Tässä artikkelissa käsitellään matemaattisten lausekkeiden arvojen löytämistä. Aloitetaan yksinkertaisilla numeerisilla lausekkeilla ja sitten tarkastellaan tapauksia niiden monimutkaisuuden kasvaessa. Lopuksi annamme lausekkeen, joka sisältää kirjainmerkinnät, hakasulkeet, juuret, erityiset matemaattiset merkit, asteet, funktiot jne. Koko teoria on perinteen mukaan varustettu runsain ja yksityiskohtaisin esimerkein.

Kuinka löytää numeerisen lausekkeen arvo?

Numeeriset lausekkeet auttavat muun muassa kuvaamaan ongelman tilaa matemaattisella kielellä. Yleisesti ottaen matemaattiset lausekkeet voivat olla joko hyvin yksinkertaisia, jotka koostuvat numeroparista ja aritmeettisista etumerkeistä, tai erittäin monimutkaisia, sisältäen funktioita, asteita, juuria, hakasulkuja jne. Osana tehtävää on usein tarpeen löytää lausekkeen arvo. Kuinka tämä tehdään, käsitellään alla.

Yksinkertaisimmat tapaukset

Nämä ovat tapauksia, joissa lauseke sisältää vain numeroita ja aritmetiikkaa. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytämiseksi onnistuneesti tarvitset tietoa järjestyksestä, jossa aritmeettiset toiminnot suoritetaan ilman sulkuja, sekä kykyä suorittaa operaatioita eri numeroilla.

Jos lauseke sisältää vain numeroita ja aritmeettisia etumerkkejä " + " , " · " , " - " , " ÷ " , niin operaatiot suoritetaan vasemmalta oikealle seuraavassa järjestyksessä: ensin kerto- ja jakolasku, sitten yhteen- ja vähennyslasku. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki 1. Numeerisen lausekkeen arvo

Olkoon tarpeen löytää lausekkeen 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 arvot.

Tehdään ensin kerto- ja jakolasku. Saamme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Nyt vähennetään ja saadaan lopputulos:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esimerkki 2. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Ensin muunnetaan murtoluvut, jako ja kertolasku:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Tehdään nyt yhteen- ja vähennyslasku. Ryhmitetään murtoluvut ja tuodaan ne yhteiseen nimittäjään:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Haluttu arvo löytyy.

Lausekkeet suluilla

Jos lauseke sisältää hakasulkeet, ne määrittävät toimintojen järjestyksen tässä lausekkeessa. Ensin suoritetaan suluissa olevat toiminnot ja sitten kaikki loput. Osoitetaan tämä esimerkillä.

Esimerkki 3. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo 0. 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Lausekkeessa on hakasulkuja, joten suoritamme ensin vähennyslaskutoiminnon suluissa ja vasta sitten kertolasku.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Hakasulkeet sisältävien lausekkeiden arvo löytyy saman periaatteen mukaan.

Esimerkki 4. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan arvo 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Suoritamme toimintoja alkaen sisimmistä suluista siirtyen ulompiin.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Hakasulkeilla olevien lausekkeiden arvojen etsimisessä tärkeintä on seurata toimintojen järjestystä.

Ilmaisuja, joissa on juuret

Matemaattiset lausekkeet, joiden arvot meidän on löydettävä, voivat sisältää juurimerkkejä. Lisäksi itse lauseke voi olla juuren merkin alla. Kuinka olla siinä tapauksessa? Ensin sinun on löydettävä lausekkeen arvo juuren alta ja sitten erotettava juuri tuloksena olevasta numerosta. Jos mahdollista, on parempi luopua juurista numeerisissa lausekkeissa korvaamalla numero numeroarvoilla.

Esimerkki 5. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lausekkeen arvo juurilla - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Ensin lasketaan radikaalilausekkeet.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nyt voimme laskea koko lausekkeen arvon.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Usein juuria sisältävän lausekkeen arvon löytämiseksi on usein ensin muutettava alkuperäinen lauseke. Selvitetään tämä toisella esimerkillä.

Esimerkki 6. Numeerisen lausekkeen arvo

Mikä on 3 + 1 3 - 1 - 1

Kuten näet, meillä ei ole mahdollisuutta korvata juuria tarkalla arvolla, mikä vaikeuttaa laskentaprosessia. Tässä tapauksessa voit kuitenkin käyttää lyhennettyä kertolaskua.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Täten:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ilmaisuja, joilla on voimaa

Jos lauseke sisältää tehoja, niiden arvot on laskettava ennen kuin ryhdytään muihin toimiin. Tapahtuu, että eksponentti itse tai asteen kanta ovat lausekkeita. Tässä tapauksessa lasketaan ensin näiden lausekkeiden arvo ja sitten asteen arvo.

Esimerkki 7. Numeerisen lausekkeen arvo

Selvitä lausekkeen arvo 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Aloitamme laskemisen järjestyksessä.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Jää vain suorittaa lisäystoiminto ja selvittää lausekkeen arvo:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Usein on myös suositeltavaa yksinkertaistaa lauseketta käyttämällä asteen ominaisuuksia.

Esimerkki 8. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan seuraavan lausekkeen arvo: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponentit ovat jälleen sellaisia, ettei niiden tarkkoja numeerisia arvoja voida saada. Yksinkertaista alkuperäinen lauseke löytääksesi sen arvon.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Lausekkeet murtoluvuilla

Jos lauseke sisältää murto-osia, niin tällaista lauseketta laskettaessa kaikki siinä olevat murtoluvut on esitettävä tavallisina murtolukuina ja laskettava niiden arvot.

Jos murto-osan osoittajassa ja nimittäjässä on lausekkeita, lasketaan ensin näiden lausekkeiden arvot ja itse murto-osan lopullinen arvo kirjataan. Aritmeettiset operaatiot suoritetaan vakiojärjestyksessä. Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki 9. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsitään murtolukuja sisältävän lausekkeen arvo: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Kuten näet, alkuperäisessä lausekkeessa on kolme murtolukua. Lasketaan ensin niiden arvot.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Kirjoitetaan lausekkeemme uudelleen ja lasketaan sen arvo:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Usein lausekkeiden arvoja löydettäessä on kätevää pienentää murtolukuja. On olemassa lausumaton sääntö: ennen arvon löytämistä mikä tahansa lauseke on parasta yksinkertaistaa maksimiin, vähentämällä kaikki laskelmat yksinkertaisimpiin tapauksiin.

Esimerkki 10. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lauseke 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Emme voi täysin poimia viiden juuria, mutta voimme yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta muunnoksilla.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Alkuperäinen ilmaisu saa muotoa:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lasketaan tämän lausekkeen arvo:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Lausekkeet logaritmeilla

Kun lausekkeessa on logaritmeja, niiden arvo lasketaan, mikäli mahdollista, alusta alkaen. Esimerkiksi lausekkeeseen log 2 4 + 2 4 voit kirjoittaa välittömästi tämän logaritmin arvon log 2 4:n sijaan ja suorittaa sitten kaikki toiminnot. Saamme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Numeeriset lausekkeet löytyvät myös logaritmin merkin alta ja sen tyvestä. Tässä tapauksessa ensimmäinen askel on löytää heidän arvonsa. Otetaan lauseke log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Meillä on:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Jos logaritmin tarkkaa arvoa ei voida laskea, lausekkeen yksinkertaistaminen auttaa löytämään sen arvon.

Esimerkki 11. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Logaritmien ominaisuuden mukaan:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Käytettäessä jälleen logaritmien ominaisuuksia, lausekkeen viimeiselle murto-osalle saadaan:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Nyt voit siirtyä alkuperäisen lausekkeen arvon laskemiseen.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Lausekkeet trigonometrisilla funktioilla

Tapahtuu, että lausekkeessa on sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin trigonometrisiä funktioita sekä funktioita, jotka ovat käänteisiä niille. Arvosta lasketaan ennen kuin kaikki muut aritmeettiset operaatiot suoritetaan. Muussa tapauksessa ilmaisu yksinkertaistuu.

Esimerkki 12. Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Ensin lasketaan lausekkeeseen sisältyvien trigonometristen funktioiden arvot.

sin - 5 π 2 \u003d - 1

Korvaa lausekkeen arvot ja laske sen arvo:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Lausekkeen arvo löytyy.

Usein trigonometristen funktioiden lausekkeen arvon löytämiseksi se on ensin muunnettava. Selitetäänpä esimerkillä.

Esimerkki 13. Numeerisen lausekkeen arvo

On tarpeen löytää lausekkeen cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 arvo.

Muunnosta käytetään trigonometrisiä kaavoja kaksoiskulman kosinille ja summan kosinille.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 4 - π 1-1 = 0.

Numeerisen lausekkeen yleinen tapaus

Yleisessä tapauksessa trigonometrinen lauseke voi sisältää kaikki edellä kuvatut elementit: hakasulkeet, asteet, juuret, logaritmit, funktiot. Muotoillaan yleinen sääntö tällaisten lausekkeiden arvojen löytämiseksi.

Kuinka löytää lausekkeen arvo

1. Juuret, potenssit, logaritmit jne. korvataan niiden arvoilla.
2. Suluissa olevat toiminnot suoritetaan.
3. Loput vaiheet suoritetaan järjestyksessä vasemmalta oikealle. Ensin - kerto- ja jakolasku, sitten - yhteen- ja vähennyslasku.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki 14. Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan mikä lausekkeen arvo on - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Ilmaisu on melko monimutkainen ja hankala. Ei ole sattumaa, että valitsimme juuri tällaisen esimerkin yrittäen sovittaa siihen kaikki edellä kuvatut tapaukset. Kuinka löytää tällaisen lausekkeen arvo?

Tiedetään, että laskettaessa monimutkaisen murtomuodon arvoa, ensin löydetään murto-osan osoittajan ja nimittäjän arvot erikseen. Muutamme ja yksinkertaistamme tätä ilmaisua peräkkäin.

Ensin lasketaan radikaalilausekkeen 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 arvo. Tätä varten sinun on löydettävä sinin arvo ja lauseke, joka on trigonometrisen funktion argumentti.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nyt voit selvittää sinin arvon:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Laskemme radikaalilausekkeen arvon:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Murtoluvun nimittäjällä kaikki on helpompaa:

Nyt voimme kirjoittaa koko murtoluvun arvon:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Tätä silmällä pitäen kirjoitamme koko lausekkeen:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Lopullinen tulos:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Tässä tapauksessa pystyimme laskemaan tarkat arvot juurille, logaritmeille, sineille ja niin edelleen. Jos tämä ei ole mahdollista, voit yrittää päästä eroon niistä matemaattisilla muunnoksilla.

Lausekkeiden laskeminen rationaalisilla tavoilla

Numeeriset arvot on laskettava johdonmukaisesti ja tarkasti. Tätä prosessia voidaan järkeistää ja nopeuttaa käyttämällä lukuisten operaatioiden erilaisia ​​ominaisuuksia. Tiedetään esimerkiksi, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla. Tämän ominaisuuden perusteella voimme heti sanoa, että lauseke 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 on yhtä suuri kuin nolla. Tässä tapauksessa ei ole ollenkaan tarpeen suorittaa vaiheita yllä olevassa artikkelissa kuvatussa järjestyksessä.

On myös kätevää käyttää yhtäläisten lukujen vähennysominaisuutta. Ilman mitään toimenpiteitä voidaan määrätä, että lausekkeen 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 arvo on myös nolla.

Toinen tekniikka, jonka avulla voit nopeuttaa prosessia, on käyttää identtisiä muunnoksia, kuten termien ja tekijöiden ryhmittelyä ja yhteisen tekijän poistamista suluista. Rationaalinen lähestymistapa murtolukuja sisältävien lausekkeiden laskemiseen on vähentää samoja lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä.

Otetaan esimerkiksi lauseke 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Suorittamatta toimintoja suluissa, vaan pienentämällä murtolukua voidaan sanoa, että lausekkeen arvo on 1 3 .

Muuttuvien lausekkeiden arvojen löytäminen

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvo löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille.

Muuttuvien lausekkeiden arvojen löytäminen

Löytääksesi kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujia sisältävän lausekkeen arvon, sinun on korvattava annetut kirjainten ja muuttujien arvot alkuperäisellä lausekkeella ja laskettava sitten tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvo.

Esimerkki 15. Muuttujia sisältävän lausekkeen arvo

Laske lausekkeen 0, 5 x-y arvo, kun x = 2, 4 ja y = 5.

Korvaamme muuttujien arvot lausekkeeseen ja laskemme:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8 .

Joskus on mahdollista muuttaa lauseke siten, että sen arvo saadaan riippumatta siihen sisältyvien kirjainten ja muuttujien arvoista. Tätä varten on tarpeen päästä eroon lausekkeen kirjaimista ja muuttujista, jos mahdollista, käyttämällä identtisiä muunnoksia, aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia ja kaikkia muita mahdollisia menetelmiä.

Esimerkiksi lausekkeen x + 3 - x arvo on ilmeisesti 3, eikä x:n arvoa tarvitse tietää tämän arvon laskemiseksi. Tämän lausekkeen arvo on kolme kaikille muuttujan x arvoille sen kelvollisten arvojen alueelta.

Vielä yksi esimerkki. Lausekkeen x x arvo on yhtä suuri kuin yksi kaikille positiivisille x:ille.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

7. luokan algebrakurssilla harjoitettiin kokonaislukulausekkeiden eli luvuista ja muuttujista koostuvien lausekkeiden muuntamista yhteen-, vähennys- ja kertolaskuoperaatioilla sekä muulla kuin nollalla jakamalla. Lausekkeet ovat siis kokonaislukuja

Sitä vastoin ilmaisuja

yhteen-, vähennys- ja kertolaskutoimintojen lisäksi ne sisältävät jakamisen muuttujalausekkeella. Tällaisia ​​lausekkeita kutsutaan murtolausekkeiksi.

Kokonaisluku- ja murtolukulausekkeita kutsutaan rationaalisiksi lausekkeiksi.

Kokonaislukulauseke on järkevä kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille, koska koko lausekkeen arvon löytämiseksi sinun on suoritettava toimintoja, jotka ovat aina mahdollisia.

Joidenkin muuttujien arvojen murtolauseke ei ehkä ole järkevää. Esimerkiksi lauseke - ei ole järkevä arvolle a = 0. Kaikille muille a:n arvoille tämä lauseke on järkevä. Lauseke on järkevä niille x:n ja y:n arvoille, kun x ≠ y.

Muuttujaarvoja, joille lauseke on järkevä, kutsutaan kelvollisiksi muuttujaarvoiksi.

Muodon lauseketta kutsutaan, kuten tiedät, murto-osaksi.

Murtolukua, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja, kutsutaan rationaaliseksi murtoluvuksi.

Murtoluvut ovat esimerkkejä rationaalisista murtoluvuista.

Rationaalisessa murtoluvussa sallitaan ne muuttujien arvot, joille murto-osan nimittäjä ei katoa.

Esimerkki 1 Etsitään muuttujan kelvolliset arvot murtoluvusta

Päätös Jotta voit selvittää, millä a:n arvoilla murto-osan nimittäjä häviää, sinun on ratkaistava yhtälö a (a - 9) \u003d 0. Tällä yhtälöllä on kaksi juuria: 0 ja 9. Siksi kaikki luvut paitsi 0 ja 9 ovat kelvollisia arvoja muuttujalle a.

Esimerkki 2 Millä x:n arvolla on murto-osan arvo yhtä kuin nolla?

Päätös Murtoluku on nolla silloin ja vain, jos a on 0 ja b ≠ 0.

Joten jos numeerinen lauseke koostuu numeroista ja merkeistä +, −, · ja:, niin vasemmalta oikealle, sinun on ensin suoritettava kerto- ja jakolasku ja sitten yhteen- ja vähennyslasku, jonka avulla voit löytää haluamasi lausekkeen arvo.

Tarkastellaanpa joitain esimerkkejä selvyyden vuoksi.

Esimerkki.

Laske lausekkeen 14−2·15:6−3 arvo.

Päätös.

Lausekkeen arvon löytämiseksi sinun on suoritettava kaikki siinä määritellyt toiminnot hyväksytyn suoritusjärjestyksen mukaisesti. Ensin, järjestyksessä vasemmalta oikealle, suoritamme kerto- ja jakolaskun, saamme 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nyt, järjestyksessä vasemmalta oikealle, teemme loput toiminnot: 14−5−3=9−3=6 . Joten löysimme alkuperäisen lausekkeen arvon, se on yhtä suuri kuin 6 .

Vastaus:

14−2 15:6−3=6 .

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo.

Päätös.

Tässä esimerkissä meidän on ensin suoritettava kertolasku 2 (−7) ja jako kertomalla lausekkeessa. Muistamalla kuinka , löydämme 2 (−7)=−14 . Ja ensin suorittaa toimintoja lausekkeessa , sitten , ja suorita: .

Korvaamme saadut arvot alkuperäiseen lausekkeeseen: .

Mutta entä jos juurimerkin alla on numeerinen lauseke? Saadaksesi tällaisen juuren arvon, sinun on ensin löydettävä juurilausekkeen arvo hyväksyttyä toimintojen järjestystä noudattaen. Esimerkiksi, .

Numeerisissa lausekkeissa juuret tulisi nähdä joinakin numeroina, ja on suositeltavaa korvata juuret välittömästi niiden arvoilla ja löytää sitten tuloksena olevan lausekkeen arvo ilman juuria suorittamalla toimia hyväksytyssä järjestyksessä.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo juurineen.

Päätös.

Etsi ensin juuren arvo . Tätä varten laskemme ensin olemassa olevan radikaalilausekkeen arvon −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Ja toiseksi löydämme juuren arvon.

Lasketaan nyt toisen juuren arvo alkuperäisestä lausekkeesta: .

Lopuksi voimme löytää alkuperäisen lausekkeen arvon korvaamalla juuret niiden arvoilla: .

Vastaus:

Melko usein, jotta voit löytää lausekkeen arvon juurilla, sinun on ensin muutettava se. Otetaan esimerkkiratkaisu.

Esimerkki.

Mikä on ilmaisun merkitys .

Päätös.

Emme pysty korvaamaan kolmen juuria sen tarkalla arvolla, mikä ei salli tämän lausekkeen arvon laskemista yllä kuvatulla tavalla. Voimme kuitenkin laskea tämän lausekkeen arvon suorittamalla yksinkertaisia ​​muunnoksia. Sovellettava neliöiden erotuskaava: . Ottaen huomioon, saamme . Joten alkuperäisen lausekkeen arvo on 1.

Vastaus:

.

Astinten kanssa

Jos kanta ja eksponentti ovat lukuja, niin niiden arvo lasketaan asteen määritelmän mukaan, esimerkiksi 3 2 =3 3=9 tai 8 −1 =1/8 . On myös merkintöjä, kun kanta ja/tai eksponentti ovat joitain lausekkeita. Näissä tapauksissa sinun on löydettävä lausekkeen arvo kannasta, lausekkeen arvo eksponenteista ja laskettava sitten itse asteen arvo.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo muodon potenssien avulla 2 3 4–10 +16 (1–1/2) 3,5–2 1/4.

Päätös.

Alkuperäisellä lausekkeella on kaksi potenssia 2 3 4−10 ja (1−1/2) 3,5−2 1/4 . Niiden arvot on laskettava ennen muiden vaiheiden suorittamista.

Aloitetaan potenssilla 2 3·4−10 . Sen indikaattori sisältää numeerisen lausekkeen, lasketaan sen arvo: 3·4−10=12−10=2 . Nyt löydät itse asteen arvon: 2 3 4−10 =2 2 =4 .

Kantaosassa ja eksponenteissa (1−1/2) 3,5−2 1/4 on lausekkeita, laskemme niiden arvot asteen arvon löytämiseksi myöhemmin. Meillä on (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Nyt palaamme alkuperäiseen lausekkeeseen, korvaamme siinä olevat asteet niiden arvoilla ja löydämme tarvitsemamme lausekkeen arvon: 2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6 .

Vastaus:

2 3 4-10 +16 (1-1/2) 3,5-2 1/4 =6.

On syytä huomata, että on yleisempiä tapauksia, joissa on suositeltavaa tehdä esiselvitys ilmaisun yksinkertaistaminen valtuuksilla pohjalla.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo .

Päätös.

Tämän lausekkeen eksponenteista päätellen asteiden tarkkoja arvoja ei voida saada. Yritetään yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta, ehkä se auttaa löytämään sen arvon. Meillä on

Vastaus:

.

Lausekkeiden tehot kulkevat usein käsi kädessä logaritmien kanssa, mutta puhumme lausekkeiden arvojen löytämisestä logaritmien kanssa yhdessä niistä.

Murtolukuja sisältävän lausekkeen arvon löytäminen

Tietueensa numeeriset lausekkeet voivat sisältää murtolukuja. Kun tällaisen lausekkeen arvo on löydettävä, muut kuin tavalliset murtoluvut tulee korvata niiden arvoilla ennen muiden vaiheiden suorittamista.

Murtolukujen osoittaja ja nimittäjä (jotka eroavat tavallisista murtoluvuista) voivat sisältää sekä joitain lukuja että lausekkeita. Tällaisen murtoluvun arvon laskemiseksi sinun on laskettava lausekkeen arvo osoittajassa, laskettava lausekkeen arvo nimittäjässä ja laskettava sitten itse murto-osan arvo. Tämä järjestys selittyy sillä, että murto-osa a/b, jossa a ja b ovat joitain lausekkeita, on itse asiassa muodon (a):(b) osamäärä, koska .

Tarkastellaan esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Etsi murtolukuja sisältävän lausekkeen arvo .

Päätös.

Alkuperäisessä numeerisessa lausekkeessa kolme murtolukua ja . Löytääksemme alkuperäisen lausekkeen arvon tarvitsemme ensin nämä murtoluvut ja korvaamme ne arvoillaan. Tehdään se.

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat lukuja. Sellaisen murtoluvun arvon selvittämiseksi korvaamme murtopalkin jakomerkillä ja suoritamme tämän toiminnon: .

Murtoluvun osoittaja sisältää lausekkeen 7−2 3 , jonka arvo on helppo löytää: 7−2 3=7−6=1 . Täten, . Voit siirtyä etsimään kolmannen murto-osan arvon.

Kolmas murto-osa osoittajassa ja nimittäjässä sisältää numeerisia lausekkeita, joten sinun on ensin laskettava niiden arvot, jolloin voit löytää itse murto-osan arvon. Meillä on .

On vielä korvattava löydetyt arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava loput vaiheet: .

Vastaus:

.

Usein, kun etsit fraktioiden arvoja, sinun on suoritettava murtolausekkeiden yksinkertaistaminen, joka perustuu toimintojen suorittamiseen murtolukujen kanssa ja murtolukujen vähentämiseen.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo .

Päätös.

Viiden juuria ei ole täysin purettu, joten alkuperäisen lausekkeen arvon löytämiseksi yksinkertaistetaan se ensin. Tätä varten päästä eroon nimittäjän irrationaalisuudesta ensimmäinen murto: . Tämän jälkeen alkuperäinen lauseke saa muodon . Murtolukujen vähentämisen jälkeen juuret katoavat, mikä antaa meille mahdollisuuden löytää alun perin annetun lausekkeen arvon:.

Vastaus:

.

Logaritmeilla

Jos numeerinen lauseke sisältää , ja jos niistä on mahdollista päästä eroon, tämä tehdään ennen muiden toimien suorittamista. Esimerkiksi, kun löydetään lausekkeen log 2 4+2 3 arvo, log 2 4:n logaritmi korvataan sen arvolla 2, jonka jälkeen loput toiminnot suoritetaan tavallisessa järjestyksessä eli log 2 4 +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Kun logaritmin merkin alla ja / tai sen pohjassa on numeerisia lausekkeita, niiden arvot löydetään ensin, minkä jälkeen logaritmin arvo lasketaan. Harkitse esimerkiksi lauseketta, jolla on muodon logaritmi . Logaritmin pohjalla ja sen etumerkin alla ovat numeeriset lausekkeet, löydämme niiden arvot: . Nyt löydämme logaritmin, jonka jälkeen suoritamme laskelmat: .

Jos logaritmeja ei lasketa tarkasti, niin sen alustava yksinkertaistaminen käyttämällä . Tässä tapauksessa sinun tulee hallita artikkelin materiaalia hyvin. logaritmisen lausekkeiden muunnos.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo logaritmeilla .

Päätös.

Aloitetaan laskemalla log 2 (log 2 256) . Koska 256=28, sitten log 2 256=8, siis log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 =3.

Logaritmit log 6 2 ja log 6 3 voidaan ryhmitellä. Logaritmien log 6 2+log 6 3 summa on yhtä suuri kuin tulologaritmin log 6 (2 3) logaritmi, joten log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Nyt käsitellään murtolukuja. Aluksi kirjoitetaan nimittäjään logaritmin kanta uudelleen tavalliseksi murtoluvuksi 1/5, jonka jälkeen käytämme logaritmien ominaisuuksia, joiden avulla voimme saada murtoluvun arvon:
.

On vain korvattava saadut tulokset alkuperäisellä lausekkeella ja lopetettava sen arvon löytäminen:

Vastaus:

Kuinka löytää trigonometrisen lausekkeen arvo?

Kun numeerinen lauseke sisältää tai jne., niiden arvot lasketaan ennen muiden toimien suorittamista. Jos trigonometristen funktioiden merkin alla on numeerisia lausekkeita, lasketaan ensin niiden arvot, minkä jälkeen löydetään trigonometristen funktioiden arvot.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo .

Päätös.

Siirrymme artikkeliin, saamme ja cosπ=−1 . Korvaamme nämä arvot alkuperäiseen lausekkeeseen, se ottaa muodon . Löytääksesi sen arvon, sinun on ensin suoritettava eksponentio ja suoritettava sitten laskelmat: .

Vastaus:

.

On huomattava, että lausekkeiden arvojen laskeminen sinillä, kosinilla jne. vaatii usein etukäteen trigonometriset ilmentämuunnokset.

Esimerkki.

Mikä on trigonometrisen lausekkeen arvo .

Päätös.

Muunnetaan alkuperäinen lauseke käyttämällä , tässä tapauksessa tarvitsemme kaksoiskulmakosinikaavan ja summakosinikaavan:

Tehdyt muunnokset auttoivat meitä löytämään lausekkeen arvon.

Vastaus:

.

Yleinen tapaus

Yleisessä tapauksessa numeerinen lauseke voi sisältää juuria, asteita, murtolukuja ja mitä tahansa funktioita ja sulkuja. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytäminen koostuu seuraavien toimien suorittamisesta:

• ensimmäiset juuret, asteet, murtoluvut jne. korvataan niiden arvoilla,
• muut toimet suluissa,
• ja järjestyksessä vasemmalta oikealle, loput operaatiot suoritetaan - kerto- ja jakolasku, jota seuraa yhteen- ja vähennyslasku.

Yllä olevat toimenpiteet suoritetaan, kunnes lopullinen tulos saadaan.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo .

Päätös.

Tämän ilmaisun muoto on melko monimutkainen. Tässä lausekkeessa näemme murto-osan, juuret, asteet, sinin ja logaritmin. Kuinka löytää sen merkitys?

Liikkuessamme tietueessa vasemmalta oikealle törmäämme lomakkeen murto-osaan . Tiedämme, että kun työskentelemme monimutkaisen tyypin murto-osien kanssa, meidän on laskettava erikseen osoittajan arvo, erikseen nimittäjä ja lopuksi löydettävä murto-osan arvo.

Osoittimessa meillä on lomakkeen juuri . Määrittääksesi sen arvon, sinun on ensin laskettava radikaalilausekkeen arvo . Tässä on sini. Voimme löytää sen arvon vasta lausekkeen arvon laskemisen jälkeen . Näin voimme tehdä: . Siis mistä ja .

Nimittäjällä kaikki on yksinkertaista: .

Täten, .

Kun tämä tulos on korvattu alkuperäisellä lausekkeella, se saa muotoa . Tuloksena oleva lauseke sisältää asteen. Löytääksesi sen arvon, sinun on ensin löydettävä indikaattorin arvo, meillä on .

Joten,.

Vastaus:

.

Jos ei ole mahdollista laskea juurien, asteiden jne. tarkkoja arvoja, voit yrittää päästä eroon niistä millä tahansa muunnolla ja palata sitten arvon laskemiseen määritetyn järjestelmän mukaisesti.

Rationaalisia tapoja laskea lausekkeiden arvot

Numeeristen lausekkeiden arvojen laskeminen vaatii johdonmukaisuutta ja tarkkuutta. Kyllä, on välttämätöntä noudattaa edellisissä kappaleissa tallennettua toimintosarjaa, mutta tätä ei pidä tehdä sokeasti ja mekaanisesti. Tällä tarkoitamme, että lausekkeen arvon löytämisprosessia on usein mahdollista järkeistää. Esimerkiksi joidenkin numeroiden toimintojen ominaisuuksien avulla voit merkittävästi nopeuttaa ja yksinkertaistaa lausekkeen arvon löytämistä.

Tunnemme esimerkiksi tämän kertolaskuominaisuuden: jos tuotteen yksi tekijöistä on nolla, niin tuotteen arvo on nolla. Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme heti sanoa, että lausekkeen arvo 0 (2 3+893-3234:54 65-79 56 2,2)(45 36−2 4+456:3 43) on nolla. Jos noudatamme normaalia toimintojen järjestystä, meidän pitäisi ensin laskea hakasulkeisiin lausekkeiden arvot, ja tämä veisi paljon aikaa ja tulos olisi silti nolla.

On myös kätevää käyttää yhtäläisten lukujen vähentämisen ominaisuutta: jos vähennät yhtä suuren luvun luvusta, tulos on nolla. Tätä ominaisuutta voidaan tarkastella laajemmin: kahden identtisen numeerisen lausekkeen ero on yhtä suuri kuin nolla. Voit esimerkiksi löytää lausekkeen arvon laskematta suluissa olevien lausekkeiden arvoa (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), se on yhtä suuri kuin nolla, koska alkuperäinen lauseke on identtisten lausekkeiden erotus.

Identtiset muunnokset voivat myötävaikuttaa lausekkeiden arvojen järkevään laskemiseen. Esimerkiksi termien ja tekijöiden ryhmittely voi olla hyödyllistä, mutta yhtä usein yhteisen tekijän poistaminen suluista. Lausekkeen 53 5+53 7−53 11+5 arvo on siis erittäin helppo löytää, kun tekijä 53 on otettu pois suluista: 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Suora laskeminen vie paljon enemmän aikaa.

Tämän kappaleen lopuksi kiinnitetään huomiota rationaaliseen lähestymistapaan lausekkeiden arvojen laskemiseen murtoluvuilla - samat tekijät murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä vähenevät. Esimerkiksi samojen lausekkeiden vähentäminen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä avulla voit löytää välittömästi sen arvon, joka on 1/2 .

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvon löytäminen

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvo löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille. Eli puhumme kirjaimellisen lausekkeen arvon löytämisestä annetuille kirjainarvoille tai lausekkeen arvon löytämisestä muuttujilla valituille muuttujaarvoille.

sääntö kirjaimellisen lausekkeen tai muuttujia sisältävän lausekkeen arvon löytäminen annetuille kirjainarvoille tai valituille muuttujien arvoille on seuraava: alkuperäisessä lausekkeessa sinun on korvattava kirjainten tai muuttujien annetut arvot ja laskea tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvon, se on haluttu arvo.

Esimerkki.

Laske lausekkeen 0.5 x−y arvo arvoille x=2.4 ja y=5 .

Päätös.

Löytääksesi lausekkeen vaaditun arvon, sinun on ensin korvattava nämä muuttujan arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava sitten seuraavat toimet: 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8 .

Vastaus:

−3,8 .

Yhteenvetona toteamme, että joskus kirjaimellisten lausekkeiden ja muuttujalausekkeiden muuntaminen antaa sinun saada niiden arvot kirjainten ja muuttujien arvoista riippumatta. Esimerkiksi lauseke x+3−x voidaan yksinkertaistaa arvoksi 3 . Tästä voimme päätellä, että lausekkeen x + 3 - x arvo on yhtä suuri kuin 3 mille tahansa muuttujan x arvolle sen hyväksyttävien arvojen alueelta (ODZ). Toinen esimerkki: lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin 1 kaikille positiivisille arvoille x, joten muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue alkuperäisessä lausekkeessa on positiivisten lukujen joukko ja tasa-arvo tapahtuu tällä alueella .

Bibliografia.

• Matematiikka: opinnot. 5 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematiikka. luokka 6: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [N. Ya. Vilenkin ja muut]. - 22. painos, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: oppikirja 7 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M. : Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: oppikirja 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Luokka 9: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M. : Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 solulle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. painos- M.: Enlightenment, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.