Geometrian oppikirjojen suuresta määrästä stereometrisiä tehtäviä, erilaisissa tehtäväkokoelmissa, yliopistojen koulutusoppaissa, vinoviivojen välisen etäisyyden löytämiseen liittyvät tehtävät ovat erittäin harvinaisia. Ehkä tämä johtuu sekä niiden käytännön soveltamisen kapeasta (suhteessa koulun opetussuunnitelmaan, toisin kuin pinta-alojen ja volyymien "voittaviin" tehtäviin) ja tämän aiheen monimutkaisuudesta.

Yhtenäisen valtiokokeen käytäntö osoittaa, että monet opiskelijat eivät aloita tenttipaperiin sisältyviä geometrian tehtäviä ollenkaan. Lisääntyneen monimutkaisuuden geometristen tehtävien onnistuneen suorittamisen varmistamiseksi on tarpeen kehittää ajattelun joustavuutta, kykyä analysoida ehdotettua kokoonpanoa ja eristää siinä osia, joiden tarkastelun avulla voit löytää tavan ratkaista ongelma.

Koulukurssilla tutkitaan neljää tapaa ratkaista leikkaavien viivojen välisen etäisyyden löytämistä koskevia ongelmia. Menetelmän valinnan määräävät ensinnäkin tietyn tehtävän ominaisuudet, sen tarjoamat valintamahdollisuudet ja toiseksi tietyn opiskelijan "tilallisen ajattelun" kyvyt ja ominaisuudet. Jokainen näistä menetelmistä antaa sinun ratkaista ongelman tärkeimmän osan - segmentin rakentamisen kohtisuoraan molempiin leikkaaviin suoriin nähden (tehtävien laskennallisessa osassa jakoa menetelmiin ei vaadita).

Tärkeimmät menetelmät vinojen viivojen välisen etäisyyden löytämiseen liittyvien ongelmien ratkaisemiseksi

Kahden leikkaavan suoran yhteisen kohtisuoran pituus, ts. jana, jonka päät ovat näillä viivoilla ja kohtisuorassa kuhunkin näistä viivoista.

Etsitään etäisyys yhdestä leikkaavasta suorasta sen kanssa samansuuntaiseen tasoon, joka kulkee toisen suoran kautta.

Kahden yhdensuuntaisen tason välinen etäisyys, jotka kulkevat annettujen vinoviivojen kautta.

Etäisyyden löytäminen pisteestä, joka on yhden vinoviivan projektio sitä vastaan ​​kohtisuoraan tasoon (ns. "ruutu") toisen suoran projektioon samalle tasolle.

Esittelemme kaikki neljä menetelmää seuraavalla yksinkertaisimmalla tehtävä: "Kuutiossa, jossa on reuna A etsi etäisyys minkä tahansa reunan ja sellaisen pinnan diagonaalin välillä, joka ei leikkaa sitä." Vastaus: .

Kuva 1

h skr on kohtisuorassa diagonaalin sisältävän sivupinnan tasoon nähden d ja on kohtisuorassa reunaan nähden, joten h scr ja on reunan välinen etäisyys A ja diagonaali d.

Kuva 2

Taso A on yhdensuuntainen reunan kanssa ja kulkee annetun lävistäjän läpi, joten annettu h scr ei ole vain etäisyys reunasta tasoon A, vaan myös etäisyys reunasta annettuun diagonaaliin.

Kuva 3

Tasot A ja B ovat yhdensuuntaisia ​​ja kulkevat kahden annetun vinoviivan läpi, joten näiden tasojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin kahden vinoviivan välinen etäisyys.

Kuva 4

Taso A on kohtisuorassa kuution reunaan nähden. Kun projisoidaan diagonaaliin A d tämä diagonaali kääntyy kuution pohjan yhdelle sivulle. Tämä h scr on reunan sisältävän suoran ja diagonaalin tasolle C projektion välinen etäisyys ja siten reunan sisältävän suoran ja lävistäjän välinen etäisyys.

Pysähdytään yksityiskohtaisemmin kunkin koulussa opitun monitahoisen menetelmän soveltamiseen.

Ensimmäisen menetelmän käyttö on melko rajallista: sitä käytetään hyvin vain joissakin ongelmissa, koska on melko vaikea määrittää ja perustella tarkkaa sijaintia yksinkertaisimmissa tehtävissä sekä kahden leikkaavan suoran yhteisen kohtisuoran likimääräistä sijaintia kompleksissa. ongelmia. Lisäksi tämän kohtisuoran pituus monimutkaisissa ongelmissa voi kohdata ylitsepääsemättömiä vaikeuksia.

Tehtävä 1. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä, jonka mitat a, b, h etsi etäisyys sivureunan ja alustan lävistäjän välillä, joka ei leikkaa sen kanssa.

Kuva 5

Anna AHBD. Koska A 1 A on kohtisuorassa tasoon ABCD nähden, niin A 1 A AH.

AH on kohtisuorassa molempien kahden leikkaavan suoran kanssa, joten AH? on suorien A 1 A ja BD välinen etäisyys. Suorakulmaisesta kolmiosta ABD, kun tiedämme jalkojen AB ja AD pituudet, löydämme korkeuden AH käyttämällä kaavoja suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskemiseen. Vastaus:

Tehtävä 2. Tavallisessa 4-sivuisessa pyramidissa, jossa on sivureuna L ja pohjapuoli a etsi etäisyys apoteemin ja pohjan sen puolen välillä, joka leikkaa tämän apoteemin sisältävän sivupinnan.

Kuva 6

SHCD apoteemina, ADCD ABCD:nä on neliö. Siksi DH on viivojen SH ja AD välinen etäisyys. DH on yhtä suuri kuin puolet CD:n sivusta. Vastaus:

Tämän menetelmän käyttöä rajoittaa myös se tosiasia, että jos pystyt nopeasti rakentamaan (tai löytämään valmiin) tason, joka kulkee yhden leikkaavan suoran läpi ja yhdensuuntaisen toisen suoran kanssa, rakentamalla kohtisuoran mistä tahansa toisen pisteestä viiva tähän tasoon (polyhedronin sisällä) aiheuttaa vaikeuksia. Yksinkertaisissa tehtävissä, joissa ilmoitetun kohtisuoran rakentaminen (tai löytäminen) ei kuitenkaan aiheuta vaikeuksia, tämä menetelmä on nopein ja helpoin ja siksi saavutettavissa.

Tehtävä 2. Edellä jo esitetyn ongelman ratkaiseminen tällä tavalla ei aiheuta erityisiä vaikeuksia.

Kuva 7

Taso EFM on yhdensuuntainen linjan AD kanssa, koska AD|| EF. Suora MF on tässä tasossa, joten suoran AD ja tason EFM välinen etäisyys on yhtä suuri kuin suoran AD ja suoran MF välinen etäisyys. Tehdään OHAD. OHEF, OHMO, siis OH(EFM), joten OH on suoran AD ja tason EFM välinen etäisyys ja siten suoran AD ja suoran MF välinen etäisyys. OH:n löytäminen kolmiosta AOD.

Tehtävä 3. Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä, jonka mitat a,b Ja h etsi etäisyys suuntaissärmiön sivureunan ja sen lävistäjän välillä, joka ei leikkaa sitä.

Kuva 8

Suora AA 1 on yhdensuuntainen tason BB 1 D 1 D kanssa, B 1 D kuuluu tähän tasoon, joten etäisyys AA 1 tasosta BB 1 D 1 D on yhtä suuri kuin suorien AA 1 ja B 1 D välinen etäisyys. Piirrä AHBD . Myös AH B 1 B, siis AH(BB 1 D 1 D), joten AHB 1 D, eli AH on vaadittu etäisyys. Etsi AH suorasta kolmiosta ABD.

Vastaus:

Tehtävä 4. Säännöllinen kuusikulmainen prisma A:F 1 korkeudella h ja pohjapuoli a etsi rivien välinen etäisyys:

Kuva 9 Kuva 10

a) AA 1 ja ED 1.

Tarkastellaan tasoa E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1 , A 1 E 1 E 1 D 1 siis

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Myös A 1 E 1 AA 1 . Siksi A 1 E 1 on etäisyys suorasta AA 1 tasoon E 1 EDD 1 . ED 1 (E 1 EDD 1)., joten AE 1 on etäisyys suorasta AA 1 suorasta ED 1:stä. Etsitään A 1 E 1 kolmiosta F 1 A 1 E 1 kosinilauseen avulla. Vastaus:

b) AF ja diagonaali BE 1.

Piirretään pisteestä F suora FH, joka on kohtisuorassa BE:tä vastaan. EE 1 FH, FHBE, joten FH(BEE 1 B 1), joten FH on suoran AF ja (BEE 1 B 1) välinen etäisyys ja siten suoran AF ja lävistäjän BE 1 välinen etäisyys. Vastaus:

MENETELMÄ III

Tämän menetelmän käyttö on erittäin rajallista, koska yhden suoran kanssa yhdensuuntainen taso (menetelmä II) on helpompi rakentaa kuin kaksi yhdensuuntaista tasoa, mutta menetelmää III voidaan käyttää prismoissa, jos leikkaavat suorat kuuluvat yhdensuuntaisiin pintoihin. ja myös tapauksissa, joissa monitahoiseen on helppo rakentaa yhdensuuntaisia ​​osia sisältäen tiettyjä viivoja.

Tehtävä 4.

Kuva 11

a) Tasot BAA 1 B 1 ja DEE 1 D 1 ovat yhdensuuntaisia, koska AB || ED ja AA 1 || EE1. ED 1 DEE 1 D 1 , AA 1 (BAA 1 B 1 ), siis suorien AA 1 ja ED 1 välinen etäisyys on yhtä suuri kuin tasojen BAA 1 B 1 ja DEE 1 D 1 välinen etäisyys. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , joten A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Todistamme samalla tavalla, että A 1 E 1 (DEE 1 D 1). Siten A1E1 on tasojen BAA1B1 ja DEE1D1 välinen etäisyys ja siten viivojen AA1 ja ED1 välinen etäisyys. Etsi A 1 E 1 kolmiosta A 1 F 1 E 1 , joka on tasakylkinen ja kulma A 1 F 1 E 1 on yhtä suuri kuin . Vastaus:

Kuva 12

b) AF:n ja diagonaalin BE 1 välinen etäisyys on sama.

Tehtävä 5. Kuutiossa, jossa on reuna A etsi kahden vierekkäisen pinnan kahden ei-leikkaavan lävistäjän välinen etäisyys.

Tätä ongelmaa pidetään joissain käsikirjoissa klassisena, mutta pääsääntöisesti sen ratkaisu annetaan menetelmällä IV, mutta se on melko helposti ratkaistavissa menetelmällä III.

Kuva 13

Eräs vaikeus tässä tehtävässä on todiste siitä, että lävistäjä A 1 C on kohtisuorassa molempiin yhdensuuntaisiin tasoihin (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 ja BC 1 A 1 B 1 , joten suora BC 1 on kohtisuorassa tasoon A 1 B 1 C nähden ja siten BC 1 A 1 C. Myös A 1 CBD. Siksi suora A 1 C on kohtisuorassa tasoon BC 1 D nähden. Tehtävän laskennallinen osa ei aiheuta erityisiä vaikeuksia, koska h scr= EF saadaan kahden identtisen säännöllisen pyramidin A 1 AB 1 D 1 ja CC 1 BD kuution diagonaalin ja korkeuksien erona.

MENETELMÄ IV.

Tällä menetelmällä on melko laaja sovellus. Keskitason ja vaikeusasteisten tehtävien osalta sitä voidaan pitää pääasiallisena. Sitä ei tarvitse soveltaa vain silloin, kun jokin kolmesta edellisestä menetelmästä toimii helpommin ja nopeammin, koska tällöin menetelmä IV voi vain vaikeuttaa ongelman ratkaisua tai vaikeuttaa sen saatavuutta. Tämä menetelmä on erittäin edullinen käytettäväksi risteävien viivojen kohtisuorassa, koska yhden suoran projektiota ei tarvitse rakentaa "näytölle"

L ja pohjapuoli a.

Kuva 16

Tässä ja vastaavissa ongelmissa menetelmä IV johtaa ratkaisuun nopeammin kuin muut menetelmät, koska rakentamalla "näytön" roolia AC:tä vastaan ​​kohtisuorassa oleva leikkaus (kolmio BDM), on selvää, että pidemmälle ei tarvitse rakentaa. toisen viivan (BM) projektio tälle näytölle. DH - haluttu etäisyys. DH saadaan kolmiosta MDB käyttämällä pinta-alakaavoja. Vastaus: .

"Viistoviivojen välinen etäisyys" - Lause. Valmistelevat suulliset tehtävät. Etsi suoran MN ja tason AA1D1D välinen etäisyys. Etsi suoran B1K ja tason DD1C1C välinen etäisyys. OK=OO1?OM/O1M =a/3 (Pythagoraan lauseen O1M=3/2?2, OM=1/2?2 mukaan). Diagonaalitaso AA1C1C on kohtisuorassa linjaa BD vastaan. Pisteiden B ja N uudet paikat ovat suorien AD ja BM lähimpänä olevat pisteet.

"Oppitunnin nopeusaikaetäisyys" - Matemaattinen lämmittely. Oppitunnin tarkoitus: opettaa opiskelijoita ratkaisemaan liikkeen ongelmia. Etäisyys. Kuinka kauan kestää kävellä 30 km vakionopeudella 5 km/h? Nopeuden, ajan ja matkan välinen suhde. Kuinka monta ihmistä kävi kaupungissa? Lentokone lentää etäisyyden kaupungista A kaupunkiin B 1 tunnissa ja 20 minuutissa.

"Nopeus-aikamatkan matematiikka" - Pienennä numeroiden 5 ja 65 summaa 2 kertaa. Tiedä meni kuuhun. Matka satukirjan sivuilla. Fizkultminutka. Toinen lähti klo 8 ja toinen klo 10. Yhteenveto. Onko Laura oikeassa? -Laura ratkaisi seuraavan ongelman: ”500 km. Auto ajaa ohi 10 tunnissa. Aika. Avain, jonka vastaus on "38", avaa kirjan:

"Vuoropuhelun suora puhe" - Mitä eroa on suoralla puheella ja dialogilla? Esimerkiksi: L. N. Tolstoi sanoi: "Me kaikki tarvitsemme toisiamme maailmassa." Suoran puheen grafiikka. A: "p." Tehtävä 3. Korvaa suora puhe dialogilla. Esimerkiksi: "P?" - A. "P!" - A. Osoita oikeat kaaviot seuraaville lauseille. Dialogigrafiikka. Kuinka kirjoittaa suoraa puhetta ja dialogia kirjallisesti?

"Laukkeet suoralla puheella" - Petronius, muinainen roomalainen kirjailija. Peli "Etsi virhe" (tarkistus). Tekijän sanat, jotka esittelevät suoran puheen: ilmestyin uudelleen ja menin isä Gerasimin taloon. Ystävä kylästä tuli kylään. Ehdotukset suoralla puheella. Luova tehtävä. Kirjoituksessa suora puhe on lainausmerkeissä. Lukea!" huudahti Konstantin Georgievich Paustovsky.

"Etäisyys ja mittakaava" - Atomin malli suurella suurennuksella. Mittakaavalla varustetussa kartassa etäisyys on 5 cm. Jos mittakaava on annettu murtoluvulla, jonka osoittaja on 1, niin. Paloauton pienoismalli. Algoritmi etäisyyden löytämiseksi maassa: Maantiellä reitin pituus on 700 km. Viimeistele lause: Kahden kaupungin välinen etäisyys on 400 km.

Tässä artikkelissa Unified State Examinationin ongelman C2 ratkaisun esimerkkiä käyttäen analysoidaan menetelmää koordinaattien löytämiseksi menetelmällä. Muista, että viivat ovat vinossa, jos ne eivät ole samassa tasossa. Erityisesti, jos yksi suora on tasossa ja toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei ole ensimmäisellä viivalla, tällaiset viivat ovat vinossa (katso kuva).

Löytämiseen risteävien viivojen väliset etäisyydet tarpeellista:

1. Piirrä yhden vinoviivan läpi taso, joka on yhdensuuntainen toisen vinoviivan kanssa.
2. Pudota kohtisuora mistä tahansa toisen suoran pisteestä tuloksena olevaan tasoon. Tämän kohtisuoran pituus on haluttu viivojen välinen etäisyys.

Analysoidaan tätä algoritmia yksityiskohtaisemmin käyttämällä esimerkkiä ongelman C2 ratkaisusta matematiikan Unified State Examinationista.

Rivien välinen etäisyys avaruudessa

Tehtävä. yhdessä kuutiossa ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 etsi rivien välinen etäisyys BA 1 ja D.B. 1 .

Riisi. 1. Piirustus tehtävää varten

Ratkaisu. Kuution diagonaalin keskipisteen kautta D.B. 1 (piste O) piirrä suoran kanssa yhdensuuntainen viiva A 1 B. Tietyn suoran ja reunojen leikkauspisteet eKr Ja A 1 D 1 tarkoittaa vastaavasti N Ja M. Suoraan MN makaa lentokoneessa MNB 1 ja yhdensuuntainen linjan kanssa A 1 B, joka ei ole tässä tasossa. Tämä tarkoittaa, että suora A 1 B yhdensuuntainen tason kanssa MNB 1 suoran ja tason yhdensuuntaisuuden perusteella (kuva 2).

Riisi. 2. Haluttu risteysviivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin etäisyys mistä tahansa valitun viivan pisteestä kuvattuun tasoon

Etsimme nyt etäisyyttä jostain suoran pisteestä A 1 B koneeseen asti MNB 1 . Tämä etäisyys on määritelmän mukaan haluttu etäisyys vinojen viivojen välillä.

Tämän etäisyyden löytämiseksi käytämme koordinaattimenetelmää. Esittelemme suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän niin, että sen origo on sama kuin pisteen B, akselin X oli suunnattu reunaa pitkin BA, akseli Y- kylkiluuta pitkin eKr, akseli Z- kylkiluuta pitkin BB 1 (kuvio 3).

Riisi. 3. Valitsemme suorakaiteen muotoisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän kuvan osoittamalla tavalla

Löydämme tason yhtälön MNB 1 tässä koordinaattijärjestelmässä. Tätä varten määritämme ensin pisteiden koordinaatit M, N Ja B 1: Korvaamme saadut koordinaatit suoran yleisen yhtälön ja saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän:

Järjestelmän toisesta yhtälöstä saadaan kolmas ja sitten ensimmäisestä. Korvaamme saadut arvot suoran yleisen yhtälön:

Huomaa, että muuten kone MNB 1 kulkisi alkuperän läpi. Jaamme tämän yhtälön molemmat puolet ja saamme:

Etäisyys pisteestä tasoon määräytyy kaavan mukaan.

AVARUUKSEN OIKEUDEN VÄLINEN ETÄISYYS Kahden leikkaavan suoran välinen etäisyys avaruudessa on näihin suoriin vedetyn yhteisen kohtisuoran pituus. Jos toinen kahdesta leikkaavasta suorasta on tasossa ja toinen on samansuuntainen tämän tason kanssa, näiden viivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin suoran ja tason välinen etäisyys. Jos kaksi leikkaavaa suoraa ovat yhdensuuntaisissa tasoissa, näiden viivojen välinen etäisyys on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.

Kuutio 1 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja BC välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 2 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja CD välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 3 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja B 1 C 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 4 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja C 1 D 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 5 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja BC 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 6 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja B 1 C välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 7 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja CD 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 8 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja DC 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Kuutio 9 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja CC 1 välinen etäisyys. Vastaus:

Kuutio 10 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja BD välinen etäisyys. Ratkaisu. Olkoon O BD:n keskipiste. Haluttu etäisyys on segmentin AO pituus. Se on yhtä suuri kuin vastaus:

Kuutio 11 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja B 1 D 1 välinen etäisyys. Vastaus:

Kuutio 12 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja BD 1 välinen etäisyys. Ratkaisu. Olkoon P, Q janan AA 1, BD 1 keskipisteet. Haluttu etäisyys on janan PQ pituus. Se on yhtä suuri kuin vastaus:

Kuutio 13 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AA 1 ja BD 1 välinen etäisyys. Vastaus:

Kuutio 14 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 etäisyys linjoilla AB 1 ja CD 1. Vastaus: 1.

Kuutio 15 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 suorien AB 1 ja BC 1 välinen etäisyys. Ratkaisu. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten tasojen AB 1 D 1 ja BDC 1 välinen etäisyys. Diagonaali A 1 C on kohtisuorassa näihin tasoihin nähden ja jaetaan leikkauspisteissä kolmeen yhtä suureen osaan. Siksi haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin segmentin EF pituus ja yhtä suuri kuin vastaus:

Kuutio 16 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 suorien AB 1 ja A 1 C 1 välinen etäisyys. Ratkaisu on samanlainen kuin edellinen. Vastaus:

Kuutio 17 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 viivojen AB 1 ja BD välinen etäisyys. Ratkaisu on samanlainen kuin edellinen. Vastaus:

Kuutio 18 Etsi yksikkökuutiosta A…D 1 etäisyys linjoilla AB 1 ja BD 1. Ratkaisu. Diagonaali BD 1 on kohtisuorassa tasasivuisen kolmion ACB 1 tasoon nähden ja leikkaa sen piirretyn ympyrän keskipisteessä P. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin tämän ympyrän säde OP. OP = Vastaus:

Pyramidi 1 Etsi yksikkötetraedristä ABCD linjojen AD ja BC välinen etäisyys. Ratkaisu. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin janan EF pituus, jossa E, F ovat reunojen AD, GF keskipisteet. Kolmiossa DAG DA = 1, AG = DG = Vastaus: Siksi EF =

Pyramidi 2 Etsi säännöllisestä pyramidista SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etsi suorien AB ja CD välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Pyramidi 3 Etsi säännöllisestä pyramidista SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etsi viivojen SA ja BD välinen etäisyys. Ratkaisu. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin kolmion SAO korkeus OH, missä O on BD:n keskipiste. Suorakulmaisessa kolmiossa SAO meillä on: SA = 1, AO = SO = Vastaus: Siksi OH =

Pyramidi 4 Etsi säännöllisestä pyramidista SABCD, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etsi viivojen SA ja BC välinen etäisyys. Ratkaisu. Taso SAD on yhdensuuntainen linjan BC kanssa. Siksi haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin suoran BC ja tason SAD välinen etäisyys. Se on yhtä suuri kuin kolmion SEF korkeus EH, jossa E, F ovat reunojen BC, AD keskipisteet. Kolmiossa SEF meillä on: EF = 1, SE = SF = korkeus SO on siis, EH = vastaus:

Pyramidi 5 Etsi säännöllisestä kuudennesta pyramidista SABCDEF, jonka kantareunat ovat yhtä kuin 1, etsi viivojen AB ja DE välinen etäisyys. Vastaus:

Pyramidi 6 Etsi säännöllisestä 6. pyramidista SABCDEF, jonka sivureunat ovat 2 ja kantareunat 1, etsi viivojen SA ja BC välinen etäisyys. Ratkaisu: Jatka reunoja BC ja AF, kunnes ne leikkaavat pisteessä G. Yhteinen kohtisuora kohtiin SA ja BC on kolmion ABG korkeus AH. Se on yhtä suuri kuin vastaus:

Pyramidi 7 Etsi säännöllisestä 6. pyramidista SABCDEF, jonka sivureunat ovat 2 ja kantareunat 1, etsi viivojen SA ja BF välinen etäisyys. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on kolmion SAG korkeus GH, jossa G on BF:n ja AD:n leikkauspiste. Kolmiossa SAG meillä on: SA = 2, AG = 0,5, korkeus SO on yhtä suuri kuin Täältä löydämme GH = Vastaus:

Pyramidi 8 Etsi säännöllisestä 6. pyramidista SABCDEF, jonka sivureunat ovat 2 ja kantareunat 1, etsi viivojen SA ja CE välinen etäisyys. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on kolmion SAG korkeus GH, jossa G on CE:n ja AD:n leikkauspiste. Kolmiossa SAG meillä on: SA = 2, AG = , korkeus SO on yhtä suuri kuin Täältä löydämme GH = Vastaus:

Pyramidi 9 Säännöllisestä 6. pyramidista SABCDEF, jonka sivureunat ovat 2 ja kantareunat 1, etsi viivojen SA ja BD välinen etäisyys. Ratkaisu: Suora BD on yhdensuuntainen tason SAE kanssa. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin suoran BD ja tämän tason välinen etäisyys ja on yhtä suuri kuin kolmion SPQ korkeus PH. Tässä kolmiossa korkeus SO on PQ = 1, SP = SQ = Täältä löydämme PH = Vastaus:

Pyramidi 10 Etsi säännöllisestä 6. pyramidista SABCDEF, jonka sivureunat ovat 2 ja kantareunat 1, etsi viivojen SA ja BG välinen etäisyys, missä G on reunan SC keskipiste. Ratkaisu: Piirrä pisteen G kautta SA:n suuntainen viiva. Merkitään Q sen ja suoran AC leikkauspiste. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion ASQ korkeus QH, jossa AS = 2, AQ = , SQ = Täältä löydämme QH = Vastaus: .

Prisma 1 Selvitä säännöllisessä kolmiomaisessa prismassa ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, suorien etäisyys: BC ja B 1 C 1. Vastaus: 1.

Prisma 2 Säännöllisestä kolmiomaisesta prismasta ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etsi suorien AA 1 ja BC välinen etäisyys. Vastaus:

Prisma 3 Säännöllisestä kolmiomaisesta prismasta ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etsi suorien AA 1 ja BC 1 välinen etäisyys. Vastaus:

Prisma 4 Säännöllisestä kolmiomaisesta prismasta ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, etsi suorien AB ja A 1 C 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Prisma 5 Etsi säännöllisestä kolmiomaisesta prismasta ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, määritä suorien AB ja A 1 C välinen etäisyys. Ratkaisu: Vaadittu etäisyys on yhtä suuri kuin suoran AB välinen etäisyys ja taso A 1 B 1 C. Merkitään D ja D 1 reunojen AB ja A 1 B 1 keskipisteet. Piirrä suorakulmaiseen kolmioon CDD 1 korkeus DE kärjestä D. Se on haluttu etäisyys. Meillä on, DD 1 = 1, CD = Vastaus: Siksi DE = , CD 1 = .

Prisma 6 Määritä säännöllisessä kolmiomaisessa prismassa ABCA 1 B 1 C 1, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret kuin 1, suorien AB 1 ja BC 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Tehdään prisma 4-kulmaiseksi prismaksi. Haluttu etäisyys on yhtä suuri kuin yhdensuuntaisten tasojen AB 1 D 1 ja BDC 1 välinen etäisyys. Se on yhtä suuri kuin suorakulmaisen kolmion AOO 1 korkeus OH, jossa Vastaus. Tämä korkeus on

Prisma 7 Etsi oikeasta 6. prismasta A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, ja etsi suorien AB ja A 1 B 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Prisma 8 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AB ja B 1 C 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Prisma 9 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AB ja C 1 D 1 välinen etäisyys. Vastaus: 1.

Prisma 10 Etsi oikeasta kuudennesta prismasta A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, etsi suorien AB ja DE välinen etäisyys. Vastaus:.

Prisma 11 Etsi oikeasta 6. prismasta A ... F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, etsi suorien AB ja D 1 E 1 välinen etäisyys. Vastaus: 2.

Prisma 12 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AA 1 ja CC 1 välinen etäisyys. Vastaus: .

Prisma 13 Etsi oikeasta 6. prismasta A ... F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, etsi suorien AA 1 ja DD 1 välinen etäisyys. Vastaus: 2.

Prisma 14 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien välinen etäisyys: AA 1 ja B 1 C 1. Ratkaisu: Jatketaan sivuja B 1 C 1 ja A 1 F 1 kunnes ne leikkaavat pisteessä G. Kolmio A 1 B 1 G on tasasivuinen. Sen korkeus A 1 H on haluttu yhteinen kohtisuora. Sen pituus on yhtä suuri. Vastaus:.

Prisma 15 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien välinen etäisyys: AA 1 ja C 1 D 1. Ratkaisu: Haluttu yhteinen kohtisuora on jana A 1 C 1. Sen pituus on yhtä kuin. Vastaus:.

Prisma 16 Etsi säännöllisessä 6. prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien välinen etäisyys: AA 1 ja BC 1. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on yhdensuuntaisten tasojen ADD 1 ja BCC 1 välinen etäisyys. Se on tasa-arvoinen. Vastaus:.

Prisma 17 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AA 1 ja CD 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Haluttu yhteinen kohtisuora on jana AC. Sen pituus on yhtä suuri. Vastaus:.

Prisma 18 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AA 1 ja DE 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Haluttu yhteinen kohtisuora on jana A 1 E 1. Sen pituus on yhtä suuri . Vastaus:.

Prisma 19 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AA 1 ja BD 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Haluttu yhteinen kohtisuora on jana AB. Sen pituus on 1. Vastaus: 1.

Prisma 20 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AA 1 ja CE 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on suoran AA 1 ja tason CEE 1 välinen etäisyys. Se on yhtä suuri. Vastaus:.

Prisma 21 Etsi oikeasta kuudennesta prismasta A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, etsi viivojen välinen etäisyys: AA 1 ja BE 1. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on suoran AA 1 ja tason BEE 1 välinen etäisyys. Se on yhtä suuri. Vastaus:.

Prisma 22 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien välinen etäisyys: AA 1 ja CF 1. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on suoran AA 1 ja tason CFF 1 välinen etäisyys. Se on yhtä suuri. Vastaus:.

Prisma 23 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien välinen kulma: AB 1 ja DE 1. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on yhdensuuntaisten tasojen ABB 1 ja DEE 1 välinen etäisyys. Niiden välinen etäisyys on yhtä suuri. Vastaus:.

Prisma 24 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien välinen kulma: AB 1 ja CF 1. Ratkaisu: Haluttu etäisyys on suoran AB 1 ja tason CFF 1 välinen etäisyys. Se on yhtä suuri. Vastaus:

Prisma 25 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AB 1 ja BC 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Olkoon O, O 1 prisman pintojen keskipisteet. Tasot AB 1 O 1 ja BC 1 O ovat yhdensuuntaiset. Taso ACC 1 A 1 on kohtisuorassa näihin tasoihin nähden. Haluttu etäisyys d on yhtä suuri kuin suorien AG 1 ja GC 1 välinen etäisyys. Suunnikkaassa AGC 1 G 1 meillä on AG = Vastaus: ; AG 1 = Sivulle AA 1 piirretty korkeus on yhtä suuri kuin 1. Siksi d= . .

Prisma 26 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AB 1 ja BD 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Tarkastellaan tasoa A 1 B 1 HG, joka on kohtisuorassa BD 1:tä vastaan. Ortogonaali Projektio tälle tasolle muuttaa suoran BD 1 pisteeksi H ja suoran AB 1 suoraksi GB 1. Siksi haluttu etäisyys d on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä H linjaan GB 1. Suorakulmaisessa kolmiossa GHB 1 on GH = 1; Vastaus: B 1 H = . Siksi d = .

Prisma 27 Etsi säännöllisessä kuudennessa prismassa A…F 1, jonka reunat ovat yhtä kuin 1, suorien AB 1 ja BE 1 välinen etäisyys. Ratkaisu: Tarkastellaan tasoa A 1 BDE 1, joka on kohtisuorassa AB 1:een nähden. Ortogonaalinen projektio tämä taso muuttaa suoran AB 1 pisteeksi G ja linja BE 1 jää paikalleen. Siksi haluttu etäisyys d on yhtä suuri kuin etäisyys GH pisteestä G suoralle BE 1. Suorakulmaisessa kolmiossa A 1 BE 1 meillä on A 1 B = ; A 1 E 1 =. Vastaus: Siksi d = .