Matriisin determinantti

Matriisin determinantin löytäminen on hyvin yleinen ongelma korkeammassa matematiikassa ja algebrassa. Pääsääntöisesti ei voi tulla ilman matriisideterminantin arvoa ratkaistaessa monimutkaisia ​​yhtälöjärjestelmiä. Cramerin menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on rakennettu matriisideterminantin laskentaan. Determinaatin määritelmää käyttämällä määritetään yhtälöjärjestelmän ratkaisun olemassaolo ja ainutlaatuisuus. Siksi on vaikea yliarvioida kyvyn löytää oikein ja tarkasti matriisin determinantti matematiikassa merkitystä. Determinanttien ratkaisumenetelmät ovat teoriassa varsin yksinkertaisia, mutta matriisin koon kasvaessa laskelmat ovat erittäin hankalia ja vaativat suurta huolellisuutta ja paljon aikaa. Tällaisissa monimutkaisissa matemaattisissa laskelmissa on erittäin helppo tehdä pieni virhe tai kirjoitusvirhe, joka johtaa virheeseen lopullisessa vastauksessa. Siksi, vaikka löydätkin matriisin determinantti itsenäisesti, on tärkeää tarkistaa tulos. Tämän avulla voimme tehdä palvelustamme matriisin määrittävän tekijän verkossa. Palvelumme antaa aina ehdottoman tarkan tuloksen, joka ei sisällä virheitä tai kirjoitusvirheitä. Voit kieltäytyä itsenäisistä laskelmista, koska sovelletusta näkökulmasta katsottuna löytäminen matriisin determinantti sillä ei ole opettavaista luonnetta, vaan se vaatii yksinkertaisesti paljon aikaa ja numeerisia laskelmia. Jos siis tehtävässäsi matriisideterminantin määritys ovat apu-, sivulaskelmia, käytä palveluamme ja Etsi matriisimäärittäjä verkosta!

Kaikki laskelmat suoritetaan automaattisesti korkeimmalla tarkkuudella ja täysin ilmaiseksi. Meillä on erittäin kätevä käyttöliittymä matriisielementtien syöttämiseen. Mutta tärkein ero palvelumme ja vastaavien välillä on mahdollisuus saada yksityiskohtainen ratkaisu. Palvelumme klo matriisideterminantin laskeminen verkossa käyttää aina yksinkertaisinta ja lyhintä menetelmää ja kuvailee yksityiskohtaisesti jokaisen muunnosten ja yksinkertaistamisen vaiheet. Joten et saa vain matriisideterminantin arvoa, lopputulosta, vaan koko yksityiskohtaisen ratkaisun.

Determinantin käsite on yksi tärkeimmistä lineaarialgebran aikana. Tämä käsite sisältyy VAIN NELIÖMATRIKSeihin, ja tämä artikkeli on omistettu tälle käsitteelle. Tässä puhutaan matriisien determinanteista, joiden alkiot ovat reaalilukuja (tai kompleksilukuja). Tässä tapauksessa determinantti on reaaliluku (tai kompleksiluku). Kaikki jatkoesitys on vastaus kysymyksiin, miten determinantti lasketaan ja mitä ominaisuuksia sillä on.

Ensin annetaan kertalukua n:n neliömatriisin determinantin määritelmä matriisielementtien permutaatioiden tulojen summana. Tämän määritelmän perusteella kirjoitamme kaavat ensimmäisen, toisen ja kolmannen kertaluvun matriisien determinanttien laskemiseksi ja analysoimme yksityiskohtaisesti useiden esimerkkien ratkaisuja.

Seuraavaksi siirrymme determinantin ominaisuuksiin, jotka muotoilemme lauseiden muodossa ilman todisteita. Tässä menetelmä determinantin laskemiseksi saadaan laajentamalla sitä rivin tai sarakkeen elementtien yli. Tämä menetelmä vähentää kertaluvun n matriisin determinantin laskennan kertalukua n:llä matriisien determinanttien laskemiseen kertalukua 3 tai vähemmän. Muista näyttää ratkaisuja useisiin esimerkkeihin.

Lopuksi keskitytään determinantin laskemiseen Gaussin menetelmällä. Tämä menetelmä on hyvä 3 x 3 suuruisten matriisien determinanttien löytämiseen, koska se vaatii vähemmän laskentaa. Analysoimme myös esimerkkiratkaisun.

Sivulla navigointi.

Matriisideterminantin määritelmä, matriisideterminantin laskenta määritelmän mukaan.

Muistamme useita apukäsitteitä.

Määritelmä.

Järjestyksen n permutaatio kutsutaan järjestetyksi numerojoukoksi, joka koostuu n elementistä.

Joukkoon, joka sisältää n alkiota, on n! (n tekijä) kertaluvun n permutaatioista. Permutaatiot eroavat toisistaan ​​vain elementtien järjestyksen suhteen.

Oletetaan esimerkiksi joukko, joka koostuu kolmesta numerosta: . Kirjoitamme muistiin kaikki permutaatiot (yhteensä kuusi, koska ):

Määritelmä.

Käännös kertaluvun n permutaatiossa kutsutaan mitä tahansa indeksiparia p ja q, jolle permutaation p:s alkio on suurempi kuin q:s.

Edellisessä esimerkissä permutaation 4, 9, 7 käänteisarvo on p=2, q=3, koska permutaation toinen elementti on 9 ja suurempi kuin kolmas alkio, joka on 7. Permutaatioiden 9, 7, 4 käänteisarvo on kolme paria: p=1, q=2 (9>7); p = 1, q = 3 (9>4) ja p = 2, q = 3 (7>4).

Meitä kiinnostaa enemmän inversioiden määrä permutaatiossa kuin itse inversio.

Olkoon neliömatriisi, jonka kertaluku on n x n todellisten (tai kompleksisten) lukujen kentän yli. Antaa olla joukko kaikkien permutaatioiden kertaluvun n joukon . Sarja sisältää n! permutaatioita. Merkitään joukon k:nnettä permutaatiota muodossa , ja k:nnen permutaation inversioiden lukumäärää muodossa .

Määritelmä.

Matriisin determinantti Ja luku on yhtä suuri kuin .

Kuvataan tätä kaavaa sanoin. Neliömatriisin, jonka kertaluku on n ja n, determinantti on n:n sisältävä summa! ehdot. Jokainen termi on matriisin n elementin tulo, ja jokainen tulo sisältää elementin matriisin A jokaiselta riviltä ja jokaiselta sarakkeelta. Kerroin (-1) ilmestyy ennen k:nnettä termiä, jos matriisin A alkiot tuotteessa on järjestetty rivinumeron mukaan ja sarakenumeroiden joukon k:nnen permutaation inversioiden määrä on pariton.

Matriisin A determinanttia merkitään yleensä nimellä , ja käytetään myös det(A):ta. Voit myös kuulla, että determinanttia kutsutaan determinantiksi.

Niin, .

Tämä osoittaa, että ensimmäisen kertaluvun matriisin determinantti on tämän matriisin elementti.

Toisen kertaluvun neliömatriisin determinantin laskeminen - kaava ja esimerkki.

noin 2 x 2 yleensä.

Tässä tapauksessa n=2, joten n!=2!=2.

.

Meillä on

Siten olemme saaneet kaavan 2 x 2 matriisin determinantin laskemiseksi, sillä on muoto .

Esimerkki.

Tilaus.

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme. Käytämme tuloksena olevaa kaavaa :

Kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinantin laskenta - kaava ja esimerkki.

Etsitään neliömatriisin determinantti noin 3 x 3 yleensä.

Tässä tapauksessa n=3, joten n!=3!=6.

Järjestetään taulukon muotoon tarvittavat tiedot kaavan soveltamista varten .

Meillä on

Näin ollen olemme saaneet kaavan 3 x 3 matriisin determinantin laskemiseksi, sillä on muoto

Vastaavasti voidaan saada kaavat 4 x 4, 5 x 5 ja suurempien matriisien determinanttien laskemiseksi. Ne näyttävät erittäin isoilta.

Esimerkki.

Laske neliömatriisin determinantti noin 3 x 3.

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme

Käytämme saatua kaavaa laskeaksemme kolmannen kertaluvun matriisin determinantin:

Toisen ja kolmannen kertaluvun neliömatriisien determinanttien laskentakaavoja käytetään hyvin usein, joten suosittelemme muistamaan ne.

Matriisideterminantin ominaisuudet, matriisideterminantin laskenta ominaisuuksien avulla.

Yllä olevan määritelmän perusteella seuraavat pitävät paikkansa. matriisin determinanttien ominaisuudet.

Matriisin A determinantti on yhtä suuri kuin transponoidun matriisin A T determinantti, eli .

Esimerkki.

Varmista matriisin determinantti on yhtä suuri kuin transponoidun matriisin determinantti.

Ratkaisu.

Lasketaan 3 x 3 matriisin determinantti kaavalla:



Transponoimme matriisin A:


Laske transponoidun matriisin determinantti:



Todellakin, transponoidun matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Jos neliömatriisissa vähintään yhden rivin (yhden sarakkeen) elementit ovat nollia, tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Esimerkki.

Tarkista, että matriisideterminantti järjestys 3 x 3 on nolla.

Ratkaisu.




Itse asiassa nollasarakkeen matriisin determinantti on nolla.

Jos vaihdat mitä tahansa kaksi riviä (saraketta) neliömatriisissa, tuloksena olevan matriisin determinantti on vastakkainen alkuperäisen matriisin kanssa (eli etumerkki muuttuu).

Esimerkki.

Annettu kaksi neliömatriisia, joiden kertaluku on 3 x 3 Ja . Osoita, että niiden determinantit ovat vastakkaisia.

Ratkaisu.

Matriisi B saadaan matriisista A korvaamalla kolmas rivi ensimmäisellä ja ensimmäinen kolmannella. Tarkastelun ominaisuuden mukaan tällaisten matriisien determinanttien tulee erota etumerkillisesti. Tarkastetaan tämä laskemalla determinantit tunnetulla kaavalla.



Todella, .

Jos vähintään kaksi riviä (kaksi saraketta) ovat samoja neliömatriisissa, niin sen determinantti on nolla.

Esimerkki.

Osoita, että matriisideterminantti on yhtä kuin nolla.

Ratkaisu.

Tässä matriisissa toinen ja kolmas sarake ovat samat, joten tarkastellun ominaisuuden mukaan sen determinantin tulee olla nolla. Katsotaanpa se.



Itse asiassa matriisin, jossa on kaksi identtistä saraketta, determinantti on nolla.

Jos neliömatriisissa minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikki alkiot kerrotaan jollain luvulla k, niin tuloksena olevan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti kerrottuna k:lla. Esimerkiksi,



Esimerkki.

Todista, että matriisideterminantti on yhtä suuri kuin kolme kertaa matriisin determinantti .

Ratkaisu.

Matriisin B ensimmäisen sarakkeen elementit saadaan matriisin A ensimmäisen sarakkeen vastaavista elementeistä kertomalla 3:lla. Silloin tasa-arvon pitäisi päteä tarkasteltavan ominaisuuden perusteella. Tarkistetaan tämä laskemalla matriisien A ja B determinantit.



Siksi , joka oli todistettava.

HUOMAUTUS.

Älä sekoita tai sekoita matriisin ja determinantin käsitteitä! Matriisin determinantin harkittu ominaisuus ja matriisin luvulla kertominen eivät ole kaukana samasta asiasta.
, Mutta .

Jos neliömatriisin minkä tahansa rivin (sarakkeen) kaikki alkiot ovat s termien summa (s on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin yksi), niin tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin matriisien s determinanttien summa, jotka saadaan alkuperäinen, jos rivin (sarakkeen) elementteinä jätetään yksi termi kerrallaan. Esimerkiksi,


Esimerkki.

Todista, että matriisin determinantti on yhtä suuri kuin matriisien determinanttien summa .

Ratkaisu.

Meidän esimerkissämme , siksi, johtuen matriisideterminantin tarkastelusta ominaisuudesta, yhtäläisyydestä . Tarkistamme sen laskemalla 2 x 2 matriisien vastaavat determinantit kaavan avulla .


Saaduista tuloksista voidaan nähdä, että . Tämä täydentää todistuksen.

Jos lisäämme matriisin jonkin rivin (sarakkeen) elementteihin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna mielivaltaisella luvulla k, niin tuloksena olevan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Esimerkki.

Varmista, että jos matriisin kolmannen sarakkeen elementit lisää tämän matriisin toisen sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna (-2) ja lisää matriisin ensimmäisen sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna mielivaltaisella reaaliluvulla, niin tuloksena olevan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Ratkaisu.

Jos aloitamme determinantin tarkastelusta ominaisuudesta, niin kaikkien tehtävässä ilmoitettujen muunnosten jälkeen saatu matriisin determinantti on yhtä suuri kuin matriisin A determinantti.

Ensin lasketaan alkuperäisen matriisin A determinantti:



Suoritetaan nyt matriisin A tarvittavat muunnokset.

Lisätään matriisin kolmannen sarakkeen elementteihin matriisin toisen sarakkeen vastaavat alkiot, jotka on aiemmin kerrottu (-2) :lla. Sen jälkeen matriisi näyttää tältä:


Tuloksena olevan matriisin kolmannen sarakkeen elementteihin lisätään ensimmäisen sarakkeen vastaavat elementit kerrottuna:


Laske tuloksena olevan matriisin determinantti ja varmista, että se on yhtä suuri kuin matriisin A determinantti, eli -24:



Neliömatriisin determinantti on minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen summa niiden mukaan. algebralliset lisäykset.



Tässä on matriisielementin algebrallinen komplementti .

Tämä ominaisuus mahdollistaa sellaisten matriisien determinanttien laskemisen, joiden kertaluku on suurempi kuin 3 x 3, vähentämällä ne useiden järjestysmatriisien determinanttien summaksi, joka on yhtä pienempi. Toisin sanoen tämä on toistuva kaava minkä tahansa kertaluvun neliömatriisin determinantin laskemiseksi. Suosittelemme sen muistamista, koska se on melko usein sovellettavissa.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki.

tilaa 4 kerrallaan laajentamalla sitä

• 3. rivin elementtien mukaan,
• 2. sarakkeen elementtien mukaan.

Ratkaisu.

Käytämme kaavaa determinantin laajentamiseen 3. rivin elementeillä



Meillä on



Joten ongelma 4 x 4 matriisin determinantin löytämisestä pelkistettiin kolmen determinantin laskemiseen kertalukua 3 x 3 matriisien determinantista:



Korvaamalla saadut arvot, saamme tuloksen:


Käytämme kaavaa determinantin laajentamiseen 2. sarakkeen elementeillä


ja toimimme samalla tavalla.

Emme kuvaile yksityiskohtaisesti kolmannen asteen matriisien determinanttien laskentaa.



Esimerkki.

Laske matriisideterminantti noin 4 x 4.

Ratkaisu.

Voit jakaa matriisideterminantin minkä tahansa sarakkeen tai minkä tahansa rivin elementeiksi, mutta on parempi valita se rivi tai sarake, joka sisältää eniten nollaelementtejä, koska tämä auttaa välttämään turhia laskelmia. Laajennetaan determinanttia ensimmäisen rivin elementeillä:



Laskemme 3 x 3 matriisien saadut determinantit meille tunnetun kaavan mukaan:



Korvaamme tulokset ja saamme halutun arvon


Esimerkki.

Laske matriisideterminantti noin 5 x 5.

Ratkaisu.

Matriisin neljännellä rivillä on eniten nollaelementtejä kaikista riveistä ja sarakkeista, joten on suositeltavaa laajentaa matriisin determinantti tarkasti neljännen rivin elementeillä, koska tässä tapauksessa tarvitsemme vähemmän laskelmia.



Saadut 4x4 matriisien determinantit löytyivät edellisistä esimerkeistä, joten käytämme valmiita tuloksia:



Esimerkki.

Laske matriisideterminantti noin 7 x 7.

Ratkaisu.

Sinun ei pitäisi heti kiirehtiä hajottamaan determinanttia minkään rivin tai sarakkeen elementtien perusteella. Jos tarkastelet matriisia tarkasti, huomaat, että matriisin kuudennen rivin alkiot saadaan kertomalla toisen rivin vastaavat elementit kahdella. Eli jos lisäämme kuudennen rivin elementteihin toisen rivin vastaavat elementit kerrottuna (-2):lla, niin determinantti ei muutu seitsemännen ominaisuuden vuoksi ja tuloksena olevan matriisin kuudes rivi koostuu nollia. Tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla toisella ominaisuudella.

Vastaus:

On huomioitava, että tarkasteltu ominaisuus mahdollistaa minkä tahansa kertaluvun matriisien determinanttien laskemisen, mutta joudutaan suorittamaan paljon laskennallisia operaatioita. Useimmissa tapauksissa on edullisempaa löytää kolmannen asteen matriisien determinantti Gaussin menetelmällä, jota tarkastelemme alla.

Neliömatriisin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden ja toisen rivin (sarakkeen) vastaavien alkioiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on nolla.


Esimerkki.

Osoita, että matriisin kolmannen sarakkeen alkioiden tulojen summa ensimmäisen sarakkeen vastaavien elementtien algebrallisilla komplementeilla on nolla.

Ratkaisu.




Saman kertaluvun neliömatriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulo, eli , jossa m on yhtä suurempi luonnollinen luku, A k , k=1,2,…,m ovat samaa kertaluokkaa olevia neliömatriiseja.

Esimerkki.

Varmista, että kahden matriisin tulon determinantti ja on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulos.

Ratkaisu.

Etsitään ensin matriisien A ja B determinanttien tulo:


Suoritetaan nyt matriisin kertolasku ja lasketaan tuloksena olevan matriisin determinantti:



Täten, , joka piti näyttää.

Matriisideterminantin laskenta Gaussin menetelmällä.

Kuvataanpa tämän menetelmän olemusta. Alkuainemuunnoksilla matriisi A pelkistetään sellaiseen muotoon, että ensimmäisessä sarakkeessa kaikki alkiot paitsi nollia (tämä on aina mahdollista, jos matriisin A determinantti on nollasta poikkeava). Kuvaamme tätä menettelyä hieman myöhemmin, mutta nyt selitämme, miksi tämä tehdään. Nolla alkioita saadaan, jotta saadaan yksinkertaisin determinantin laajennus ensimmäisen sarakkeen elementtien yli. Tällaisen matriisin A muuntamisen jälkeen, kun otetaan huomioon kahdeksas omaisuus ja , saamme

Missä - pieni (n-1) kertaluokka, saatu matriisista A poistamalla sen ensimmäisen rivin ja ensimmäisen sarakkeen elementit.

Matriisilla, jota molli vastaa, tehdään sama menettely nollaelementtien saamiseksi ensimmäisessä sarakkeessa. Ja niin edelleen determinantin lopulliseen laskelmaan asti.

Nyt on vielä vastattava kysymykseen: "Kuinka saada nollaelementtejä ensimmäiseen sarakkeeseen"?

Kuvataan toimintojen algoritmi.

Jos , niin matriisin ensimmäisen rivin elementit lisätään k:nnen rivin vastaaviin elementteihin, joissa . (Jos matriisin A ensimmäisen sarakkeen kaikki alkiot ovat poikkeuksetta nollia, niin sen determinantti on nolla toisen ominaisuuden mukaan eikä Gaussin menetelmää tarvita). Tällaisen muunnoksen jälkeen "uusi" elementti on eri kuin nolla. "Uuden" matriisin determinantti on sama kuin alkuperäisen matriisin determinantti seitsemännen ominaisuuden vuoksi.

Nyt meillä on matriisi, jossa on . Kun toisen rivin elementteihin lisätään ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna luvulla , kolmannen rivin elementteihin, ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna . Ja niin edelleen. Lopuksi n:nnen rivin elementteihin lisätään ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna luvulla . Joten saadaan muunnettu matriisi A, jonka ensimmäisen sarakkeen kaikki alkiot, paitsi , ovat nollia. Tuloksena olevan matriisin determinantti on seitsemännen ominaisuuden vuoksi yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin determinantti.

Analysoidaan menetelmää esimerkkiä ratkaistaessa, niin se on selkeämpi.

Esimerkki.

Laske 5 x 5 matriisin determinantti .

Ratkaisu.

Käytetään Gaussin menetelmää. Muunnetaan matriisi A siten, että sen ensimmäisen sarakkeen kaikista alkioista tulee nollia, paitsi .

Koska elementti on alun perin , lisäämme matriisin ensimmäisen rivin elementteihin vastaavat elementit, esimerkiksi toisen rivin, koska:

"~"-merkki tarkoittaa vastaavuutta.

Nyt lisäämme toisen rivin elementteihin ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , kolmannen rivin elementteihin - ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , ja jatka samalla tavalla kuudenteen riviin asti:

Saamme

matriisin kanssa Suoritamme saman menettelyn nollaelementtien saamiseksi ensimmäisessä sarakkeessa:

Siten,

Nyt suoritamme muunnoksia matriisin avulla :

Kommentti.

Jossain Gauss-menetelmän matriisimuunnoksen vaiheessa voi syntyä tilanne, jossa matriisin muutaman viimeisen rivin kaikki alkiot muuttuvat nolliksi. Tämä puhuu determinantin tasa-arvosta nollaan.

Tee yhteenveto.

Neliömatriisin, jonka elementit ovat lukuja, determinantti on luku. Olemme harkinneet kolmea tapaa laskea determinantti:

1. matriisielementtien yhdistelmien tulojen summan kautta;
2. determinantin laajentamisen kautta matriisin rivin tai sarakkeen elementeillä;
3. menetelmä matriisin pelkistämiseksi ylempään kolmiomaiseen (Gaussin menetelmällä).

Saatiin kaavat kertalukua 2 x 2 ja 3 x 3 olevien matriisien determinanttien laskemiseksi.

Olemme analysoineet matriisideterminantin ominaisuuksia. Jotkut niistä antavat sinun nopeasti ymmärtää, että determinantti on nolla.

Laskettaessa matriisien determinantteja, joiden kertaluku on suurempi kuin 3 x 3, on suositeltavaa käyttää Gaussin menetelmää: suorittaa matriisin alkeismuunnokset ja tuoda se ylempään kolmioon. Tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin kaikkien päädiagonaalin elementtien tulo.

Muista Laplacen lause:
Laplacen lause:

Olkoon k riviä (tai k saraketta) valittu mielivaltaisesti determinantissa d järjestyksessä n, . Tällöin kaikkien valittujen rivien k:nnen kertaluvun alarivien tulojen ja niiden algebrallisten komplementtien summa on yhtä suuri kuin determinantti d.

Determinanttien laskemiseksi yleisessä tapauksessa k on yhtä suuri kuin 1. järjestyksen n determinantissa d valitaan mielivaltaisesti rivi (tai sarake). Tällöin kaikkien valitun rivin (tai sarakkeen) sisältämien alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on yhtä suuri kuin determinantti d.

Esimerkki:
Laske determinantti

Ratkaisu:

Valitaan mielivaltainen rivi tai sarake. Hieman myöhemmin ilmenevästä syystä rajoitamme valintamme joko kolmanteen riviin tai neljänteen sarakkeeseen. Ja pysähdy kolmannelle riville.

Käytetään Laplacen lausetta.

Valitun rivin ensimmäinen elementti on 10, se on kolmannella rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa. Lasketaan sille algebrallinen komplementti, ts. etsi determinantti, joka saadaan poistamalla sarake ja rivi, joilla tämä elementti on (10), ja selvitä merkki.

"plus, jos kaikkien rivien ja sarakkeiden numeroiden summa, joissa sivu-M sijaitsee, on parillinen, ja miinus, jos tämä summa on pariton."
Ja otimme molli, joka koostuu yhdestä yksittäisestä elementistä 10, joka on kolmannen rivin ensimmäisessä sarakkeessa.

Niin:


Tämän summan neljäs termi on 0, minkä vuoksi kannattaa valita rivejä tai sarakkeita, joissa on maksimimäärä nollaelementtejä.

Vastaus: -1228

Esimerkki:
Laske determinantti:

Ratkaisu:
Valitaan ensimmäinen sarake, koska kaksi elementtiä siinä ovat yhtä suuria kuin 0. Laajennataan ensimmäisen sarakkeen determinanttia.


Laajennamme kutakin kolmannen asteen determinanttia ensimmäisen ja toisen rivin suhteen


Laajennamme jokaista toisen asteen determinanttia ensimmäisessä sarakkeessa


Vastaus: 48
Kommentti: tätä ongelmaa ratkaistaessa ei käytetty 2. ja 3. kertaluvun determinanttien laskentakaavoja. Käytettiin vain laajennusta rivillä tai sarakkeella. Mikä johtaa determinanttien järjestyksen alenemiseen.

Determinanttien laskeminen n-järjestys:

Determinantin käsite n- järjestys

Käyttämällä tätä määrääviä tekijöitä käsittelevää artikkelia opit varmasti ratkaisemaan seuraavanlaisia ​​ongelmia:

Ratkaise yhtälö:

ja monia muita, joita opettajat rakastavat keksiä niin paljon.

Matriisideterminantilla tai yksinkertaisesti determinantilla on tärkeä rooli lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Yleensä determinantit keksittiin tätä tarkoitusta varten. Koska usein sanotaan myös "matriisin determinantti", mainitaan matriisit myös tässä. Matriisi on suorakaiteen muotoinen taulukko, joka koostuu numeroista, joita ei voida vaihtaa keskenään. Neliömatriisi on taulukko, jossa on sama määrä rivejä ja sarakkeita. Vain neliömatriisilla voi olla determinantti.

Determinanttien kirjoittamisen logiikka on helppo ymmärtää seuraavan kaavion mukaisesti. Otetaan kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta, jotka ovat tuttuja koulusta:

Determinantissa tuntemattomien kertoimet kirjoitetaan peräkkäin: ensimmäisellä rivillä - ensimmäisestä yhtälöstä, toisella rivillä - toisesta yhtälöstä:

Esimerkiksi jos annetaan yhtälöjärjestelmä

sitten tuntemattomien kertoimista muodostetaan seuraava determinantti:

Oletetaan siis, että meille annetaan neliötaulukko, joka koostuu numeroista, jotka on järjestetty n rivit (vaakasuorat rivit) ja sisään n sarakkeet (pystysuorat rivit). Näiden numeroiden avulla, joidenkin sääntöjen mukaan, joita tutkimme alla, he löytävät numeron, johon he soittavat määräävä tekijä n järjestyksessä ja ne on merkitty seuraavasti:

(1)

Numeroita kutsutaan elementtejä determinantti (1) (ensimmäinen indeksi tarkoittaa rivin numeroa, toinen - sen sarakkeen numeroa, jonka leikkauskohdassa on elementti; i = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). Determinantin järjestys on sen rivien ja sarakkeiden lukumäärä.

Kuvitteellinen suora, joka yhdistää ne determinantin alkiot, joilla molemmat indeksit ovat samat, ts. elementtejä

nimeltään päädiagonaali, toinen diagonaali on puolella.

Toisen ja kolmannen kertaluvun determinanttien laskeminen

Osoitetaan, kuinka kolmen ensimmäisen kertaluvun determinantit lasketaan.

Ensimmäisen kertaluvun determinantti on alkio itse eli.

Toisen asteen determinantti on numero, joka saadaan seuraavasti:

, (2)

Pää- ja toissijaisten diagonaalien elementtien tulo.

Yhtälö (2) osoittaa, että päälävistäjän elementtien tulo otetaan sen merkillä ja toissijaisen diagonaalin alkioiden tulo otetaan vastakkaisella merkillä .

Esimerkki 1 Laske toisen asteen determinantit:

Ratkaisu. Kaavalla (2) löydämme:

Kolmannen asteen determinantti on luku, joka saadaan seuraavasti:

(3)

Tätä kaavaa on vaikea muistaa. On kuitenkin olemassa yksinkertainen sääntö nimeltä kolmion sääntö , mikä tekee ilmaisun toistamisesta helppoa (3). Merkitään determinantin alkioita pisteillä, yhdistämme suorilla janoilla niistä ne, jotka antavat determinantin alkioiden tulot (kuva 1).

Kaava (3) osoittaa, että päälävistäjän elementtien tulot sekä kahden kolmion kärjessä sijaitsevat alkiot, joiden kantat ovat yhdensuuntaiset sen kanssa, otetaan niiden merkeineen; vastakkaisilla - toissijaisen diagonaalin elementtien tuotteet sekä elementit, jotka sijaitsevat kahden sen kanssa yhdensuuntaisen kolmion kärjessä .

Kuvassa 1 on punaisella korostettu päälävistäjä ja sitä vastaavien kolmioiden kantat sekä toisiodiagonaali ja sitä vastaavien kolmioiden kantat.

Determinantteja laskettaessa on lukion tapaan erittäin tärkeää muistaa, että miinusluku kerrottuna miinusluvulla tuottaa plusmerkin ja plusmerkki kerrottuna miinusluvulla antaa luvun, jossa on miinusmerkki.

Esimerkki 2 Laske kolmannen asteen determinantti:

Ratkaisu. Kolmioiden sääntöä käyttämällä saamme

Determinanttien laskeminen n- järjestys

Determinantin rivin tai sarakkeen laajennus

Determinantin laskemiseen n järjestyksessä, on välttämätöntä tietää ja käyttää seuraava lause.

Laplacen lause. Determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa, ts.

Määritelmä. Jos determinantissa n järjestyksessä valita mielivaltaisesti s linjat ja s sarakkeet ( s < n), sitten näiden rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa olevat elementit muodostavat järjestysmatriisin.

Tämän matriisin determinanttia kutsutaan alaikäinen alkuperäinen determinantti. Harkitse esimerkiksi determinanttia:

Rakennetaan matriisi riveistä ja sarakkeista, joissa on parilliset luvut:

Determinantti

nimeltään alaikäinen määräävä tekijä. Sai toisen asteen alaikäisen. On selvää, että useista ensimmäisen, toisen ja kolmannen luokan alaikäisistä voidaan rakentaa.

Jos otamme elementin ja yliviivaamme rivin ja sarakkeen, joiden leikkauskohdassa se on determinantissa, saadaan molli, jota kutsutaan elementin moliksi, jota merkitsemme:

.

Jos molli kerrotaan luvulla , jossa 3 + 2 on niiden rivi- ja sarakenumeroiden summa, joiden leikkauskohdassa elementti on, niin tuloksena oleva tulo on ns. algebrallinen lisäys elementti ja on merkitty ,

Yleensä elementin molli merkitään ja algebrallinen komplementti ,

(4)

Lasketaan esimerkiksi elementtien algebralliset komplementit ja kolmannen asteen determinantti:

Kaavalla (4) saamme

Determinanttia hajotettaessa käytetään usein seuraavaa determinantin ominaisuutta n-järjestys:

jos toisen rivin tai sarakkeen vastaavien elementtien tulo vakiokertoimella lisätään minkä tahansa rivin tai sarakkeen elementteihin, niin determinantin arvo ei muutu.

Esimerkki 4

Vähennetään alustavasti neljännen rivin elementit ensimmäisestä ja kolmannesta rivistä, niin meillä on

Saadun determinantin neljännessä sarakkeessa kolme elementtiä on nollia. Siksi on kannattavampaa laajentaa tätä determinanttia neljännen sarakkeen elementeillä, koska kolme ensimmäistä tuotetta ovat nolla. Siksi

Voit tarkistaa ratkaisun käyttämällä determinanttilaskin verkossa .

Ja seuraava esimerkki osoittaa, kuinka minkä tahansa (tässä tapauksessa neljännen) kertaluvun determinantin laskenta voidaan pelkistää toisen kertaluvun determinantin laskemiseen.

Esimerkki 5 Laske determinantti:

Vähennetään ensimmäisen rivin elementit kolmannesta rivistä ja lisätään ensimmäisen rivin elementit neljännen rivin elementteihin, niin meillä on

Ensimmäisessä sarakkeessa kaikki elementit ensimmäistä lukuun ottamatta ovat nollia. Eli determinantti voidaan hajottaa jo ensimmäisessä sarakkeessa. Mutta emme todellakaan halua laskea kolmannen asteen determinanttia. Siksi teemme lisää muunnoksia: kolmannen rivin elementteihin lisäämme toisen rivin elementit kerrottuna 2:lla ja vähennämme neljännen rivin elementeistä toisen rivin elementit. Tämän seurauksena determinantti, joka on algebrallinen komplementti, voidaan itse laajentaa ensimmäisessä sarakkeessa, ja meidän tarvitsee vain laskea toisen kertaluvun determinantti eikä hämmentyä merkkeihin:

Determinantin saattaminen kolmion muotoon

Determinanttia, jossa kaikki diagonaalin toisella puolella olevat alkiot ovat nolla, kutsutaan kolmiomaiseksi. Toissijaisen diagonaalin tapaus pienennetään päälävistäjän tapaukseksi vaihtamalla rivien tai sarakkeiden järjestys. Tällainen determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin elementtien tulo.

Kolmion muotoon pelkistämiseksi käytetään samaa determinantin ominaisuutta n järjestys, jota käytimme edellisessä kappaleessa: jos lisäämme toisen rivin tai sarakkeen vastaavien elementtien tulon vakiokertoimella minkä tahansa rivin tai sarakkeen elementteihin, niin determinantin arvo ei muutu.

Voit tarkistaa ratkaisun käyttämällä determinanttilaskin verkossa .

Determinant-ominaisuudet n- järjestys

Kahdessa edellisessä kappaleessa olemme jo käyttäneet yhtä determinantin ominaisuuksista n- järjestys. Joissakin tapauksissa determinantin laskennan yksinkertaistamiseksi voit käyttää muita tärkeitä determinantin ominaisuuksia. Determinantti voidaan esimerkiksi pelkistää kahden determinantin summaksi, joista toinen tai molemmat voidaan kätevästi laajentaa jollakin rivillä tai sarakkeella. Tällaista yksinkertaistamista on paljon, ja determinantin yhden tai toisen ominaisuuden käytöstä tulee päättää yksilöllisesti.

1. Hajotuslause:

Mikä tahansa determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa sarjan elementtien ja niiden algebrallisten komplementtien paritulojen summa.

varten minä- rivi:

tai varten j- sarake:

Esimerkki 7.1. Laske determinantti laajentamalla ensimmäisen rivin elementtejä:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Hajotuslauseen avulla voimme korvata yhden determinantin laskennan n- tilauslaskelma n määräävät tekijät ( n- 1) tilaus.

Laskelmien yksinkertaistamiseksi on kuitenkin suositeltavaa käyttää nollien kertolaskumenetelmää korkeiden kertalukujen determinanteille, joka perustuu luvun 5 ominaisuuteen 6. Sen idea on:

Ensin "kerrotaan nollat" jossain rivissä, ts. saada sarja, jossa vain yksi alkio ei ole yhtä suuri kuin nolla, loput ovat nollia;

Laajenna sitten determinantti tämän sarjan elementtien päälle.

Siksi hajoamislauseen perusteella alkuperäinen determinantti on yhtä kuin nollasta poikkeavan alkion ja sen algebrallisen komplementin tulo.

Esimerkki 7.2. Laske determinantti:

.

"kerroi nollat" ensimmäisessä sarakkeessa.

Toisesta rivistä vähennetään ensimmäinen kerrottuna 2:lla, kolmannesta rivistä vähennetään ensimmäinen kerrottuna 3:lla ja neljännestä rivistä vähennetään ensimmäinen kerrottuna 4:llä. Tällaisilla muunnoksilla determinantin arvo ei muutu.

Pykälän 5 ominaisuuden 4 mukaan voimme ottaa determinanttimerkin pois 1. sarakkeesta, 2. sarakkeesta ja 3. sarakkeesta.

Seuraus: Determinantti, jolla on nollasarja, on yhtä suuri kuin nolla.

2. Korvauslause:

Minkä tahansa lukujen ja determinantin tietyn sarjan algebrallisten komplementtien paritulojen summa on yhtä suuri kuin determinantti, joka saadaan annetusta luvusta, jos tämän sarjan alkiot korvataan siinä otetuilla luvuilla.

-:nnelle riville:

1. Peruutuslause:

Minkä tahansa sarjan elementtien ja rinnakkaisen sarjan algebrallisten komplementtien paritulojen summa on nolla.

Todellakin, substituutiolauseen avulla saamme determinantin, jolle k-rivi sisältää samat elementit kuin i- linja

Mutta luvun 5 ominaisuudella 3 tällainen determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

Näin ollen hajoamislause ja sen seuraukset voidaan kirjoittaa seuraavasti:

8. Yleistä tietoa matriiseista. Perusmääritelmät.

Määritelmä 8.1 . Matriisi nimeltään seuraava suorakulmainen taulukko:

Käytetään myös seuraavia matriisinimikkeitä: , tai tai .

Matriisin rivit ja sarakkeet on nimetty rivit.

Arvoa kutsutaan koko matriiseja.

Jos vaihdamme rivejä ja sarakkeita matriisissa, saamme matriisin nimeltä siirretty osaksi kansallista lainsäädäntöä. Matriisi transponoitu kanssa , yleensä merkitty symbolilla .

Esimerkiksi:

Määritelmä 8.2. Kaksi matriisia A Ja B nimeltään yhtä suuri, Jos

1) molemmat matriisit ovat samankokoisia, ts. Ja ;

2) kaikki niitä vastaavat alkiot ovat yhtä suuret, ts.

Sitten . (8.2)

Tässä yksi matriisiyhtälö (8.2) vastaa skalaariyhtälöitä (8.1).

9. Matriisien lajikkeet.

1) Kutsutaan matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nolla nollamatriisi:

2) Jos matriisi koostuu vain yhdestä rivistä, sitä kutsutaan rivimatriisi, Esimerkiksi . Vastaavasti kutsutaan matriisia, jossa on vain yksi sarake sarakematriisi, Esimerkiksi .

Transpositio muuttaa sarakematriisin rivimatriisiksi ja päinvastoin.

3) Jos m=n, niin matriisia kutsutaan n:nnen kertaluvun neliömatriisi.

Neliömatriisin termien diagonaalia, joka menee vasemmasta yläkulmasta sen oikeaan alakulmaan, kutsutaan pää. Sen jäsenten toista diagonaalia, joka menee vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan, kutsutaan puolella.

Neliömatriisille determinantti voidaan laskea det(A).