkreettisia esimerkkejä näistä muunnoksista.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8 luokka. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et ai., Algebra 8. - 5. painos. - M.: Koulutus, 2010.

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Rationaalisten ilmaisujen muuntaminen. Esimerkkejä ongelmanratkaisusta"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Käsikirja oppikirjaan Muravina G.K. Käsikirja oppikirjalle Makarychev Yu.N.

Rationaalisen ilmaisun käsite

Käsite "rationaalinen ilmaisu" on samanlainen kuin "rationaalisen murto-osan" käsite. Lauseke esitetään myös murtolukuna. Vain osoittajissamme ei ole numeroita, vaan erilaisia ​​lausekkeita. Useimmiten tämä on polynomi. Algebrallinen murtoluku on murtolauseke, joka koostuu luvuista ja muuttujista.

Kun ratkaisimme monia tehtäviä perusluokilla, aritmeettisten operaatioiden jälkeen saimme tiettyjä numeerisia arvoja, useimmiten murtolukuja. Nyt operaatioiden suorittamisen jälkeen saamme algebralliset murtoluvut. Kaverit, muistakaa: oikean vastauksen saamiseksi sinun on yksinkertaistettava ilmaisua, jolla työskentelet niin paljon kuin mahdollista. On saatava pienin mahdollinen tutkinto; identtisiä ilmaisuja osoittajissa ja nimittäjissä olisi vähennettävä; lausekkeita, jotka voidaan tiivistää, sinun on tehtävä niin. Toisin sanoen toimintosarjan suorittamisen jälkeen meidän pitäisi saada yksinkertaisin mahdollinen algebrallinen murtoluku.

Toimintojen järjestys rationaalisilla lausekkeilla

Toimintojen suorittaminen rationaalisilla lausekkeilla on sama kuin aritmeettisissa operaatioissa. Ensin suoritetaan operaatiot suluissa, sitten kerto- ja jakolasku, eksponentio ja lopuksi yhteen- ja vähennyslasku.

Identiteetin todistaminen tarkoittaa osoittamista, että kaikkien muuttujien arvojen oikea ja vasen puoli ovat yhtä suuret. Esimerkkejä henkilöllisyyden todistamisesta on paljon.

Tärkeimmät menetelmät identiteetin ratkaisemiseksi ovat:

• Muunna vasen puoli tasaiseksi oikean kanssa.
• Muunna oikea puoli tasaiseksi vasemman kanssa.
• Muunna vasen ja oikea puoli erikseen, kunnes saadaan sama lauseke.
• Oikea puoli vähennetään vasemmasta, ja tuloksen tulee olla nolla.

Rationaalisten ilmaisujen muunnos. Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Esimerkki 1
Todista henkilöllisyys:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Päätös.
On selvää, että meidän on muutettava vasen puoli.
Tehdään ensin sulut:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1) )(5a-1))$

.

On tarpeen yrittää ottaa yhteiset kertoimet maksimiin.
2) Muunnetaan lauseke, jolla jaamme:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Suorita jakotoiminto:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a) +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Suorita lisäystoiminto:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Oikea ja vasen osa sopivat yhteen. Eli henkilöllisyys on todistettu.
Kaverit, kun ratkaisimme tämän esimerkin, tarvitsimme tietoa monista kaavoista ja toiminnoista. Näemme, että muutoksen jälkeen suuri lauseke muuttui täysin pieneksi. Lähes kaikkia ongelmia ratkaistaessa muunnokset johtavat yleensä yksinkertaisiin lausekkeisiin.

Esimerkki 2
Yksinkertaista lauseke:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Päätös.
Aloitetaan ensimmäisistä suluista.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Muunnetaan toiset sulut.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Tehdään jako.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Vastaus: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Esimerkki 3
Toimi seuraavasti:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Päätös.
Kuten aina, aloita suluilla.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Nyt tehdään jako.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Käytetään ominaisuutta: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Suoritetaan vähennystoiminto.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Kuten aiemmin totesimme, murto-osaa on yksinkertaistettava mahdollisimman paljon.
Vastaus: $\frac(k)(k-4)$.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Todista henkilöllisyys:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b) )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Yksinkertaista lauseke:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Noudata ohjeita:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Tällä oppitunnilla käydään läpi perustiedot rationaalisista lausekkeista ja niiden muunnoksista sekä esimerkkejä rationaalisten lausekkeiden muunnoksista. Tämä aihe tiivistää aiheet, joita olemme tähän mennessä tutkineet. Rationaalisten lausekkeiden muunnokset sisältävät yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku-, nostamisen algebrallisten murtolukujen potenssiin, vähentämisen, tekijöiden jakamisen jne. Osana oppituntia tarkastellaan, mitä rationaalinen lauseke on, ja analysoimme myös esimerkkejä niiden muunnoksesta .

Aihe:Algebralliset murtoluvut. Algebrallisten murtolukujen aritmeettiset operaatiot

Oppitunti:Perustietoa rationaalisista lausekkeista ja niiden muunnoksista

Määritelmä

rationaalinen ilmaisu on lauseke, joka koostuu luvuista, muuttujista, aritmeettisista operaatioista ja eksponentiosta.

Harkitse esimerkkiä rationaalisesta lausekkeesta:

Rationaalisten ilmaisujen erikoistapaukset:

1. aste: ;

2. monomiaalinen: ;

3. murto-osa: .

Rational Expression Transformation on rationaalisen lausekkeen yksinkertaistus. Toimintojen järjestys rationaalisia lausekkeita muunnettaessa: ensin on toiminnot suluissa, sitten kertolasku (jako) ja sitten yhteenlasku (vähennys).

Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä rationaalisten lausekkeiden muuntamisesta.

Esimerkki 1

Päätös:

Ratkaistaan ​​tämä esimerkki vaihe vaiheelta. Suluissa oleva toiminto suoritetaan ensin.

Vastaus:

Esimerkki 2

Päätös:

Vastaus:

Esimerkki 3

Päätös:

Vastaus: .

Huomautus: ehkä tämän esimerkin nähdessäsi mieleesi tuli ajatus: pienennä murtolukua ennen kuin pelkistää yhteiseksi nimittäjäksi. Todellakin, se on täysin oikein: ensinnäkin on toivottavaa yksinkertaistaa lauseke mahdollisimman paljon ja sitten muuttaa se. Yritetään ratkaista sama esimerkki toisella tavalla.

Kuten näette, vastaus osoittautui täysin samanlaiseksi, mutta ratkaisu osoittautui hieman yksinkertaisemmiksi.

Tällä oppitunnilla tarkastelimme rationaaliset lausekkeet ja niiden muunnokset, sekä useita konkreettisia esimerkkejä näistä muunnoksista.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8 luokka. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et ai., Algebra 8. - 5. painos. - M.: Koulutus, 2010.

Rationaaliset lausekkeet ja murtoluvut ovat koko algebran kurssin kulmakivi. Ne, jotka oppivat työskentelemään tällaisten lausekkeiden kanssa, yksinkertaistavat niitä ja laskevat ne itse asiassa, pystyvät ratkaisemaan minkä tahansa ongelman, koska lausekkeiden muuntaminen on olennainen osa mitä tahansa vakavaa yhtälöä, epätasa-arvoa ja jopa sanatehtävää.

Tässä opetusvideossa näemme, kuinka lyhennettyjä kertolaskukaavoja käytetään oikein rationaalisten lausekkeiden ja murtolukujen yksinkertaistamiseksi. Opitaan näkemään nämä kaavat, joissa ensi silmäyksellä ei ole mitään. Samanaikaisesti toistamme sellaisen yksinkertaisen tempun kuin neliötrinomin laskeminen tekijöiksi diskriminantin kautta.

Kuten luultavasti jo arvasit selkäni takana olevista kaavoista, tutkimme tänään lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja tai pikemminkin emme itse kaavoja, vaan niiden soveltamista monimutkaisten rationaalisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen ja vähentämiseen. Mutta ennen kuin siirryt esimerkkien ratkaisemiseen, katsotaanpa tarkemmin näitä kaavoja tai muistetaan ne:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(a+b \oikea)$ on neliöiden erotus;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ on summan neliö;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ on erotuksen neliö;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\vasen(a+b \oikea)\vasen(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ on kuutioiden summa;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\vasen(a-b \oikea)\vasen(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ on kuutioiden erotus.

Haluan myös huomauttaa, että koulumme koulutusjärjestelmä on suunniteltu siten, että se on tämän aiheen tutkimisen kanssa, ts. rationaalisia lausekkeita sekä juuria, moduuleja, kaikilla opiskelijoilla on sama ongelma, jonka nyt selitän.

Tosiasia on, että lyhennetyn kertolaskukaavojen ja vastaavasti murtolukujen vähentämistoimien (tämä on noin luokka 8) tutkimisen alussa opettajat sanovat jotain tällaista: "Jos jokin ei ole sinulle selvää, älä huoli , palaamme tähän aiheeseen useammin kuin kerran, lukiossa varmasti. Selvitämme sen myöhemmin." No, sitten 9-10 luokan vaihteessa samat opettajat selittävät samoille oppilaille, jotka eivät vieläkään osaa ratkaista rationaalisia murtolukuja, jotain tällaista: ”Missä olit edelliset kaksi vuotta? Samaa tutkittiin algebrassa 8. luokalla! Mikä tässä voi olla käsittämätöntä? Se on niin selvää!"

Tavallisille opiskelijoille sellaiset selitykset eivät kuitenkaan ole ollenkaan helpompia: heidän päässään oli edelleen sotku, joten nyt analysoimme kahta yksinkertaista esimerkkiä, joiden perusteella näemme, kuinka näitä ilmaisuja voidaan korostaa todellisissa ongelmissa, joka johtaa meidät lyhyisiin kertolaskuihin ja kuinka soveltaa sitä myöhemmin monimutkaisten rationaalisten lausekkeiden muuntamiseen.

Yksinkertaisten rationaalisten murtolukujen pelkistys

Tehtävä 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Ensimmäinen asia, joka meidän on opittava, on erottaa alkuperäisistä lausekkeista tarkat neliöt ja korkeammat potenssit, joiden perusteella voimme sitten soveltaa kaavoja. Katsotaanpa:

Kirjoitetaan ilmaisumme uudelleen ottaen huomioon nämä tosiasiat:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\vasen(3(y)^(2)) \oikea))^(2))-((\left(4x) \oikea))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3(y)^(2))-4x \oikea)\vasen(3 ((y)^(2))+4x \oikea))=\frac(1)(3(y)^(2))-4x)\]

Vastaus: $\frac(1)(3(y)^(2))-4x)$.

Tehtävä #2

Siirrytään toiseen tehtävään:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Tässä ei ole mitään yksinkertaistettavaa, koska osoittaja on vakio, mutta ehdotin tätä ongelmaa juuri siksi, että opit kertomaan kaksi muuttujaa sisältävät polynomit. Jos sen sijaan olisi alle kirjoitettu polynomi, miten se hajottaisi?

\[((x)^(2))+5x-6=\vasen(x-... \oikea)\vasen(x-... \oikea)\]

Ratkaistaan ​​yhtälö ja etsitään $x$, jonka voimme laittaa pisteiden tilalle:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Voimme kirjoittaa trinomin uudelleen seuraavasti:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\vasen(x-1 \oikea)\vasen(x+6 \oikea)\]

Opimme työskentelemään neliön trinomin kanssa - tätä varten meidän piti tallentaa tämä videotunti. Mutta entä jos $x$:n ja vakion lisäksi on myös $y$? Katsotaan niitä kertoimien toisena elementtinä, ts. Kirjoitetaan lauseemme uudelleen seuraavasti:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Kirjoitamme neliörakenteen hajoamisen:

\[\left(x-y \right)\left(x+6y \right)\]

Yhteensä, jos palaamme alkuperäiseen lausekkeeseen ja kirjoitamme sen uudelleen ottaen huomioon muutokset, saamme seuraavan:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Mitä tällainen ennätys meille antaa? Ei mitään, koska sitä ei voi vähentää, sitä ei kerrota tai jaeta millään. Kuitenkin heti, kun tämä murto-osa osoittautuu olennainen osa monimutkaisempaa lauseketta, tällainen laajennus on hyödyllinen. Siksi heti kun näet neliötrinomin (riippumatta siitä, onko se kuormitettu lisäparametreilla tai ei), yritä aina ottaa se huomioon.

Ratkaisun vivahteet

Muista perussäännöt rationaalisten lausekkeiden muuntamiseen:

• Kaikki nimittäjät ja osoittajat on otettava huomioon joko lyhennettyjen kertolaskujen tai erottimen avulla.
• Meidän on toimittava tämän algoritmin mukaisesti: kun katsomme ja yritämme korostaa lyhennettyä kertolaskukaavaa, yritämme ensinnäkin kääntää kaiken mahdollisimman suuressa määrin. Tämän jälkeen otamme yleisen tutkinnon pois suluista.
• Hyvin usein lausekkeissa on parametri: muut muuttujat näkyvät kertoimina. Löydämme ne kvadraattisen laajennuskaavan avulla.

Siten heti kun näet rationaalisia murtolukuja, ensimmäinen asia on laskea sekä osoittaja että nimittäjä tekijöiksi (lineaarisiksi lausekkeiksi), kun taas käytämme pelkistettyjä kertolaskukaavoja tai erottajaa.

Katsotaanpa pari tällaista rationaalista ilmaisua ja yritetään ottaa ne huomioon.

Monimutkaisempien esimerkkien ratkaiseminen

Tehtävä 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9(y)^(2))- 4((x)^(2)))(8(x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Kirjoitamme uudelleen ja yritämme laajentaa jokaista termiä:

Kirjoitetaan koko rationaalinen ilmaisumme uudelleen nämä tosiasiat mielessä:

\[\frac(((\vasen(2x \oikea))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\vasen(3y \oikea))^(2))-((\vasen(2x \oikea))^(2)))(((\vasen(2x \oikea))^(3))+ ((\vasen(3v\oikea))^(3)))=\]

\[=\frac(((\vasen(2x \oikea))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\vasen(3y-2x \oikea)\vasen(3v+2x \oikea))(\vasen(2x+3y \oikea)\vasen(((\vasen(2x \oikea))^(2))- 2x\cdot 3y+((\vasen(3y \oikea))^(2)) \oikea))=-1\]

Vastaus: $-1$.

Tehtävä #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Katsotaanpa kaikkia murtolukuja.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\vasen(x-2 \oikea))^(2))\]

Kirjoitetaan koko rakenne uudelleen ottaen huomioon muutokset:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \oikea))\cdot \frac( 2x+1)(((\vasen(x-2 \oikea))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \oikea))(\vasen(2x-1 \oikea)\vasen(2x+1 \oikea))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \vasen(x-2 \oikea))\]

Vastaus: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Ratkaisun vivahteet

Joten mitä olemme juuri oppineet:

• Jokainen neliötrinomi ei ole kertoimella, varsinkin tämä koskee summan tai erotuksen epätäydellistä neliötä, jotka usein löytyvät summa- tai erokuutioiden osana.
• Vakiot, ts. tavalliset luvut, joissa ei ole muuttujia, voivat myös toimia aktiivisina elementteinä hajoamisprosessissa. Ensinnäkin ne voidaan ottaa pois suluista ja toiseksi itse vakiot voidaan esittää potenssiina.
• Hyvin usein, kun kaikki elementit on hajotettu tekijöiksi, syntyy vastakkaisia ​​rakenteita. Sinun on pienennettävä näitä murtolukuja erittäin huolellisesti, koska kun ylität ne joko ylhäältä tai alhaalta, näkyviin tulee lisätekijä $-1$ - tämä on juuri seurausta siitä, että ne ovat vastakkaisia.

Monimutkaisten ongelmien ratkaiseminen

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Tarkastellaan jokaista termiä erikseen.

Ensimmäinen murto:

\[((\vasen(3a \oikea))^(3))-((\vasen(4b \oikea))^(3))=\vasen(3a-4b \oikea)\vasen(((\vasen) (3a \oikea))^(2))+3a\cdot 4b+((\vasen(4b \oikea))^(2)) \oikea)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\vasen(b-2 \oikea)\vasen(b+2 \oikea)\]

Voimme kirjoittaa uudelleen toisen murtoluvun osoittajan seuraavasti:

\[((\vasen(3a \oikea))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Katsotaanpa nyt nimittäjää:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\vasen(b+2 \oikea) ))^(2))\]

Uudelleenkirjoitetaan koko rationaalinen lauseke yllä olevat tosiasiat mielessä:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \oikea))(\vasen(b-2 \oikea)\vasen(b+2 \oikea))\cdot \frac(((\vasen(b+2 \oikea))^(2)))( ((\vasen(3a \oikea))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\vasen(3a-4b \oikea)\vasen(b+2 \oikea))(\vasen(b-2 \oikea))\]

Vastaus: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Ratkaisun vivahteet

Kuten olemme jälleen kerran nähneet, epätäydelliset summan neliöt tai epätäydelliset eron neliöt, joita usein löytyy todellisista rationaalisista lausekkeista, eivät kuitenkaan pelkää niitä, koska jokaisen elementin muuntamisen jälkeen ne melkein aina kumoutuvat. Lisäksi sinun ei missään tapauksessa pidä pelätä suuria rakenteita lopullisessa vastauksessa - on täysin mahdollista, että tämä ei ole sinun virheesi (varsinkin jos kaikki otetaan huomioon), mutta kirjoittaja suunnitteli tällaisen vastauksen.

Lopuksi haluaisin analysoida yhtä monimutkaisempaa esimerkkiä, joka ei enää liity suoraan rationaalisiin murtolukuihin, mutta se sisältää kaiken, mikä odottaa sinua todellisissa testeissä ja kokeissa, nimittäin: tekijöiden jakaminen, pelkistys yhteiseen nimittäjään, samanlaisten termien vähentäminen . Juuri niin aiomme tehdä nyt.

Monimutkaisen rationaalisten lausekkeiden yksinkertaistamisen ja muuntamisen ongelman ratkaiseminen

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Ensinnäkin harkitse ja laajenna ensimmäistä hakasuljetta: siinä näemme kolme erillistä murto-osaa eri nimittäjillä, joten ensimmäinen asia, joka meidän on tehtävä, on tuoda kaikki kolme murto-osaa yhteiseen nimittäjään, ja tätä varten jokainen niistä tulee ottaa huomioon:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \oikea)\]

Kirjoitetaan koko rakenteemme uudelleen seuraavasti:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \oikea))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\vasen(x-2 \oikea)+((x)^(3))+8-\vasen(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \oikea))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\vasen(x-2) \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \oikea))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \oikea))=\]

\[=\frac(((\vasen(x-2 \oikea))^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \oikea))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Tämä on tulos ensimmäisestä sulkeesta tehdyistä laskelmista.

Toisen sulkeen käsittely:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \ oikein)\]

Kirjoitetaan toinen hakasulku uudelleen ottaen huomioon muutokset:

\[\frac(((x)^(2)))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\vasen(x+2 \oikea))(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\vasen(x-2 \oikea)\vasen(x+2 \oikea))\]

Kirjoitetaan nyt koko alkuperäinen rakenne:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \oikea)\vasen(x+2 \oikea))=\frac(1)(x+2)\]

Vastaus: $\frac(1)(x+2)$.

Ratkaisun vivahteet

Kuten näette, vastaus osoittautui varsin järkeväksi. Huomaa kuitenkin: hyvin usein niin suurissa laskelmissa, kun ainoa muuttuja on vain nimittäjässä, opiskelijat unohtavat, että tämä on nimittäjä ja sen pitäisi olla murtoluvun alaosassa ja kirjoittaa tämä lauseke osoittajaan - tämä on törkeä virhe.

Lisäksi haluan kiinnittää erityistä huomiota siihen, miten tällaiset tehtävät on muotoiltu. Kaikissa monimutkaisissa laskelmissa kaikki vaiheet suoritetaan askel askeleelta: ensin lasketaan ensimmäinen hakasulke erikseen, sitten toinen hakasulke erikseen, ja vasta lopussa yhdistämme kaikki osat ja laskemme tuloksen. Näin ollen vakuutamme itsemme tyhmiltä virheiltä, ​​kirjoitamme huolellisesti kaikki laskelmat ja samalla emme tuhlaa ylimääräistä aikaa, kuten se saattaa näyttää ensi silmäyksellä.